DS ENROULEUSE DE FILM TERM

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1 Le sujet de ce problème concerne l'étude d'un dispositif d'enroulement de film à effort de traction constant. Le système comporte deux organes : la roue principale d'enroulement (notée R p ) et le galet de mesure de tension (noté G t ). Le galet G t est "libre" de se mouvoir verticalement et sa position x(t) est mesurée ; en effet, cette position reflète la tension du film. La roue R p tourne à la vitesse Ω p (t) grâce au moteur d'entraînement qui est un moteur à courant continu asservi (régulé) en couple : il faut alors déterminer le couple C p à produire sur la roue pour assujettir la traction x(t) à suivre sa consigne X f Le moment d'inertie de la poulie vaut J p =0,18kg.m² Le schéma simplifié de ce système est reproduit sur la figure suivante : W p (t) 1. Si le couple fourni par le moteur est trop important, quel est le risque encouru? C'est de casser le film 2. Moteur d'entraînement Il s'agit d'un moteur à courant continu à excitation par aimants permanents. Ses caractéristiques nominales (lues sur la plaque signalétique) sont les suivantes : Tension nominale : U n =150V ; Vitesse nominale : N n =2400tr/min ; Courant nominal : I n =10A Par ailleurs, le constructeur fournit le paramètres suivant : Résistance du bobinage d'induit : R=1Ω et moment d'inertie du moteur J m = kg.m² On rappelle que le couple moteur, noté C m est proportionnel au courant d'induit moyen, noté I m de la même façon que la f.e.m E est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation Ω m (en rad/s) par les relations : C m =K ϕ *I m et E=K ϕ *Ω m (K ϕ est un coefficient constant) 2.1 Fonctionnement du moteur alimenté en courant continu Représenter le schéma électrique équivalent au moteur. Ue Ie E R I U Inducteur : stator Induit : rotor cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 1/7

2 2.1.2 A partir des données constructeurs au point nominal, déterminer la valeur numérique de K ϕ. k ϕ 60 * ( U R * I ) = = 0,557V. s. rd 2 * π * N m En déduire la valeur numérique du couple nominal, noté C n. Cn=K ϕ *I n =5.57N.m Calculer la valeur de la puissance électromagnétique et celle des pertes joules au rotor. P EM =E*I n =U n *I n -R*In²=1400W P JR =R*I n ²=100W Calculer ensuite numériquement : la puissance mécanique nominale disponible notée P n et le rendement nominal de ce moteur noté η n P n =C m *Ω m =1400W η Pn = Pa = 1400 = 150 * 10 93,3% 3. Utilisation d'un réducteur de vitesse Un réducteur de vitesse est utilisé pour "accoupler" le moteur à la roue d'entraînement. Son coefficient de réduction est noté N tel que N m =N*N p. Ce réducteur est de rendement unitaire, la puissance mécanique est donc transmise sans pertes. Les différentes parties tournantes de ce réducteur sont de moment d'inertie négligeable. La formule donnant les énergies cinétiques à l'entrée et à la sortie du réducteur est donnée ci-dessous. W e = 0,5. J e. Ω e ² Arbre moteur : entrée du réducteur. W e Réducteur (Rapport de réduction N et rendement unitaire). Sortie du réducteur : arbre de la poulie W s W s = 0,5. J s. Ω s ² Avec : Je : inertie totale vue à l'entrée du réducteur ; Js : inertie totale vue à la sortie du réducteur. Ω e et Ω s respectivement les vitesses angulaires à l'entrée et à la sortie de réducteur en rd.s -1 Nous constatons de plus que Ω e correspond à la vitesse de rotation du moteur et Ω s à celle de la poulie. cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 2/7

3 3.1 En appliquant le principe de la conservation de l'énergie W e = W s, donner l'expression de J e en fonction de J s et N. W e =W s J e *Ω e ²=J s *Ω s ² D où J e =J s /N² 3.2 Déterminer la valeur minimale Nmin de N telle que le moment d'inertie de la roue "ramené" sur l'axe moteur ne soit pas supérieur au moment d'inertie propre du moteur. N Jp 0, *10 min = = = 7 Jm Déterminer la valeur maximale Nmax de N telle que la roue puisse tourner à une vitesse supérieure à 2rd/s lorsque le moteur tourne à sa vitesse nominale. N Max = Ω Ω m p = 125,6 3.4 Déterminer une valeur numérique plausible pour N. N= Capteur de position du galet la position verticale du galet doit être mesurée avec précision afin de pouvoir en réaliser l'asservissement (la régulation). On rappelle que cet asservissement sur la position x(t) permet d'assurer une tension du film constante. 4.1 Capteur numérique à ultra-sons Le capteur situé sur le sol, utilise une émission d'ultrasons verticalement, à l'aplomb du galet, la réception de ces ultrasons étant obtenue au même point. Le mécanisme d'émission et de réception n'est pas étudié et on suppose que pour toute impulsion v e (t) émise, le récepteur délivre une impulsion v r (t) telle que définie sur la figure ci dessous. L'amplitude de ces impulsions étant V cc =5V : cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 3/7

4 La durée t séparant les fronts montants de ces impulsions est donc représentative de la distance x entre le galet mobile et le capteur. On supposera la correspondance "parfaite" suivante t = λ 0 *x, avec λ 0 étant une constante. A ces impulsions de tension, il est donc possible de faire correspondre directement des signaux logiques notés V e et V r dont l'évolution temporelle suit l'allure décrite précédemment. La période des impulsions (d'émission et de réception) est une constante notée T c. Les signaux logiques ainsi définis servent à piloter un système numérique constitué d'un compteur associé à un registre (une sorte de mémoire) parallèle 5 bits. Le schéma de la figure 5 représentée ci dessous précise le montage utilisé, tous les composants logiques étant alimentés sous la même tension V cc. Le compteur compte avec une fréquence fixe (signal H), dont la période est T H. Le comptage débute lors de l'apparition d'un front montant sur la broche "start" et s'arrête lors de l'apparition d'un front montant sur la broche "stop". Les signaux logiques des sorties Q 0 à Q 4, représentent alors un mot numérique image de la durée de comptage, Q 0 représentant le LSB et Q 4 le MSB. Le registre qui suit permet de retranscrire sur chaque sortie S K la valeur de l'entrée correspondante Q K (k variant de 0 à 4) lors de l'apparition d'un front montant sur sa borne "transfert". La valeur du compteur se retrouve alors à la sortie du registre. Le compteur est remis à zéro lors de l'apparition d'un front descendant sur sa broche RAZ : ses sorties Q 0 à Q 4 sont alors remises à zéro. Les durées des impulsions V e et V r sont supposées très faible devant la période d'horloge T H. Le mot numérique de sortie sera représenté sous la forme S=[S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 ], cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 4/7

5 3.1.1 Déterminer la plus petite valeur S Nm et la plus grande valeur S NM mesurables du nombre entier S N. S Nm =0 S NM = Compte tenue du montage réalisé, quelle relation doit-on imposer entre T C et T H afin d'obtenir une valeur numérique unique pour toute position x et éviter ainsi toute ambiguïté dans la mesure? Il faut T c =31*T H pour avoir la meilleure précision. 5. Conversion numérique analogique Cette conversion est rendue nécessaire pour pouvoir mesurer x(t) et agir de manière analogique sur le variateur de vitesse du moteur. La conversion est réalisée au moyen d'un réseau "en échelle" représenté sur la figure 6 : Sur le schéma, toutes les résistances sont identiques R=10kΩ. 4.1 Déterminer l'expression de V 0 en fonction de S 0 et V 1 ; on notera cette équation (E1) (vous pourrez par exemple utiliser le théorème de Milman). 4V 0 = S 0 + 2V 1 cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 5/7

6 4.2 Déterminer l'expression de V 1 en fonction de V 0, S 1 et V 2 ; on notera cette équation (E2) 5V 1 = S 1 + 2V 0 + 2V Déterminer l'expression de V 2 en fonction de S 2, V 1 et V 3 ; on notera cette équation (E3). 5V 2 = S 2 + 2V 1 + 2V Déterminer l'expression de V 3 en fonction de S 3, V 2 et V ; on notera cette équation (E4). 5V 3 = S 3 + 2V + 2V Déterminer l'expression de V en fonction de S 4, et V 3 ; on notera cette équation (E5). 3V = 2V 3 + S En résolvant le système de 5 équations (E1 à E5) à 5 inconnus, donner l'expression de V en fonction des tensions S0 à S4. Après une demi page de calcul sans se tromper, on trouve 32V = S 0 + 2S 1 + 4S 2 + 8S S 4 cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 6/7

7 4.7 Justifier alors le nom de convertisseur analogique numérique donné à ce montage et donner le quantum de ce convertisseur si les sorties logiques (binaires) S k varient entre 0 et 5V. Quantum = 156mV cor-ds-enrouleur Lycée Sarda Garriga de Saint-André Page 7/7