ETUDE STATISTIQUE DE LA PROBAB[LIT~ DE SINISTRE EN ASSURANCE AUTOMOBILE

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1 Astm I3ulletm 12 (198,) ETUDE STATISTIQUE DE LA PROBAB[LIT~ DE SINISTRE EN ASSURANCE AUTOMOBILE MARC HALLIN et JEAN-I;RANQOIS INGENBLEEK lnstltut de Statlst~que, Umvcrslt6 Librc de ]3ruxelles Dans trois dtudes rdcentes (1977a, 1977b, 1979), J. Lemalre a appliqud k un ensemble d'observations du risque automobile quelques mdthodes de sflection fr6quemment utilis6es en analyse de la r6gre~sion. Les variables explzcalaves (trait6es comme variables ind@eladalzles) sont les variables dfcrivant le risque. Les variables 6tudi6es (traltfes comme variables ddpenda~ates d'un mod61e de rdgression) sont les deux variables gfndralement prises en eon~iddration dans ce contexte" le hombre des Slmstres et leur mmatant cumul6 Nous avons d615. souhgnd (HAI.UN, 1977) combten les hypoth6ses qui se trouvent h Ia base de l'analyse de la r6gression -- normaht6, lmmoscddasticit6 et linfarit6 de la rfgression -- sont lore d'etre remphes dans le contexte de l'assurance automobile. Le montant cumul4 annuel prend la valeur zdro avec une probabilit4 proche de o.91 Le nombrc annuel dc smistres vaut o, l, 2, rarement plus I M~me tr6s approxm~ativement, de telles variables peuvent difficilement 4tre considfrfes comme normales. En outre, la plupart des variables exphcatlves sont de type nominal ou ordinal, ce qm rend ddlicate l'utilisation de mod61es linfaire% les interactions de tous ordres 6tant tr6s mlportantes, ams~ qu'on pourra le eonstater Ces rdserves sont d'ailleurs pr6vues par Jean Lemaire hn-m4me, qm ne propose ses conclusions qu'~ titre de premi6re approximation Les mimes donn6es ont encore 6td soumises (MASURE, Z978 ) aux m~thodes de l'analyse d~criminante, et les m~me~ rdserves peuvent 4tre fa~tes en ce qui concerne l'utihsation des mdthodes et l'mterprdtation des rdsultats (combmaisons lindaires, etc ). Nous avona propos6 dans HALLIN (1977a, b) un enterable de mfthodes qui, selon les hypoth6ses distnbutionnelles pouvant 6tre faites (et qui vont des hypoth6ses classiques de l'analyse de la variance k celles, beaucoup moins restriet~ves, des lnfthodes de rang~), constituent des gfn4ralisations de celles qui sont utilisfes par Jean Lemaire. En particulier, celle que nous appliquons lciest enti~rement "d~stributio~ free". Ces mfthodes sont 6galement une extension de celle qu'a proposde PITKANEN (t975, 1976 ). 1 LFES DON N I::ES Nous analysons done ic~ une fois encore les donn6es de Jean Leman'e, qm nous les a aimablement communiqu6es Un questmnnaire a dtd rempli par 3879 souscnpteurs s~lectionn~s au hasard

2 - hombre - dge - hombre - k~lomdlrage - dmtance - dge - le - le - usage - le - le PROBABILITIE DE SINISTRE 41 dans l'ensemble des souscripteurs d'une grande compagnie belge. Chacun de ces questionnaires porte les renseignements smvants: de sz~zsrres en droll ~ du souscripteur - mveau de pmme (darts l'dchelle de bonus) - cyhndrde du vdh,cule 3 du vdhicule 2 - przme effect~vement pay& 2 de vdhicules possddds par le souscr2pteur - hombre d'enfants d, souscr@teur annuel total mo),e~ - hilomdtrage moyen parcouru pendant les vaca~ces - h~lomdtrage moyen pareom'u pour le lrava~l " habztal~.on-travazl 0- - professwn2 - ual~oual~td -itat ciwl Un certain hombre de rense~gnements sont fournis par des varmbles dichotomaques. to~wzsme-affmres / not1 - usage m~xtc / non so~tscr~pteur est sddentazre / non - le souscr~pl, eur est de sexe mascuhn [ non - le sousmpteur est de scxe fdmznin / non - le souscr@teur est une persomze morale / non soltscr~pteur est de r@me hngmstzque fi'a~fazs/le solfscr~pteur est de rdgzme lznguistlque flamand - le so~scr@lem" babble uric wlle dc plus de 5 ooo hab~lants / non souscrtpteur babble une vzlle de plus de 40 ooo habitants / 1ton souscr~p~eur seul est cond2~cteur/lcs mcmbres de sa famdle condu,sent dgalemen~ le vdh, cule assurd Parmi les variables explzcal~ves qui ne sont pas d~jk dmhotomnues, il convient de dlstmga.mr celles qm sont de type sunplement nominal (6tat cwll, nationahtd, profession... ) de celles qm ont un sens (au morns) ordznal (age du conducteur, niveau de prmle, cylmdrde... ). En rue de l'applicatmn de Au tours des 18 premters mo~s de la pdrmde (trente tools) d'obscrvatmn 2 Au ddbut de la p&mde d'observatmn 3 Vdlncule assu16 au ddbut de la l)6node d'~)bservatmn

3 42 HALLIN ET INGENBLEEK notre procddure de a61ection, il eonwent de tradmre chacune de ces variables par un ensemble de variables dichotomiques Lc domame de variation des variables ordlnale,~ a etd ddcoupd en un certain noinbre de classes. Amsl, pour la variable dge du souscr@geur, sept classes ont 6t6 envisagde~ (les valeul s sont expnmdes ell nombrcs entmrs d'anndes) 18-2o / / / 31-4 o / 41-5o / / 66 et plus ces sept classes correspondent a~x varmbles dichotmmques Xt,.., X~ d6fimes par x o si l'sge appartient it l'une des clasaes ~, z I al l'gtge appartmnt h l'une des classe~ ~ + 1, z + 2,., 7 Un assur~ d'sge 2 9 ans sera donc repr6sent6 par les valeurs.,,%1 -~ ~2 = l.'u3 -~- X4 = X5 = X6 = O. Pour les varmbles purement nominales, le codage en varmbles dmhotomiqtms est plus ddhcat La variable dtat civil wend, par exemple, les modahtds cdlibala~re-marzd-veuf-s@ard-dzvorcd. I1 ex~ste quatorze partitions de cet ensemble de modahtds en deux soma-ensembles propres; pour &tre complet, ll faudrait par cons~.quent mtroduire quatorzc variables dmhotomlques. Pour des rm~ons de volume nous en avons s~lectionn~ six: Xa -~ 25 -~ I o marid ou cdhbatalre t t 1 SlllOll o mand, c6hbatmre ou veuf l~ sinon t o a(~par~ t I slnorl o mari6 2 ~, t i sinon X4 = t o mari6 ou veuf t l sinon X, = t o divorce t I sinon Par dichotonusation de toutes les variables explicatlves, nous obtenons un ensemble de 89 variables dmhotomlques, /1. chacune d'elles correspond line division cn deux parties de l'6chantillon. Darts la suite, nous les noterons Xi, X2,., X~,.., Xs~, rdservant les mmuscules xl,., xs9 aux valeurs prises par ces vanables.

4 l PROBABILITI~ DE SiN~b'rRE LA METItOI)E Pour chacun des souscnpteurs mterrog6s, on dispose dgalement, 1)ien entendu, du hombre et du montant cumul6 des simstres, et ce pour trente mois cons6- cutifs. Ces deux val-iables admettent cependant des distributions qui se pr~tent real it une analyae statistique. Aussl nous semble-t-il pr6f6rable d'6tu(her - le montant cumul6 des mmstres pour les assmds ayant un mmstre au moins - la probabiht6 de simstre (probabiht6 de causer un smlstre au moins) C'eat il cette probabihtd que nous nous intdressona 1c~ Le nombre d'obser- \'atmn~ dont nous chn~oson~ e~t en effct trop fmble pour qu'une dtude du montant cumul~ des sm)stres puisse fitre entrepnse de fat:on satl~fais,mte. Une modification cle la statist4que 4' utilisde cl-desaous permettra~t cependant cette 6tude, COlnmC il est lnchqu6 dans HALLIN (1977 b). Supposons que ]e varmbles dmhotomiques, notdes Xo), X(2)... X(a.) SOlCllt prises en cons~dfratmn. Ces varmblcs d6termment un ddcoupage de l'dchalmlloll en m((l), (2),., (k)) celhfles non rides (~Iz ~< 2 e) d'effectifs reapectifs n(xo),., x(t)) (x m ~ {o, 1}), Somnt d'autre part p0 (x(o..., x(~)) et no(xo)... x(t)) les probabiht4s et les hombres de cas de non-aimstre dans ces cellules L'introductlon d'une varmble suppldmentaire Xa--~) divise chacune des cellules existantes cn dcux sous-eelhlles, attxquelles correspondent les effectffs n(x(o... xu ), x(a.+~)), JLo(X(t)... X(a-), X(t+O), et les probabilitfis pn(xo),., x(~.), x(~ ~0) Nou~ dirons qu'une cellule caractdns6e par les valeurs (xo),, x(~)) des k variables de depart est proprcu~en~ d~v~sdc par X(~+ 0 sl n(xo),... x(~>, o) et n(xo),., x(~.), ~) sont tous deux pos~tifs; soit /,((k+ ~) ] (~), (2),., (k)) le notable de cellules proplement divia6es par X(~_t~) On peut cons~ddrer que chacun des effect~fs no(xo)... x(~.+~)) admet une d~tnbution bmomiale de param6tre po(xo)... x(~+o) et d'exposant n(x(o,, x(~-+l)) (conditlonnellement 5. n), sou~ l'hypoth6se h'o po(x(,),..., x(~.), o) = po(xo)... x~), ~) (1) pour route ccllule (X(l),., x(e)) prol)lement d~visfe par 5.'(~-4 o, la statistique ~((le+ I)I (t), (2)... (I0) = ~ r:"0(x( )... ~ (It), (.)) HLX ~(xo), x(k), o)!.oil,,,......!, lz(x(t),, x(~-), l)/ :(=Yo), :..~ x(~ 2) ] -ocx.>,., ~<~))-,(xc,)... x..~)j '

5 44 HALLIN ET INGENBLEEK oh... ) =.... ) - no( o... )! (la solnme Z s'effecl:uant sur les cellules proprement div~sdes par Xi~+,)) est I asymptotiquement d~strfl)u6e comme une variable X 2 &l( (k + 1)! (~), (2)... (k)) degr6s de libertd. De fait, nous avons pr6f61"6 utihscr la transformation angula~re : q~((k+ 1)I (1), (2)... (~)) = ' [( :. :, x,,-._2, o_) E 2 arc sill..;~-~-~... x(~-), O) t V n txo)' " " i' x(e 2' 1_)/~ - 2 arc sin.~-~-~... x(k), ~) ] / (n(xo),..1., x,,.), o) + n(x(t,,. '-,x(~,,,))]' Ces statlstiques permettent de tester l'hypoth6se (1) contre l'hypoth~se Hi qu'il existe au moins une cellule proprement dlvis6e dormant naissance ~ un couple de probabiht~s po dlff~rentes La procddure de sdlection (ou de seglnentatlon) se ddroule alors de la fa~on suivante Les varlables X sont s61ectionnfies une ~. une, par r6currence, selon le principe des m6thodes du type "pas ~ pas" (stepwise) (cf. DRAPI~Ii and SMITH (1966)) Chaque 6tape de la m6thode comporte deux parties dlstmctes: introduction de la variable dont la contrlbutmn semble la plus signiflcative (conduisant le plus nettement au rejet de (1)), pros 61imination 6ventuelle d'une variable devenue non signlflcative Etape k. (hi. phase d'~utroductzon) : Notons Xo),..., X(~_i) les varlablea obtenues 5. la fin de l'6tape prgcddente Remarquons que cet ensemble peut comporter un hombre de varmbles strmtement infdrieur 5. k- Iet que, en ddl)it de la notahon, X m, prem16re variable sdlectionn6e, peut n'en plu~ falre partle Pour chacune des variables X, restantes, considdrons les valeurs ~ prises par (~ ] (I)..., (h - I)); k chacuue des ces quantlt6s correspond un niveau de signification q~, valeur en, de la fonction de rdpartltion d'une variable Z 2 ~t l(il (I),., (k- 1)) degrd~ de hbertd Soit q<kl le plus dlev6 de ces niveaux de signification: X(k) est, prowsoirement, la k TM variable sdlectlonn6e. (k2. phase d'dl~mznat~on) : Considdrons k pr6sent, pour chacune des varmbles X(z) s61ectmnnfes (X(k) comprise), la valeur <o prise pat ((l) l(1),., (l- I). (l+ i)... (k)) A chacune de ces valeurs correspond k nouveau un niveau de signtflcatmn q(w Solt qm le plus has de ces mveaux:

6 PROBABILITE DE SINISTRE 45 (k2a): si qm > l-~, on passe ~ l'6tape k+ 1 avec {Xo)... X(k)} pour nouvel ensemble de variables s~lectlonn~es (c~ ~tant un mveau de probabiht~ flxd 5. l'avance) (k2b). Sl q,,, <~ 1 -c~, l'hypoth6se Ho" po(x(~),..., x(m-~), o, x(m+~),..., x(~-)) = po(xo)....., X(k)) -M X(t),.., X(m-1), X(m+O,, X(k) x(m-~), 1, x(m+~), ne peut ~tre reletde au mveau o:; sl m. k, on pa~se ~ l'dtape k+ i avec {X(i)..., X(,,_~), X(,~+i)... X(k)} pour nouvel enaenlble de variables; si m = (k), la proc6dure s'arrfite, l'ensemble final ~tant {Xo),, X(k_~)}. Le cas de la varmble pcrsom~e physique/pcrsomzc morale dolt ~tre consid6r~ sdpardment, une "pelsonne morale" n'ayant m sexe, m hombre d'enfants, ni dtat civil, etc Aussi cette diatlnction dolt-elle fitle introdmte automatlquement d~s que l'une des variables "personnahsdes" (sexe, dial ctvil, hombre d'cufanls, kdom~lres vacauces,.) est s~lectmnnde, et inddpendamment de son nlveau de sigmficatmn 1.ill outre, lots du calcul, en cours d'6tape, de la valeur prise par la statlstnue,5 relative ~ l'une de ces variables "personnahs6es", les "personnes morales" doivent ~tre ao~gneusement omises. Cette m~thode a 6t~ pi'ogramm6e par J -F. Ingenbleek pour une CDC Les proc6dures prfivues pour les cas de valeurs manquantes et les cellules trop peu peupl6es ont 6t6 am~hoi6es par rapport ~. une version pr6c6dente du programme (HztLL~ et I~GENBLEEK, ~979)- Pour obtemr ]es r~sultats qui smvent, nous n'avons consid6r6es comme propremeut diwsdes par une variable X~ que les cellules donnant naissance, du fait de la valeur o ou ~ prise par Xe, ~ deux cellules d'effectlf sup6rieur ou dgal 6. ~5 (['effectif de la cellule d'origine 6tant donc sup6rmur ~. 3o) ; les cellules t~op peu peupl6es n'entrent alnsi pas en ligne de compte dans le calcul des statlstlques q~( I..). Nous avons apphqu6 aux valeurs manquantes le tra~tement smvant. Supposons que la valeur d'une varmble X, solt mconnue pour un assur6, celui-ci ayant real rempli le questionnalre qul lui a 6t6 soum~s. Si X, ne flgur.e pas dans l'ensemble des variables s61ectionn~es en dfbut d'~tape, cet assur6 constitue, pour le calcul, lors de la phase d'mtroduction, de tousles qb(3 I. ), j i, une observatmn parfaltement vahde. En revanche, lorsque le programme en vlent 5. envisager l'introduction ~ventuelle, dans le tarff, de X~ et calcule donc $(~ I...), cet assure! est orals, et ~1 dolt ~tre tenu compte de cette omission dans l'obtentmn du mveau de probabiht~ correspondant Au cas off X, figurerait dans l'ensemble des variables dfijlt s~lectmnndes en d6but d'~tape, le m6me assul'6, ne pouvant fitre class6 en fonctmn des varmbles en tarif, dolt ~tre oxms darts tousles caleuls, et ce jusqu'5. l'~llmmatmn dventuelle de X~ Ces modificatmns et le nombre, h61as riley6 4, des valeurs manquantes pour Pour l'6ge du so~ scr~plem" et l'dge du vdh~cule assurd, ce hombre attemt p~s du tmrs de la tmlle de l'6chant~llonl

7 46 IlALLIN ET INGENBLEEK certmnea varmbles exphcativea exphquent les dfffdrences de rdsultats entre les deux versmns 3. COMMENTAIRES 3.1. L'apl)hcation de techniques du type "analyse de la variance" 5 des tables de contnnence (variables d@endantes de type binomial ou multinomial) soul6vc toujours un grand nombre de probl&nes, surtout lorsque les fr6quences varlent, comme c'est lccas ml de cellule h cellule. 3[drne le cas le plu~ snnplc et le plus classique de la comparaison de deux proportmns nc peut ~trc traltd (cf GART, 197~ ) de fa on umform&ncnt satisfaisante Dc nombrcuses varmntes aux mdthodes cla~siques, reposant sur des choix de l)ond&atmns et de transformations de variables, ont 6t6 propos6es (CocH- In^N, t943 et 1954, GM~T, ) En l'absenee de mod#le liant les proportmns observ6ea aux variables exphcatlves. 11 est cependant mlposslble d'op&er un cholx parml ces m6thodes, ni m&ne de faire appel 5. la notmn de puissance locale Or, dans le cas qm nous occupe, les variables sont beaucoup trop nombreuse% les multmohn6antds et let mteractmns beaucoup trop cons~ddrablea, pour qu'un mod61e ~. la lois ~imple et r6aliste pmsse etre construit Le choix de la statiatique 4' sur laquelle repose la sdlection est done en grande partie arbltran e, la notmn m&ne de "medleure statistlque" n'ayant pas de sens Nous avons ndglig6, en outre, les ph4nom6nes de varmtzous dtra,~g~res (extraneous vamat~ons--cf COCm~AN, 1943), nolls bornant /.t eonmd&er les observatmns conlme engendr&s par des processus binommux puts Le mveau de probabflltd des tests effectuds peut pr6senter pat consfquent eertames dtstorsmns, II est plus prudent de se fixer une valeur de o: assez faible (o~ = 1%, par exemple) Inddpelldamment du chmx de la statistlque $ utihs6e, notre lndthode qouffrc d'un certain nombre de d6fauta mhdrents /t toutes lea proc6dures de type slepwzsc commun4ment utdls6es Les tests 11o11 mddpendants, effectuds en chaine, condmsent ~. un niveau global chffmfle ~ apprdcier, pour certa~nes dtapes, le hombre 6Iev6 de cellules ddpeupl&s provoque, par perte de degr6s de hbertd, un amenuisement de la quant~t4 d'inforlnatmn contenue dans la stat~stlque Z e. Pare. en prdsence d'un large dventafl de variables exphcat~ves, et en ray, on des multmohndarit6s et des interactions m6vitables, ces proe6dures ddbouche.t, Ic plus souvent, sur un cyclage (c'est notamment le cas ~ct pour,.= Ces rdserves d'ordre thdor~que ont cependant peu de rdlmrcussmns sur les apphcations, et ne dmvent pas masquer Ix richesse des rensmgnements fourniq it chaquc drape ~ ])e route lag'on, commc nou~ l'avons dd}h sott]~g~6 (HALLIN, O1~ hlzt axec mt6~6t, it ce sujet, les commcnt,ures tlu~ accompagnent l'6tude de llt bysshloac rt, sp~rato~e chez los t~avmllcurs de l'mdustrm cotoluu6re {I-IIGGINS ct 1,OCI1, ~977)

8 PROBABIL1TI~ DE SINISTRE }, lc probl~lne posd (celui de la recherche du "mefileur" sous-ensemble de variables explicatives) cst un probl~me real pos6, aucun cnt~re permettant de classer entre eux les divers sous-ensembles possibles ne s'nnpose de fa~on absolue Et, quand bien m6me un tel crit&re existerait, la variation, selon l'dchantillon cons~ddrd, du soul-ensemble sdlcctimmd, cst un phdnom~ne essenticllement non quantifmble. Toutc pxocddure tle sflectmn, que ce smt dans le cadre d'une analyse de la rdgrcssmn ou d, ans le cadre plus gdn6ral que nous cons~dfrons ic~, dolt ~tre apphqu6e dc fa~on assez heur~stnue, comme une mfthode "applicable", fournissant des ensembles "mtfressants" de variables exphcatwes Et Its rdsultats intermddmires ausm bien que les r6- sultats finals dozvent ~trc examln6s clans une optiquc d'analyse de donndes /lu mveau de probabzhtd de 0,5% 4 LES RI~SULTATS Au mveau dc probabfllt6 o~ = o,5%, la proc6dure s'arr~te apr~s dlx 6tapes. TABLLAU 1 l~.tape Varmble entrante Varmble sortante ntveau de pmme morns de 8o%/8o% ct plus mvcau de pl'113~e 1. naom~ de 7o%/70% et plus zone de garage morns de 4 ooo hal)/plus persojt~te morale#to~ cyhndrde morns dc 900 cc/plus,ttveau de przme IrlOlllS de 65 %/65 % ct plus kzlomdtl age annuel morns de lo ooo kin/an/plus professron Colnmcr~;dnt, ouv~mr, employ6, cadre/au tlcs mveau de pmme morns de 7o%/7o% et plus zone de garage mom~ de 4 ooo hab/plus ntveau de p~tme morns de 7o%/7o% el plus gone de garage morns de 4o ooo hab ]pltts i I zone de garage : morns de 40 ooo hab/pins STOP Exprim6 cn pourcentage de la prime totalc.

9 48 HALLIN ET INGENBLEEK Le Tableau 2 cl-dessous donne les 7 variables exphcatives fmalement sdlectionnfes, pour chacune de ces variables, on indnue -- la valeur de la statistique q~ permettant de tester la "sortie" ~ventuelle de cette variable -- le nombre de degrds de hbert6 de la dmtribution de cette statistique -- le niveau de signification (probabilitd laiss6e "~. gauche" sou~ l'hypoth~se nulle) Afro de ne pas accorder une influence excessive aux cellules de faible frdquence, un effectif minimum de qumze observations a 6t6 exig6 pour qu'une cellule solt priae en eonsid~ratmn dans le calcul de q5 Si donc une variable d{coupe en deux sous-celhtles d'effectlf supfrieur ou dgal g qumze l'une des cellules constrmtea sur les autres varmbles, cette divtqton apporte un degrd de hbertd b. la statlstique ~ Amsi, les pcv~onnes morales n'6tant pas tt'6s nombreuses dans l'dchantillon, la statistique correspondant it cette variable ne jomt-elle que d'un seul degr6 de hber%. TABLEAU2 Varmble Stattst~que,~ 1)egr6s de NIvcau de hbert6 signification mveaudep~tme" 65% 31,98o2 5 1,ooo 7 % 19,48oz 5 o,9984 8o% 44, t,oooo cyhndvde" 900 cc 36, 126 z 13 o,999.1 khomdt~ age mmuel lo ooo kin/an 37, ,9993 pro/e~swn commcr~ant, ouvner, employ6, cadre/ 37,ooo alltres per sonne mos ale/non o, 1589 l 0,3098 Ces sept variables ddcoupent th6onquement dans l'ensemble dea assur6s 48 cellulcs distinctes. Certames de ces cellules (mveau de prime compris entre 65% et 70% et cylindrfe mffrieure "a 90o cc) 6tant peu peuplfes, nous en avons retenu 41 Le graphe c~-dessous donne, pour chacune de ces 41 celluies (reprdsentdes par les sommets terminaux de l'arboresccnce), le nolnbre n d'observations, le nombre nt de cas prfqentant un sinistre au morns, et, lorsque n est suffisamnlent 61ev6, l'estimatmn # = n,/n de la probabiht6 de ~mlstre (d'un sm~stre au morns sur trente mo, s consdcul2fs). Le sch6ma smvant indnue comment dolt ~tre mterpl-ftfe l'arborescence (pour la construire 11 a bien fallu attnbuer un ordre plus oa moins arb~traire aux variables s~lectmnn6es).

10 PROBABILITI~ DE SINISTRE 49 Les hombres qui accompagnent chacun des sommets intermddiares sont i, tn(nn~ dc 65% # m()ms de 9()0(.c COlnlrlCr(~al l, ouvrlcr, cmployd ou cadre 165%, 70%) Ill()lrl~ (h' kin/an atltre prolc, s~lofl q(}oe( et plus p['r~on rk' nlor;ij kmlan,,l i)lu '-. 2, z : ~; = ~" = ~s Co~me~ga~rgs Toutes les variables s61ectlonn6es sont tr~s significam,es. Le 1~,veau de pm3~e, en particulier, pr6sente de tr~s bonnes performances, puisqu'il d6- termine 4 classes d'assurds. I1 semblerait cependant que le "bas" de l'6chelle (de 6o% k 80%) gaggnerait k ~tre raffin6, tandis que, dans le "haut" de l'6- chelle, une distraction entre les conducteurs de nx\,eau 80% et les conducteurs de niveau 12o%, par exemple, ne paralt pas tr~s jumfl6e. I1 enest de m~me pour les autrcs variables retcnues cflindrde et hilomgrage a~muel Des distinctions tr~s fines ne semblent pas s'lmposer, et une s@aration entre les petites cylindr6es et les moyennes et grosses (900 cc et plus), entre les faibles kilom~.trages et les moyens et gros kflom6trages (lo ooo km et plus) apparalt comme ]arggement suffisante.

11 5 HALLIN ET INGENBLIZEK Q Q Q 1221, ,16 126(I 11)94, ,3 I J,13 I ,42 [ ,120 [ ,1 37,2 1,0 49,9 23,4 1,0 118,11 135,31 2,0 497,64 323,54 19, q ,81 I , J, , , ,2 [ O ';.J ,2 14(I,26 I , ,2~ 963,197 I t, 7 23,2 24,0 1,0 139,32 72,6 2,0 33,2 67,11 39,12 1,1 98,14 71,9 2, , [ ~ 340, ,55 9,4 1210, i 19, ,7 16, ,29 1,1 181J 124,22 83, [ 41,8 1050, l 156,42 I 26q2 8q4, ,32 50,10 1,0 611, ,78 7, m

12 PROBAIIlI.ITI~ DE SINISTRE 51 L'ordre d'entrfe et la sortm 6ventuelle des variables indique ~galement les ddpendanccs ct les interactmns: l'introductmn ( Aape 5) de la cylindrde provoquc lt' remplacement du mvcau de prime 7o% par le nweau 65% (6tape 6); et ce dernicr "chasae" la zone de garage au profit du kd, omdtrage am~ucl (6tape 7): s~ len kflom6tres par omus en ville sont plus fertfles cn accrochages, le mveau de pnmc en trent sufflsamnaent compte pour que la d~stmction entre kflom~tres urbains et non urbains soit superflue. 0n remarque 6galement que l'effet ndfaqte de la cyhndlde et des kilom~tres s'exerce de fa~on beaucoup plus lmportante chez los "mauvms" conducteurs (80% et plus) que chez les "bons". Les mefllems r~squcs sont observfs, comme on pout s'y attendre, dans le haut du graphe: "bons" conducteurs, roulant peu dans une voiture de petite cyhndr6e' /~ = 0,o550 Los plus mauvms rlsques, au bas du graphe, avec = o,3266 (ndlz = 292/$94, ce qm donne un lntcrvallc de conflance assez bon, nu lllvcakl dc 5/0 o/ [0,2959 0,3573])- On pourra~t ains~ lnultq)her Its commenta~res, fl sufflt d'exalniner le graphe. I1 convmnt cependant de ~ester prudent" l'eqtimateur ~ n'a pas une varmnce n6ghgeable, m6me pour un hombre l elatwement 61ev6 d'observatmns. 4.2 Au mvcat, dc probabdztd de 1% Au mveau de probabflltd de 1%, la varmble zone de garage ne ressort plus 5. la 1o e ~.tape, et la proc6dure se poursuit de la faq'on suivante (Tableau 3). TABLEAU 3 12tapc \:a~ ruble entrante Vartable sortante i o I I zone de garage molns de 4 ooo hab/plus hombre d'cnfants. o, l, 2/3 et plus 12 ~lo]1gbl'c d 'eltfanls : mveau de pmme : O/l au morns morns de 7o%/7o% et plus 13 kdomdlrage vacances nomb~ c d 'e~zfants : O/I kid D.tl S O, 7, 2/3 at plus 14 zone de ga) age k~lomdtrage annuel: morns de 5 ooo hab/plu~ morns de ~o ooo kin/an/plus J 5 nmeau de p~ zme' kdomdtrage vacances : o/ Ol mo,ns de 7 /0/7 /o et plus oil km au morns 16 ~ombl e d 'cnfants zotze de garage o, l, a/3 ct plus morns de 5 ooo hab/plus 17 hdom~trage amtuel ~t~vea~t de pmme m,nns (h' to ooo km/an/phts morns tic 70%/70 % et ])Ins

13 52 IIALLIN ET INGENBLEEK A la sortie de l'6tape 17, la situation est la m~mc qu'au d6but de l'6tape t 3, ce qui entraine la proc6dure darts un cycle de pfriode les s61ections de variables correspondant k ces cmq 6tapes prfisentent des quaht~s assez semblables. A titre dmlustration, nous avons choisi de pr6senter, pour l'une des drapes du cycle, une arbo~escence 6quivalente k celle que nous avons donn6e pour l'@ape ~o. Le schema ci-dessous mdnue la Ira;on de lire cette arborescence. t,n.m~ (h f15% I1101ns (It qoocc molns de hab ( Olllll Ci ~, I [, our! ICl, cmpioyd, cadre 900cc el plus mom~ dc p,l~ d' lo 000 kin/an cnfant~ plus de hab km/anl cnlanls el plus ]kin,'acanc~t:, [70%-80%) morales I 80% @ Q

14 PROBABILITI ,17~[ 1458 A IOq 1, I ( , ) '~ () 723:16 ~28 127,11') 1't6,23 [ 57, ~ [ I 7'111 t5, 54, I:`1 55,9 2,0 '10,5 261,38 I 0()() 33, 1456 [ ]Sq(, I IlL 18 6q, 12 4'17:18 ~ ()( ,1 45,7 1'2q8 230,26 I `1~(1 I ~0,24 15,1'1 11)1J,'$4 12b0 122~1 (11157 '24(17 IB ()q09 I51'1 173!) (12 }~1 155b I ' , '2~1 [ 2()I,,1() [ 1 ~h q 11; 18 [ 15~ (10} 1(17 20'1() I 81 $, I 1-6, I(I I lilt , I't' t 33,7 '.'15,0 60,11 117,18 4(.I, I 1 140,26 8@12 60,7 251,52 [ 71,16 13'`1,22 47, ,118,. 111~7 66, I,t 32,4 2 I'l() '--'----~ 215,48 (.17,22 6,4 150, ~3 ~'~ 15, (} (;7 225~ (17 ( ,3( '`1( , ,251 2(.150 l(}q, , '`13,(H 3901 { 11}fi,75 40 ~2 r ~ 330,fi7 ( i 25 ) `1 2q3q [~---[ tl 08 [ 375,11'1 r ~l I (), 5(I t 1 160,2 ) 61,16 41(,8 77,23 31,5 156,4q 66,20 113,"12 182,59 8(.1,28 3,1 47,18 b7,24 37,14 79, `16 3, h23 16(; `10 :` ")7

15 - - niveau - - zone ge - - distance - - dtat 54 HALLIN ET INGENBLEEK 4 3. Autras rdsulfals Comparaison avec les conclusions de JEAN LEMAIRE (t979). Ici encore, il est intdressant d'obserw,.r ]a faqon dont len variables s'mtroduisent ct se "chassent" mutuellement Nou~ n'avons pas effectual l'analyse factorielle ou en composantes princq~ales 41~prolmde de ces donndes On peut cependant, h l'examen des drapes 12 h 17, se rlsquer it discerncr, derri6re les dix, er,,t:s variables qm intcrvmnnent, trois types d'effets ou de facteurs, l'un -- chsons f~- mesure l'intensltd d'expoaition au risque du vnficule assurd (et n'est pas forcdment proportmnnel au kilomdtrage annuel moyen) ; un second dlsons f2- est lid ~t l'envlronnement (plus ou moins urbam) dans lequel est utilisd le vdlucule, le trolsi6me enfln caractdrise l'attltude au volant du conducteur du vdhmule Chacune des vmiablea apparalsaant au cours des drapes 12 ~. 17 peut ~tre considdrde comme un ~ndex plus ou morns rcpldaentatif de ces trois effets: le notable d'enfants est essentiellement lid ~ f~ (condmte de "p6re de famille"), rams auss~/t f~, 14 zone de gm age ~. f2 ct jq, etc. Ceci explique que le uombre d'enfanls "chaise" la zone dc garage au profit dlt l,'ilomdlragc annucl, et que, it la sortie du ~mmbrc d'e~,fauls, la zol,c de garage revienne se substltuer au kilomdlragc amzud Outre la sdlechon des varmbles, notre ptogr,mmm fournit un grand hombre de renseignemcnt~ conccrnant les \'armbles non sdlectlonndcs. Pour chaque ensemble de variables X(~), X(,.),., X(k) cona~ddrd en ddbut d'dtape, et pour chaque variable X, # X(l)..., X(k) on dt~po~e des effect~f~ n(xo~... x(~. I x,)etn~(x(tl... a(~)xd, desestmaatmnsfi(...) = u~(.. )/n( ),delaatatlstique q~ (, [ (I) (k)), de son hombre de dcgrds de hbertd et de son mveau de sigmflcation (probabflitd ~. gauche sous H0) Ain~L lors de 14 premi6re drape (cnaemble sdlectionnd en ddbut d'dtape d)), les varmbles amvantes sont s~gmfmat~vea it I /o. -- nombre de slnistres en dro~t (o/~ ou phts) de prime (quatre valeur~ 65%, 7o%, 80% et 9o%, c'est 8o% qm sera sdlectionnd) de garage du souscriptcur (quatre valems 26, 3~, 41 et 5 ~ ansi) kilomdtrage annuel (5 ooo, 1o ooo et 15 ooo kin/an) habitation-travail (~o kin) c~vil (mar~ds/autres, mar~ds et veufa/autres) On remarquera l'absence, 5. cc mveau, et tr6a sigmflcativemcnt, des variables usage tour, sine et affa~re~ (mvcau de s~gmflcatmn o,23), souscr~pteur sddentmre (dans le tanf actuel, donne droit :'t une rdductmn de prmae de ~5%, niveau de s~gmhcatmn 0,54 I), ~exe (niveau 0,77), nagzoualitd, profession, dge d~ vdhzcule. La cyhudrde n'est prdsente qu'avec une ~eule valeur, 90o cc, qm sera sdlectionnde ~. l'dtape 3, pour ~loo cc, le niveau ch, ~ignificatmn tombe it o,2~.

16 PROBABILITI'~ DE S[NISTRE 55 Ceci ~cmble bien mdiquer que la "taille" de la voitme agit ~t la fagon d'une variable dichotomique (petites voitures/autres), non 5. la fagon d'un rdgresseur hndalre (la nature de cette rdgression, d'une variable de type binomml en une variable continue, n'dtant guhre prdcisde, d'ailleurs, chez Jean Lemaire). En outre, l'mtroductmn du mveau de prlme met en dvidence une interaction: cyhnchde < 900 cc cylmdrde >/ 900 cc nlveau de 1)II111c < 80% p = o, 1617 p = o,172o nlvcau de prime ~ 80% /~ = o, 1786 p = o,3177 La c3,lz,~drde n'a donc pas d'effet notal)le pour Its "boris" conducteurs La tlolslame drape fournit les mimes renselgnements, mais en tenant compte de trms classes de mveau de prime (morns de 7o%; [7o%-8o%) ; 80,/o et plus) Un grand hombre des varmblea qui 6tmcnt slgnifmatlves lors de la prem~6re dtai)e ne le sont plus. hombre d'acc~,denl, s e~ drozt, autres mveaux de prime (i:ous au-dessous d'un nlveau de significatmn de o,68. ce qui mdique bran que l'dchelle de bonus utilisde e~t probablelnent d'une coml)lexltd inutile), dzsga~ce habllatzon4rava~l, dtat c, wl, dge du souscriptcur. I1 est mtdressant, ~t cet dgard, de remarquer que, si, ~ l'4tape l, la valeur la plus signifmative de la variable dge du souscripteur est 26 ans@ = 0,3292 pour les moins de 26 ans, ~ = 0,2253 pour ]es plus de 26 ans), l'introduction d'un seul mveau de prime (80%) sufflt ~ ddplacer cette valeur ans (niveau de sigmfmation, o,99 ) Age < 41 ans fi.ge/> 41 ans mveau le prime < 80% p = o.1967 p = o,1934 mveau de prime ~ 80% p = 0,3389 fi = 0,.2375 St, par consdquent, les "jeunes" conshtuent un moins bon risque que les "morns jcunes", l'utilisation d'unc dchelle de bonus-malus, m~me rudimentaire, sufht/t en rendre compte. La franchise de 40oo FB qui, clans le tarif actuel, est systdmatnuement infligde {l tout conducteur de morns de 23 ans ne se justifie dollc absolument pas. II est dgalement mtdressant de noter que, pas plus que la cyhndrde m le kilomdtrage, l'fige n'a d'effet important sur Its "boris" sousenpteurs En conclusmn, le niveau de pr,me, surtout du c6td de ses basses valeurs, conhrme ses quahtds d'excellent cnt~re de d~scrimmation entre "bons" et "morns bons" nsques Seuls conservent mtacte leur signiffmatlvjtd la cyhndr& (toujours ~ 900 cc), la zone de garage el le k~lomdtrage amiuel. I1 faut souhgner, toutefois, que ces remarques et ces conclusions sont relatives ~t la probabilitd de smistre uniquement. I1 est tout 5. far possible, et

17 5 6 IIALLIN ET INGENBLEEK m6me probable, qu'un examen des montants cumul6s mane 5. des r6sultata fort ddfdrents coflt moyen des smistres plus 61ev~ chez lea jeunes, dana ]es canlpagnes, chez les conducteurs fa~aant peu de kilomfitres et transportant dans leur v6hmule une nombreuse famdle, etc Malheureuaement, comme nous l'avons cht plus haut, le nombre de smlstres observ6s dans l'6chantillon dent nous diapoaons est trop peu 61evd pour qu'une 6tude s6rmuse puisse en ~tre fmte. Nos rd~ultata et ceux de Jean Lemaire, dans la mesure o~ ils peuvcnt ~tre compa~ds, divergent essenticllement sur trois points" l'dge du souscr~pleur, sa nal~onah/d ct son dial czwl, sdlectmnn6s chez Jean Lemaire, font place au hombre d'cnfants (du morns ~t pas d'enfant/uu enfant au moths--fortement 1i6 ~. la variable dial c,vil) et kilomc2ragc vacances (encore une variable caract6re nettemcnt diehototmque pas de hm-vacances[~ km au moins). Mms '11 nc faut pas oubher que, pour chacune de ccs varmbles, chez Jean Lemaire, tous les niveaux sent test6s et sdleetionnfs globalement. A aucun moment, la prime effectivcmem payde, done le tard actuellement en v~gueur, n'approche le seuil de significativ~td. lllf, FEAI LN C ES COCrIRAN, \V G (~943) Analysts of varmnce for percentages based on tnequai numbers JASA, 38, 287-3ol COCtIRAN, \V G (1954) Some methods for ~trengthemng tile COIIllllOIl 2 teats B;ometmcs, 10, DRAPEI~, N and H S~ttTH (1966) Apphed Regressto~t Analysts Wiley, N Y GART, J. J (1~)71) The comparison of proporbons a revm~ of ~Jgmheance tests, confidence intervals and adjustements fol atlatlhcatton ]?emew of the l**ternattonal Star 11~sltt,tle, 39, IiALLtN, M ( 1 t~77a ) M6thodes Statlstlquea tit. Conatructmn de l'arl[, Bullet1,1 de l'assocmlion ties Achral~'es Sutsses, HALLIN, M (1977b) I~.tude statlstique des facteurs mfluenqant un risque, Bulletin de l'assocmtzon 17 des Actuatres Beiges, HALLIN, Met J -F INGENBLEEK (1978) l~.tudc stattst,quc des Factems mfluen~ant le Risque atttomobfle, la probabtht~ de smtstrc D~scusslon paper n 5, Instttut de Statt~ttque de l'umvermt6 Llbre de Bruxelles Hmc, tn% ] E and G. G KOCH (1977) Varutble selectmn and generahzed chl-square analysts of categorical data apphed.to a large ctos~-aecttonal occupational health survey [~tterliat,onal Stattslzcal Revtetv, 45, LEMAIRE, J (1977a) Selectmn Procedures of Regressmn Analysis applied to Automobile I tl~tt rance, l?ullelln de l '.4 ssociafto~z des A ctua7 re~ Sulsses, LEMAIRE, J (1977b) Critique du tanf automobile responsm)flit6 clvfle belge B,dlet~n de l'assoc~al~o~l R des Actua~res Belges, 93-~o9 LEMAtr~r, J (~970). Selection Procedures of Regressmn Analysts apphed to Automobile Insurance, Part II Sample mqutry and underwriting applications Bulletin de l'as*octal~on des Actua*res Stashes, 65-7 I MASORE, L (1978) L'analyse dtscrimmante apphqu6e aux probl~mes de l'assurance automobile Bulletin de l'assocmtwn R des Actuatres Belges, 'PIr~ANEN, P (Iq75) Tartff theory, AsttnBullet, n, 2o4-228 P~Tt~ANEN, P (~976) A theoretzcalapproach to p~em~lm rating Int Congress of Actuarms, Tokyo,