Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé. Contents. Chapitre 8. Les prérequis du lycée. Les prérequis de la prépa

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1 Chapitre 8 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Contents 1 De l'intérêt du régime sinusoïdal forcé et de l'étude harmonique Mis en évidence du rôle privilégié du signal sinusoïdal Intérêt de l'analyse harmonique Description d'un signal sinusoïdal Rappel sur les signaux sinusoïdaux (à réviser soi-même) La valeur moyenne d'un signal périodique La valeur ecace d'un signal périodique Somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation (à réviser soi-même Un premier exemple : de la limite de la résolution directe d'une équation diérentielle Le problème à résoudre Établissement de l'équation diérentielle Recherche de la solution générale de l'équation sans second membre Recherche de la solution particulière de l'équation avec second membre Rappel : Distinction entre régime transitoire et régime permanent Un outil puissant en RSF : la notation complexe Notation complexe d'un signal sinusoïdal Liens entre notation complexe, forme trigonométrique et vecteurs de Fresnel Propriétés d'un signal complexe Application à la détermination de la solution particulière d'une équation diérentielle Les dipôles usuels en RSF : Impédances et admittances réelles et complexes L'impédance complexe d'un dipôle : le rapport de la tension complexe sur le courant complexe L'impédance complexe des dipôles usuels Les prérequis du lycée Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques Dérivées, primitives et intégrales Mécanique (système, référentiel, bilan des forces, lois de Newton) Nombres complexes Les prérequis de la prépa Signaux sinusoïdaux, période, fréquence, pulsation ; Vecteurs de Fresnal ; Conventions d'orientation ; conventions générateur et récepteur ;

2 Lois de Kirchho ; Loi d'ohm, courant à travers un condensateur, tension aux bornes d'une bobine ; Puissance et énergie consommées par un dipôle ; Équations diérentielles ; Circuits du premier et du second ordre ; Parties réelle et imaginaire, module et argument d'un nombre complexe. 2/12 November 5, 2017

3 1 De l'intérêt du régime sinusoïdal forcé et de l'étude harmonique 1.1 Mis en évidence du rôle privilégié du signal sinusoïdal Dans un circuit RC, on injecte successivement un signal carré, un signal triangle et un signal sinusoïdal. Qu'observe-t-on en sortie? On injecte un signal sinusoïdal de fréquence f 1, puis un signal sinusoïdal de fréquence f 2. Quelle est la fréquence du signal de sortie? On injecte la somme des deux signaux précédents. Qu'observe-t-on en sortie? 1.2 Intérêt de l'analyse harmonique 2 Description d'un signal sinusoïdal 2.1 Rappel sur les signaux sinusoïdaux (à réviser soi-même) 1 Rappelez les dénitions d'un signal sinusoïdal, de son amplitude, de sa phase à l'origine, de sa pulsation, de sa fréquence, de sa période. (À retrouver soi-même) Un signal sinusoïdal est décrit par une fonction sinusoïdale du temps s(t) = S m cos(ωt + φ) 3/12 November 5, 2017

4 On appelle T = 2π ω la période du signal. Elle s'exprime en seconde (s). On appelle f = 1 T = ω 2π la fréquence du signal. Elle s'exprime en hertz (Hz). On appelle ω la pulsation du signal, exprimée en rad.s 1. S m est appelée amplitude du signal. Elle s'exprime dans la même unité que s(t). L'argument de la fonction cosinus, ωt + φ est appelée phase instantanée du signal s(t). φ est appelée phase à l'origine. φ représente un décalage, un déphasage, du signal par rapport à l'origine. Si φ < 0, le signal est dit en retard de φ, si φ > 0, le signal est dit en avance de φ. 2 Rappelez la dénition du déphasage entre deux signaux. Rappelez les diérents cas possibles. (À retrouver soi-même) Soient deux signaux sinusoïdaux s 1 et s 2 de même pulsation ω s 1 (t) = S m1 cos(ωt + φ 1 ) s 2 (t) = S m2 cos(ωt + φ 2 ) On appelle déphasage, noté φ, la diérence de phase entre les deux signaux φ = φ 2 φ 1. Si φ > 0, alors s 2 est en avance de phase par rapport à s 1, Si φ < 0, alors s 2 est en retard de phase par rapport à s 1, Si φ = 0, alors s 2 est en phase avec s 1, Si φ = π, alors s 2 est en opposition de phase par rapport à s 1, Si φ = ± π 2, alors s 2 est en quadrature avance/retard par rapport à s 1. 3 Déterminer les propriétés des signaux ci-dessous. Déterminer le déphasage entre les 2 signaux. Lequel est en avance sur l'autre? 4/12 November 5, 2017

5 2.2 La valeur moyenne d'un signal périodique La moyenne d'un signal périodique quelconque s(t), notée entre <>, est la valeur moyenne de ce signal sur une période < s > ˆ= 1 T τ+t τ s(t)dt Application 1 : Valeur moyenne de quelques signaux 3.1 Calculer la valeur moyenne du signal s(t) = S m cos(ωt). 3.2 Calculer la valeur moyenne du signal s (t) = S m cos(ωt) + S Calculer la valeur moyenne du signal s 2 (t) = S 2 m cos 2 (ωt). Propriété : La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal est nulle. Propriété : La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal au carré vaut S2 m 2. Propriété : Linéarité de l'intégrale L'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales. Un signal périodique de moyenne nulle est dit alternatif. 5/12 November 5, 2017

6 2.3 La valeur ecace d'un signal périodique (Prise de note) On dénit la puissance (mathématique) instantanée d'un signal comme étant le carré de celui-ci. p s (t) ˆ=s(t) 2 La puissance (mathématique) moyenne d'un signal est la valeur moyenne de la puissance instantanée P s ˆ= < p(t) > ˆ= 1 T τ+t τ s(t) 2 dt (Prise de note) La valeur ecace d'un signal périodique s(t) est la racine carrée de la puissance moyenne de ce signal S e ˆ= 1 < s 2 > ˆ= T τ+t τ s(t) 2 dt. Exemple Calculons la valeur ecace d'un signal sinusoïdal d'amplitude S m et de pulsation ω s(t) = S m cos ωt. Application 2 : De l'utilité de la valeur ecace. On applique une tension sinusoïdale u(t) = U 2 cos ωt aux bornes d'un résistor de résistance R. 1 Que représente la grandeur U? 2 Déterminer la puissance moyenne dissipée par eet Joule dans le résistor. Application 3 : Calculs de quelques valeurs ecaces Calculer la valeur ecace 1 d'un signal carré, d'amplitude S m et de période T, 6/12 November 5, 2017

7 2 d'un signal triangle, d'amplitude S m et de période T. 2.4 Somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation (à réviser soi-même 1 Dénir le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal s(t) = S m cos(ωt + ϕ). 2 Rappeler le principe d'utilisation de ces vecteurs pour sommer deux signaux sinusoïdaux de même pulsation. 3 Signaux en quadrature 3.1 On donne s 1 (t) = S m1 cos(ωt). Proposer deux expressions de s 2 (t), d'amplitude S m2, en quadrature de phase avec s 1 (t). Dans quel cas peut-on parler de quadrature avance de s 2? de quadrature retard de s 2? 3.2 Déterminer l'amplitude et la phase du signal résultant en fonction de S 1 et S Que devient le résultat quand S 1 = S 2? 3.4 Écrire alors l'expression temporelle dans le cas où s 2 est en quadrature avance sur s 1. 7/12 November 5, 2017

8 3 Un premier exemple : de la limite de la résolution directe d'une équation diérentielle 3.1 Le problème à résoudre On branche en série un générateur basse fréquence de f.e.m. e(t) = E cos(ωt), un interrupteur, un résistor de résistance R = 100 Ω, une bobine d'inductance L = 1, 0 mh et un condensateur de capacité C = 1, 0 nf initialement déchargé. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. u R R i E cos ωt C u C L u L 3.2 Établissement de l'équation diérentielle 1 Établir l'équation diérentielle vériée par la tension u c (t). (Démo à savoir refaire par coeur) 3.3 Recherche de la solution générale de l'équation sans second membre 2 Donner la solution générale de l'équation sans second membre. (Démo à savoir refaire par coeur) 3.4 Recherche de la solution particulière de l'équation avec second membre 3 On recherche une solution particulière de la forme u C1 (t) = U m cos(ωt + ϕ) En injectant cette solution dans l'équation diérentielle, déterminer les réels U m (amplitude) et ϕ (phase à l'origine), en fonction de ω, ω 0, Q et E. 8/12 November 5, 2017

9 3.5 Rappel : Distinction entre régime transitoire et régime permanent 4 Un outil puissant en RSF : la notation complexe 4.1 Notation complexe d'un signal sinusoïdal À la grandeur sinusoïdal s(t) = S m cos(ωt + ϕ), on associe la grandeur complexe s(t) = S m exp(j(ωt + ϕ)) = S m exp(jωt) où S m = S m exp(jϕ) est appelée amplitude complexe de s(t). Application 4 : Notation complexe 1 Donner le signal complexe et l'amplitude complexe associée au signal u(t) = U 2 sin(ωt). 2 Donner l'expression du signal réel de signal complexe associé i(t) = Ie jωt avec I = Ie jπ. 4.2 Liens entre notation complexe, forme trigonométrique et vecteurs de Fresnel 4.3 Propriétés d'un signal complexe 4.4 Application à la détermination de la solution particulière d'une équation diérentielle (À savoir refaire par coeur) Application 5 : Circuit RC série Soit le circuit RC série suivant R i E cos(ωt) C u C 9/12 November 5, 2017

10 1 Établir l'équation diérentielle vérié par la tension aux bornes de la résistance. 2 À l'aide de la notation complexe, déterminer la solution particulière de cette équation diérentielle. Application 6 : Circuit RC parallèle Résoudre l'exercice du TD. 5 Les dipôles usuels en RSF : Impédances et admittances réelles et complexes Tous les résultats qui vont suivre ne sont valables QU'EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ. On se placera en convention RÉCEPTEUR. On rajoutera un - devant les lois caractéristiques en convention générateur. 5.1 L'impédance complexe d'un dipôle : le rapport de la tension complexe sur le courant complexe On appelle impédance réelle Z d'un dipôle le rapport de l'amplitude (réelle) de la tension s'appliquant aux bornes du dipôle sur l'amplitude (réelle) du courant le traversant (en convention récepteur) : Z(ω) ˆ= U(ω) I(ω) On appelle l'impédance complexe Z d'un dipôle le rapport de l'amplitude complexe de la tension s'appliquant aux bornes du dipôle sur l'amplitude complexe du courant le traversant (en convention récepteur) : Z(jω) ˆ= U(jω) I(jω) L'impédance complexe peut se mettre sous forme algébrique Z(jω) = R(ω) + jx(ω). La partie réelle de l'impédance complexe est appelée résistance du dipôle R(ω) ˆ=Re (Z(jω)). La partie imaginaire de l'impédance complexe est appelée réactance du dipôle X(ω) ˆ=Im (Z(jω)). Résistance et réactance s'expriment en Ω 10/12 November 5, 2017

11 5.2 L'impédance complexe des dipôles usuels Impédance complexe d'un résistor Pour un résistor, l'impédance complexe s'identie à sa résistance. Z = R L'impédance complexe est en fait réelle. Z = R, arg( Z ) = 0, Re (Z(jω)) = R, Im (Z(jω)) = 0. Z =, arg( Z ) =, Re (Z(jω)) =, Im (Z(jω)) =. Impédance complexe d'une bobine idéale Pour une bobine idéale, l'impédance complexe vaut. Z = jlω L'impédance complexe est donc imaginaire pure. Z = Lω, arg( Z ) = π, Re (Z(jω)) = 0, Im (Z(jω)) = Lω. 2 Z =, arg( Z ) =, Re (Z(jω)) =, Im (Z(jω)) =. Impédance complexe d'un condensateur idéal 11/12 November 5, 2017

12 Pour un condensateur idéal, l'impédance complexe vaut. Z = 1 jcω L'impédance complexe est donc imaginaire pure. Z = 1 Cω, arg( Z ) = π 1, Re (Z(jω)) = 0, Im (Z(jω)) = 2 Cω. Z =, arg( Z ) =, Re (Z(jω)) =, Im (Z(jω)) =. 12/12 November 5, 2017