Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On note C l'ensemble des nombres complexes. C contient l'ensemble R. Les règles de calculs dans C sont les mêmes que dans R. Il existe i un nombre complexe appelé nombre imaginaire tel que i²=. Tout nombre complexe s'écrit sous la forme z = x + iy avec (x, y) R². Cette écriture est unique. L'écriture z = x + iy avec (x, y) R² est appelée forme algébrique du nombre complexe z. - x est la partie dite réelle de z notée Re (z), - et y est la partie dite imaginaire de z notée Im (z) Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie imaginaire et même partie réelle. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a : a + bi = a' + b'i (a b) = (a' b') a = a' b = b' Nombres complexes particuliers Soit un nombre complexe z = a + bi avec a IR et b IR. si b = 0, on a z = a, z est un réel (IR est contenu dans CI). si a = 0, on a z = b i, on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Représentation graphique d un nombre complexe On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O u, v). Au point M de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. On dit que z = a + bi est l'affixe de M ou que M(a b) est l'image ponctuelle de z = a + bi. Au vecteur V de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. On dit : z = a + bi est l'affixe de V ou V (a b) est l'image vectorielle de z = a + bi. michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - -
Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. 2. Opérations sur les nombres complexes Addition de nombres complexes Soit z et z 2 deux nombres complexes de forme algébrique suivante : z = x + iy ((x, y ) R²) et z 2 = x 2 + iy 2 ((x 2, y 2 ) R²). Le nombre complexe z = z + z 2 s écrit x + iy avec : x = x + x 2 y = y + y 2. Lorsqu on additionne des nombres complexes, on additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. Les propriétés de l addition dans sont conservées. Multiplication de nombres complexes Soit z et z 2 deux nombres complexes de forme algébrique suivante : z = x + iy ((x, y ) R²) et z 2 = x 2 + iy 2 ((x 2, y 2 ) R²). Le nombre complexe z = z z 2 s écrit x + iy avec : x = x x 2 - y y 2 y = x 2 y + x y 2. Nombre conjugué Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy ((x, y) R²). Le nombre complexe x iy est le nombre conjugué de z noté z. Remarque : z z=x² + y² > 0 (réel strictement positif) Interprétation géométrique : Soit M' l'image du nombre conjugué de l'affixe de M ( zm '=zm ). Alors M' est symétrique à M par rapport à l'axe des abscisses. Propriétés : michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 2 -
Module d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul. On appelle module du nombre complexe z= a + ib ( a et b réels) le nombre réel positif défini par z = a 2 + b 2. Soit le point M d'affixe z dans le plan complexe. z est la distance OM. Propriétés : 3. Exercices Exercice 0 Soit z = 2 + 3i z' = i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' z - z' 2z - 3z' z.z' z 2 (Si votre calculatrice permet de travailler sur les nombres complexes, vérifier le résultat) Exercice 02 Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z = 2 + 3i z 2 = 3 + i z 3 = - + 2i z 4 = 2 - i z 5 = i z 6 = -i z 7 = z 8 = -i - 3 z 9 = 2z - 3z 2 z 0 = z 3 (z 4 - z 2 ) Exercice 03 Étant donné un point M d'affixe z = a + bi, avec a et b réels. Placer le point M' d'affixe z' = a - bi, le point M" d'affixe z" = -a + bi, le point M"' d'affixe z"' = -a - bi = - z. Exercice 04 ) Calculer (3 + 2i)(3-2i). En déduire la forme algébrique de 3 + 2i 2 ) Déterminer la forme algébrique des nombres comp lexes : + i 3 - i i Exercice 05 Soit z = 3 + 5i et z' = -2 + 3i. Calculer z z' z + z' z + z' z + z' z. z' zz' zz'. michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 3 -
Exercice 06 ) Écrire sous la forme algébrique les nombres com plexes suivants : 4 2 - i i 2 + i 2 + 7i 3 - i 5 + 3i - 3i i 2 ) Résoudre l'équation ( + i)z = 3-2i, donner la solution sous la forme algébrique. 3 ) Le nombre complexe 2 - i est-il solution de l'équation ( - i)z + + 3i = 0? 4 ) Le nombre complexe + 3i est-il solution de l'équation 5z 5 2-2z + 2 = 0? 7 + 5i 5 ) Écrire plus simplement le nombre complexe 2 7-2i + 2 7-2i 7 + 5i Exercice 07 Mettre sous forme algébrique puis représenter dans le plan complexe les expressions suivantes : 2 + j 3 ( 2 j)( + j) 3 j(2 3 j) j 0 (+ j)2 (3j 4)(2j + ) (on pourra multiplier par le nombre complexe conjugué du dénominateur). Exercice 08 Montrer que le nombre suivant est réel. z = ( + 2j)(2 3j)(2 + j)(3 2j) Exercice 09 Soit a un nombre réel. Mettre sous forme algébrique l'expression complexe : z = + ja 2a + j(a 2 ) Exercice 0 Soient a, b, c trois nombres réels et soit z un nombre complexe. On pose Z = az + jb a+ jcz. On suppose que a 2 + bc 0. Calculer l'expression az + jb a + jcz en fonction de z. Exercice Trouver les nombres réels a et b tels que : ( + 2j) a + ( 3 5j) b = 3j ( j) a + ( 4 j) b = 3 j ( 3 + j) a + ( + j) b = 2j ( + 2j) a ( + 3j) b = 3 + 7j ( 2 j) a + ( 3 j) b = 7 3j michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 4 -
4. Forme trigonométrique et forme polaire La forme trigonométrique d un nombre complexe est entièrement connue grâce à son module et son argument. Le module d un nombre complexe a été défini précédemment. Soit z C* et M son image dans le plan complexe. L'argument de z est noté arg (z) et est l'angle polaire entre l axe des abscisses et le vecteur OM d affixe z. On le note ϕ = ( u, OM ). b r M(z ) Soit ϕ l'argument du nombre complexe z = a + ib. On a : cos ϕ = a / z = a / a 2 + b 2 Et sin ϕ = b / z = b / a 2 + b 2 v u θ a Définition Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ), avec θ IR et r IR + *. On dit que z = r(cos θ + i sin θ) avec θ IR et r IR + * est une forme trigonométrique de z. Propriété Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ'), on a : r = r' z = z' r(cos θ + i sin θ) = r' (cos θ' + i sin θ') θ = θ' Remarque θ n'est pas unique, il est défini à 2kπ près (k ZZ) c'est-à-dire modulo 2π. Remarque La notation z ne risque pas prêter à confusion avec la notation de la valeur absolue puisque lorsque x est un nombre réel, on a r = OM = x. Pour un réel x, x pourra être lu indifféremment "valeur absolue de x" ou "module de x". Pour un nombre complexe non réel z, z sera lu impérativement "module de z". Rappel : cos (a+b) = cos a cos b sin a sin b sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a cos (a b) = cos a cos b +sin a sin b sin (a b) = sin a cos b sin b cos a michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 5 -
Propriétés Soient θ et θ' deux réels et soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs θ et θ' on a : (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') arg(zz') = arg z + arg z' cos θ + i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ) arg z = - arg z cos θ + i sin θ = cos(θ - θ' ) + i sin(θ - θ' ) cos θ' + i sin θ' arg z z' = arg z - arg z' (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) pour tout n ZZ arg (z n ) = n arg z cos θ - i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ) arg ( z ) = - arg z - (cos θ + i sin θ) = cos(θ + π) + i sin(θ + π) arg (- z) = arg z + π Notation exponentielle Pour θ IR, on note cos θ + i sin θ = e i θ et par conséquent pour r IR * + : r(cos θ + i sin θ) = r e i θ Cette notation est appelée notation exponentielle. Propriétés Les résultats déjà vus s'écrivent, avec la notation exponentielle : e i θ x e i θ' = e i (θ + θ') e i θ = e i (-θ) = e -i θ e i θ = e i (θ - θ') e i θ' (e i θ ) n = e i n θ = e n i θ n ZZ e i θ = e -i θ - e i θ = e i (θ + π) Remarques La propriété e i θ x e i θ' = e i (θ + θ'), facile à retenir, permet de retrouver les formules d'addition : cos(θ + θ' ) = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' et sin(θ + θ' ) = sin θ cos θ' + cos θ sin θ' La propriété (e i θ ) 2 = e 2i θ permet de retrouver les formules de duplication : cos 2θ = cos 2 θ - sin 2 θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 6 -
On peut vérifier que : formules d'euler. La relation (e i θ ) n = e i n θ, cos θ = e i θ + e - i θ 2 et sin θ = e i θ - e - i θ 2i n ZZ est appelée formule de MOIVRE.. Ce sont les Exercice 2 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O u, v ). Les questions sont totalement indépendantes. ) Calculer le module des nombres complexes suivan ts : (7 + 35i)(3 + 2i) 7-35i 3-2i 2 ) Déterminer tous les points M d'affixe z tels que z z = 4. 3 ) On considère le point A d'affixe (2 + 3i). Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z - (2 + 3i) = 5. 4 ) Soit j = - 2 + 3 2 i. Calculer j. Démontrer que j2 = j. En déduire que j 3 =. (On dit que j est une racine cubique de ) (5 + 3i)( + i) 4 + i Exercice 3 Soit z = 2 + 2i et z 2 = + i 3. Écrire z et z 2 sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z x z 2 z z 2 (z ) 3 z - z 2 (z ) 2 z 2 Exercice 4 On considère les nombres complexes : z = e i π 3 z 2 = e i π 4 et Z = z z 2. ) Donner la forme exponentielle de Z. 2 ) Donner les formes algébriques de z et z 2. En déduire la forme algébrique de Z. 3 ) En déduire les valeurs exactes de cos π 2 et sin π 2. Exercice 5 Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les nombres complexes : a = 3 + 3 i b = Exercice 6 2 - i c = 5 + i 3 7-4i 3 d = -2 cos π 6 + i sin π 6 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O u, v ), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a =, b = + 2i et c = + 3 + i c - a Calculer et l'écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC. b - a Exercice 7 Étant donnés A( + i) et B(2-3i), déterminer les affixes des points M tels que ABM soit un triangle équilatéral. michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 7 -
Exercice 8 Linéariser les expressions suivantes en utilisant les formules d'euler : sinθ cosθ sin²θ cos²θ sinθ cos²θ sin²θ cosθ sin 3 θ cos 3 θ sin²θ cos²θ Exercice 9 En utilisant les formules d Euler et le triangle de Pascal, développer les expressions suivantes : sin 4 θ sin 3 θ cosθ cos 4 θ sin θ cos 3 θ sin 5 θ sin 4 θ cosθ sin 3 θ cos²θ cos 5 θ sinθ cos 4 θ sin 2 θ cos 3 θ sin 6 θ sin 5 θ cosθ sin 4 θ cos²θ sin 3 θ cos 3 θ cos 6 θ sinθ cos 5 θ sin 2 θ cos 4 θ sin 7 θ sin 6 θ cosθ sin 5 θ cos²θ sin 4 θ cos 3 θ cos 7 θ sinθ cos 6 θ sin 2 θ cos 5 θ sin 3 θ cos 4 θ Exercice 20 En utilisant les formules d Euler et le triangle de Pascal, exprimer en fonction de cosθ et sinθ les fonctions suivantes : cos3θ sin3θ cos4θ sin4θ cos5θ sin5θ cos6θ sin6θ cos7θ sin7θ Exercice 2 Calculer les sommes: S = cos θ + cos 2θ + cos 3θ +...+cos nθ S 2 = sin θ + sin 2θ + sin 3θ+...+sin nθ Exercice 22 Soit le nombre complexe z = cos θ + j sin θ = e jθ (ρ = ). z Calculer l'expression : + z Exercice 23 Soit n un nombre entier. Calculer z n pour : z = + cos θ + j sin θ z = cos θ + j sin θ michelle Vieira - Michelle.Vieira@ujf-grenoble.fr - 8 -