i~tude SUR LA SURVENANCE DES SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE M. BRICHLER

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1 i~tude SUR LA SURVENANCE DES SNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE M. BRCHLER. DSTRBUTON DES ASSUR~S SELON LE NOMBRE DES SiNSTRES DANS UNE P~ROD].~ DE TEMPS )~TERMN~E On sait que la loi de Poisson simple reprdsente mal la distribution des sinistres d'un groupe observfi d'automobilistes du fait que tout gq'oupe que l'on peut,6tudier en pratique, m6me s'il est composd d'assur6.s prfisentant des caract4ristiques communes (mfime zone de circulation, m6me type de v4hicule, m6me utilisation de ce v4hicule,...) est h4t4rog~ne quant aux autres caractfiristiques et surtout quant au comportement persmmel des assurds, dldment dont l'influence sur les rdsultats du risque est M. Delaporte a obtenu une reprfisentatio~l int~ressante du ph~nom~ne en supposant que les sin.istres d'un vfihicule se r@artissent suivant une loi de Poisson de moyemm donn4e, et que les moyennes de chaque v4hicule du groupe 4tudi~ se distribuent selon une loi de Pearson type d'dquation : a o df(s) -- e-,(s - s.) (s -- s.) ~ - ~ ds r(b) off l'(b) est la fonetion euldrienne de 2'"'"" esp6ce" '(b) = ~e z.vb ldx o a, b, et so dtant des param~tres dont la valeur est calculde en dgalant les expressions des 3 premiers moments thdoriques aux moments correspondants ol)servds. Cette formule conduit k des calculs assez longs. M. Depoid a propos4 Ulm formulc plus simple Si nz est, sur o.ooo vdhicules, le hombre de ceux ayant eu darts l'ann~e a~t moins x sinistres, on a sensiblement : log n x = 4 -- tz

2 SNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE 8 7 dtant donnd par la relation off F -- frdquence du groupe. M. Depoid utilisait" on province : 5. Paris : -= a+bf L - = 0, F! - = 0,84 + 3,5F t M. Brichler a obtenu des r&ultats an%liords avec la formule suivante: qui permet en outre des calculs tr~s simplifi6s. On en tire en effet, en appelant N le hombre des vdhicules du groupe et N.. le hombre de ceux ayant eu e:cactemen! x sinistres: N o -- N Ni : No 1; ~+F N 2 : N 1 F F Nx : Nz- Jv F On vdrifie facilelnent que x E N x = N z o

3 88 SNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE et que: x W xn z = NF x 0 En sommant de x /t l'infini, on ale hombre de vdhicules ayant (x et +) sinistres: N x et + = N x_ t F /expression ci-dessus est tr~s commode en pratique, puisqu'elle permet de classer la totalit6 de la population, par exemple" Assurds ayant o sinistre Assurds ayant sinistre Assur& ayant 2 sinistres Assurds ayant 3 sinistres et plus. On ddmontre encore que le nombre moyen de sinistres des assur6s ayant (x et +) sinistres est: x+f Par exemple, si la frdquence du groupe est F = o,4, la frdquence moyenne des assurds ayant (3 sinistres et +) est 3, 4. Ces formules simplifient considdrablement les calculs lids aux sirdstres (calculs de bonus-malus par exemple). Applications numdriques (exemples tirds de l'ouvrage de M. Depoid) i. Sur un groupe de voitures de tourisme, usage promenade en Frdquence moyenne: o,324. Nombre de vo.hmules.nolnbre de Sinistres Observations Poisson sl mple Pearson { l)elaporte) Aj ustement~ Formule l)el)oul :ornlule 13rmhler (} et -t 3~ t ,2 O,6 3t ~o 4,6 1,3 o,3 310 r 3t ,5 4,7 1,3 1,2 o,2 0,4.es trois ajustements sont trhs bons.

4 SNSTRES EN ASSUR.ANCE AUTOMOBLE Exemples avec des fr&luences extr4mes. 3) Renault 4 CV -- Province en groupe de o.784 vdhicules de frdquence moyenne o,o93 Ndfr de simstres O1)servations o q 835 t ,t el q-, --- Nombre tic vdluculcs Poisson rumple Q[ 1 43 Formule Brmhler o b) Citroen D Paris en groupe de vdhicules de frdquence moyenne 0,679 Ndfr dc simstres O et + Observations ~.345, T7 2 Nombre do Vdhiculcs Poisson Sllllple J l?ornltllc Brlch_lef_ i 13o i t 7 58 ~3 [o 36 t 4 -- O La formule 13richler est un cas particulier de lx formule Delaporte en faisan t" t 1" 2. LASONS ENTRE LES FR~QUENCES D'ANN~ES SUCCESSVES M. Depoid a donnd dans son ouvrage l'exemple suivant qui fait apparaitre darts unc population d'assur6s, les liaisons entre los rdsultats des ann6es succcssives: 1.25o contrats observds pendant 4 ans en ne conservant quc les assur6s restss dans la Socidtd 8 mois art nloins

5 9 SNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE Sinistrcs la 6re ann6c de 26me alln6e Fr6quence moyenne de 3dine annde de 46me ann6e de la 2e g la 4e 0 i 2ct+ (nloyenne 2,5 ) i o,47 o,72 i,o6 0,39 0,33 0,60 0,45 o,9o 0,58 0,4 o,63 0,94 Ensemble frdqtlence llloycll lie o,67t 0,631 0, 51 7,3S6 0,55 (On observe une baisse de la fr6quence gdn6rale du fait qu'on op~re sur une population fermde). M.Delaporte a l)roposd le module suivant: Frdquence lide par le rdsultat x d'une annde: f P(x/f) df(f).fix =/2 ; e(xli) de(f) l0 et si on a x sinistres en.12 anndes: f P(x~/:)... P(x,,l: ) df(f) f lt/z "~ o P(xv:)...P(x,,/f) de(f) o x = hombre annuel de sinistres e-f fxi P(x,/f) = - xz! Sur l'exemple ci-dessus de M.Depoid, cette formulation permet de calculer les esp6rances math6matiques de 2&me, 3&lne, 46me alm6es, lifes par les frdquences de 6re annde; en corrigeant de la tendance b. la baisse signal~e, on trouve: S~11istres dc la de 26me ann6e grdquences hdes de 3~me mm6e de 46me ann6e O 2 ct -t %469 o,7o 1,066 o,384 0,582 o,874 0,287 0,434 0,652

6 SNSTRE~ EN ASSURANCE AUTOMOBLE 91 La concordance avec les rdsultats observds est satisfaisante, mais les calculs sont assez longs. Travaux rdcenls du Groupeme,nt Technique Accidents l.es observations r6centes ont confirm6 l'existence de liaisons entre les r4sultats d'anndes successives. Par exemple, sur 17o.ooo vdhicules dont les rdsultats ont 6t6 observds en 196o, 1961, 1962 (en zone normale, tous usages), on a trouv6: Simstres la t 6re 3,11116c. 0 t "2 3 i Vr6qucnce de 2e annde: o,t 7 0,37 o,59 0,85 4et + i,5 b) mistres e.n 2 a,~/.s : o oil frdquence annuelle: o '.2 0,5 3 4, et + 3 3,5 et + r6quence de 3 e annde : o, t35 0,26 o,41 0,62 o,0t t,31 1,85 vcrs 3 Le G.T.A. s'est propos6 d'6tablir une formule simple rendant COlnpte de ces liaisons. t) Formule approchde : En portant darts la formule des frdqueflces lides de M. Delaporte les valeurs des param~tres correspondant ~. la formule de distribution propos6e par M. Brichler, elle se rdduit ~.: + x f./x = F nf F = frdquence d'ensemble x = sinistres de n anndes Appliquons cette formule aux rdsultats d'observations indiquds ci-dessus, pour lesquels F = o,2t2 Smistres la tcxre annie o t l"rdquence de 26ii1c a.lllldc o, t 7 0, ,50 o,67,,let -- 0,87 l.a cortcordance n'est pas enti~rmnent satisfaisante.

7 0 2 SNiSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE.2) Formule ddveloppde: l.a formule indiqu6e plus haut a dt4 amdliorde r6cemmem par MM. Acher et Thiry, au prix, bien ellterldu, d'mm certaine complication. Supposons une population1 fermde, dont la frdquence d'ensemble 17 reste constante darts le temps (en fait, on salt qu'elle s'am6liore -- on rtdglige ce facteur). Pour ull assur6 de fr6quence k l'origine supposde dgale k f0 ~) on va d6terminer fl, f._,... frdquences des anndes i,.2... en fonction des n anndes d'assurance 6coul6es et des sinistres observds pendant ces n ann6es. L'ajustement a 6t6 ddtermin6 sur 3 ann6es du fair qu'en Statistique Commune, on a des observations pour 3 anndes cons6cutives 6o et de fagon clue, pour l'ensemble des assurds, la fr6quence soit F chaque am~de. On pose, aprss n mmdes a+bs f, -4- = fo le --F n off s = fon.ctiort de x (hombre de sin.istres pendant les n ann4es) et a, b, k des param6tres d6pendant de f0. Oll supposeque s=o si x= o. Ajuslemenl de a el de k: ) Pour n : o qui entrahle x - ~ o, on a la frdquence de 6re an- ride fl qu'oll suppose = f. d'oh a = k 2) Pour n ~-, si ort a eu o sinistre ell are armde, on afe/o - : a f0 a. _4_ (/~/o = fr4quence 26me ann6e si o sinistre la 6re ann6e). d'oh a : fo f2/o ~) Fr6quencc d'originc frdquencc supposde g la souscrlptlon du contrat. --

8 SNSTRES EN ASSURANCE AUFOMOB~~ 93 Pour diff6rentes f0 et en utilisant les.3 sdries d'obscrvation, on trouve un ajustement global assez bon ell prenant: A just.ement de b: log a -- o,25 Supposoas au d4part que s -- x, hombre dc siaistrcs. Vu la stabilit6 de F, si on a une population de n assurfs de frdquence de ddpart f0, fo N onto Sin. la kre 1 + fo annde En 26me amldc la fr6qucncc sera" A/o = f,, a + fo ont " la N l = N o - + fo hre annde A, f. No et + = Ntf oont 2 Sin. et + " la 6re annde f2/.o+ (Formules Brichler) Err dcrivant que 1: se conserve" oh --fo a+b a + b (2 + x) a+i )~ --= jq) F = Nfo = NoxA/,, + N~ xf~/~ + N: ot + xa/: + d'ofi l'on tire: b - En fait, l'expdrience montre que les rdsultats se rapprochcat davantage des observations en prcnant pourn ~.~... s ~ x pour n = 2... s = hombre de sin, hre annde 0,8 --c- = hombre de sin, 2me annde x 1,2 pourn = 3... s = (sci-dessuspourn = 2) o,8 /o + rtombre de sin. 3me aande x 1,2 ce qui ne change pas le calcul ci-dessus (puisqu'on ale mfme hombre total de sinistres chaque arm6e). Cette ponddration correspond au fair observ6 que les sinistres plus rdcents phsent plus lourd. On peut etlcore amdliorer en prenant : s =x~ x Oil ~= + ~ ~6taatdei'ordrcdco,~

9 - - X -.l:(,) 94 SNSTRES EN ASSURANCE AU''OMO3L'2 i1 vient alors: b --~-fo ( + ~) En pratique, oa a retenu au G.T.A. pour le~ calculs courants: a+bs J~,,1 = fo - - s" - avec log a -- 0,125 b fo f.{t,,) Exemple d'application pour fo = 0,212 :c 1 vient: f.+t =f. 3, / 29 x(,1) z On dmme ici lc rapport' fll /0 ~ l 3,89 + n OO Darts chaque case la hre ligne est la valeur observ6e en Statistique Commune, la 26me lig~m est le rdsultat du calcul. lnd~ces de Frdquences de 2eme annde Sinistres la thrc ann6e 0 t et + Fr6quences de 26me annde oc t 76 2Q mhces de Jrdquences de 3eme annee 'bt mstres la Sistrcs la 2 0 anll~o _ o J et ~ et J i [ 48t 83T J o i l.a concordance est bonne saul pour la dcrrdhre case du second tableau qui cozlcerrte un trhs petit hombre d'assur6s.

10 SNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE 95 ANNEXE Les formules des pages 6 et 9 sont k rapprocher de celle de la,,prime po~ld~r~e" propos~e par M. Brichler dans uric communication ~ l'nstitut des Actuaires Frangais (Bulletin Juin p. 2Ol). s'agit d'mle prime variant chaque anude cn follction du uombre de sinistres (comnae la,,prime model6e" de M. Delaporte). Le principe enest le suivant: La premi6re ann6e, l'assur6 paye la prime Po correspondant au vdhicule, ~ la zo21e, kt l'usage, etc... Apr~s n ann&s, s'il a eu x sinistres, le cofit moyml des sinistres dtaat C, la prime pourrait ~tre Ea fait, nous estimons que la prime ~. percevoir rdellemeat doit fitre un compromis mltre-la prime de sa catfgorie (Po), prime moyenne dtablie au vn de statistiques provenant de nombreuses observations-et rcn, rdsultant de l'observation des sinistres individuels sur un nombre d'annfies en gfindral petit et done en pattie alfiatoire. xc Le compromis peut ~tre une moymme ponddrde: qg l)/, -- ~P,, + f~=,, La prdcision de rc~ s'amdliorant chaque annde, ~ doit 6tl'e une fonction croissante de n. Prenons [3 = n, d'ofi: P?i, ~Po + xc D'autre part, pour assurer un bon dquilibre entre Po et r% il cortvient de preudre ~ d'autaut plus grand que Po est petit. k En posaitt Po = ~jxc, preaons X = -- f,, k+x k+x 1 vient P~ k/f o + ~ k + ufo -- C-- Po La formule de la page 6 correspond k k = i.

11 9 6 SiNSTRES EN ASSURANCE AUTOMOBLE Nous avolts obtenu des rdsultats numdriques tr~s voisins de ceux de la prime modelde de M. Delaporte en pre,lant pour k tree valeur un peu plus grande que (le --, 7), cc qui revient h domler un peu plus de poids h Po qu% r:,~. 0, 125 La formule de la pagc 9 con'espond h k = O /o XJo.