VIII FLEXION PLANE. 1. Flexion plane simple

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1 VIII FLEXION PLANE Parmi les différentes sollicitations simples étudiées en RD, la flexion plane tient un rôle prépondérant car elle est fréquente dans les mécanismes et les problèmes de poutres. 1. Flexion plane simple Il existe différents types de flexion suivant le système étudié (géométrie de la poutre, configuration des actions mécaniques extérieures, torseur de ésion ) : Flexion pure : [ T ] Flexion plane (ou composée) : [ T ] Flexion plane simple : [ ] Flexion déviée : [ T ] = = N T T = T (cas le plus fréquent) = Ty Tz Hypothèses En plus des hypothèses générales valables pour toutes les sollicitations de la RD (homogénéité, continuité, isotropie pour le matériau ; Navier-Bernouilli et Barré de St Venant pour les déformations) il faut rajouter des hypothèses supplémentaires, spécifiques à la flexion : La ligne moyenne de la poutre est rectiligne La poutre admet un plan de symétrie Toutes les forces appliquées à la poutre sont : - Perpendiculaires à la ligne moyenne - Situées dans le plan de symétrie longitudinal ou réparties symétriquement par rapport à celui-ci - Soit concentrées en un point, soit réparties suivant une loi déterminée - De position relative et d intensité constantes au cours de la déformation fy RD - VIII - 1 / 6

2 2. Etude expérimentale a) Essai de flexion plane Il consiste à mesurer les déformations de flexion d une poutre lorsqu on lui applique une force F dont on peut modifier l intensité et le point d application. Sur le flanc d une section droite (S) de la poutre, on place des jauges (dispositif extensiométrique) permettant de mesurer les variations de longueur relative l l des portions de fibres sur lesquelles elles s appliquent. On place aussi un comparateur permettant de mesurer la déformation de la ligne moyenne ou flèche. b) Déformation de la ligne moyenne Les relevés du comparateur montrent que : 1. Si C est fixe et F varie la flèche en D est proportionnelle à F 2. Si F = Cste et C se déplace le long de la poutre la flèche en D augmente quand C se rapproche du milieu de la poutre 3. Si on remplace F par une force répartie entre A et B : F p = L la flèche en D diminue nettement 4. Si F est constante et fixe et on prend plusieurs poutres la flèche en D est inversement proportionnelle au moment quadratique de la section : I(, z ). RD - VIII - 2 / 6

3 c) Déformations longitudinales Les relevés des jauges situées sur le flanc de la section (S) montrent que : 1. Les fibres situées en dessous du plan (, x, z) 2. Les fibres situées dans le plan (, x, z ) 3. Les fibres situées au-dessus du plan (, x, z ) s allongent ( l > ) ne changent pas de longueur Plan neutre se raccourcissent 4. Les allongements et les raccourcissements relatifs l l sont proportionnels à la distance y de la fibre considérée au plan (, x, z) : y l l = λ 3. Contraintes a) Nature des contraintes Soit une poutre (P) sollicitée en flexion plane simple. Considérons deux sections fictives dans la poutre : - (S 1 ) perpendiculaire à la ligne moyenne (, x) - (S 2 ) parallèle au plan neutre (, x, z ) Les contraintes dans la poutre sont représentées par : σ x : contrainte normale dans la section droite. τxy τyx Son signe dépend de la position du point par rapport au plan neutre (, x, z) : Contrainte tangentielle transversale dans (S 1 ) : Contrainte tangentielle longitudinale dans (S 2 ) RD - VIII - 3 / 6

4 σ = σ x, τ = τ y et τ = τ x x xy xy yx yx Le théorème de Cauchy (réciprocité des contraintes) permet d écrire : τ xy = τ yx = τ b) Contraintes normales Dans toute section droite (S) d une poutre soumise à la flexion simple, les contraintes normales sont définies par : σ = y (pa) I(, z) avec σ = valeur algébrique de la contrainte normale σ en (en pa) (σ> fibre tendue, σ< fibre comprimée), x, y, z du point (en mm) y = ordonnée dans ( ) = valeur algébrique du moment de flexion par rapport à l axe (, z ) (en Nmm) I(, z) = oment quadratique de la section droite par rapport à l axe principal (, z) (en mm 4 ) Démonstration : Application de la loi de Hooke à l équilibre de la poutre Remarque : I(, z) est constant le long de la poutre, σ est donc obtenu dans la section droite où est imal et pour la fibre la plus éloignée du plan neutre, pour y = υ. σ = I(, z) υ RD - VIII - 4 / 6

5 c) Contraintes tangentielles Dans une poutre sollicitée en flexion plane simple les contraintes tangentielles s expriment sous la forme suivante : T W(, z) τ = y (pa) bi(, z) où W(, z ) est le moment statique de la poutre par rapport à l axe (, z ) Démonstration : Equilibre d un tronçon de la poutre d) Conditions de résistance Les conditions d utilisation d une poutre soumise à la flexion, dans la zone de limite élastique, sont : σ σ σ = et où s est le coefficient de sécurité. (pondéré par k s il y a des concentrations de contraintes) 4. Etude de la déformation a) Définition p s e Considérons une poutre reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits et soumise à une charge concentrée verticale. τ τ p τ = s e Les actions mécaniques extérieures provoquent la flexion de la poutre. La ligne moyenne se déforme et la courbe ainsi obtenue est appelée courbe déformée. RD - VIII - 5 / 6

6 b) Equation de la déformée L étude de la déformation élastique de la courbure algébrique de la poutre entre deux sections droites écartées de x très petit permet d obtenir une relation entre l équation la déformée de la poutre et le moment de flexion : E I(, z) y' '(x) = (x) où y = f(x) est l équation de la poutre déformée c) Application Calcul de la déformée et de la flèche d une poutre soumise à la flexion par intégration double de l équation précédente et application des conditions aux limites suivant le type de liaisons (appuis, encastrement ). Exemple : Poutre reposant horizontalement sur deux appuis sans adhérence et soumise à une force extérieure ponctuelle verticale F. RD - VIII - 6 / 6