EECTOMAGNETISME Courans variables /3 eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire. INTODUCTION Dans le bu de raier les signaux, les réseaux linéaires son souven soumis à des grandeurs élecriques d exciaion (ensions ou courans). e résula du raiemen es observé au ravers des grandeurs de sorie. a mise en équaion du sysème condui à un ensemble de relaions différenielles lian enrées e sories. a résoluion de ces équaions perme de fournir l expression de ces grandeurs au cours du emps. es seuls cas abordés ici concernen les circuis régis par des équaions différenielles linéaires à coefficiens consans du premier e du deuxième ordre.. EATIONS COUANT TENSION POU ES DIPOES PASSIFS USUES appelons les relaions enre la ension U() e le couran I() pour les dipôles passifs usuels. ésisances a loi d Ohm donne : U() = I() en ohms (Ω) Inducances a loi de enz donne : d I() U() = I() = U() d en henrys (H) Condensaeurs Q() = C U() d U() d Q() I() = C U() = I() I() = d C d C en farads (F) 3. ETUDE D UN CICUIT C es circuis C son parcourus par des courans qui varien en foncion du emps. orsque le condensaeur es relié à une pile, la viesse à laquelle il accumule la charge dépend de sa capacié e de la résisance du circui. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables /3 3..Charge d un condensaeur Considérons le circui suivan (Fig. ) formé d un généraeur idéal de f.e.m E (sa résisance inerne es nulle), d un inerrupeur K, d une résisance e d un condensaeur C. A l insan =, l inerrupeur K es ouver, le couran I =. Dès que le condensaeur (C) es relié à la pile (inerrupeur K fermé), un cerain nombre de charges élecriques passen d'une armaure à l'aure. Ce déplacemen consiue un couran élecrique qui es dirigé suivan le sens convenionnel. Ce couran es appelé couran de charge du condensaeur. e couran de charge persise jusqu'à ce que la quanié d'élecricié parvenue sur les armaures du condensaeur engendre, enre celles ci, une différence de poeniel égale à la ension de la pile. e condensaeur es alors di chargé. Après la fermeure de, à l insan, la loi des mailles donne : E I V c = [] E + C E + C V c K = K > Condensaeur non chargé (Cir cui ouver) I = Condensaeur en cours de charge (Circui fermé) I Fig. : Charge d un condensaeur Avec : q V c = C q e I son des valeurs insananées e E es une consane. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 3/3 équaion [] devien alors : E q = I + [] C Dérivons cee équaion par rappor au emps : de dq = = + C Que l on peu écrire sous la forme de : + I = = C I C Par inégraion, on a : Soi : Ou I = I C I n I I = C C = [3] I I e I éan le couran à = c'es à dire quand q =. En remplaçan q par dans l équaion [], nous avons : E = I E I = E donc : I E e I e C τ = = [4] τ = C es appelée consane de emps du circui. Son unié es la seconde. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 4/3 I(A) I = E τ (s) Fig. : Variaion du couran en foncion du emps lors de la charge d un condensaeur appelons que : dq I = C Par conséquen : dq E = e Par inégraion, nous avons : ( ) ( ) q = E e = E ( C) / e = EC e / q = EC es la charge à l origine. C C C C τ ( ) ( ) q = q e = q e [5] a variaion de la charge en foncion du emps lors de la charge d un condensaeur es présenée sur la Fig. 3. q().63 CE τ Fig. 3 : Variaion de la charge en foncion du emps lors de la charge d un condensaeur eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 5/3 a variaion de ension aux bornes du condensaeur es par conséquen égale à : C C ( ) ( ) q V EC c = = e = E e C C ( ) c [6] V = E e τ 3..Décharge d un condensaeur Examinons le circui de la fig. 4 Fig. 4 Une fois le condensaeur chargé, il ne circule aucun couran dans le circui, éan donné que la ension créée aux bornes de (C) es égale mais opposée à la ension de la pile. a décharge du condensaeur peu facilemen êre observée. Il suffi de reirer le condensaeur e de le brancher par exemple, aux bornes d'une résisance, comme illusré dans la Fig.5. A B Fig. 5 : Décharge d un condensaeur a ension présene aux bornes du condensaeur fai circuler un couran dans la résisance qui, selon le sens convenionnel, es dirigé de l'armaure posiive vers l'armaure négaive. Ce couran dû aux charges élecriques accumulées sur les armaures du condensaeur ne dure qu'un bref insan. Il cesse lorsque les charges présenes en surnombre sur une armaure on rejoin l'armaure sur laquelle elles fon défau. Cee opéraion réalisée, le condensaeur es di déchargé e le couran créé par cee décharge es appelé couran de décharge du condensaeur. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 6/3 ors de la décharge d un condensaeur, on a : VA VB = I q q = I VA V B = C C e couran I qui circule dans le circui es égal au aux de diminuion de la charge porée par le condensaeur On obien donc : dq I = [7] dq q dq = = C q C A =, q = q q dq = q() = q e q C q C q() = q e τ [8] E par dérivaion de [7], nous avons : I() = I e τ [9] q Avec I = C A reenir donc : un condensaeur reiré de son circui de charge (Fig. 4) e qui n'es pas relié à une résisance, conserve sur ses armaures les charges accumulées, un condensaeur reserai chargé indéfinimen e le diélecrique se rouvan enre ses armaures éai un isolan parfai. En praique, cela n'arrive jamais e le diélecrique laisse passer pei à pei les charges élecriques d'une armaure à l'aure, ce qui décharge lenemen le condensaeur ; un condensaeur, après s'êre chargé, empêche oue circulaion ulérieure du couran fourni par une pile. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 7/3 4. ETUDE D'UN CICUIT On considère un circui consiué d'une résisance, d'une bobine e d'une pile. a résisance inerne de la pile es négligeable. 'inerrupeur K es fermé à = + K A + B Fig. 6 e couran commence alors à croîre, mais la bobine produi en même emps une f.c.e.m. a bobine agi comme une pile de polarié opposée à la pile réelle du circui. Sa f.e.m opposée es donnée par : = [] es négaif, car le couran augmenan > Il y a chue de poeniel de la borne A à la borne B de la bobine. En appliquan la loi des mailles à ce circui (loi de Kirchhoff) on obien I = [] On pose x = I dx =, l équaion [] devien : dx x + = [] eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 8/3 soi dx = x x x dx x = n x = ou x = x o e x on a = I = x =, il s'en sui : I = e E donc : avec τ = ( / τ ) I = e [3] : la consane de emps du circui. Fig. 7 : Appariion du couran lors de la fermeure du circui On considère mainenan le circui de la Fig. 8 avec les inerrupeurs K fermé e K ouver. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 9/3 K D A + + K C B Fig.8 K fermé le couran I circulan dans la bobine a aein sa valeur maximale /. Aux bornes de la f.e.m es nulle. Donc si on ferme K il ne se produi rien. On ouvre ensuie K débranchan ainsi la pile. e couran éabli dans la bobine devra alors nécessairemen circuler dans la branche CD. En appliquan la loi des mailles à la maille ABDC on a I + = On obien : / τ = [4] I I e avec I = Fig. 9 : Dispariion du couran lors de l'ouverure du circui eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables /3 5. ENEGIE DANS UN CICUIT En muliplian chaque erme de l'équaion [] par le couran I, nous obenons I = I + I [5] Puissance fournie Puissance dissipée aux d'accumulaion d énergie par la pile par effe joule dans dans le bobine la résisance Si on désigne par E m l'énergie accumulée dans la bobine, on peu écrire : ( ) d E m = I = d I aux d'accumulaion énergie emmagasinée dans la bobine es donc égale à : E m = I [6] 6. CICUIT C orsqu'un condensaeur chargé iniialemen es relié à une bobine e que l'on ferme l'inerrupeur, il se produi des oscillaions de la charge du condensaeur e du couran dans le circui. K A B Fig. 'énergie accumulée dans le condensaeur es donné par la relaion : Où Q m es la charge iniiale du condensaeur. Qm E m = C eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables /3 Par conséquen : m Q Q = + I C C [7] Energie dans le condensaeur Energie dans la bobine En dérivan l'expression [7] par rappor au emps, on obien : dq I = Comme : d Q = d Q dq + I = C [8] Soi : d Q Q + = d C [9] d Q Q + = [] C expression [] es une équaion différenielle de second ordre sans second membre. Sa soluion es : Q = Q m cos (ω + ϕ) avec ω = e ϕ : la consane de phase C dq I = = ω Q m sin ( ω + ϕ ) sachan qu'à = I = e Q = Q m, on a = ω Q m sin ϕ c'es à dire ϕ =. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables /3 Il s'en sui que le couran I s'exprime par la relaion : I = ωq sinω = I sinω [] m m 7. CICUIT C On considère un circui,, C série. e condensaeur pore une charge iniiale Q m. C Fig. e aux de dissipaion de l'énergie à ravers la résisance es : d E r = I e signe ( ) indique que l'énergie E r diminue dans le emps. En reprenan l'équaion [7], on obien : Q dq I + = I C dq I = En uilisan les relaions : d Q = d En simplifian par I, on obien : eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN
EECTOMAGNETISME Courans variables 3/3 d Q dq Q + + = C [] a soluion analyique de l'équaion [] es assez complexe. On monre que si es pei, e en pariculier si = 4/C, la soluion de l'équaion [] es : m Q = Q e cos Ω [3] Avec : Ω = ( ) C / a charge oscillera suivan un mouvemen harmonique amori, de façon analogue à l'exrémié d'un ressor masse se déplaçan dans un milieu visqueux. Si 4/C, la fréquence Ω se rapproche de la fréquence d'un oscillaeur non amori ω =. C Q() Fig. : variaion de la charge en foncion du emps. Cas où 4/C = 4/C es appelée résisance criique c. Dans le cas où = c ou > c, il ne se produi aucune oscillaion. On a un sysème soi à amorissemen criique, soi à amorissemen surcriique. eçon n : Analyse des circuis en régime ransioire Najla FOUATI e Parick HOFFMANN