et trigonométrie Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2017/2018
Définition Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur l origine et parcouru dans le sens positif (c est à dire dans le sens inverse des aiguilles d une montre). J M x 0 I Pour tout réel x repéré sur la droite on associe un point M sur le cercle trigonométrique que l on obtient par «enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M est l image du réel x
Les valeurs remarquables 3 4 2 4 0 3 4 4 2
Les valeurs remarquables 2 3 3 2 3 3
Les valeurs remarquables 5 6 6 6 5 6
Les valeurs remarquables 5 6 3 4 2 3 2 3 4 6 0 6 5 6 3 4 4 2 3 3 2
Les valeurs remarquables 5 6 3 4 2 3 7 12 2 5 12 3 4 6 11 12 12 0 11 12 12 6 5 6 3 4 4 2 3 7 12 2 5 12 3
c) Nouvelle unité J M x 0 I Le réel 0 x que l on a placé sur le cercle trigonométrique sur le point M est une mesure en radians de l angle géométrique IOM.
d) Conversion degré-radians Conversion degré-radians Mesures en degré 0 30 45 60 90 120 180 2 Mesures en radians 0 6 4 3 2 3 Il y a proportionnalité entre les mesures en degré et celle en radians.
II) s orientés a) de vecteurs Définition Un angle orienté est un couple de deux vecteurs non nuls. L angle entre les vecteurs u et ( u ) v sera noté ; v. Remarque: O, A et B étant trois points distincts. Les angles géométriques AOB et BOA sont égaux alors que les angles de vecteurs ( OA ; OB ) et ( ) OB ; OA sont différents, ils sont opposés.
b) Mesure d un angle Mesure d un angle Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique ( de centre O alors le OI réel x est une mesure en radian de l angle orienté ; OM ), les autres mesures sont de la forme α= x + 2k(k Z). J M α 0 I ( OI ) Un repère orthonormé (O;I;J) est direct lorsque ; OJ = 2.
c) Mesure principale ( u ) Parmi toutes les mesures d un angle orienté ; v, il en existe une et une seule qui se trouve dans l intervalle ] ]. ( u ) Cette mesure est la mesure principale de ; v
c) Mesure principale ( u ) Parmi toutes les mesures d un angle orienté ; v, il en existe une et une seule qui se trouve dans l intervalle ] ]. ( u ) Cette mesure est la mesure principale de ; v Faire les exercices 33 et 34 page 205
III) Propriétés des angles orientés Dans ce paragraphe u, v et w sont trois vecteurs non nuls Vecteurs colinéaires Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors ( u, v ) = 0+2k k Z Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors ( u, v ) = +2k k Z
III) Propriétés des angles orientés Dans ce paragraphe u, v et w sont trois vecteurs non nuls Vecteurs colinéaires Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors ( u, v ) = 0+2k k Z Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors ( u, v ) = +2k k Z Relation de Chasles ( u ) ( u ) ( w ), v =, w +, v Faire les exercices 10 et 11 page 199
Autres propriétés ( u ) ( v ), v =, u ; ( u, ) ( u ) ( u ) v =, v =, v + +2k k Z; ( u, ) ( u ) v =, v. Faire les exercices 12 et 14 page 200, les exercices 27, 28 et 29 page 205 puis les exercices 38 et 40 page 206
IV) Cosinus et sinus a) Définition Définition Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique alors le réel cos(x) est l abscisse du point M; le réel sin(x) est l ordonnée du point M;. J M sin(x) x 0 cos(x) I
b) Les premières propriétés Proriétés Pour tout réel x, on a: 1 cos(x) 1 1 sin(x) 1 cos 2 (x)+sin 2 (x)=1 Pour tout entier relatif k, on a: cos(x+ 2k)=cos(x) sin(x+ 2k)=sin(x)
c) Les valeurs particulières Valeurs à connaitre Mesures en degré 0 30 45 60 90 180 Mesures en radians 0 6 4 3 2 3 2 1 cosinus 1 0 1 2 2 2 1 2 3 sinus 0 1 0 2 2 2 Faire les exercices 1 page 197 puis les exercices 59, 60 et 61 page 208
5 6 3 4 2 3 3 2 2 2 1 2 2 3 4 6 0 3 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 5 6 3 4 2 3 2 2 3 2 3 4 6 2
d) s associés x x Les images des réels x et x sont symétriques par rapport à l axe des abscisses
d) s associés x x Les images des réels x et x sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées
d) s associés x +x Les images des réels x et +x sont symétriques par rapport à l origine
d) s associés x x +x x
Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) sin(x) x cos(x) cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) sin(x) x cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
x sin(x) x Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) cos(x) cos(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) sin(x) x cos(x) cos(x) cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) +x sin(x) cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
2 + x sin(x) sin(x) cos(x) x cos(x) Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
cos(x) 2 x Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) sin(x) x cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) sin(x) cos(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) y= x cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
2 + x cos(x) 2 x Formules cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) x sin(x) x cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) sin(x) cos(+x)= cos(x) sin(+x)= sin(x) +x sin(x) x cos ( 2 + x) = sin(x) sin ( 2 + x) = cos(x) cos ( 2 x) = sin(x) sin ( 2 x) = cos(x)
V) Équations trigonométriques a cos(a) a cos(x)=cos(a) x=a+2k ou x= a+2k (k Z)
V) Équations trigonométriques a cos(a) a cos(x)=cos(a) x=a+2k ou x= a+2k (k Z) a a sin(a) sin(x)=sin(a) x=a+2k ou x= a+2k (k Z)