Multiplication des signaux

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1 TP Cours Multiplication des signaux I) Généralités A) Présentation du multiplieur analogique Les multiplieurs de signaux analogiques sont couramment employés en électronique. Un tel circuit comporte : - deux bornes d alimentation symétrique ±15V ; - deux entrées différentielles X 1, X 2 et Y 1, Y 2 (les tensions appliquées ne doivent pas dépasser 10 Volts); - un circuit multiplieur réalisant l opération k( X 1 X 2 )( Y 1 Y 2 ), où k est une constante caractéristique du composant, dont la dimension est l inverse d une tension ; - un sommateur ajoutant la tension z(t) au résultat précédent (NB : si on ne se sert pas de cette fonction, il est impératif de mettre cette entrée à la masse) ; - une sortie S(t) réalisant l opération : S(t) = k( X 1 X 2 )( Y 1 Y 2 ) + z(t) - une masse M. Nous n étudierons pas les défauts de ce composant qui restent négligeables pour des fréquences inférieures au MHz et des tensions d entrée supérieures à quelques dizaines de mv. Manipulation : avec 2 GBF, envoyer un signal continu x=(x 1 -X 2 ) et un signal sinusoïdal y=(y 1 -Y 2 ). Faire varier x en observant la sortie s à l oscilloscope. Mesurer k. B) Propriétés de la multiplication de deux signaux sinusoïdaux L opération de multiplication est une opération foncièrement non-linéaire : elle permet de générer de nouvelles fréquences. 1) Aspect temporel On écrit les tensions d entrée sous la forme : e i (t) = c i + a i cos (ω ιt + ϕ ι), où c i est la composante continue de e i (t) et a i 2 la valeur efficace de la composante alternative sinusoïdale. Dans le cas général : e 1 (t) e 2 (t) = c 1 c 2 + a 1 c 2 cos( ω 1 t +ϕ 1 ) + a 2 c 1 cos( ω 2 t +ϕ 2 ) + a 1 a 2 2) Aspect spectral [ ( )] + a 1 a 2 2 cos ( ω 1 ω 2)t + ϕ 1 ϕ 2 [ ( )] 2 cos ( ω 1 + ω 2)t + ϕ 1 +ϕ 2 Représenter le spectre du signal de sortie en faisant apparaître l'origine des raies par l'intermédiaire de leur amplitude. Examiner le cas où e 1 et e 2 sont des signaux purement sinusoïdaux. On constate donc que e 1 (t) e 2 (t) génère 2 signaux de fréquences f 1 + f 2 et f 1 f 2

2 C) Généralisation Dans le cas où e 1 (t) est sinusoïdale de fréquence f 1 et e 2 (t) est un signal périodique quelconque de fréquence f 2 petite par rapport à f 1, le spectre du signal de sortie s(t) est composé de deux parties : un spectre somme identique à celui de e 2 (t) mais translaté de f 1, et un spectre différence ou spectre miroir, symétrique du spectre somme par rapport à f 1. Dans le signal résultant, chaque raie de pulsation ω n appartenant au spectre du signal périodique e 2 (t), est donc dédoublée en deux, l une de pulsation ω n +ω 1 et l autre de pulsation ω n ω 1 puisque : cos( ω n t +ϕ n ) cos( ω 1 t) = 1 2 cos ω n + ω 1 [ ( )] (( )t +ϕ n ) + cos ( ω n ω 1 )t +ϕ n Manipulation : appliquer une tension x(t) purement sinusoïdale de fréquence 20 khz sur l une des deux entrées, et une tension créneau y(t) de 0,7 khz de valeur moyenne nulle sur l autre entrée. Noter les fréquences (on utilisera le logiciel synchronie) et les amplitudes des composantes spectrales du signal de sortie du multiplieur. Quelle modification notez vous lorsque la valeur moyenne du signal créneau n est plus nulle? Reprendre les expériences avec cette fois une tension purement sinusoïdale x(t) de fréquence 5 khz : on pourra observer le phénomène de repliement du spectre miroir. II Application à la modulation et la démodulation d amplitude A) Nécessité, principe et intérêt de la modulation Nécessité de la modulation : toute chaîne de transmission d information comporte : un émetteur, un milieu de transmission et un récepteur. La propagation à travers le milieu entraîne inévitablement des déformations du signal du fait des phénomènes : - d absorption : dans le cas d une onde plane, l atténuation se traduit généralement par une amplitude décroissant exponentiellement avec la distance : a(x) = a 0.e α(ν)x s, la constante d atténuation α(ν) dépendant souvent de la fréquence du signal ; - de dispersion : la vitesse des ondes dans un milieu dépendant de leur fréquence, les diverses composantes spectrales d un signal présentent, lors de la réception, un retard différent. Principe de la modulation : pour s affranchir au mieux des distorsions introduites par le milieu de propagation, la méthode la plus simple est de ne transmettre que des signaux à spectre étroit (tels que f max - f min << (f max +f min )/2), qui plus est, dans la bande de «transparence» du milieu. Peu de signaux présentent un spectre étroit. Il est donc indispensable de convertir le signal informatif en un autre signal respectant cette contrainte, et contenant toute l information initiale. L opération consistant, à partir d un signal informatif m(t), à élaborer un signal s(t) qui puisse être émis est appelée modulation. Inversement, lors de la réception, il s agit de retrouver m(t) à partir du signal reçu : on parle alors de démodulation. signal d information basse fréquence porteuse haute fréquence modulateur émetteur transmission haute fréquence récepteur démodulateur signal d information original basse fréquence

3 Ainsi, pour les signaux informatifs usuels, les fréquences sont de l ordre de 20 Hz à 20 khz (signaux audio) ou de 50 khz à 6 MHz (signaux vidéo). Le transport de ces informations se fait par ondes électromagnétiques de fréquences bien plus élevées : de 100 khz à 1 MHz pour un signal radio en modulation d amplitude ; aux alentours de 100 MHz pour un signal radio en modulation de fréquence ; autour du GHz pour la téléphonie mobile. Ainsi, le signal utilisé pour la transmission est un signal quasi-sinusoïdal correspondant à une porteuse de haute fréquence f p appartenant à la bande de transparence du milieu support et lentement modulé par le signal informatif appelé modulante et comportant des basses fréquences f <<f p. Ce signal modulé occupe ainsi une bande de fréquence étroite autour de f p. La modulation agit soit sur l amplitude, la fréquence, ou la phase instantanée de la porteuse : on parle alors respectivement de modulation d amplitude, de fréquence ou de phase. Les opérations de modulation (resp. démodulation) déplacent les spectres des signaux vers les hautes (resp. les basses) fréquences. Ces opérations nécessitent donc l emploi de composants non-linéaires comme les multiplieurs ou les diodes. Dans le cas de la modulation d'amplitude on a donc s(t)=f[m(t)].cos(ω p t) pour lequel m(t) est le signal lentement variable qui contient l information (signal modulant) et ω p la pulsation de la porteuse. Les intérêts de la modulation sont multiples : - elle permet d adapter la fréquence du signal à transmettre aux contraintes physiques inhérentes à la propagation d ondes électromagnétiques : longueur d antenne (les antennes utilisées pour l émission étant d une taille comparable à la longueur d onde, une fréquence d 1 khz nécessiterait une antenne de longueur 300 km!), zone de transparence (infra-rouge pour les fibres optiques) - elle permet le multiplexage : on peut transmettre simultanément et dans le même milieu de propagation, plusieurs informations : il suffit d utiliser des porteuses de fréquences différentes, suffisamment éloignées les unes des autres pour éviter le chevauchement des spectres. A la réception, un filtrage passe-bande convenablement accordé (en fréquence centrale et bande passante) permet de récupérer le signal voulu. On définit ainsi la notion de canal de transmission : c est l intervalle fréquentiel dans lequel un opérateur peut émettre un signal sur un support donné. Dans la bande de radiodiffusion F.M., par exemple, les canaux sont contigus dans l intervalle [88;108 MHz], chacun d entre eux étant repéré par sa fréquence centrale. B) Les différentes modulations d amplitude Parmi les nombreuses méthodes utilisées, les modulations d amplitude à porteuse conservée (M.A.P.C.) et à porteuse supprimée (M.A.P.S.) sont les plus courantes. Dans les deux cas, F(m) est affine et l on a : M.A.P.C. s(t) = S m (1+km(t)).cosω p t M.A.P.S. s(t) = ks m.m(t).cosω p t Le choix d une loi de dépendance F(m(t)) linéaire présente, outre l intérêt de la simplicité de réalisation, la propriété de superposition. Si m(t) = m 1 (t) + m 2 (t), alors le terme ks m m(t).cosω p t s écrit comme la somme de ks m m 1 (t).cosω p t et de ks m m 2 (t).cosω p t, d où l intérêt d étudier le cas particulier où m(t) est sinusoïdal, tout signal périodique se décomposant en somme de fonctions harmoniques. Dans le cas où m(t) = M.cos(ω m t), on a donc : M.A.P.C. M.A.P.S. s(t) = S m (1+m.cos(ω m t)).cos(ω p t) s(t) = ms m.cos(ω m t).cos(ω p t)

4 L obtention d un signal modulé à spectre étroit est possible à condition de choisir une valeur de fréquence porteuse très supérieure à la fréquence du signal modulant : f p >>f m. Le signal utilisé pour la transmission est donc un signal quasi-sinusoïdal correspondant à une porteuse de haute fréquence lentement modulé par le signal d information (modulante) comportant des basses fréquences. Le signal modulé occupe ainsi une bande de fréquences proches de celle de la porteuse avec une largeur spectrale faible devant celle-ci. Ceci permet en outre de multiplexer fréquentiellement les signaux et donc d en transmettre un grand nombre sur un même support en leur allouant un intervalle de fréquences distinct. a) Modulation d amplitude sans porteuse (MAPS) Manipulation : Appliquer sur une voie du multiplieur un signal sinusoïdal alternatif de fréquence f P 5kHz et sur l'autre voie un signal sinusoïdal alternatif de fréquence f m dix fois plus petite. Compte tenu des ordres de grandeur en fréquence (f m < f P ) on peut considérer que l amplitude du signal de sortie (produit des deux signaux sinusoïdaux) est modulée par le signal de basse fréquence appelé signal modulant. Utiliser l oscilloscope pour visualiser le signal modulant et le signal de sortie s(t). On effectuera la synchronisation sur le signal modulant. Reproduire s(t) sur feuille. Visualiser en XY (avec X = signal modulant) : l'observation d'une droite permet de vérifier la linéarité de F(m)(linéarité du modulateur). Analyser le spectre du signal de sortie et vérifier que l on peut y isoler des composantes de fréquence (f P - f m ) et (f P + f m ). Justifier le nom "sans porteuse". Prendre, pour signal modulant, un signal triangulaire alternatif de fréquence 30 plus petite que la porteuse. b) Modulation d amplitude avec porteuse (MAPC) Manipulation : Prendre comme signal modulant un signal sinusoïdal comportant une composante continue : m(t) = M(1+mcos (ω m t+ϕ)) et comme porteuse un signal sinusoïdal de fréquence 5kHz. m est appelé indice de modulation. Deux cas peuvent être distingués : si m<1, on a une modulation dite classique, et si m>1 on a surmodulation (le cas m a correspond à la modulation sans porteuse). Manipulation : utiliser l oscilloscope pour visualiser le signal modulant et le signal de sortie et observer l influence de m sur la forme du signal de sortie. On constate que pour m<1, l enveloppe du signal est l image de m(t) mais pas dans le cas m>1. Reproduire s(t) sur feuille dans les deux cas Visualiser en XY (avec X = signal modulant) et étudier l'influence de m. Dans le cas m<1, analyser le spectre du signal de sortie et justifier le nom "avec porteuse". C) La démodulation d amplitude 1 ) Démodulation d amplitude par détection d enveloppe NB : Cette méthode n est applicable que dans le cas MAPC d indice de modulation m<1.

5 Rappel : fonctionnement d un montage détecteur de crête : Manipulation : Réaliser le montage ci-contre avec R = 10 kω et C =10 nf. Pour une tension sinusoïdale de quelques volts, reproduire l allure des signaux e(t) et s(t) pour f = 1 khz, 10 khz et 100 khz. Sur les courbes, identifier les phases où la diode est passante. e(t) R C s(t) Comment observe-t-on l influence de la tension seuil de la diode? Démodulation par détection de crête : Manipulation : Envoyer en entrée du détecteur de crête le signal modulé de la partie précédente dans le cas de la sous-modulation m <1. On choisira ici f p 100 khz et f m 1 khz. signal modulé détecteur de crête R C filtre passe-bas R C signal démodulé Quelles conditions R et C doivent ils vérifier dans notre cas pour que y(t) suive au mieux l enveloppe de s(t) (dont on rappelle qu elle est l image de m(t))? Prendre R = 10 kω et C = 10 nf. Observer le signal modulant et celui à la sortie du détecteur de crête> Tester l influence de f m et f p sur la forme du signal en sortie du détecteur de crête. En déduire l utilité du filtre passe-bas et les valeurs R et C à choisir. NB : il faut R >> R!! 2 ) Démodulation d amplitude par détection synchrone Cette méthode permet de récupérer le signal modulant sans les conditions restrictives précédentes. Pour cela il faut disposer d un signal synchrone avec la porteuse p(t) = U P cosω p t. On a dans le cas (le plus simple) M.A.P.S. où s(t) = U m U P /2 [cos(ω P -ω m )t + cos(ω P +ω m )t] : w(t) = s(t) p(t) = U m U 2 P/4 [cos(2ω P -ω m )t + cos(2ω P +ω m )t + 2cos(ω m t]. Le spectre du produit du signal modulé en amplitude s(t) (sans porteuse) et d un signal synchrone avec la porteuse p(t) comprend donc une raie de pulsation ω m et les raies de pulsation 2ω P -ω m et 2ω P +ω m. Ce résultat peut être généralisé à un signal modulant dont le spectre est limité à des fréquences inférieures à ω P (par exemple à des signaux périodiques de fréquence très inférieure à f P ). Représenter le spectre de w(t) dans le cas de signaux périodiques quelconques Il suffit ensuite de filtrer ce signal avec un filtre passe-bas de fréquence de coupure très supérieure à f m et très inférieure à 2f p -f m.

6 Prendre comme signal modulant un signal sinusoïdal alternatif de fréquence f m = 1 khz et pour porteuse un signal sinusoïdal alternatif de fréquence f p = 100kHz. Créer le signal module en utilisant un premier multiplieur. Entrer sur un second multiplieur le signal issu du premier et le signal correspondant à la porteuse (signal de fréquence f P ). Isoler la composante f m en utilisant un filtre passe bas RC (10 nf, 47 kω). Utiliser l oscilloscope pour visualiser les différents signaux. Reprendre l étude précédente en utilisant un signal carré alternatif comme signal modulant. Modifier si nécessaire la valeur du produit RC. D) Réception «Grandes Ondes» Les signaux des radios «grandes ondes» sont modulés en amplitude. Le signal modulant (voix, musique) est «porté» par une porteuse de fréquence de l ordre de 100 khz. C est cette fréquence porteuse (différente selon les stations) qui permet de différencier les radios et permet et leur sélection : à la réception, celle-ci se fait par l intermédiaire d un filtre passe-bande de fréquence centrale réglable, mais de bande passante suffisamment large pour couvrir le spectre des fréquences audibles. Suivent alors les différentes opérations permettant la démodulation. 1 ) Utilisation des modules «phytex» Les antennes émettrices et réceptrices sont conçues pour fonctionner de façon optimale pour des fréquences voisines de 120 khz et permettent a priori de capter des radio telles que France Inter (164 khz) ou encore Europe1 (185 khz) : voir la partie «manipulation» de la notice «phytex». 2 ) Radio Brizeux La réception de ces Grandes Ondes commerciales étant très difficile dans la salle de TP, vous allez créer votre propre onde radio en modulation d amplitude. Vous allez moduler une porteuse de fréquence voisine de 120 khz (mais ne choisissez pas tous la même porteuse!) avec un signal sinusoïdal de fréquence audible. Attention, le démodulateur étant un démodulateur à détection de crête, il va falloir respecter la condition évoquée plus haut (MAPC d indice de modulation m<1). Emettre ce signal grâce au module «antenne émettrice». Placer l antenne réceptrice de façon convenable (voir l influence de la position relative des 2 antennes) et accordez votre réception sur votre émission (et pas celle de votre voisin) en jouant sur la valeur de la capacité du condensateur réglable (gros bouton) : lorsque la hauteur (fréquence) du son sortant du haut parleur correspondra à celle de votre signal modulant, c est que vous serez accordé! Vous pourrez alors remplacer le GBF assurant la fréquence modulante, par un microphone et vous exprimer Radio Brizeux est née. Demander au binôme d à côté de tenter de la capter!

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8 III) Valeur efficace vraie d un signal sinusoïdal non alternatif On appelle valeur efficace vraie (TRMS : True Root Mean Square) d un signal périodique v(t) la grandeur V eff telle que : V 2 = 1 T T 0 v2 (t)dt = v 2 (t) Donc, pour un signal sinusoïdal non alternatif de la forme : e(t) = c + acos(ωt+ϕ), E eff = c 2 + a 2 2. Appliquer sur les deux entrées du multiplieur, le même signal sinusoïdal non alternatif de fréquence f 200 Hz. Auparavant, mesurer, à l aide du multimètre, la composante continue, la valeur efficace de la composante alternative, et la valeur efficace vraie de ce signal sinusoidal. Mesurer la valeur continue du signal de sortie du multiplieur. Quelle valeur efficace du signal d entrée cette composante continue permet-elle d atteindre? IV) Mesure d une impédance A) Principe Soient u la tension aux bornes de l impédance Z = Ze jϕ = R + j X et i l intensité du courant qui la traverse. On prend i comme origine des phases : I = I ; U = Ue jϕ. Ici U et I sont des valeurs efficaces. On rappelle que, dans cette convention, pour un produit on a : - valeur moyenne de u(t) i(t) : <u i> = Re(U I * ) = R I 2 qui permet donc d'atteindre R ; - de même si u' désigne une tension déphasée de -π/2 par rapport à u : <u' i> = Im(U I * ) = X I 2 qui permet donc d'atteindre X. On désigne par Z une boîte noire qui contient une résistance et une capacité en série. On place en série avec Z une résistance de 1 kω. On appelle u 0 la tension aux bornes de et u la tension aux bornes de Z. On rappelle que les entrées du multiplieur sont différentielles. B) Partie réelle La composante continue du produit (u u 0 ) est égale à <u i> = RI 2 = RU 0 2. Le montage de principe est donc le suivant :

9 X 1 u 0 X 2 S e u Z Y 1 passe-bas Y 2 multiplieur Le rôle du filtre passe-bas étant de mesurer la valeur de la composante continue (et donc de la valeur moyenne!) du signal de sortie du multiplieur. On a donc : S = Appliquer u et u 0 sur les entrées du multiplieur ; régler la fréquence du GBF de manière à ce que S soit bien débarrassé des composantes variables du signal de sortie du multiplieur. Mesurer S, mesurer la valeur efficace de u 0. En déduire la valeur R de la partie réelle de l'impédance. C) Partie imaginaire Soit u une tension dont l amplitude est égale à celle de u, mais déphasée de π/2 par rapport à u ; la 2 composante continue du produit (u u 0 ) est égale à <u' i> = XI 2 XU = 0. Le montage de principe est donc le suivant : RU 0 2 X 1 u 0 X 2 S e u Z déphaseur π/2 Y 1 passe-bas Y 2 multiplieur On aurait donc ici S = XU 0 2 multiplieur soient bien filtrées par le passe-bas). (à condition toujours que les fréquences non nulles à la sortie du filtre

10 V) Effet Doppler A) Principe Soit un émetteur fixe à l origine de l axe Oz qui délivre une onde plane se propageant selon Oz. Soit s(t) le signal émis en z = 0. On a s(t) = S cos(ωt). Cible Emetteur V z Elle parvient à une cible de l axe d abscisse z avec un retard τ =, si c est la célérité de l onde dans le c z milieu considéré. On a donc en z : s(z,t) = S cos(ω(t-τ)) = S cos(ω(t - c )). Si de plus cette cible se déplace à la vitesse V le long de l axe Oz, z = Vt+z 0 et s(z,t) = S cos(ω(t - Vt + z 0 ωv )), que l on peut réécrire sous la forme : s(z,t) = S cos[(ωc c )t - ωz 0 c ]. Tout se passe comme si l onde reçue par la cible possédait la pulsation ω r = ω ωv c. Si la cible s éloigne de l émetteur, la fréquence lui paraîtra plus basse (son plus grave dans le cas des ondes sonores ; décalage vers le rouge dans le cas des ondes optiques). Si elle se rapproche de l émetteur, la fréquence sera reçue plus grande (son plus aigu ; décalage vers bleu). B) Application à la mesure de vitesse Du fait du trajet aller-retour, la pulsation de l onde reçue (notée s R (t)) au niveau de l émetteur après réflexion sur la cible est : ω r = ω 2ωV. C est la mesure de ce décalage en fréquence qui permet de remonter à la c valeur de V. Ex : pour V = 30m/s, c = 340 m/s et f=1 khz, Δf = 2fV c =180Hz. C) Utilisation de multiplieurs Montrer que le dispositif suivant permet de mesurer Δf : signal émis signal reçu multiplieur passe-bas analyseur de spectre