Prise en compte de la flexibilité des cas de charges dimensionnants en optimisation de structure

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1 CSMA e Colloque National en Calcul des Structures Mai 213 Prise en compte de la flexibilité des cas de charges dimensionnants en optimisation de structure Dimitri BETTEBGHOR 1, Christophe BLONDEAU 2 1 Onera, Département Aéroelasticité et Dynamique des Structures, 2 Onera, Département Aéroelasticité et Dynamique des Structures, Résumé Bien souvent l optimisation de structures industrielles fait apparaître un ensemble de cas de charges dimensionnants provenant de différentes physiques. Dans le cas du dimensionnement de structures aéronautiques, les structures sont dimensionnées par rapport à des chargements aérodynamiques, aéroélastiques (manœuvres, rafale) ou encore des chargements provenant de différents fonctionnements du moteur (perte d aube). Ces cas de charges dépendent de la rigidité de la structure à dimensionner et donc des variables d optimisation. Idéalement, les analyses non linéaires dynamiques conduisant à ces cas de charges devraient êtres répétées à chaque itération de l algorithme d optimisation, conduisant alors à un temps de calcul prohibitif. On propose dans ce travail une stratégie innovante pour prendre en compte l aspect flexible de ces cas de charges. Face à la difficulté du couplage fort et surtout des sensibilités analytiques indispensables, l approche consiste alors à utiliser un métamodèle des cas de charges équivalents en fonction de design. Pour ce faire une stratégie de mélange d experts est utilisée pour prendre en compte les discontinuités de telles réponses. Mots clés optimisation de structure, contraintes dynamiques non linéaires, approche par cas de charge équivalent, réduction dimensionnelle et modèles réduits 1 Introduction et importance de la flexibilité des cas de charges dans le design Les cas de charges provenant de simulation aéroélastiques et de dynamique non linéaire sont critiques pour le dimensionnement de structures aéronautiques. Dans le cas du mât moteur par exemple, le phénomène de perte d aube moteur (Fan Blade Out) est critique pour le dimensionnement de la structure, d où l importance de considérer une simulation précise des charges provenant d un tel phénomène. Pour de nombreuses structures industrielles, l estimation des charges équivalentes à de tels phénomènes critiques se calcule à design fixé, alors qu en réalité, la rigidité globale de la structure considérée a un impact important sur ces charges équivalentes. Cette influence n est, en général, pas considéré dans le processus de dimensionnement. Cela peut conduire à un design sous-optimal du fait que les charges dimensionnantes ne correspondent pas aux charges actuelles calculées à partir du design final. Une première approche pour prendre en compte cette dépendance a été proposée dans [1]. Dans cette étude, les charges dimensionnantes perte d aube restaient fixes pendant l optimisation. A l issue d une optimisation, les charges équivalentes sont remises à jour et une nouvelle optimisation est relancée, toujours à cas de charges fixes et on itère ainsi jusqu à convergence des charges entre deux optimisations successives. Cette prise en compte de la dépendance de manière séquentielle est communément dénommée couplage faible et s applique du fait de sa facilité d implémentation dans de très nombreux cas, en optimisation (optimisation multiniveau [2], [3], optimisation multidisciplinaire [4]) mais aussi pour l analyse elle-même par exemple en aéroélasticité et plus généralement en interaction fluide-structure. En optimisation de structure de grande taille par exemple, ce type d approche est illustré par le critère heuristique Fully Stressed Design et conduit bien souvent à des design sous-optimaux. Enfin ce type de couplage en optimisation présente souvent des problèmes de convergence. 1

2 1.1 Calcul de charges et optimisation de structures dans le processus de conception L objet de cette étude est donc de proposer des stratégies de couplage permettant un couplage fort des charges dans le processus d optimisation. Par couplage fort, on entend une remise à jour des charges dès modification d une des variables de design. Une stratégie innovante est développée dans ce travail. Cette stratégie prend en considération directement la dépendance au travers de calculs de la sensibilité des charges aux variables de design sur la base d un métamodèle. Afin d expliciter cette stratégie, on commence par décrire l approche par cas de charge équivalents, voir à ce titre [5], [6], [7] et [8]. Les difficultés dans la prise en compte de phénomènes type rafale, perte d aube ou autre dans le design résident d une part dans la dépendance non linéaire des résultats (en général forces) par rapport aux variables d optimisation et d autre part dans le caractère transitoire de ces simulations. Par exemple, dans le cas du dimensionnement mât moteur par rapport à la perte d aube, les résultats d analyse non linéaire transitoire se présentent sous la forme d historique d efforts. 1.2 Exemples de charges critiques pour le dimensionnement avion On donne quelques exemples de charges critiques impliquées dans le dimensionnement d un avion. La plupart de ces charges critiques font intervenir ou bien de la dynamique non linéaire ou bien un couplage avec une physique autre que la mécanique en général non linéaire Design mât-moteur et installation motrice L ensemble mât-moteur, moteur et nacelle forme une structure complexe soumis à un ensemble de sollicitations qu il faut nécessairement simuler pour aboutir à un dimensionnement en accord avec les certifications. Au caractère multidisciplinaire de ce calcul de charges (dynamique non linéaire, aéroélasticité et thermique) s ajoute la difficulté supplémentaire des différents acteurs de cette conception. De fait, en général, la conception moteur est réservée aux motoristes et le mât-réacteur est conçu par l avionneur. Or en réalité ces deux design sont intimements liés au moins en termes de charges critiques car toute modification de la rigidité du mât-moteur aura un impact sur les réponses dynamiques du moteur et inversement. Pour illuster cette interdépendance liée aux charges, citons les charges critiques issues des phénomènes suivants : Perte d aube : la perte d aube et surtout la réponse de la structure après l impact sur le carter sont cruciales pour le dimensionnement mât-réacteur, voir [9] et [1]. La complète simulation de la perte d aube est pour le moment difficile car elle fait intervenir de nombreux phénomènes non linéaires (impact, non linéarités dues aux effets gyroscopiques, frottement, thermomécanique...) et nécessitent des modèles éléments finis détaillés (en particulier en cas d utilisation d un schéma explicite). Manoeuvres, rafales latérales : les manoeuvres et particulièrement celles asymmétriques induisent de hauts niveaux de sollicitations dans le mât réacteur. Ces dernières font intervenir une simulation aéroélastique et la géométrie complexe du carénage obligent à utiliser une aérodynamique sophistiquée plutôt qu une méthode simplifiée type doublets. Thermiques : les hautes températures induites par le flux d air sortant du moteur déforment la structure tant et si bien que la prise en compte de ces aspects thermiques oblige à appliquer des cas de charges thermiques à la structure. Or la distribution de température va bien sûr dépendre de la rigidité et des variables de design structure (e.g orientation des plis pour une structure composite). Atterrissages non conventionnels : les certifications nécessitent de prouver que la structure résiste lors d un atterrissage train rentré par exemple. Une simulation en général basée sur de la dynamique rapide est nécessaire, la réponse de la structure dépend là-encore de la rigidité globale Voilure et surfaces portantes De la même manière que pour l installation motrice, la conception des surfaces portantes dépend essentiellement de charges critiques calculées à partir de simulations aéroélastiques. Là encore la réponse aéroélastique dépend grandement de la rigidité (de membrane essentiellement) et donc du design. On peut citer, à titre d exemple, le couplage flexion/torsion positif obtenu en supprimant la règle d équilibrage 2

3 pour les panneaux stratifiés qui permet d améliorer les performances aéroélastiques (vitesse critique de divergence par exemple, voir [1]). Les charges critiques dépendant du design sont donc celles induites par : les manoeuvres, les rafales. 1.3 Intérêts de la prise en compte de la flexibilité Par "flexibilité" des charges au design, on entend la dépendance des réponses non linéaires citées plus haut au design qui affecte la rigidité globale de la structure. Cette dépendance peut en effet se révéler critique lors du design. En effet, le design structure est souvent réalisé à charges constantes tant et si bien qu à l optimum pourtant admissible sous les charges fixes, on peut obtenir si on procède à une réanalyse de ces charges, un design non admissible pour les nouvelles charges entraînant alors des retards dans le processus de conception. Traiter correctement cette dépendance permet donc de toujours réaliser le dimensionnement à charges réalistes et d éviter la discrépance finale entre les charges à l optimum et les charges fixes utilisées pour le design. 2 Défis scientifiques Contrairement au cas linéaire où la dépendance des réponses aux variables d optimisation est souvent simple 1. On peut d ailleurs bien souvent déduire de cette dépendance simple des résultats de monotonie, de convexité ou bien des approximations (Convex Linearization) utiles pour l optimisation. Dans le cas non linéaire, la réponse n exhibe plus de dépendance simple. Les difficultés pour traiter cette dépendance sont nombreuses. En premier lieu, les pratiques dans les bureaux d études font qu on traite rarement directement la réponse non linéaire dans un processus de conception mais plutôt une quantité dérivée jugée "équivalente", il s agit dès lors non plus seulement de dériver la réponse non linéaire par rapport aux variables d optimisation mais aussi de dériver le calcul de cette quantité intermédiaire. Une approche souvent retenue par exemple est l approche par cas de charge statique équivalent où l historique de la réponse est traitée de manière à obtenir un champ de forces et moments tels qu appliqués linéairement on obtienne une distribution de contrainte (ou de déformation) "équivalente" à la réponse non linéaire. On décrit dans un premier temps brièvement cette approche, puis on s intéresse à l analyse de sensibilité d une réponse non linéaire. 2.1 Approche par cas de charge statique équivalent L approche par cas de charge statique équivalent est une approche ancienne développée de longue date par les ingénieurs des bureaux d études afin d obtenir une représentation simple du chargement induit par les phénomènes non linéaires cités plus haut. Elle a été formalisée récemment par Park, voir par exemple [11] dans une approche appelée ESL Equivalent Static Load qui a été implémentée dans la dernière version de la solution d optimisation de MSC.Nastran. L idée consiste à construire un chargement équivalent à l analyse non linéaire en multipliant les déplacements non linéaires u NL par la matrice de rigidité linéaire K L, on obtient alors un ensemble de cas de charges f equi f equi = K L u NL (1) et d utiliser les chargements (fixes) f equi pour réaliser une optimisation statique linéaire, à convergence de l optimisation, le design a changé, on réalise une nouvelle analyse non linéaire, on en déduit un nouveau chargement équivalent puis on rejoue l optimisation jusqu à convergence du design et du chargement équivalent. Les résultats décrits dans [11] semblent intéressants en termes de nombre d analyses non linéaire. Néanmoins, l approche reste séquentielle, comme dit plus haut, cette approche en optimisation est analogue au couplage faible en interaction fluide-structure. On cherche donc à améliorer cette méthode en modifiant au cours des itérations d une optimisation les cas de charges équivalents, ceci pour indiquer à l optimiseur une information de sensibilité sur les contraintes équivalentes. Le but des sections 1 bien que non linéaire 3

4 suivantes est d illustrer en quoi l approche par couplage fort est pour le moment trop coûteuse pour être envisagé sur des structures réalistes essentiellement du fait du calcul de sensibilité trop complexe dans le cas d une réponse dynamique non linéaire. 2.2 Analyse de sensibilité de réponse non linéaire Contrairement à la mécanique des fluides, le calcul de sensibilité d une réponse non linéaire n a pas atteint un niveau de maturité suffisant pour être intégré dans des codes de calculs de structures commerciaux. La principale difficulté est que la non linéarité structure peut être d origine très diverse (conditions aux bords, géométrique, matériaux). De manière générale, la sensibilité d une réponse non linéaire est bien mieux maîtrisée dans le cas où la non linéarité est d origine géométrique que dans le cas d une non linéarité matériau, voir [12] Difficultés numériques Les approches numériques pour la sensibilité d une réponse non linéaire sont essentiellement les mêmes que dans le cas linéaire statique : approche directe et adjointe. La différence essentielle réside dans la résolution et l imbrication des schémas numériques avec les équations à résoudre pour l analyse de sensibilité. En effet, la résolution de problème mécanique non linéaire fait intervenir un système d équation non linéaire résolu bien souvent à l aide d une méthode itérative type Newton-Raphson. D autre part, le problème non linéaire est bien souvent résolu à l aide d une méthode de type incrémental qui permet de suivre la même solution dans le cas de perte d unicité de la solution. Ainsi la précision de la sensibilité d une réponse non linéaire est conditionnée à la résolution itérative de l analyse directe et des tolérances de ce calcul. D autre part, l historique de la réponse pour des charges incrémentales doit être conservé pour évaluer la sensibilité, tant et si bien que la sensibilité d une réponse non linéaire se révèle rapidement impraticable pour des structures réalistes mais reste toutefois accessible au prix d un effort de calcul et surtout de stockage considérable, voir [13], [14] et [15]. 2.3 Analyse de sensibilité de réponse transitoire L analyse de sensibilité pour une réponse transitoire linéaire est en général plus abordable en termes de coût de calcul que la sensibilité pour une réponse non linéaire. Il existe en plus des méthodes classiques (adjointe et directe) une autre méthode faisant intervenir la fonction de Green. La principale difficulté réside simplement dans la grande quantité de données qu il faut générer et gérer, car on doit résoudre un système équivalent en temps en même temps que l analyse directe, voir [16] et [17]. 2.4 Couplage fort et dérivé du cas de charge équivalent Comme dit précédemment la réponse non linéaire n est pas forcément la plus utile à dériver. De fait, on supposera dans la suite que l on construit un cas de charge équivalent à partir de la réponse transitoire non linéaire. Notons alors : x variables d optimisation K, C et M matrice de rigidité, matrice d amortissement et de masse initiale de la structure considérée. Elles ne dépendent donc pas du champ de déplacement u(t) mais des variables d optimisation x. On note K(t,u(x)), C(t,u(x)) et M(t,u(x)) les même matrices et leurs évolutions au cours de l analyse transitoire non linéaire. F equi le cas de charge statique équivalent. Il dépend au travers d un (ou de plusieurs) pas de temps considéré t i des variables de design x et des équations de la dynamique non linéaire, ce qu on note F equi (t i (x),u(x)). σ equi et u equi le champ de contraintes et le champ de déplacements obtenus en appliquant linéairement F equi dans la majorité des cas, notre problème d optimisation fera apparaître une contrainte du type σ min allow σ equi σ max allow (2) 4

5 Fig. 1 Modèle utilisé pour la perte d aube : mât-réacteur et moteur on cherche donc à dériver σ equi par rapport à x, σ equi s obtient à partir du champ de déplacement u equi qui vérifie donc K (x)u equi (x) = F equi (t i (x),u(t i,x)) (3) et en dérivant formellement on obtient donc u equi et la dérivée de F equi par rapport à x s écrit = K (x) 1( K F equi(t i (x),u(x)) ) (4) F equi (t i(x),u(t i,x)) = t i F equi t + u F equi u (5) où le terme F equi t peut être obtenu à partir de la dérivée u equi t où u equi vérifie M(t i,u equi (x))ü +C(t i,u equi (x)) u + K(t i,u equi (x))u = (6) et peut donc être facilement approchée à l aide des valeurs au pas de discrétisation précédent et suivant u equi t = u equi(t i 1 ) u equi (t i+1 ) 2 t (7) Le terme F equi u peut être facilement calculé en fonction de la non-linéarité géométrique ε(u). Le terme u peut être obtenu à l aide d une des techniques précédemment décrites (directe, adjoint, fonction de Green), enfin le terme t i est véritablement problématique, du fait de la dépendance très complexe des pas de temps considérés en fonction du design. En effet, bien souvent le pas de temps t i va dépendre du maximum et du minimum de u sur l historique considéré. Le pic en temps n a pas de raison d être continu par rapport au temps et cela d autant plus en raison de la non linéarité. Enfin et surtout, il n existe a priori pas de formule explicite ou même implicite simple permettant de lier t i aux paramètres de design. 2.5 Approche par modèles réduits non physiques Face aux nombreuses difficultés numériques et théoriques d une analyse de sensibilité directe, l originalité de notre approche consiste à utiliser non pas un modèle exact du cas de charge mais une approximation non physique construite sur des simulations numériques : i.e un métamodèle. L avantage d une telle approximation, en plus de l évaluation rapide du cas de charge et de fournir une dérivée approchée du cas de charge équivalent. 3 Cas test : dimensionnement mât-réacteur avec perte d aube 3.1 Perte d aube On prend ici comme cas test, le cas de charge critique résultant de la perte d aube pour le dimensionnement mât-réacteur. Ce cas traité dans le cas d une étude précédente [9] (optimisation bi-objective avec 5

6 x 1 Pylon engine attachment force (front mount) release angle 2 Axial load in left strut for t = 1 6 untill t =.21 s Axial load in right strut for t = 1 6 untill t =.21 s Minimum for axial load in left strut for t = 1 6 untill t =.21 s 1.5 Maximum for axial load in right strut for t = 1 6 untill t =.21 s FBO impact at t=.2s Axial load in left strut for t = 1 6 untill t =.22 s Axial load in right strut for t = 1 6 untill t =.22 s 1.5 Load (N) Time (s) Fig. 2 Comparison des historiques pour différents choix de pas de temps variable consommation moteur) nous permet de disposer d un processus complet de simulation dynamique non linéaire et du calcul du cas de charge équivalent. Cette simulation est décrite dans la référence déjà citée [9]. L idée est d utiliser des modèles implicites en imposant par exemple un couple de frottement et une vitesse de rotation variable de l aube (ces données macroscopiques résultant de simulations conduites sur des modèles très fins par le motoriste). Le modèle utilisé est représenté Fig. 1. Notons que le processus pour construire le cas de charge équivalent à la perte d aube est le suivant : on contrôle l historique des efforts transitant dans les attaches mât-réacteur/moteur et voilure/mât-réacteur. On identifie pour chacune de ces attaches et degrés de liberté un pas de temps critiques où la force est à son maximum/minimum. On construit alors le chargement statique équivalent en récupérant les forces en moment en chacun des éléments du moteur Choix d un pas de temps pour la simulation de perte d aube Comme décrit dans [9], l impact de l aube est imposé pendant une durée très courte.3s. Le pas de temps de la simulation doit donc être du même ordre de grandeur voire inférieur pour intégrer correctement cet effort imposé. Néanmoins, un tel pas de temps sur l ensemble de la simulation (plusieurs secondes) conduit à des temps de calculs prohibitifs pour estimer l influence du changement de design sur le pic. On a donc cherché à changer ce pas de temps au cours de la simulation pour garder un temps d analyse raisonnable (plusieurs heures). Ce choix du pas de temps variable est illustré Fig. 2. Pour des raisons de conservativité, nous avons choisi le pas de temps variable menant aux efforts les plus élevés Dépendance des pics et cas de charges équivalents Afin d estimer l impact du design sur le cas de charge équivalent perte d aube, on multiplie les épaisseurs nominales du mât-réacteur (initialement dimensionné par Airbus France) par un facteur α entre.8 et 1.2, on varie donc entre 2% et +2%. L impact sur les forces et moments est représenté Fig. 3(a). On observe donc une réponse discontinue du fait des changements de pas de temps critiques et donc d état transitoire de la structure aux temps où l on construit les cas de charges. Néanmoins, quand le pas de temps reste le même, on observe une variation assez régulière et peu importante (de l ordre de 5 à 1%) des charges équivalentes. 6

7 Equivalent load (N) 2 1 Equivalent load (N) Variation from nominal thickness Variation from nominal thickness (a) Variation du chargement équivalent (b) Clustering 4 3 Mixture of RBF reconstruction Full data set 4 3 Global RBF Mixture of RBF Equivalent load 2 1 Equivalent load (N) Variation from nominal thickness Variation from nominal thickness (c) Approximation par mélange de RBF (d) Comparaison avec une RBF globale Fig. 3 (a) Variation des charges équivalentes avec le design (b) Etape de clustering (c) Approximation par mélanges de RBF (d) Comparaison avec un modèle RBF global 3.2 Utilisation de mélange d experts Pour approcher de manière précise de telles discontinuités, nous appliquons une technique de métamodélisation récente destinée à prendre en compte les discontinuités en approchant la fonction de part et d autre du domaine par un modèle local. Cette stratégie décrite dans [18] fait partie des techniques de mélange d experts et peut s appliquer dans n importe quel contexte d approximation où les fonctions à approcher font apparaître des discontinuités ou des discontinuités des dérivés (flambage composites par exemple [19], optimisation bi-niveau [2]). La stratégie de mélange d experts se base sur le clustering (ou partitionnement) des points de calcul dans l espace conjoint entrées-sorties Fig. 3(b). Une fois ce partitionnement réalisé, on entraîne sur chacune des régions un modèle (ici Radial Basis Function RBF Fig. 3(c)). A titre d exemple, en comparant avec un modèle RBF global, on observe que la discontinuité entraîne de larges oscillations du modèle global. En mesurant sur un ensemble test indépendant, on obtient les erreurs suivantes : - ERROR METRICS - SCALAR METRICS - - Mean Squared Error.4 - R Mean relative error (in %).1 % - Mean absolute error.16 - Max relative error (in %).42 % - Max absolute error.47 On observe que le modèle est parfaitement approché (MSE = ) et peut donc être intégré dans une stratégie d optimisation. 7

8 4 Conclusion On cherche dans ce travail à trouver des stratégies pour prendre en compte la variation des cas de charges dimensionnants en fonction du design pour des structures réalistes. Face à la complexité des calculs de sensibilités analytiques et le caractère non différentiable du temps critique où l on construit les cas de charges équivalents, une stratégie de métamodélisation est utilisée qui permet de prendre en compte les discontinuités des charges. La précision du métamodèle semble appropriée pour être utilisé dans un algorithme d optimisation. Il reste à valider cette approche en l intégrant dans un processus complet d optimisation. Références [1] S. Grihon. Pylon design optimisation. In Forum 1, VIVACE project, 25. [2] A. Merval. Application des modeles réduits à l optimisation multi-niveau de structures aéronautiques. These SupAéro, 28. [3] Manuel Samuelides, Dimitri Bettebghor, Stéphane Grihon, Antoine Merval, and Joseph Morlier. Modeles réduits en optimisation multiniveau de structures aéronautiques. In 9e Colloque national en calcul des structures, pages 25 29, 29. [4] Simon Tosserams, L FP Etman, and JE Rooda. A classification of methods for distributed system optimization based on formulation structure. Structural and Multidisciplinary Optimization, 39(5) :53 517, 29. [5] S. Cho and KK Choi. Design sensitivity analysis and optimization of non-linear transient dynamics. part i sizing design. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 48(3) : , 2. [6] S. Cho and KK Choi. Design sensitivity analysis and optimization of non-linear transient dynamics. part ii configuration design. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 48(3) : , 2. [7] WS Choi and GJ Park. Structural optimization using equivalent static loads at all time intervals. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191(19) : , 22. [8] JJ Tsay and JS Arora. Nonlinear structural design sensivitity analysis for path dependent problems. part 1 : General theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 81(2) :183 28, 199. [9] D. Bettebghor, C. Blondeau, D. Toal, and H. Eres. Bi-objective optimization of pylon-engine-nacelle assembly : weight vs. tip clearance criterion. Structural and Multidisciplinary Optimization, 213. [1] M. Kameyama and H. Fukunaga. Optimum design of composite plate wings for aeroelastic characteristics using lamination parameters. Computers & structures, 85(3) : , 27. [11] G.J. Park. Technical overview of the equivalent static loads method for non-linear static response structural optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 43(3) : , 211. [12] K.K. Choi and N.H. Kim. Structural sensitivity analysis and optimization : nonlinear systems and applications, volume 2. Springer, 25. [13] JJ Tsay and JS Arora. Nonlinear structural design sensitivity analysis for path dependent problems. part 1 : General theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 81(2) :183 28, 199. [14] JJ Tsay and JS Arora. Optimum design of nonlinear structures with path dependent reponse. Structural and Multidisciplinary Optimization, 1(4) :23 213, [15] YI Kim, GJ Park, RM Kolonay, M. Blair, and RA Canfield. Nonlinear dynamic response structural optimization of a joined-wing using equivalent static loads. Journal of aircraft, 46(3) : , 29. [16] S. Cho and KK Choi. Design sensitivity analysis and optimization of non-linear transient dynamics. part 1 : sizing design. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 48(3) : , 2. [17] Raphael T Haftka and Zafer Gürdal. Elements of structural optimization, volume 11. Springer, [18] Dimitri Bettebghor, Nathalie Bartoli, Stéphane Grihon, Joseph Morlier, and Manuel Samuelides. Surrogate modeling approximation using a mixture of experts based on em joint estimation. Structural and Multidisciplinary Optimization, 43(2) : , 211. [19] Dimitri Bettebghor and Nathalie Bartoli. Approximation of the critical buckling factor for composite panels. Structural and Multidisciplinary Optimization, 46(4) : , 212. [2] Dimitri Bettebghor, Nathalie Bartoli, Stephane Grihon, Joseph Morlier, Manuel Samuelides, et al. Approche en paramètres de stratification pour l optimisation biniveau de structures composites. In 1e colloque national en calcul des structures,

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