Ordonnancement des systèmes de production sans temps d'arrêt machine

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1 N d ordre 2003 ISAL0047 Année 2003 Thèse Ordonnancement des systèmes de production sans temps d'arrêt machine Présentée devant La Faculté des Sciences de Tunis et L institut national des sciences appliquées de Lyon Pour obtenir Le grade de docteur Formation doctorale : Informatique et Systèmes Coopératifs pour l Entreprise École doctorale : Informatique et Information pour la Société Par Nour El Houda SAADANI (Ingénieur) Date de soutenance 5 novembre 2003 Jury MM. Alain GUINET Directeur de recherche (INSA de Lyon) Mohamed MOALLA Directeur de recherche (FST de Tunis) Président Zaher MAHJOUB Professeur (FST de Tunis) Rapporteur Gerd FINKE Professeur (Grenoble) Rapporteur Khaled GUEDIRA Maître de Conférences habilité (ISG Tunis) Pierre BAPTISTE Professeur (INSA de Lyon)

2 Ordonnancement des systèmes de production sans temps d arrêt machine Résumé La recherche entreprise étudie le pilotage des systèmes discrets de production nécessitant un fonctionnement sans temps d arrêt, en raison soit de contraintes technologiques (exemple : température d outillages dans le cas d une ligne de fabrication de noyaux en fonderie) soit de contraintes économiques (exemples : coût de l arrêt d une ligne d assemblage de véhicules automobiles, coût de l arrêt d une ligne de coulée), et propose des outils d aide à la décision dans ce cadre. Cette problématique se révèle aussi très importante dans l industrie dans le cas où l emploi de ressources humaines s avère coûteux (opérateurs). Au sein de la théorie générale de l ordonnancement, c est la contrainte «noidle» qui se rapproche le plus de nos préoccupations. Elle implique qu un équipement ne doit pas s arrêter entre sa première et sa dernière utilisation. Cette contrainte ne se définie formellement qu au sein du sous ensemble des ateliers linéaires (flow-shop), car se sont les seules configurations pour lesquelles la question de l existence d une solution sous cette contrainte se pose. Dans cette thèse trois différents points sont successivement traités. Nous étudions, en premier lieu, une solution exacte à travers la conception d un algorithme de type séparation et évaluation. Il est bien connu qu une procédure de séparation et d'évaluation a l inconvénient de nécessiter un temps de calcul exponentiel lorsque la taille des données augmente. De ce fait, il est important de trouver des solutions approchées pour le problème étudié. En second lieu, nous proposons une première heuristique en O(n*log(n)) pour le cas d un flow-shop de permutation à trois machines, puis une deuxième heuristique en O(n 3 ) pour le cas plus général d un nombre quelconque de machines. Cette contrainte prend une toute autre signification lorsque la finalité n est plus une contrainte technologique mais un soucis de minimisation des ré-affectations de ressources secondaires. D une contrainte stricte, elle peut se transformer en un critère à minimiser (minimisation de temps morts, minimisation des changements d affectation de postes). En troisième lieu, nous traitons le cas d un flow-shop pour lequel un nombre maximum de temps morts sont permis sur l ensemble des machines. Mots-Clés: problème flow-shop - contrainte no-idle - règle de Johnson - voyageur de commerce Production system scheduling with no-idle constraints Abstract This research aims at studying the behaviour of discrete production systems requiring operation processing without idle time, due to technological constraints (for example due to tool temperature in the case of a core production line in a foundry) or economic constraints (for example, due to the cost incurred by stopping an assembly line of car engines or a casting line). In this work, we propose some tools that can help the manager

3 in his decision process. This problem appears to be very important in industry regarding to the employment of expensive human resources. Within the general theory of scheduling, it s the "no-idle" constraint which approaches the best our preoccupation. It means that a machine must not stop between its first and last operation. This constraint is only defined within the linear organisations of workshop problems (flow-shop). In this thesis, three various points are studied. First, we present a branch and bound algorithm. It is well known that such type of algorithm is exponential when the size of data increases. Also, it is interesting to find near-optimal solutions. Secondly, we propose a O(n*log(n)) heuristic for the case of permutation flow-shop problems with three machines, next a O(n3) heuristic for the same type of problems with any number of machines. The studied characteristic takes another meaning when the purpose is not the verification of a technological constraint but the minimisation of secondary resource reemployments. From a strict constraint, it can be changed to a minimisation criterion (minimisation of idle times, minimisation of operator assignments). Finally, we treat the partial relaxation of the no-idle constraint in the case of flow-shop problems where a maximum number of idle times are allowed on all machines. Key words: permutation flow-shop - machine no-idle constraint - Johnson rule - travelling salesman problem.

4 INSA DE LYON DEPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALES ET RELATIONS INTERNATIONALES SCIENTIFIQUES MARS 2002 Ecoles Doctorales et Diplômes d Etudes Approfondies habilités pour la période ECOLES DOCTORALES n code national RESPONSABLE PRINCIPAL CORRESPONDANT INSA DEA INSA n code national RESPONSABLE DEA INSA CHIMIE DE LYON (Chimie, Procédés, Environnement) EDA206 M. D. SINOU UCBL Sec Fax M. R. GOURDON Sec Fax 87.7 Chimie Inorganique Sciences et Stratégies Analytiques Sciences et Techniques du Déchet M. R. GOURDON Tél Fax 87.7 ECONOMIE, ESPACE ET MODELISATION DES COMPORTEMENTS (E 2 MC) M.A. BONNAFOUS LYON Sec Fax Mme M. ZIMMERMANN 84.7 Fax Villes et Sociétés 928 Dimensions Cognitives et Modélisation Mme M. ZIMMERMANN Tél 84.7 Fax M. L. FRECON Tél Fax 85.8 EDA47 ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (E.E.A.) M. G. GIMENEZ INSA DE LYON Fax Automatique Industrielle Dispositifs de l Electronique Intégrée M. M. BETEMPS Tél Fax M. D. BARBIER Tél Fax 60.8 EDA60 Génie Electrique de Lyon M. J.P. CHANTE Tél Fax EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION (E2M2) EDA403 M. J.P FLANDROIS UCBL Sec Fax M. S. GRENIER Fax Images et Systèmes Analyse et Modélisation des Systèmes Biologiques Mme I. MAGNIN Tél Fax M. S. GRENIER Tél Fax INFORMATIQUE ET INFORMATION POUR LA SOCIETE (EDIIS) M. J.M. JOLION INSA DE LYON Fax Documents Multimédia, Images et Systèmes d Information Communicants Extraction des Connaissances à partir des Données M. A. FLORY Tél Fax M. J.F. BOULICAUT Tél Fax 87.3 EDA 407 INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES- SANTE (EDISS) EDA205 M. A.J. COZZONE UCBL Sec Fax M. M. LAGARDE Fax Informatique et Systèmes Coopératifs pour l Entreprise 9503 Biochimie M. A. GUINET Tél Fax M. M. LAGARDE Tél Fax MATERIAUX DE LYON UNIVERSITE LYON EDA 034 M. J. JOSEPH ECL Sec Fax M. J.M. PELLETIER 83.8 Fax Génie des Matériaux : Microstructure, Comportement Mécanique, Durabilité Matériaux Polymères et Composites M. J.M.PELLETIER Tél 83.8 Fax M. H. SAUTEREAU Tél 8.78 Fax Matière Condensée, Surfaces et Interfaces M. G. GUILLOT Tél 8.6 Fax 85.3 MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE FONDAMENTALE (Math IF) M. NICOLAS UCBL Fax M. J. POUSIN Fax Analyse Numérique, Equations aux dérivées partielles et Calcul Scientifique 9028 M. G. BAYADA Tél 83.2 Fax EDA 409 MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE (MEGA) EDA62 M. J. BATAILLE ECL Sec Fax M. G.DALMAZ Fax Acoustique Génie Civil Génie Mécanique Thermique et Energétique 9008 M. J.L. GUYADER Tél Fax 87.2 M. J.J.ROUX Tél Fax M. G. DALMAZ Tél Fax M. J. F. SACADURA Tél 8.53 Fax 88. En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l INSA est établissement principal

5 MARS 2002 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Directeur : STORCK.A Professeurs : AUDISIO S. BABOT D. BABOUX J.C. BALLAND B. BAPTISTE P. BARBIER D. BASTIDE J.P. BAYADA G. BENADDA B. BETEMPS M. BIENNIER F. BLANCHARD J.M. BOISSON C. BOIVIN M. (Prof. émérite) BOTTA H. BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) BOULAYE G. (Prof. émérite) BOYER J.C. BRAU J. BREMOND G. BRISSAUD M. BRUNET M. BRUNIE L. BUREAU J.C. CAVAILLE J.Y. CHANTE J.P. CHOCAT B. COMBESCURE A. COUSIN M. DAUMAS F. (Mme) DOUTHEAU A. DUFOUR R. DUPUY J.C. EMPTOZ H. ESNOUF C. EYRAUD L. (Prof. émérite) FANTOZZI G. FAVREL J. FAYARD J.M. FAYET M. FERRARIS-BESSO G. FLAMAND L. FLORY A. FOUGERES R. FOUQUET F. FRECON L. GERARD J.F. GERMAIN P. GIMENEZ G. GOBIN P.F. (Prof. émérite) GONNARD P. GONTRAND M. GOUTTE R. (Prof. émérite) GOUJON L. GOURDON R. GRANGE G. GUENIN G. GUICHARDANT M. GUILLOT G. GUINET A. GUYADER J.L. GUYOMAR D. HEIBIG A. JACQUET RICHARDET G. JAYET Y. JOLION J.M. JULLIEN J.F. JUTARD A. (Prof. émérite) KASTNER R. KOULOUMDJIAN J. LAGARDE M. LALANNE M. (Prof. émérite) LALLEMAND A. LALLEMAND M. (Mme) LAREAL P. LAUGIER A. LAUGIER C. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENT IONISANTS GEMPPM*** PHYSIQUE DE LA MATIERE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS PHYSIQUE DE LA MATIERE LAEPSI**** MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE LAEPSI**** AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS LAEPSI**** VIBRATIONS-ACOUSTIQUE MECANIQUE DES SOLIDES UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain INFORMATIQUE MECANIQUE DES SOLIDES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtiment PHYSIQUE DE LA MATIERE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE MECANIQUE DES SOLIDES INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION CEGELY* GEMPPM*** CEGELY*- Composants de puissance et applications UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MECANIQUE DES CONTACTS UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures CETHIL Energétique et Thermique CHIMIE ORGANIQUE MECANIQUE DES STRUCTURES PHYSIQUE DE LA MATIERE RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION GEMPPM*** GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM*** PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BIOLOGIE APPLIQUEE MECANIQUE DES SOLIDES MECANIQUE DES STRUCTURES MECANIQUE DES CONTACTS INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION GEMPPM*** GEMPPM*** INFORMATIQUE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES LAEPSI**** CREATIS** GEMPPM*** GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE CEGELY*- Composants de puissance et applications CREATIS** GEMPPM*** LAEPSI****. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM*** BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE PHYSIQUE DE LA MATIERE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE LAB. MATHEMATIQUE APPLIQUEES LYON MECANIQUE DES STRUCTURES GEMPPM*** RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE MECANIQUE DES STRUCTURES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique PHYSIQUE DE LA MATIERE BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

6 LEJEUNE P. MARS 2002 LUBRECHT A. MAZILLE H. MERLE P. MERLIN J. MIGNOTTE A. (Mle) MILLET J.P. MIRAMOND M. MOREL R. MOSZKOWICZ P. MOURA A. NARDON P. (Prof. émérite) NIEL E. NORTIER P. ODET C. OTTERBEIN M. (Prof. émérite) PARIZET E. PASCAULT J.P. PAVIC G. PELLETIER J.M. PERA J. PERRIAT P. PERRIN J. PINARD P. (Prof. émérite) PINON J.M. PONCET A. POUSIN J. PREVOT P. PROST R. RAYNAUD M. REDARCE H. REYNOUARD J.M. RIGAL J.F. RIEUTORD E. (Prof. émérite) ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) ROUBY D. ROUX J.J. RUBEL P. RUMELHART C. SACADURA J.F. SAUTEREAU H. SCAVARDA S. SOUIFI A. SOUROUILLE J.L. THOMASSET D. UBEDA S. THUDEROZ C. UNTERREINER R. VELEX P. VIGIER G. VINCENT A. VRAY D. VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) Directeurs de recherche C.N.R.S. : BERTHIER Y. CONDEMINE G. COTTE-PATAT N. (Mme) FRANCIOSI P. MANDRAND M.A. (Mme) POUSIN G. ROCHE A. SEGUELA A. Directeurs de recherche I.N.R.A. : FEBVAY G. GRENIER S. RAHBE Y. Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : PRIGENT A.F. (Mme) MAGNIN I. (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES MECANIQUE DES CONTACTS PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE GEMPPM*** GEMPPM*** INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MECANIQUE DES FLUIDES LAEPSI**** GEMPPM*** BIOLOGIE APPLIQUEE AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE DREP CREATIS** LAEPSI**** VIBRATIONS-ACOUSTIQUE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GEMPPM*** UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Matériaux GEMPPM*** ESCHIL Equipe Sciences Humaines de l Insa de Lyon PHYSIQUE DE LA MATIERE INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION PHYSIQUE DE LA MATIERE MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE GRACIMP Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et Interfaces Multimodales pour la Productique CREATIS** CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures MECANIQUE DES SOLIDES MECANIQUE DES FLUIDES GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES GEMPPM*** CENTRE DE THERMIQUE DE LYON Thermique de l Habitat INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION MECANIQUE DES SOLIDES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux MATERIAUX MACROMOLECULAIRES AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE PHYSIQUE DE LA MATIERE INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE CENTRE D INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES ESCHIL Equipe Sciences Humaines de l Insa de Lyon CREATIS** MECANIQUE DES CONTACTS GEMPPM*** GEMPPM*** CREATIS** PHYSIQUE DE LA MATIERE MECANIQUE DES CONTACTS UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE GEMPPM*** UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES GEMPPM*** BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE CREATIS** * CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON ** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L IMAGE ET DU SIGNAL ***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX ****LAEPSI LABORATOIRE D ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

7 Ce travail est dédié à Ma mère et à mon père, Aux très chers : Ma sœur Saloua et Mon frère Ahmed Mon beau-frère Moez et Ma belle sœur Mouna A mes tres chers amis et à tous ceux qui ont contribué de loin ou de près à la réalisation de ce travail

8 Remerciements Je tiens tout d abord à remercier Monsieur Zaher MAHJOUB, Professeur à la Faculté des Sciences de Tunis pour l honneur qu il me fait en président le ury de ma thèse. Je tiens à exprimer ma gratitude à Monsieur Alain GUINET, Professeur à l INSA de Lyon, pour la confiance qu il m a accordée en me permettant d effectuer une thèse sous sa direction. Ses conseils et son aide ont été des plus utiles pour l aboutissement de ce travail. Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Monsieur Mohamed MOALLA, de m avoir dirigé dans cette thèse, pour son aide dans toutes mes démarches, ses perpétuels encouragements et sa grande patience. Qu il trouve ici l expression de ma profonde gratitude. J adresse mes plus sincères remerciements à monsieur Pierre BAPTISTE, Professeur à l INSA de Lyon qui a consacré beaucoup de temps à cette thèse. Ses commentaires, remarques et suggestions ont donné une autre dimension à mon travail. Ce travail lui doit beaucoup. Qu il trouve ici l expression de ma profonde gratitude. Je tiens à exprimer mes remerciements à Mr Pierre CAMPAGNE, Professeur à l INSA de Lyon, pour s être intéressé à ce travail et d avoir accepté de participer au comité de Jury. Mes remerciements vont également à Monsieur Gerd FINKE, Professeur à l Ecole Polythechnique de Grenoble, pour l intérêt qu il a montré pour mon travail et pour avoir accepté d être rapporteur de ma thèse. Je tiens à remercier également Monsieur Khaled GHEDIRA, Maître de Conférence à ISG de Tunis, pour avoir accepté d être rapporteur de cette thèse et pour l intérêt qu il a apporté à mes travaux. J ai beaucoup de reconnaissances envers tous les enseignants du département des Sciences de l Informatique de la Faculté des Sciences de Tunis pour leur constante amabilité et en partculier à MM. Faouzi Charada et Yahya Slimani. Je n oublierai pas mes collègues et amis des laboratoires LIP2 (à Tunis) et PRISMa (à Lyon). Mes derniers remerciements vont au reste de ma grande famille, à tou(te)s mes ami(e)s, et ce ne sont pas les moindres. A tous ceux qui de près ou de loin m ont encouragé, m ont supporté et soutenu dans des moments difficiles. Ils sont nombreux et tous présents dans mon cœur.

9 Table des matières Introduction. Chapitre. Ordonnancement no-idle. De l ordonnancement en général.5.. Terminologie 5.2. Classification.8.3. Complexité Méthodes classiques de résolution Méthodes dédiées Règles de tri Algorithmes de liste Autres méthodes Méthodes génériques Méthodes exactes Programmation dynamique Méthode de séparation et évaluation Modélisation analytique et résolution Méthodes heuristiques constructives Méthodes amélioratrices Méthode de descente Recuit simulé Recherche tabou Algorithmes génétiques Etat de l'art sur les problèmes d'ordonnancement no-idle Présentation du problème flow-shop avec contrainte no-idle Travaux antérieurs Travaux de Narasimhan et Panwalkar Travaux de King et Spachis 27 i

10 Table des matières Travaux de Adiri et Pohoryles Travaux de Baptiste et Hguny Travaux de Giaro Analyse de la complexité Complexité dans le cas de deux machines Complexité dans le cas de trois machines Conclusion..37 Chapitre 2. Résolution exacte du problème flow-shop avec contrainte noidle. L algorithme de Baptiste et Hguny.38.. Résultats préliminaires Arbre de recherche Exemple Notations et précision Etude des problèmes F2 / f avoid / C max et F 2 / l avoid / C max Résultats préliminaires Optimisation de la recherche de la solution optimale Algorithme de résolution du problème F2 / f avoid / C max Algorithme de résolution du problème F 2 / l avoid / C max Algorithme de résolution du problème F2 / f avoid, l avoid / C max Propriétés particulières Discussion Algorithme final pour la résolution du problème F2 / f avoid / C max Expérimentations Conclusion..74 Chapitre 3. Résolution heuristique du problème flow-shop avec contrainte no-idle. Heuristique pour la résolution du problème F3 / no idle / C max Heuristique Expérimentations Comparaison par rapport à une borne inférieure...79 ii

11 Table des matières.2... Borne inférieure Résultats des expérimentations Comparaison avec les résultats trouvés par Lingo Modèle mathématique Evaluation et comparaison Efficacité de la borne inférieure Résolution du problème dans le cadre général Problème du voyageur de commerce Présentation du problème Algorithmes exacts de résolution Algorithmes approximatifs Résolution du problème F / no idle / C max Expérimentations Comparaison avec la solution optimale Comparaison avec la solution trouvée par un solveur Comparaison avec les solutions trouvées par l algorithme de type séparation et évaluation Comparaison dans le cas de trois machines Etude d un cas particulier d application Analyse du problème Heuristique Expérimentations Données Borne inférieure Résultats Extension au flow-shop hybride Conclusion.6 Chapitre 4. Relaxation de la contrainte no-idle. Etat de l'art 7 2. Dégradation du C max entre un flow-shop simple et flow-shop noidle.8 iii

12 Table des matières 3. Relaxation de la contrainte no-idle avec un temps mort Cas de trois machines Cas de quatre et de cinq machines Relaxation d'un flow-shop no-idle avec quatre machines Relaxation d'un flow-shop no-idle avec cinq machines Relaxation d un flow-shop no-idle avec m machines Expérimentations Comparaison avec la solution du problème F // C max Comparaison en fonction du nombre de machines Comparaison entre les solutions proposées Conclusion...36 Conclusion...37 Bibliographie...4 Annexe..5 iv

13 Liste des tables Chapitre. Table.. Problème flow-shop...28 Table.2. Première évaluation.28 Table.3. Deuxième évaluation...29 Table.4. Troisième évaluation 29 Table.5. Problème d une série croissante de machines dominantes. 32 Table.6. Problème d une série décroissante de machines dominantes.33 Table.7. Durées opératoires des travaux du problème posé..36 Chapitre 2. Table 2.. Problème flow-shop à 4 machines et 5 travaux...42 Table 2.2. Première évaluation.42 Table 2.3. Deuxième évaluation...43 Table 2.4. Troisième évaluation 43 Table 2.5. Quatrième évaluation...44 Table 2.6. Les durées opératoires d'un problème à cinq travaux..45 Table 2.7. Les différents ordres de l'exemple de la table Table 2.8. Les durées opératoires d'un problème à six travaux.67 Table 2.9. Les différents ordres de l'exemple de la table Table 2.0. Ensemble des durées opératoires d un problème flow-shop à cinq travaux..67 Table 2.. Les différents ordres de l'exemple de la table Table 2.2. Les durées opératoires d'un problème à cinq travaux.69 Table 2.3. Les différents ordres de l'exemple de la table Table 2.4. Durées d exécution de chaque algorithme.72 Table 2.5. Les différents nombres de travaux testés par algorithme4. 72 Chapitre 3. Table 3.. Durées d exécution d un problème flow-shop.76 v

14 Liste des tables Table 3.2. Durées d exécution d un problème flow-shop.77 Table 3.3. Comparaison par rapport à la borne inférieure 8 Table 3.4. Comparaison par rapport aux résultats trouvés par Lingo Table 3.5. Récapitulatif sur l état de travail avec Lingo...85 Table 3.6. Cas de trois travaux.96 Table 3.7. Cas de quatre travaux..96 Table 3.8. Cas de cinq travaux.96 Table 3.9. Cas de six travaux 96 Table 3.0. Cas de sept travaux 97 Table 3.. Cas de huit travaux 97 Table 3.2. Cas de neuf travaux...97 Table 3.3. Cas de dix travaux.97 Table 3.4. Nombre de solutions optimales trouvées par NIR.98 Table 3.5. Caractéristiques des problèmes générés 99 Table 3.6. Cas de cinq machines..00 Table 3.7. Cas de dix machines 00 Table 3.8. Cas de quinze machines..00 Table 3.9. Cas de vingt machines.00 Table Cas de vingt cinq machines..0 Table 3.2. Cas de trente machines.0 Table Cas de cinq machines...04 Table Cas de dix machines.04 Table Cas de quinze machines...05 Table 3.25.Comparaison entre les résultats de NIR et ceux de H...06 Table Comportement de NIR vis-à-vis la borne inférieure Table Variation des moyennes...3 Table Variation des maximums.3 Table Variation des minimums..3 Table Comparaison de H3 par rapport à la borne inférieure pour un nombre de travaux supérieur à Table 3.3.Variation du nombre de machines nécessaires en fonction de n..5 Chapitre 4. Table 4.. Durées d exécution d un problème flow-shop..23 vi

15 Liste des figures Chapitre. Figure.. Exemple de diagramme de Gantt.7 Figure.2. Flow-shop sans contrainte no-idle Figure.3. Flow-shop avec contrainte no-idle...25 Figure.4. Diagramme de Gantt d un ordonnancement flow-shop..27 Figure.5. Ordonnancement des travaux de la table Figure.6. Ordonnancement des travaux de la table Figure.7. Ordonnancement des travaux du problème équivalent 36 Chapitre 2. Figure 2.. Les différentes branches du problème de la table Figure 2.2. Ordonnancement selon l'ordre de Johnson du problème flow-shop de la table Chapitre 3. Figure 3.. Ordonnancement no-idle sur M 2 et M Figure 3.2. Introduction de l ordonnancement sur M..77 Figure 3.3. Travaux ordonnés sans temps mort sur les trois machines 78 Figure 3.4. Variation du nombre de cas bons en fonction du nombre de travaux 8 Figure 3.5. Comparaison entre la borne inférieure et les résultats de Lingo 86 Figure 3.6. Comparaison entre la borne inférieure et les résultats de l algorithme de type séparation et évaluation Figure 3.7. Evaluation de la distance...93 Figure 3.8. Les résultats de l'heuristique pour n<=0 et m<= Figure 3.9. Comparaison du comportement de l heuristique avec celui de la résolution par Lingo en fonction de m...02 Figure 3.0. Comparaison du comportement de l heuristique avec celui de la résolution par Lingo en fonction de n vii

16 Liste des figures Figure 3.. Evolution du nombre de cas ayant un rapport inférieur à 5% en fonction du nombre de travaux...03 Figure 3.2. Evolution du nombre de cas ayant un rapport inférieur à 5% en fonction du nombre de machines 03 Figure 3.3. Evolution de la moyenne du rapport...3 Figure 3.4. Comparaison entre le C max obtenu par H3 et la borne inférieure...3 Chapitre 4. Figure 4.. Dégradation du makespan du F3 / no idle / C max au F 3 // C max 20 Figure 4.2. Dégradation du makespan du F 4 / no idle / C max au F 4 // C max...20 Figure 4.3. Dégradation du makespan du F5 / no idle / C max au F 5 // C max...20 Figure 4.4. Probabilité de dégradation du F / no idle / C max au F // C max (350 cas) 20 Figure 4.5. Flow-shop sans contrainte no-idle 23 Figure 4.6. Flow-shop avec contrainte no-idle...23 Figure 4.7. Contrainte no-idle relaxée.24 Figure 4.8. Schéma du travail.30 Figure 4.9. Cas de trois machines...32 Figure 4.0. Cas de quatre machines..32 Figure 4.. Cas de cinq machines.32 Figure 4.2. Dégradation du makespan du F3 / no idle / C max au F 3 // C max 32 Figure 4.3. Evolution du nombre des cas où FSir est meilleur que OPTi en fonction du nombre des machines..33 Figure 4.4. Etude du rapport OPTr-FSir/OPTr en fonction du nombre de machines 35 Figure 4.5. Etude du rapport OPTr2-FSir2/OPTr2 en fonction du nombre de machines...35 Figure 4.6. Evolution de la moyenne du rapport OPTr-FSir/OPTr en fonction du nombre de travaux pour chaque nombre de machines...35 Figure 4.7. Evolution de la moyenne du rapport OPTr2-FSir2/OPTr2 en fonction du nombre de travaux pour chaque nombre de machines...35 viii

17 Introduction Dans tout système multitâche, l ordonnancement est l un des problèmes centraux. On dit qu on a affaire à un problème d ordonnancement lorsqu on doit programmer l exécution d une réalisation en attribuant des ressources aux tâches et en fixant les dates d exécution de celles-ci. Cette programmation se fait alors en vue d optimiser un certain critère tel que la minimisation de la date d achèvement de la réalisation, ou l optimisation de l utilisation des ressources sous des contraintes de durée. Les problèmes d ordonnancement apparaissent, par exemple, en informatique (les tâches sont alors des processus informatiques et les ressources sont des processeurs et de la mémoire) ou dans l industrie (dans un atelier de production, les tâches sont des traitements à appliquer à des pièces et les ressources sont constituées par les machines et le personnel). Les problèmes d ordonnancement de la production ont fait l obet d un très grand nombre de travaux publiés dans la littérature scientifique ainsi que d un certain nombre d ouvrages dont Baker, 974], Conway et al. 976], Brucker, 995], Pinedo, 995] et Blazewicz et al., 996]. Deux voies de résolution sont considérées : donner une solution exacte selon une stratégie connue, ou bien donner des heuristiques qui permettent d obtenir des solutions approchées ayant un écart raisonnable par rapport à la solution optimale ou par rapport à une borne inférieure calculée. Cependant, dans la quasi-totalité des travaux effectués usqu ici, on s est peu intéressé à la contrainte «no-idle» qui fait l obet de cette thèse. Elle signifie que chaque fois qu un équipement est activé, il ne doit pas s arrêter entre sa première et sa dernière utilisation. La contrainte no-idle a été définie initialement pour des systèmes discrets nécessitant un fonctionnement en continu, c est-à-dire sans arrêt soit pour des raisons de contraintes technologiques (température d outillages dans le cas d une ligne de fabrication de noyaux en fonderie), soit pour des contraintes économiques (coût de l arrêt d une ligne d assemblage de véhicules automobiles, coût de l arrêt d une ligne de coulée). Les quelques

18 Introduction travaux effectués dans ce cadre se sont intéressés à des cas particuliers Adiri et al., 982], Narasimhan et Panwalker, 984], Narasimhan et Mangiameli, 987] et Giaro, 200]. Actuellement, de nouvelles recherches sont faites pour le cas d une seule machine Valente et Alves, 2003a] Valente et Alves, 2003b]. Les auteurs proposent des heuristiques donnant un ordonnancement vérifiant la contrainte no-idle et minimisant la somme des avances et des retards. Baptiste et Hguny Baptiste et Hguny, 997] sont les premiers à avoir abordé le problème d ordonnancement d un flow-shop de permutation avec contrainte no-idle et critère makespan (minimisation de la plus grande date d achèvement). Leurs résultats ont constitué le point de départ des travaux de cette thèse. Nous nous sommes intéressés, en premier lieu, à approfondir l étude de cette contrainte et à l étendre au cas plus général des ordonnancements flow-shop. En deuxième lieu, nous avons abordé l étude de la relaxation de la contrainte noidle en transformant celle-ci d une contrainte stricte en un critère à minimiser. La relaxation s impose lorsque la main d œuvre nécessite une organisation discontinue du travail avec, néanmoins, minimisation du nombre des arrêts, ou bien lorsqu on a besoin, dans la production no-idle, d optimiser la programmation d un certain nombre de temps d arrêt pour raison de maintenance par exemple. Le problème de l ordonnancement flow-shop à contrainte «no-idle» et critère makespan (noté F / no idle / C max ) est prouvé être NP-difficile. Ce pourquoi, nous avons choisi, tout d abord, d étudier de façon fine une solution exacte utilisant un algorithme optimisé de type séparation et évaluation applicable au cas d un flow-shop de permutation. Puis, nous nous sommes attachés à développer un certain nombre d heuristiques. Le présent mémoire est organisé en quatre chapitres : - Le premier chapitre présente les éléments essentiels qui introduisent et préparent la formulation des problèmes étudiés. Nous commençons par un rapide rappel de la théorie de l ordonnancement dans le but de situer le modèle du flow-shop parmi les autres modèles classiques ; nous adoptons pour ces modèles la notation définie par Blazewicz Blazewicz et al., 996]. Nous donnons également un bref rappel des définitions et des concepts de base de la théorie de la complexité afin de faciliter la lecture des preuves de complexité mais aussi de ustifier la démarche adoptée par la suite. Nous précisons que les méthodes de résolution d un problème d ordonnancement se classent en deux sous-classes que sont les méthodes dédiées et les méthodes génériques. Dans une deuxième partie de ce chapitre, nous présentons les différents travaux ayant traité des problèmes flow-shop sans temps d arrêt (no-idle) sur les 2

19 Introduction machines ainsi qu une analyse de complexité du problème principal traité dans cette thèse à savoir le flow-shop de permutation avec la contrainte no-idle. - Le deuxième chapitre est consacré à la résolution exacte du problème F / no idle / C max. Baptiste et Hguny Baptiste et Hguny, 997] ont proposé, à cette fin, un algorithme de type séparation et évaluation qui adopte un critère d optimisation s appuyant sur une hypothèse restrictive. Nous reprenons cet algorithme et nous généralisons son applicabilité. Ce faisant, nous développons un certain nombre de propriétés et de résultats utiles, notamment pour ce qui concerne la complexité de résolution. - Dans le troisième chapitre, une heuristique de résolution en O(n * log(n)), n étant le nombre de travaux à ordonner, est proposée pour le cas d un flow-shop à contrainte no-idle et à trois machines. Cette heuristique exploite la règle de Johnson Johnson, 954] définie pour le cas d un problème flow-shop à deux machines. La performance de cette heuristique est évaluée par rapport à une borne inférieure calculée ainsi que par rapport au résultat trouvé en utilisant un solveur universel (Lingo) Lindo, 999]. Nous étudions ensuite une résolution moins fine mais applicable à un nombre m quelconque de machines (m 2) et ce, en empruntant une modélisation sous la forme d un problème de voyageur de commerce. Pour cela, nous présentons une étude bibliographique sur les différents types de problèmes de voyageur de commerce ainsi qu un bref historique sur les méthodes de résolution existantes. Parmi ces méthodes, la «méthode de la plus proche insertion» s avère être celle qui s adapte le mieux au problème étudié. Nous développons cette adaptation et nous comparons ses résultats : (i) par rapport aux solutions exactes calculées par énumération, (ii) par rapport aux résultats obtenus à l aide du solveur Lingo et (iii) par rapport aux résultats trouvés par l algorithme de type séparation et évaluation étudié dans le deuxième chapitre. Dans la dernière partie de ce chapitre, le cas particulier d un atelier de fonderie de type flow-shop hybride (i.e. à étages) est présenté puis modélisé et résolu en étendant les résultats trouvés pour le cas simple du flowshop no-idle à trois machines. - Dans le quatrième chapitre, nous étudions la relaxation de la contrainte no-idle pour le cas où le nombre de machines est limité à 5 alors que le nombre de travaux est quelconque. Nous introduisons alors la notation F / h idle / C max pour formuler les problèmes no-idle dans lesquels h arrêts sont permis. Ce chapitre commence par une synthèse bibliographique sur 3

20 Introduction l utilisation des insertions d un ou de plusieurs temps d arrêts dans un ordonnancement noidle afin d optimiser un critère particulier (minimisation des avances, minimisation des retards, etc). Nous nous intéressons ensuite à l optimisation du C max avec la relaxation de la contrainte no-idle à un ou deux arrêts autorisés. Dans un premier temps, nous étudions la meilleure insertion d un temps d arrêt dans une solution no-idle donnée, qui optimise le C max. Le résultat trouvé s applique à un nombre de machines quelconque. Dans un deuxième temps, nous rapportons une expérimentation effectuée sur un nombre relativement important d exemples et qui consiste à calculer une solution à des problèmes F / idle / C max ou F / 2 idle / C max de deux manières : (i) en partant d une solution F / no idle / C max et en cherchant la meilleure insertion d un ou deux temps d arrêt et (ii) en partant d une solution F // C max et en réduisant à un ou deux le nombre de temps d arrêt. Une conclusion générale récapitule et commente les résultats de cette thèse puis introduit quelques nouvelles directions de recherche qu il nous semble intéressant de suivre. 4

21 Chapitre Ordonnancement no-idle Nous nous intéressons, dans ce chapitre, à la présentation des problèmes d ordonnancement d une manière générale et à une synthèse bibliographique portant de façon particulière sur l ordonnancement avec la contrainte no-idle.. De l ordonnancement en général.. Terminologie L'ordonnancement est un champ d'investigation qui a connu un essor important ces quarante dernières années, tant par les nombreux problèmes identifiés que par l'utilisation et le développement de nombreuses techniques de résolution. Les problèmes d'ordonnancement se rencontrent souvent dans le milieu industriel. Il s'agit de répartir un ensemble de travaux sur des machines ou ateliers de production en respectant au mieux un ensemble de contraintes (technologiques, temporelles, ) et en cherchant à optimiser un ou plusieurs obectifs (cadence de production, délais, coûts, ). En informatique, on est également confronté aux problèmes d'ordonnancement pour allouer des processeurs à l'exécution des programmes. Nous citons brièvement d'autres domaines d'application des problèmes d'ordonnancement : génie civil (suivi de proets), administration (gestion du personnel, emploi du temps) ou encore toute structure automatisée. Dans un problème d'ordonnancement, quatre notions fondamentales interviennent. Ce sont les travaux (ou obs), les ressources, les contraintes et les obectifs. Un travail (on dit aussi tâche) est défini par un ensemble d'opérations qui doivent être exécutées. Une ressource est un 5

22 Chapitre : Ordonnancement no-idle moyen matériel (machine) ou humain intervenant dans la réalisation d'un travail. Les contraintes représentent les limites imposées par l'environnement ou les ressources, tandis que les obectifs sont les critères à optimiser. La résolution d'un problème d'ordonnancement consiste à déterminer Gotha, 93] : - le placement des travaux dans l espace, c est-à-dire sur les ressources, - le placement des travaux dans le temps, c'est-à-dire les instants de début d'exécution de chaque travail sur chacune des ressources qui participent à sa réalisation. Ce placement découle de l ordre de prise en charge des travaux par les ressources. Pour alléger l exposé, nous utiliserons désormais le terme "machine" pour désigner une ressource quel qu en soit le type. Dans de nombreux problèmes d'ordonnancement, deux hypothèses de base sont généralement respectées : - A chaque instant, une machine ne peut exécuter qu'un seul travail. - A chaque instant, un travail peut être exécuté par une machine au plus. Cependant, il y a des problèmes d'ordonnancement plus spécifiques : - L'ordonnancement par lots (batch), où une machine peut exécuter plusieurs travaux simultanément. - L'ordonnancement avec chevauchements, où les opérations d un même travail peuvent être en cours d'exécution sur plusieurs machines à un même instant. Aussi, deux modes d exécution sont possibles : - avec préemption : l'exécution d'une opération peut être interrompue puis reprise sur une des machines, - sans préemption : si une opération a commencé, elle doit être menée usqu au bout sur la même machine, sans interruption. Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes respectant les deux hypothèses présentées ci-dessus, avec mode d exécution sans préemption. On représente souvent un ordonnancement par un diagramme de Gantt. Un tel diagramme met en évidence l'occupation des machines par les différents travaux ainsi que les temps morts. La figure. présente un ordonnancement pour un problème à trois machines et trois travaux. 6

23 Chapitre : Ordonnancement no-idle Affectation J 3 J J 2 J i Machines J 2 J 3 J Temps mort J J 2 J 3 Temps Figure.. Exemple de diagramme de Gantt Un ordonnancement est dit sans délai si et seulement si la séquence des opérations composant tout travail est exécutée sur les différentes machines sans aucune mise en attente. Un ordonnancement est dit sans temps mort (ou sans arrêt) si et seulement si aucune machine n est mise en attente tant que tous les travaux qui lui sont affectés ne sont pas encore traités. Les problèmes d'ordonnancement se divisent en deux grandes catégories selon le nombre d'opérations nécessaires à la réalisation de chaque travail. La première catégorie regroupe les problèmes pour lesquels chaque travail nécessite une seule opération, la deuxième regroupe ceux pour lesquels chaque travail requiert plusieurs opérations. La première catégorie se subdivise à son tour en plusieurs types de problèmes, en fonction de la configuration de machines considérée : - Machine unique : tous les travaux sont appelés à être exécutés sur une même machine Lenstra et al., 977], Koulamas, 996], Blazewicz et al., 997] - Machines dédiées : plusieurs machines, chacune étant spécialisée pour l exécution de certains travaux. - Machines parallèles : plusieurs machines, qui remplissent toutes les mêmes fonctions. Dans le dernier cas, on distingue trois modèles différents de machines en fonction des vitesses de celles-ci: - Machines identiques : toutes les machines présentent la même vitesse d exécution quelle que soit le travail Karp, 972], Graham, 966]. - Machines uniformes : la vitesse d'une machine diffère d une autre par un coefficient de proportionnalité Graham et al., 979], Labetoulle et al., 984]. - Machines indépendantes (on dit aussi non liées) : chaque machine présente une vitesse particulière pour chaque travail ; la durée opératoire d'un travail dépend donc du travail et de la machine qui l'exécute Bruno et al., 974], Ibarra et Kim, 977], Lawler et Labetoulle, 978]. 7

24 Chapitre : Ordonnancement no-idle Les problèmes de la deuxième catégorie sont dits problèmes d atelier du fait de la nécessité du passage de chaque travail sur deux ou plusieurs machines dédiées. Ils sont généralement spécifiés par la donnée de m machines et de n travaux composés chacun de m opérations ; chaque opération devant être exécutée par une machine différente. Trois sous-classes de problèmes sont alors différenciées selon le mode de passage des opérations sur les différentes machines, à savoir : - Open-shop : l'ordre de passage des opérations sur les machines est libre Gonzalez et Sahni, 976], Kubiak et al., 99], Wagneur et Sriskweather, 993]. - Flow-shop : l'ordre de passage des opérations sur les machines est le même pour tous les travaux Ignall et Schrage, 965], Garey et al., 976], Dannenbring, 977], Gonzalez et Johnson, 979], Reeves, 995]. - Job-shop : chaque travail a un ordre propre de passage des opérations sur les machines. Mellor, 966], Blackstone et al., 982], Pinedo, 995]. Un problème flow-shop est dit de permutation s'il existe une contrainte selon laquelle toutes les machines doivent exécuter les n travaux dans le même ordre Johnson, 954], Lageweg et Lenstra, 978], Monma et Rinnoy Kan, 983], Potts et al., 99]. A partir de ces modèles de base, d autres modèles d'ordonnancement peuvent être définis afin de répondre à des problèmes industriels spécifiques. Dans le cas particulier du flow-shop, lorsque une même opération peut être exécutée par une machine disponible en plusieurs exemplaires, on parle de flow-shop hybride. Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à des problèmes flow-shop (de permutation ou non et hybride ou non)..2. Classification Pour présenter un problème d'ordonnancement, nous adoptons un formalisme issu des travaux de Conway Conway et al., 967] et Rinnoy Kan Rinnoy Kan, 976] permettant de distinguer les problèmes d'ordonnancement entre eux et de les classer. Tel que repris par Blazewicz dans Blazewicz et al., 996], ce formalisme contient trois champs séparés par des slashs (α/β/δ). 8

25 Chapitre : Ordonnancement no-idle Le premier champ α représente l'organisation des ressources et est spécifié par la concaténation de deux éléments : α =αα2 o Le paramètre α représente la configuration de machines utilisées: (α {, P, Q, R, F, O, J}) α = : une seule machine est utilisée. α = P : plusieurs machines identiques sont disponibles. (i.e. les ressources sont composées de machines travaillant suivant la même cadence, disposées en parallèle et pouvant exécuter tous les travaux). α = Q : plusieurs machines parallèles uniformes sont disponibles. (i.e. les cadences des machines sont différentes (selon un facteur de proportionnalité), mais restent indépendantes des travaux. α = R : plusieurs machines indépendantes non liées sont disponibles. (i.e. les cadences des machines sont différentes et dépendent des travaux exécutés). α = F : plusieurs machines dédiées fonctionnant en flow-shop. (i.e. les travaux sont décomposés en plusieurs opérations qui doivent être exécutées sur l'ensemble des machines, celles-ci étant disposées en série pour un même routage). α = O : plusieurs machines dédiées fonctionnant en open-shop. (i.e. les travaux sont décomposés en plusieurs opérations qui doivent être exécutées sur l'ensemble des machines sans restriction sur le routage des travaux). α = J : plusieurs machines dédiées fonctionnant en ob-shop. (i.e. les travaux sont décomposés en plusieurs opérations qui doivent être exécutées sur l'ensemble des machines, mais peuvent avoir des routages différents). o Le paramètre α2 permet de préciser le nombre de machines composant l atelier ; il peut être égal à vide ou à un entier m. Dans le premier cas, cela signifie que le nombre de machines est quelconque. Dans le deuxième cas, cela signifie que l atelier est composé de m machines (m > 0). Le deuxième champ β représente les contraintes et les caractéristiques de l atelier. Il est formé de huit sous-champs, β = ββ2β3β4β5β6β7β8. o β {, preem} permet de préciser le mode d exécution. β = indique le mode sans préemption et β = preem indique le mode avec préemption. o β2 {, res} caractérise les ressources supplémentaires nécessaires à l'exécution d'un travail (outils, ressources de transport). β2 = indique qu'il n'y a pas de 9

26 Chapitre : Ordonnancement no-idle ressources complémentaires. β2 = res λδρ indique la nécessité des ressources complémentaires ; cette nécessité est détaillée par les valeurs de λ, δ et ρ. o β3 {, prec, tree, chain} précise un type de précédence entre travaux, c est-àdire le fait qu'un travail doit être exécuté avant un autre. La valeur indique que les travaux sont indépendants. Les valeurs prec, tree, chain indiquent l existence, respectivement, d une relation de précédence générale, d une relation de précédence sous forme d arbre et d une relation de précédence sous forme de chaîne. o β4 {, r } décrit les dates de disponibilité (i.e. dates au plus tôt) des différents travaux dans le système. Ces dates peuvent être identiques et égales à zéro pour tous les travaux (β4 = ) ou différentes suivant les travaux (β4 = r ). o β5 {, p = p, p p p } détaille les durées opératoires des différents travaux. Ces durées peuvent être fonction de la machine. Différentes restrictions peuvent également être considérées pour simplifier certains problèmes. β5 = : les travaux ont des durées opératoires arbitraires. β5 = p = p : tous les travaux ont une durée opératoire égale à p. β5 = p p p : les durées opératoires des travaux sont comprises entre p et p. o β6 {, d, ~ d } indique les éventuelles dates d'échéance (ou dates au plus tard) des travaux. β6 = : les travaux n'ont pas de date d'échéance. β6 = d : chaque travail a une date d'échéance de fin d exécution sous peine de pénalisation. β6 = ~ d : chaque travail a une date d'échéance impérative (date limite) qu'il faut absolument respecter. o β7 {, s, s i, s i, nwt} permet de spécifier des contraintes temporelles sur les enchaînements de travaux. Ces contraintes sont très souvent introduites afin de mieux représenter les problèmes réels. Il est parfois nécessaire de considérer un temps improductif entre l'exécution de deux travaux différents sur une même machine pour représenter les changements et les réglages d'outils. Ces temps de 0

27 Chapitre : Ordonnancement no-idle changement peuvent être constants (s), fonction du nouveau travail (s i ) ou bien fonction de l'enchaînement des deux travaux (s i ). Egalement, pour le cas des industries où l'on manipule de la matière en fusion, on doit pouvoir imposer que toutes les opérations d'un travail soient exécutées sans temps d'attente (β7 = nwt (no-wait)). Si on a besoin de spécifier que les machines, une fois qu elles commencent à travailler, ne doivent pas s arrêter qu après avoir terminé tous les travaux, alors β7 prend la valeur no-idle. o Enfin, le paramètre β8 {, M } indique, dans le cas de machines parallèles, des restrictions sur la polyvalence des machines. L'ensemble M représente l'ensemble des machines capables de réaliser le travail J. Lorsque β8 est vide, toutes les machines sont capables d'exécuter tous les travaux. Le troisième champ, γ, spécifie le critère à optimiser. Les critères les plus utilisés sont : γ = Cmax : makespan. Date de sortie du système (le dernier travail). ( Cmax = max C où C est la date de fin d'exécution du travail J ). γ = Σ C (ou C _ ) : somme des dates de fin d'exécution. La date C peut être pondérée et un deuxième critère pourra être défini γ = Σ w C, où w est le poids associé au travail J. γ = Lmax : décalage temporel maximal. Ce critère mesure la plus grande violation des dates d'échéance (Lmax = max {L = C - d } où d est la date de fin au plus tard). γ = Σ U : somme du nombre de travaux terminés avec retard (U = si le travail J est terminé après son échéance au plus tard). Un U peut être pondéré et un deuxième critère pourra être γ = Σ w U, où w est le poids associé au travail J. D une façon générale, un critère Z est dit critère régulier si, et seulement si, Z est une fonction croissante des dates de fin des travaux. Autrement dit, si et seulement si, quelles que soient les solutions d ordonnancement x et y de n travaux telles que C i (x) C i (y), on a Z(C (x),, C n (x)) Z(C (y),, C n (y)) Carlier et Chretienne, 988]. Un sous-ensemble d ordonnancements est dit dominant par rapport à un critère si ce sousensemble contient au moins un ordonnancement optimal relativement à ce critère.

28 Chapitre : Ordonnancement no-idle.3. Complexité Nous nous intéressons dans cette sous-section au cadre mathématique dans lequel les problèmes peuvent être classés en problèmes faciles ou difficiles. L'obectif est, d une part, de clarifier certaines affirmations et, d'autre part, de ustifier la démarche adoptée dans ce travail pour spécifier la complexité de certains problèmes étudiés. Plusieurs ouvrages Blazewicz et al., 996] et Xuong, 992] développent la théorie de la complexité. Un problème de décision est un énoncé auquel la réponse peut être uniquement oui ou non. Les problèmes de décision sont de deux types : les problèmes décidables et les problèmes indécidables. Un problème est dit indécidable s'il est impossible d'écrire un algorithme qui permet de décider de la réponse pour tous les cas de figures. Un problème de décision P est dit réductible à un autre problème de décision P2 (on note PαP2) s'il existe une fonction polynomiale f qui transforme chaque énoncé de P en un autre énoncé de P2 de telle manière que la réponse pour P est oui si, et seulement, si la réponse pour P2 est oui. Un algorithme est dit polynomial si sa complexité temporelle est bornée par un O(p(x)) où p est un polynôme et x est la longueur d une instance du problème. Il est dit pseudo-polynomial si sa complexité est bornée par un polynôme en fonction de la taille de la plus grande instance du problème. Un problème de décision décidable est dit NP s'il existe un algorithme polynomial qui permet de reconnaître une instance positive de ce problème (qui a la réponse oui). Parmi les problèmes NP, on distingue, d'une part, les problèmes Polynomiaux et, d'autre part, les problèmes dits NP-complets : - Un problème de décision est dit polynomial (on dit aussi appartenant à la classe P) s'il existe un algorithme polynomial en fonction de la taille des données qui permet de le résoudre. Un tel problème est dit facile. - Un problème NP-complet est un problème NP tel que tout problème NP est réductible polynomialement en ce problème. Pour démontrer qu'un problème Q est NP-complet, il faudra montrer qu il est de la classe NP et qu'il existe un problème R connu pour être NP-complet tel que RαQ. 2