DS 2 -- Montages ALI Oscillateurs Statique des fluides (04/10/2014 4h) Aucune sortie n est autorisée avant 12h

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1 PSI 14/15 DS 2 -- Montages ALI Oscillateurs Statique des fluides (04/10/2014 4h) Extrait des Instructions générales des concours Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l attribution de points. Toute application numérique ne comportant pas d unité ne donnera pas lieu à l attribution de points. Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc. Aucune sortie n est autorisée avant 12h - 1 -

2 Problème 1 : Etude d un inverseur On se propose d étudier le montage inverseur dont le schéma de principe est donné ci-dessous : e(t) s(t) 1. Premières observations Premier modèle Les valeurs des résistances sont R 1 = 33 k et R 2 = 68 k L'oscillogramme ci-dessous rend compte de la réponse du circuit à une excitation sinusoïdale e(t) d amplitude crête à crête 10 V et de fréquence environ égale à 100 Hz. Voie 2 Voie 1 1.1) Identifier les signaux e(t) et s(t) avec les voies (1) et (2) de l oscilloscope. 1.2) Les signaux ont-ils même fréquence? A quelle propriété du montage doit-on cela? 1.3) Déterminer grâce à l oscillogramme la valeur numérique du rapport entre les amplitudes des signaux. Déterminer numériquement le déphasage entre ces signaux. 1.4) Des deux modèles d ALI connus, lequel peut-on choisir pour rendre compte de ces résultats? Justifier votre réponse en comparant la mesure expérimentale du rapport des amplitudes avec la valeur attendue d après le modèle

3 2. Limitations du modèle Les valeurs des résistances sont R 1 = 33 k et R 2 = 68 k Le signal d entrée est maintenant sinusoïdal d amplitude crête à crête associé est donné ci-dessous :. L oscillogramme 2.1) Déterminer la valeur numérique de la fréquence du signal d entrée. 2.2) Quelle(s) limitation(s) de l amplificateur opérationnel voit-on apparaître sur la réponse du montage? 2.3) La vitesse de balayage de l AO utilisé, donnée par le constructeur, est de 0.5 V/µs. Peut-on dire que le signal a été triangularisé? On observe maintenant les mêmes signaux en mode XY : 2.4) Montrer en quoi cette figure permet de mettre en évidence le(s) défaut(s) des questions précédentes

4 On modifie à présent les valeurs des résistances : R 1 = 1 k et R 2 = 10 kl'entrée est d amplitude crête-à-crête 2V. L oscillogramme obtenu est présenté ci-dessous. 2.5) Discuter de l allure des deux courbes et déterminer la grandeur caractéristique de l amplificateur opérationnel que l on peut tirer du graphe, la comparer à la valeur constructeur. 3. Modèle passe-bas du premier ordre pour l ALI On tient maintenant compte du caractère passe-bas du premier ordre de l amplificateur opérationnel. On supposera dans la suite que le comportement de l opérateur reste linéaire Etude fréquentielle 3.1.2) Indiquer l expression de l amplification définie par : en fonction du gain statique et de la fréquence de coupure à -3 db, notée de l amplificateur opérationnel. Donner les ordres de grandeur de et ) Montrer alors que le montage peut être représenté par le schéma-bloc fonctionnel cidessous dans lequel vous identifierez la nature (fonction réalisée) et l expression des blocs B et C ) Déterminer la fonction de transfert en fonction de A, R 1 et R 2, puis de,, R 1 et R ) Montrer alors que la fonction de transfert complète de l opérateur s écrit comme celle d un passe bas du premier ordre de gain statique et de fréquence de coupure que l on exprimera en fonction des caractéristiques du circuit

5 3.1.5) On choisit R 1 = 10 k et R 2 = 1 ket onalimente le montage avec une tension sinusoïdale d amplitude 10V et de fréquence f =1 MHz. Le spectre en fréquence du signal de sortie est constitué d un pic : Amplitude 0.7 V 1 MHz fréquence 3.1.6) Pourquoi peut-on affirmer que l AO fonctionne en régime linéaire? Déterminer les valeurs numériques de, et. En déduire un effet du bouclage de l AO sur le gain statique et la fréquence de coupure du montage Etude temporelle On travaille toujours avec le même modèle d ALI mais on s intéresse maintenant à la réponse temporelle du montage. Le montage est alimenté en entrée par un échelon de tension d amplitude. (e(t) = E pour t > 0, nul avant) La réponse du montage est donnée ci-dessous : en ordonnée est représentée s(t) en Volt en abscisse est représenté le temps en µs

6 3.2.1) Montrer que la modélisation de l ALI en passe-bas (étude 3.1.) permet de rendre compte des observations ) Retrouver à partir de cette courbe la valeur de la fréquence de coupure de l inverseur. En déduire la fréquence de coupure de l ALI seul. Est-elle du même ordre de grandeur que la valeur attendue donnée à la question 3.1.2? 3.2.3) Décrire qualitativement (mais précisément) le comportement du montage si l on inverse les entrées + et de l AO. Problème 2 : Générateur de signaux (E3A PSI 2014 : cadeau pour les 5/2) A / Amplificateur opérationnel idéal La représentation symbolique de l amplificateur opérationnel idéal (AO) et la notation adoptée sont précisées en figure 1, ci-dessous : E v E E i i + i S S E R 1 + S v S v E v S v E R 2 2 R 1 Figure 1 Figure 2 L AO est un amplificateur de différence, la tension de sortie v S est proportionnelle à la tension différentielle d entrée v v entre les tensions appliquées respectivement aux entrées non E inverseuse E et inverseuse E, soit v Αv v S E E E. Le coefficient A est l amplification différentielle, il dépend de la fréquence du signal d entrée et sa valeur en régime continu est notée A d. La valeur absolue de la tension de saturation en sortie vaut : V SAT 15 V. A1. Rappeler les hypothèses de l AO idéal. A2. Préciser ses deux régimes de fonctionnement et les conditions sur et v S associées. Représenter la caractéristique et faire apparaître les deux régimes sur la figure Stabilité du montage B / Comparateur à hystérésis Considérons le montage de la figure 2 ci-dessus. L amplificateur opérationnel est idéal. Dans son comportement intrinsèque, l AO est un système linéaire du premier ordre. La tension de sortie v S de l AO est liée à la tension différentielle d entrée par une équation différentielle linéaire du premier ordre qui s écrit : dvs() t vs( t) Ad ( t), dt - 6 -

7 est la constante de temps de l AO, inverse de la pulsation de coupure est le coefficient d amplification statique (ou gain en régime continu) B1. Donner un ordre de grandeur de et, sachant que la fréquence de coupure est d environ 15 Hz. B2. Établir l équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle obéit v S (t) en fonction de A d, et v E (t). Le système est-il stable ou instable? Évaluer numériquement la constante de temps B caractéristique de l évolution de v S (t). En déduire le mode de fonctionnement de l AO. Description du cycle d hystérésis On considère par la suite l AO idéal. B3. Justifier qu il y a basculement à VSAT pour deux valeurs seuils de v E à préciser. B4. La tension d entrée est sinusoïdale de pulsation et d amplitude VEM 15 V. Compléter la caractéristique statique de transfert vs f( v E) du montage, fournie sur le document-réponse. Préciser le sens d orientation du cycle obtenu. Justifier le nom donné au montage : «comparateur non inverseur à hystérésis». Amplificateur opérationnel idéal C / Intégrateur inverseur L amplificateur opérationnel idéal fonctionne en régime linéaire selon le montage proposé sur la figure 3, ci-dessous : R P E R q C S Figure 3 v E v S C1. Donner, presque sans calcul, la nature du filtre ainsi constitué. Quelle opération réalise-t-il à basse fréquence? C2. Déterminer la fonction de transfert S E sinusoïdal, de pulsation ; préciser sa pulsation de coupure C. H j v v de ce filtre pour un signal d entrée v E (t) C3. Représenter l allure asymptotique des courbes de gain GdB 20 log H entrée-sortie arg H en fonction de log(/ C ). ET 0 La condition initiale sur la charge électrique est telle que : v 0. 4 RC S et de déphasage C4. Rechercher dans quel domaine de pulsation le montage de la figure 3 réalise une intégration et une inversion du signal d entrée. Placer ce domaine sur les graphes obtenus en C

8 La tension alternative d entrée est un créneau, de période T et d amplitude E 0, dont la décomposition en série de Fourier s écrit : 4E 0 sin (2p 1) t v E(t) 2p 1 p 0 v E Figure 4 E 0 E 0 0 T/2 T t C5. Déterminer la tension de sortie v Sn (t) pour la composante v En (t) d ordre n 2p 1 du signal d entrée dans son domaine d intégration. C6. En déduire que le signal de sortie v S (t) admet la décomposition en série de Fourier : cos [(2p 1) t] v S(t) B. 2 (2p 1) p 0 Préciser l expression de B en fonction de E 0, R, C et. C7. Indépendamment de la question précédente, et en revenant à la notation réelle, décrire la forme du signal de sortie v S (t). Représenter, sur le chronogramme 1 du document-réponse, l évolution de v S (t) pour R 10R et T 2RC. P D / Génération de signaux périodiques Les amplificateurs opérationnels du montage suivant (figure 5) sont supposés idéaux. R 2 R 1 AO1 C q R S E v E AO2 v S Figure 5 D1. Identifier les fonctions réalisées par chacun des montages associés à chacun des amplificateurs opérationnels AO1 et AO2. Expliquer pourquoi le dispositif est qualifié «d astable». La condition initiale imposée est q t 0 0. A cet instant, v S bascule en saturation positive : v (0 ) V. La saturation négative correspond à un signal de sortie V SAT. S SAT D2. Déterminer l évolution de v E (t) au cours du temps en fonction de R, C, V SAT et t. Pour quelle valeur de v E et à quel instant t 0 le premier basculement de v S vers V SAT se produit-il? - 8 -

9 D3. En choisissant t 0 comme origine des temps, déterminer la nouvelle évolution de v E (t). Pour quelle valeur de v E le basculement de v S en saturation positive se produit-il? Quelle est la durée t 1 de la phase de saturation négative de v S? Quelle est la durée t 2 de la phase suivante correspondant à une saturation positive de v S? Exprimer la période T des oscillations en fonction de R, R 1, R 2 et C. D4. Représenter, sur le chronogramme 2 du document-réponse, les évolutions de v S (t) et v E (t) au cours du temps, pour R2 2 R1. Quels types de signaux sont générés par un tel dispositif? D5. Compléter sur le document-réponse la caractéristique statique de transfert vs f( v E) du montage. Préciser le sens d orientation du cycle obtenu. Problème 3 : Atmosphère et ballon sonde (extrait Centrale TSI 2008) On démontrera que la masse molaire de l air est environ égale à est fait allusion dans la question A.3. est celui de la figure 2.. Le graphique auquel il - 9 -

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13 Document-réponse (Pb2 E3A), à compléter et rendre avec la copie B4. Caractéristique statique de transfert : cycle d hystérésis v E : 5 V/division v S : 5 V/division v S (V) v E (V) C7. Intégrateur inverseur (schéma à compléter) v E (t) et v S (t) E 0 0 T/2 T t t E 0 chronogramme 1 v E (t) et v S (t) D4. Génération de signaux périodiques V SAT 0 RC 2RC t V SAT chronogramme

14 D5. Caractéristique statique de transfert : génération de signaux périodiques v E : 5 V/division v S : 5 V/division v S (V) v E (V) Fin de l énoncé

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