Problème 1 : DETECTION DE VEHICULES PAR BOUCLE INDUCTIVE

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1 PC 13/14 DS PHYSIQUE N 4 (2h) 23/11/13 Problème 1 : DETECTION DE VEHICULES PAR BOUCLE INDUCTIVE Une méthode de détection des véhicules (utilisée pour l ouverture de barrières automatiques ou le déclenchement de feux tricolores) utilise une boucle métallique rectangulaire enterrée dans la chaussée. Lorsque le châssis d un véhicule en acier est placé audessus, l inductance de cette boucle se trouve modifiée. La boucle est composée de n spires rectangulaires identiques de largeur D = 2,0 m et de longueur G = 1,0 m bobinées en série (figure 1). Celles-ci sont réalisées avec un fil de cuivre de section s = 1,5 mm 2. L objectif de cette partie est de déterminer l inductance L de cette boucle. Figure 1 n spires identiques G = 1,0m fil de section s = 1,5 mm 2 D = 2,0 m A / INDUCTANCE DE LA BOUCLE A1. Donner la relation entre l inductance L d un circuit, l intensité I qui le traverse et le flux propre Φ à travers sa surface. z Considérons un fil infini d axe Oz et de rayon e parcouru par un e Figure 2 courant d intensité I dans le sens z croissant (figure 2). Le vecteur a densité de courant, noté j, est supposé uniforme dans une section du fil. En coordonnées cylindriques, tout point M est repéré par ses coordonnées (r,θ, z) dans la base orthonormée (e r,e θ,e z ) A2. Exprimer j en fonction de I, e et e z. O b A3. Etablir, par des arguments de symétrie, la direction du champ magnétique B( M) créé en un point M. De quelle(s) coordonnée(s) la norme de B( M) dépendelle? En déduire la forme générale de B( M). intensité I A4. Déterminer, par un raisonnement judicieux, les expressions de B( M) en un point M situé à l extérieur du fil (r > e), puis en un point M situé à l intérieur du fil (r < e). 1/7

2 A5. Représenter l allure de la norme de B( M) en fonction de r, en précisant littéralement les coordonnées du (des) point(s) particulier(s). A6. Exprimer, en fonction de µ 0, I, a, b et e, le flux Φ f du champ magnétique créé par ce fil à travers la surface orientée grise définie sur la figure 2. Pour calculer l inductance propre d une spire, les effets de bords sont négligés. Dans un souci de simplification, le flux produit par chaque côté de la spire sera assimilé au flux Φ f, calculé à la question A6. A7. Déduire des réponses précédentes, l expression de l inductance L 1 d une spire en fonction de µ 0, D, G et e (considérer que la perméabilité magnétique du bitume vaut µ 0 ). A8. Calculer la valeur numérique de L 1, sachant que µ 0 = 4π.10 7 H.m 1. Les spécifications techniques d un constructeur de tels systèmes de détection précisent que l inductance totale de la boucle doit être comprise entre 70 et 500 µh A9. Exprimer l inductance L d une boucle composée de n spires en série en fonction de n et L 1. A10. Pour des spires ayant les dimensions prises dans ce problème, calculer les valeurs minimale et maximale de n correspondant aux contraintes techniques. B / DETECTION D UN VEHICULE Lorsqu un véhicule se positionne à une distance h au-dessus de la boucle, la face inférieure de son châssis est le siège de courants induits par le champ magnétique créé par la boucle. Ces courants induits produisent à leur tour un champ magnétique induit B i ( M) ; il est possible de montrer que celui-ci est identique à celui produit par un circuit symétrique de la boucle par rapport au plan du châssis (figure 3). Considérons, dans un premier temps, une des spires enterrées et sa spire «miroir». plan de coupe D = 2,0 m Figure 3 véhicule G = 1,0 m spire «miroir» spire enterrée bas du châssis sol La carte du champ magnétique induit B i ( M) dans un plan de coupe perpendiculaire au plan de la route et au grand côté (D) de la spire est représentée sur la figure 3.

3 Ce champ magnétique B i ( M), génère à son tour un flux Φ i à travers la spire enterrée et modifie par conséquent son inductance d une quantité ΔL 1 = L 1 L 1. C 1 O A B C 2 spire «miroir» bas du châssis spire enterrée sol échelle 1 :10 G = 1,0 m Figure 4 B1. On se place dans le cas où le véhicule stationne dans le champ créé par la boucle. Le dispositif peut-il fonctionner avec un courant continu dans la boucle? Justifier B2. En supposant que le courant dans la spire miroir est de même intensité que celui dans la boucle, dans quel sens circule-t-il? Justifier et reproduire sur votre copie les spires et l allure de la carte de champ puis compléter l orientation de la spire miroir et des lignes de champ. On estime à Φ i = 1, Wb (Weber : unité SI du flux magnétique) la valeur numérique du flux créé par B i ( M) à travers la boucle enterrée lorsque le courant qui circule dans la boucle (et dans la spire miroir) est d intensité 1,0 Ampère. On considère que la boucle est constituée de n = 4 spires. B3. Montrer que cela revient à considérer que l inductance de la boucle a varié d une valeur ΔL, dont on justifiera le signe, et déterminer la valeur de la variation relative ΔL L de l inductance de l ensemble de la boucle. Commenter l ordre de grandeur des résultats obtenus.

4 Problème 2 : ÉTUDE D'UN HAUT-PARLEUR Un signal électrique est transformé en signal sonore par le biais d'un haut-parleur. La membrane et la bobine du haut-parleur sont solidaires l une de l autre. L ensemble est appelé équipage mobile et sa masse est notée m. La bobine circulaire est réalisée par l'enroulement d'un fil de longueur = 2πNa. On pourra la considérer comme l'union de N spires identiques de rayon a. L équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k d axe Oz. La bobine évolue dans l entrefer d un aimant imposant un champ magnétique stationnaire radial (voir figure 5). FIG. 5 - Modèle d'un haut-parleur Du point de vue mécanique, on note respectivement z et v = vu z les position et vitesse de l'équipage mobile qui se translate sans frottements solides. La position z = 0 correspond à la position du ressort au repos ; on note F r la force de rappel élastique exercée par le ressort ; on note F f = f v, la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses déplacements dans l'air. Du point de vue électrique, on notera R la résistance du bobinage et L son inductance ; un courant électrique d'intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l'effet d une tension électrique V e (t), et dont il n'est pas nécessaire de connaître l expression. A - APPROCHE THEORIQUE Principe de fonctionnement du haut-parleur A.1. Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane de celui-ci. Expliquer qualitativement l'origine de ce mouvement ; le mécanisme à la base de l'émission sonore.

5 A.2. À l'aide d'un schéma clair et détaillé d'un tronçon de spire, représenter et exprimer la force élémentaire s'exerçant sur l'élément de courant i(t)d. Calculer sa résultante sur une spire puis celle, notée F L, sur l ensemble du bobinage. A.3. Le mouvement de l équipage mobile dans l entrefer est responsable de l'apparition d'une grandeur électrique. Justifier qualitativement son existence et préciser sa nature (tension, courant, impédance ). Établir son expression, en vous appuyant sur un schéma électrique équivalent à la bobine faisant apparaître, si nécessaire, les conventions employées. Mise en équations différentielles A.4. Établir l'équation différentielle électrique que vérifie l'intensité i(t) du courant circulant dans la bobine alimentée par la tension V e (t). A.5. Établir l'équation différentielle du mouvement de l'équipage mobile. Impédance du haut-parleur A.6. On s'intéresse à la réponse du système soumis à une excitation électrique sinusoïdale de la forme V e (t) = E cosωt. Exprimer l'impédance du haut-parleur sous la forme Z = R + jlω + Z em dans laquelle Z em dépend de B,, f, m, k et ω. Bilan de puissances A.7. Afin d'évaluer le rendement de ce convertisseur électromécanique, on s'intéresse à la nature et à la répartition des différentes grandeurs énergétiques en jeu. A.7.a. Établir, à l'aide des équations différentielles électrique et mécanique, une nouvelle équation différentielle traduisant le bilan électromécanique de puissance du système. Préciser clairement le sens physique de chacun des 6 termes qu'elle comporte. A.7.b. Justifier soigneusement que plusieurs termes de ce bilan de puissance sont de valeur moyenne temporelle nulle. A.7.c. Montrer alors que le rendement du haut-parleur peut se mettre sous la forme P S η = P S + P J où P J représente la puissance moyenne dissipée par effet Joule et P S la puissance moyenne dédiée à l'émission sonore, que l'on explicitera en fonction des données. B - APPROCHE EXPERIMENTALE Mesure du coefficient de frottement f et de la masse m de l équipage mobile B.1. L entrée du haut-parleur est branchée à la voie X d'un oscilloscope (figure 6(a)). Pourquoi peut-on considérer ce circuit électrique comme ouvert?

6 En déduire que l équation différentielle satisfaite par la vitesse v de la membrane peut s écrire d 2 v dt + 2αω dv 2 0 dt +ω f k 2 0v = 0 avec α = et ω 2mω 0 = 0 m Le haut-parleur, toujours relié à l'oscilloscope, est posé horizontalement. On laisse tomber une bille sur la membrane (figure 6(a)) et on enregistre la perturbation que provoque la percussion (figure 6(b)). FIG. 6 Enregistrement de la percussion B.2. Pourquoi peut-on considérer que la tension V x (t) traduit fidèlement l évolution de la vitesse v(t)? B.3. On admet que l'équation différentielle en vitesse, trouvée à la question B.1., est valable après le choc. Sachant que la solution vaut v(t) = Ae αω 0 t cos(ω' 0 t +ϕ), avec ω' 0 = ω 0 1 α 2, déterminer numériquement: la pseudo pulsation ω 0 le déphasage ϕ B.4. Soient v 1 et v 2 les deux premiers maxima consécutifs de la vitesse, que l'on suppose être distants d'une pseudo période T 0. Montrer que v 2 = v 1 exp( 2πα 1 α ) 2 En déduire les valeurs numériques de α puis de ω 0. B.5. Sachant que k = 510 N.m -1 en déduire alors la masse m de l'équipage mobile et le coefficient de frottements fluides f.

7 Mesure de l inductance L de la bobine B.6. Déduire de l'expression exacte de l'impédance Z em trouvée à la question A.6, son expression approchée en haute fréquence, en fonction du produit B de m et de ω. B.7. En déduire qu'il existe, dans ce domaine de fréquences, une pulsation particulière ω r telle que l'impédance Z soit réelle. B.8. Sachant que B = 3,5 T.m et ω r = 1, rad.s -1 calculer l'inductance L. Mesure de la puissance moyenne consommée et du rendement De façon à confronter le bilan théorique de puissance à l'expérience, le montage suivant a été réalisé : Multiplieur Le multiplieur est un composant permettant d opérer la multiplication des deux tensions. Dans le cadre du montage ci-dessus, cela permet d obtenir une tension v m (t) = k * v r (t) * v HP (t) où k est une constante positive caractéristique du multiplieur. Les courants des deux entrées du multiplieur sont considérés comme nuls. Le haut-parleur est placé en série avec une résistance r de valeur 1 ohm. Un générateur de courant alimente le tout. On note i(t) = i 0 cosωt l'intensité qu'il délivre, et par souci de simplification, on prendra v HP = v 0 cos(ωt + ϕ) B.9. Établir l expression de la tension v m (t) et représenter son spectre fréquentiel en amplitude. À quelle grandeur énergétique est-elle proportionnelle? Justifier. B.10. La tension v m est filtrée par un circuit de type passe-bas. En sortie de celui-ci, on récupère le signal de plus basse fréquence, de tension v PB. Justifier que la tension v PB est bien proportionnelle à la puissance moyenne consommée par le haut-parleur. B.11. Pour une fréquence donnée, la puissance moyenne reçue par le haut-parleur a été mesurée à 70 mw et celle dissipée par effet Joule dans la résistance r vaut 5 mw. Sachant que la résistance R du haut-parleur vaut R = 8 Ω, en déduire la puissance moyenne associée à l émission sonore et le rendement du haut-parleur.