Monsieur V., enseignant de mathématiques de son état, a donné le même DS sur le chapitre «Coordonnées dans le plan» à ses trois classes de seconde.

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1 Préliminaire : 2 Inverse Statistiques descriptives Au Stade de France, le 10 juillet 2016, la France perdait la finale de l euro contre le Portugal. Voici la répartition du nombre de buts par match lors de cette compétition. Nombre de buts Nombre de matchs ) Combien y a-t-il eu de matchs? 2) Ursule a relevé le nombre de buts de chaque match en classant cette liste par ordre croissant. a) Quels sont les 7 premiers scores qu il a écrit? b) Quels sont les 7 derniers scores qu il a relevé? 3) Quel nombre se trouve au milieu de sa liste? Donner une interprétation de ce nombre. ) Quel nombre se trouve en 13 ième position? Donner une interprétation de ce nombre. 5) Quel nombre se trouve en 39 ième position? Donner une interprétation de ce nombre. 6) Calculer le nombre moyen de buts par match. Monsieur V., enseignant de mathématiques de son état, a donné le même DS sur le chapitre «Coordonnées dans le plan» à ses trois classes de seconde. Partie I : la classe de S7 Voici les 33 notes relevées en S7 au fur et à mesure de la correction des copies ) Compléter le tableau Classe de S7 Notes Total Effectifs Fréquences Effectifs cumulés croissants 2) Donner, à l aide de phrases précises, une interprétation de chacun des nombres contenus dans les cases grises. 3) Expliquer comment calculer «à la main» chacun des nombres contenus dans les cases grises. ) Déterminer la note moyenne de la classe de S7. Expliquer. 5) Dans la liste ordonnée, donner les valeurs de «rang 1», de «rang», «de rang 13». 6) Déterminer la note médiane de la classe de S7. Expliquer. 7) Déterminer le premier quartile Q 1. Expliquer. 8) Déterminer le troisième quartile Q 3. Expliquer. 9) Déterminer l étendue des notes. 10) Déterminer l intervalle interquartile. 11) Déterminer l écart interquartiles. 12) Déterminer le mode de la série. 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 1 sur 8

2 Partie II : la classe de S6 Voici, présentés dans une feuille de tableur, les résultats des élèves de S6. 1) Seuls les nombres de la ligne 2 et de la ligne 3, sauf ceux de la colonne «Total» ont été entrés à la main. Tous les autres sont le résultat d une formule entrée dans la case où se trouve le nombre. a) Quelle formule a été entrée dans la case B5? b) Quelle formule a été entrée dans la case C5? c) Pour remplir les cases D5 à T5, la formule de la case C5 a été recopiée dans ces cases. Quelle formule apparait alors dans la case R5? d) Quelle est la formule contenue dans la case F? e) Quelle formule a été tapée dans la case U3? f) Quelle est la formule contenue dans la case U? 2) Si on ordonnait les notes de la plus basse à la plus haute, quelles seraient les 7 premières notes? 3) Déterminer la note moyenne. ) Interpréter cette moyenne par des phrases : que signifie ce nombre (on ne demande pas comment le calculer)? 5) Déterminer la note médiane. 6) Interpréter cette médiane par des phrases : que signifie ce nombre (on ne demande pas comment le calculer)? 7) Déterminer le premier quartile. 8) Interpréter le premier quartile : que signifie ce nombre (on ne demande pas comment le calculer)? 9) Déterminer le troisième quartile. 10) Interpréter le troisième quartile : que signifie ce nombre (on ne demande pas comment le calculer)? Partie III : la classe de S2 Dans la classe de S2, la note moyenne est de : 13,7 La note médiane est de : 15 Le premier quartile Q 1 est de : 12 Le troisième quartile Q 3 est de : 17 1) Classer les trois classes par ordre de réussite. Expliquer. 2) Pour la classe de S2, donner l intervalle interquartile. Donner en une interprétation. 3) Entre la classe de S6 et la classe de S7, quelle est la plus homogène? ) Entre la classe de S6 et la classe de S2, quelle est la plus homogène? 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 2 sur 8

3 5) Comment sont construites les «boites à moustaches» suivantes? Question = 51 Il y a eu 51 matchs disputés lors de cet euro. Pour corriger le préliminaire Question 2 Il y a eu matchs avec 0 but : les quatre premiers scores par ordre croissant Il y a eu 13 matchs avec 1 but : les 13 scores suivants dans la liste Donc les 7 premiers nombres dans la liste d Ursule sont : Il y a eu 12 matchs avec 3 buts Il y a eu 3 matchs avec buts Il y a eu aucun match avec 5 buts (Ursule n a pas de 5 dans sa liste) Il y a eu 1 match avec 6 buts Il y a eu 1 match avec 7 buts Les 7 derniers nombres dans la liste sont : Question 3 Pour répondre aux questions 3 et, l outil adapté ici est de calculer les effectifs cumulés croissantes Nombre de buts Nombre de matchs Effectifs cumulés croissants Ainsi, par exemple, il y a eu 6 matchs pour lesquels il y a eu 3 buts ou moins de 3 buts marqués il y a eu 50 matchs pour lesquels il y a eu 6 buts ou moins de 6 buts marqués. Comme 51 = , la valeur centrale est celle de rang 26 dans la liste d Ursule : c est un valeurs 25 valeurs Pour au moins la moitié des matchs, le nombre de buts a été de 2 buts ou moins de 2 buts Pour au moins la moitié des matchs, le nombre de buts a été de 2 buts ou plus de 2 buts On dit que le nombre médian de buts par match est 2. 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 3 sur 8

4 Question Nombre de buts Nombre de matchs Effectifs cumulés croissants Ainsi, par exemple, il y a eu 6 matchs pour lesquels il y a eu 3 buts ou moins de 3 buts marqués il y a eu 50 matchs pour lesquels il y a eu 6 buts ou moins de 6 buts marqués. Comme 1 51 = 12,75, la valeur de rang 13 dans la liste d Ursule est un des valeurs (ou juste un peu plus) juste un peu moins des 3 des valeurs Pour au moins le quart des matchs, le score a été de 1 but ou moins de 1 but Pour au moins trois quarts des matchs, le score a été de 1 but ou plus de 1 but On dit que le premier quartile de la série du nombre de but par match est 1. Question 5 Nombre de buts Nombre de matchs Effectifs cumulés croissants Ainsi, par exemple, il y a eu 6 matchs pour lesquels il y a eu 3 buts ou moins de 3 buts marqués il y a eu 50 matchs pour lesquels il y a eu 6 buts ou moins de 6 buts marqués. Comme 3 51 = 38,25 la valeur de rang 39 dans la liste d Ursule est un des valeurs (ou juste un peu plus) juste un peu moins des 1 des valeurs Pour au moins trois quarts des matchs, le score a été de 3 buts ou moins de 3 buts Pour au moins le quart des matchs, le score a été de 3 buts ou plus de 3 buts On dit que le troisième quartile de la série du nombre de but par match est 3. Question 6 Le nombre total de buts : Le nombre de match : La moyenne : = ,11 Lors de cet euro, il y a eu, en moyenne, 2,11 buts par match. 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page sur 8

5 Question 1 Pour corriger la partie I Question 2 a) Ligne Effectifs : Trois élèves de S7 ont obtenu la note de 6 sur 20. b) Ligne Fréquences : 0,03 3 Environ 3% des élèves de S7, ont été notés 11 sur c) Ligne Effectifs Cumulées Croissants : 8 élèves de S7 ont une note inférieure ou égale à 6 au DS. Question 3 a) Ligne Effectifs : il suffit de remarquer que dans la liste, il y a 3 élèves de S7 qui ont obtenu la note de 6 sur 20. b) Ligne Fréquences : 1 élève sur les 33 élèves de la classe a obtenu la note de 11 sur 20. c) Ligne Effectifs Cumulées Croissants : Première idée : = 8 (les cinq premiers nombres de la ligne Effectifs) ,03 Seconde idée plus rapide : on remarque que a déjà été calculé (case à gauche de la grise dans la ligne des Effectifs cumulés croissants) et on a trouvé 5. Il suffit de faire Question Somme totale des notes : Effectif total : Donc la formule pour la moyenne : = ,03 Question 5 Si on classait les notes de la plus basse à la plus haute, on aurait : et ainsi de suite On dit que dans cette liste ordonnée que la valeur de «rang» est 5. La valeur de «rang 1» est 2 La valeur de «rang 13» est 12. Les valeurs de «rang 6», de «rang 7», de «rang 8» valent toutes les trois 6. 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 5 sur 8

6 On peut déterminer ces valeurs sans écrire la liste ordonnée de toutes les notes. D après la ligne des Effectifs cumulés croissants : les 23 plus basses notes sont inférieures ou égales à copies ont une note inférieure ou égale à 16. La valeur de «rang 25» est 16 (ainsi que les valeurs de «rang 2», de «rang 26», de «rang 27», de «rang 28»). Question = 16,5 donc 33 = Dans la série ordonnée, la valeur de «rang» 17 est la seule valeur centrale. A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on détermine la valeur de «rang 17». Donc M e = Question 7 = 8,25 A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on détermine la valeur de «rang 9». Donc Q 1 = 8 Question = 2,75 A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on détermine la valeur de «rang 25». Donc Q 3 = 16 Question 9 Etendue = Plus grande valeur Plus petite valeur = 19 2 = 17 Question 10 L intervalle interquartile est : [ Q 1 ; Q 3 ] = [ 8 ; 16 ] Question 11 L écart interquartile est Q 3 Q 1 = 16 8 = 8 Question 12 Le mode de la série est la valeur la plus fréquente : 16 (il peut y en avoir plusieurs). Pour corriger la partie II Question 1 a) Case B5 = B3 b) Case C5 = B5 + C3 La formule = B3 + C3 donne le bon résultat mais est une très mauvaise idée : elle ne pourra pas être recopiée dans les cases suivantes. c) Case R5 = Q5 + R3 d) Case F = F3 / 32 ou encore mieux = F3 / $U$3 e) Case U3 = somme(b3 : T3) f) Case U = somme(b: T) Question 2 Les sept premières notes de la série ordonnée par ordre croissant sont : Question 3 La note moyenne : ,906 11,9 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 6 sur 8

7 Question Première interprétation : la moyenne est le nombre qui «égalise». Si on remplace chacune des notes par la moyenne, la somme totale des notes de la classe ne change pas. Seconde interprétation : les écarts à la moyenne se compensent exactement. Voici ci-dessous, le détail des notes. La deuxième ligne donne les écarts entre chacune des notes et la moyenne : L écart entre 19 et la moyenne 10,906 est : 19 10,906 7,1 L écart entre 12 et la moyenne est : 12 10,906 0,1 L écart entre 8 et la moyenne est : 8 10,906 3,9 La somme de ces écarts à la moyenne vaut 0. Quand on remplace chacune des notes par la moyenne, on commet des écarts en plus ou en moins, mais ces écarts se compensent exactement! Question 5 L effectif total est 32. On a : 32 = 16 donc 32 = Dans la série ordonnée, il y a deux valeurs centrales la valeur de «rang 16» et la valeur de «rang 17». A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on les détermine : La valeur de «rang 16» est : 11. La valeur de «rang 17» est : 12 Donc la médiane est : M e = = 11,5 (d après la définition retenue par les programmes officiels) Question 6 Au moins la moitié des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note inférieure ou égale à 11,5. Au moins la moitié des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note supérieure ou égale à 11,5. Question 7 32 = 8 A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on détermine la valeur de «rang 8». Donc Q 1 = 8 Question 8 Au moins le quart des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note inférieure ou égale à 8. Au moins trois quarts des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note supérieure ou égale à 8. Question = 2 A l aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on détermine la valeur de «rang 2» : Q 3 = 16 Question 10 Au moins les trois quarts des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note inférieure ou égale à 16. Au moins le quart des élèves de la classe de S6 ont obtenu une note supérieure ou égale à Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 7 sur 8

8 Question 1 Pour corriger la partie III Pour une comparaison, il faut bien préciser le critère retenu, car suivant le choix fait, l ordre peut changer! En utilisant la moyenne : Les classes de S2, S6, S7 ont pour moyennes respectives 13,7 11,9 12. Suivant ce critère, les S6 ont moins bien réussi que les S7 (la différence est minime et peu significative), les S7 ont moins bien réussie que les S2 (la différence est importante). En utilisant la médiane : cela revient à comparer les notes des élèves en milieu de classement dans chaque classe. Les moyennes sont sensibles aux valeurs extrêmes. Par contre la médiane, n est pas sensible aux valeurs extrêmes (mais elle ne prend pas en compte la valeur exacte de toutes les valeurs). Les classes de S2, S6, S7 ont pour médianes respectives 15 11,5 13. Suivant ce critère, les S6 ont moins bien réussi que les S7, les S7 ont moins bien réussie que les S2. Question 2 Pour la classe de S2, l intervalle interquartile est : [ 12 ; 17 ] (c est [ Q 1 ; Q 2 ] ) L intérêt de l intervalle interquartile c est de contenir la majorité des valeurs de la série statistique : la majorité c est au moins la moitié des valeurs! Au moins la moitié des élèves de S2 ont une note comprise entre 12 (inclus) et 17 (inclus). Question 3 Une mesure de dispersion assez fiable, que l on associe à la médiane, est l écart interquartile. Pour la classe de S7 : Q 3 Q 1 = 16 8 = 8 Pour la classe de S6 : Q 3 Q 1 = 8 L écart interquartile est le même. Les résultats présentent la même homogénéité dans les deux classes. Remarque : l étendue est une autre mesure de dispersion mais elle est peut fiable. Question Pour la classe de S6 : Q 3 Q 1 = 8 Pour la classe de S2 : Q 3 Q 1 = = 5 La classe de S2 est plus homogène que la classe de S6. Question 5 2 Inverse - Statistiques - Ne pas garder.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 8 sur 8