Examen. 6 janvier 2017

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1 Master Recherche 2 e année Astronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale Année EL5A François Levrier Examen 6 janvier 2017 L examen est constitué de trois exercices tous indépendants. On prendra soin de rédiger les réponses aux questions de manière claire, précise et concise. Si l on n a pu établir un résultat fourni dans l énoncé, on peut l admettre pour traiter la suite. Sont autorisés uniquement les documents distribués en cours ainsi que vos notes personnelles. L usage d une calculatrice pour les applications numériques est permis. I - Température d un disque circumstellaire On considère un disque circumstellaire entourant une étoile sphérique de rayon R, assimilée à un corps noir de température T. On fait l hypothèse que ce disque, d épaisseur h et situé entre les rayons r 1 et r 2, avec h R r 1 r 2, est homogène, parfaitement plat, et localement assimilable à un corps noir de température T(r), fonction de la distance r depuis le centre C de l étoile. On considère une petite surface ds au sein de la face supérieure du disque, centrée en un point M, comme indiqué sur la figure ci-après. On note u le vecteur unitaire de la droite liant le point M à un point P quelconque de la surface de l étoile. On utilisera les coordonnées sphériques (θ,φ) indiquées sur la figure. 1. Donner la valeur de l intensité spécifique I ν au point M, en fonction des angles θ et φ. On introduira l angle θ c défini par sinθ c = (R /r). 2. Justifier que la densité spectrale de flux F ν reçue par l élément de surface ds s écrit F ν = π 0 dφ θc 3. Exprimer le produit scalaire u.e z en fonction de θ et φ. 0 dθb ν (T )(u.e z )sinθ 4. En déduire l expression du flux F reçu par ds en fonction de T et θ c. 5. Montrer qu un développement limité aboutit à une loi pour la température de la forme On précisera la constante A. T(r) = A ( ) 3/4 R r

2 P u z,θ e z R C θ e θ φ e r T r 1 e r u e z e θ M ds r 2 h r Figure 1.1 Schéma du modèle de disque circumstellaire considéré (seule une portion angulaire en est représentée). L angle θ est celui que fait le vecteur unitaire u de la ligne de visée MP avec le vecteur radial e r. L insert en haut à droite précise que l angle φ est celui que fait avec e θ la projection u z,θ de u dans le plan défini par (e z,e θ ). 6. Comparer cette loi avec celle obtenue pour la température des planètes en orbite autour d une étoile. Donner une explication géométrique à cette différence de comportement. Si pour un disque évasé (c està-dire dont l épaisseur augmente avec la distance à l étoile) on suppose une forme T(r) r α, quelles valeurs de α est-il raisonnable d envisager? II - Analyse des raies d absorption dans le spectre du quasar Le spectre représenté sur la figure a été observé au VLT, en direction du quasar Sur ce spectre, on a repéré 8 raies dont on donne, dans la table ci-après, la longueur d onde centrale λ obs, la largeur à mi-hauteur δλ obs et la largeur équivalente W obs. La résolution instrumentale est δλ inst = 0.15 Å. 1. Rappeler comment les grandeurs λ obs, δλ obs et W obs sont reliées à leurs équivalents dans le référentiel de l absorbeur, lorsque le redshift de celui-ci est z.

3 Figure 2.1 Portion du spectre visible en direction du quasar , observé avec le VLT. Raie λ obs [Å] δλ obs [Å] W obs [Å] Montrer que les raies 1 et 5 peuvent être associées au doublet de Si IV (Si 3+ ) comprenant les deux raies de longueurs d onde Å et Å (et de forces d oscillateur respectives et 0.262). Donner le redshift z 1 du nuage de gaz responsable de ces absorptions. 3. En déduire l identification des raies 2, 3, 6 et 7, et donner les redshifts associés. 4. Montrer que les raies 4 et 8 sont celles de Mg II (Mg + ) aux longueurs d onde Å (force d oscillateur ) et Å (force d oscillateur ). Calculer le redshift z 4 du nuage de gaz correspondant.

4 5. Indiquer quelles raies sont résolues spectralement. On supposera que l incertitude sur δλ obs est inférieure à 0.01 Å. Que peut-on en déduire sur la dispersion de vitesse des nuages de gaz responsables de ces absorptions? 6. Donner une limite inférieure à la densité de colonne N(SiIV) responsable du système (1,5). 7. Que traduit la présence des trois systèmes voisins (1,5), (2,6) et (3,7)? 8. Expliquer pourquoi il n est pas possible d estimer la densité de colonne de Mg II associé au système (4,8). Comment pourrait-on faire pour estimer cette quantité? 9. On constate que pour les raies 4 et 8, on a δλ obs W obs. Pourquoi? 10. Commenter brièvement les autres absorptions dans ce spectre (aux alentours de 4835 Å et 4860 Å). III - Intensité et couleur du rayonnement émis par une disque de galaxie On considère un disque galactique assimilé à une couche plan-parallèle homogène, d épaisseur L, comme indiqué sur la figure ci-après. Ce disque contient des étoiles de N différents types (O, B, A,...), repérés par un indice i, et des poussières de M différentes sortes (taille, composition), repérées par un indice k. La luminosité d une étoile de type i est notée L i, et on en compte n i par unité de volume. La section efficace d absorption des poussières de type k est notée s a,k. On suppose qu il n y a pas de diffusion. Le nombre de grains de ce type de poussière par unité de volume est noté n p k. La direction θ = 0, soit µ = cosθ = 1 est celle de l axe Oz. Jusqu à la question 7. incluse, on se placera à une longueur d onde visible λ unique, qu il est inutile de préciser. z = L z θ Vers l'observateur z = 0 Figure 3.1 Schéma du modèle de disque galactique considéré. 1. Exprimer l émissivité globale des étoiles ǫ, en fonction de L i et n i. 2. De même, exprimer le coefficient d absorption global des poussières κ en fonction des grandeurs pertinentes.

5 3. Écrire l équation du transfert à laquelle obéit l intensité spécifique I(z,µ) pour µ > On suppose que le disque ne reçoit aucun rayonnement externe. Établir l expression de I(z, µ) au sein du disque pour µ > Par symétrie, en déduire I(z,µ) au sein du disque pour µ < On suppose dans cette question qu on est dans une limite optiquement mince, soit τ = κl 1. Que devient l expression de I(z, µ > 0) dans cette limite? Quelle est la limite de I(z, µ > 0) pour µ Même question dans la limite optiquement épaisse τ On s intéresse maintenant à la couleur du rayonnement émis perpendiculairement à la couche (µ = 1) vers un observateur situé en z +. On considère pour cela deux longueurs d onde λ B < λ V, pour lesquelles le coefficient d absorption est respectivement κ B et κ V, l opacité τ B et τ V, et l émissivité ǫ B et ǫ V. La population des étoiles est caractérisée par une couleur intrinsèque, qu on exprime par le rapport I V,0 /I B,0 des intensités que recevrait l observateur en l absence de poussières. Exprimer ce rapport en fonction de ǫ B et ǫ V. 9. Notant I V et I B les intensités effectivement reçues par l observateur, montrer que I V /I B s exprime simplement en fonction de I V,0 /I B,0, τ B et τ V. 10. A-t-onτ V > τ B ou l inverse? Commenter le rapporti V /I B sachant que la fonction f(x) = (1 e x )/x est monotone décroissante. Que devient ce rapport dans la limite optiquement épaisse? Dans la limite optiquement mince? Ce dernier résultat vous semble-t-il attendu? 11. La courbe d extinction des poussières est telle que κ V /κ B = Estimer numériquement la variation de couleur dans le cas optiquement épais. 12. On considère un modèle dans lequel une couche d étoiles d épaisseur L est placée entièrement derrière celle de poussières, d épaisseur L également, par rapport à l observateur. Que vaudraient I V et I B dans ce cas? On les notera I V et I B, respectivement. 13. Montrer que les rapports des couleurs entre les deux modèles considérés s écrit I V /I B = τ V e τb 1 I V /I B e τv 1 τ B Commenter, sachant que la fonction f(x) = (e x 1)/x est monotone croissante. 14. Selon vous, pour une quantité d étoiles et de poussières données et pour une distribution spatiale relative quelconque de ces composantes, entre quelles limites peut varier le rapport de couleur I V /I B?