Thermodynamique des gaz parfaits

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1 Chapitre 24 Sciences Physiques - BTS Thermodynamique des gaz parfaits 1 Le modèle du gaz parfait 1.1 Définition On appelle gaz parfait un ensemble de molécules sans interaction entre elles en dehors des chocs élastiques. Les molécules ne s attirent ou ne se repoussent pas, elles ne font que se cogner les unes aux autres. Les gaz parfaits ne constituent en fait qu un modèle qui constitue bien souvent une approximation acceptable. D autres modèles sont possibles dont le plus connu est celui de Van der Waals. 1.2 Equation d état des gaz parfaits : pression du gaz [Pa] : volume du gaz [m 3 ] : quantité de matière du gaz [mol] : constante des gaz parfaits [J.mol.K -1 ] : température absolue [K] La constante des gaz parfaits a pour valeur : 1.3 Masse volumique et densité des gaz parfaits : masse volumique [kg.m 3 ] : masse molaire [kg.mol -1 ] : pression du gaz [Pa] : constante des gaz parfaits [J.mol.K -1 ] : température absolue [K] Enveloppe du Bâtiment Page 1

2 La masse molaire moyenne de l air vaut 29 g.mol -1 On en déduit la formule : 2 Mélanges de gaz parfaits 2.1 Définition d un mélange idéal Un mélange de gaz parfait est dit idéal quand toutes les particules (qu elles soient identiques ou non) ne subissent que des chocs élastiques et aucune autre interaction. La pression totale d un mélange ne dépend alors pas de la nature des gaz présents, mais uniquement de la quantité totale de matière. 2.2 Fraction molaire du constituant d un mélange Quantité de matière totale dans le mélange : Fraction molaire de chaque constituant : 2.3 Pression partielle d un constituant 2.4 Masse molaire moyenne d un mélange La masse molaire moyenne d un mélange est définie par : 2.5 Masse volumique et densité d un mélange Enveloppe du Bâtiment Page 2

3 3 Propriétés thermoélastiques des gaz parfaits 3.1 Transformation isochore : loi de Charles L échauffement (ou refroidissement) à volume constant d une quantité de matière fixe d un gaz parfait permet d écrire : Une autre formulation de cette loi peut être utile : 3.2 Transformation isobare : loi de Gay-Lussac L échauffement (ou refroidissement) à pression constante d une quantité fixe d un gaz parfait permet d écrire : Une autre formulation de cette loi peut être utile : 3.3 Transformation isotherme : loi de Mariotte Une autre formulation de cette loi peut être utile : 3.4 Transformation adiabatique : loi de Laplace Lorsqu une transformation est adiabatique et réversible, il existe une relation entre deux paramètres : Enveloppe du Bâtiment Page 3

4 3.5 Coefficient de dilatation des gaz 3.6 Coordonnées de Clapeyron Les coordonnées de Clapeyron permettent de représenter les transformations réversibles. Cette transformation utilise le volume en abscisse et la pression en ordonnée Transformations isothermes réversibles Transformations isochores réversibles Enveloppe du Bâtiment Page 4

5 3.6.3 Transformations isobares réversibles Transformations adiabatiques réversible Le tracé de quelques isotherme superposées à la courbe précédente montre que les adiabatiques décroissent plus rapidement que les isothermes. Enveloppe du Bâtiment Page 5

6 4 1 er Principe de la thermodynamique pour les gaz parfaits 4.1 Energie interne : variation d énergie interne *J+ : capacité thermique molaire à volume constant [J.mol -1.K -1 ] : capacité thermique massique à volume constant [J.mol -1.K -1 ] Remarque : La variation d énergie interne pour un gaz parfait ne dépend que de la quantité de matière et de l écart de température entre l état initial et final. Rappel : L énergie interne est un terme «forfaitaire» comptabilisant l ensemble des énergies microscopiques 4.2 Relation de Mayer On peut démontrer les relations suivantes : 4.3 Enthalpie Rappel : La fonction enthalpie permet de simplifier le calcul des échanges d énergie pour les transformations isobares. Cette fonction ne comptabilise pas les échanges d énergie dus au travail des forces de pression (conséquence de la variation de volume) Enveloppe du Bâtiment Page 6

7 5 Expression du travail des forces de pression 5.1 Représentation en coordonnées de Clapeyron 5.2 Transformation isochore Expression générale du travail des forces de pression Dans le cas d une transformation isochore : dv =0 donc W = 0 W désigne l énergie reçue par l extérieur sous forme de travail des forces de pression *J+ 5.3 Transformation isobare : énergie reçue par l extérieur sous forme de travail des forces de pression [J] : variation de volume [m 3 ] : pression constante à laquelle se réalise la transformation [Pa] Enveloppe du Bâtiment Page 7

8 5.4 Transformation isotherme réversible Ainsi : 5.5 Transformation adiabatique réversible On peut démontrer que : 6 Energie échangée par transfert thermique Enveloppe du Bâtiment Page 8

9 7 Exemple de machine à cycle : la pompe à chaleur Une pompe à chaleur est une machine thermique dans laquelle le fluide qui subit une transformation cyclique est du fréon R12 (CF 2 Cl 2 ) Description du cycle : Le fluide caloporteur sort à l état gazeux du serpentin de l évaporateur E situé à l extérieur. (Pression P F et température T F de la source froide) étape notée 6. Il a reçu de l énergie thermique Q F. Il passe dans le compresseur qui le comprime à la pression P C. Cette compression rapide est isentropique (adiabatique) : le fréon s échauffe étape notée 2. Le compresseur a amené un travail W. Le fréon arrive dans le serpentin du condenseur C situé à l intérieur de l habitation. Le gaz se refroidit jusqu à la température T C de la source chaude et se liquéfie sous la pression P C. étape notée 3. Il passe dans une vanne de détente qui le ramène à la pression P D. La détente est adiabatique. A l arrivée dans le serpentin de l évaporateur E, le fluide se vaporise sous la pression P D et à la température T F de la source froide. Bilan énergétique : Rendement : Le fluide reçoit le travail W du compresseur Le fluide cède à la source chaude la chaleur Q C dans le condenseur où il se liquéfie Le fluide reçoit de la source froide la chaleur Q F dans l évaporateur pour se vaporiser Enveloppe du Bâtiment Page 9

10 Chapitre 23 Sciences Physiques - BTS Exercices Exercice 1 Enveloppe du Bâtiment Page 10

11 Exercice 2 Etude d une machine frigorifique Enveloppe du Bâtiment Page 11

12 Exercice 3 : Détente isotherme d un gaz parfait 1 m 3 d air (supposé gaz parfait), à la pression p 1 = 10 atmosphères, subit une détente, à température constante ; la pression finale est p 2 = 1 atmosphère. Déterminer le travail échangé par le gaz avec le milieu extérieur, au cours de cette détente, ainsi que la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur. On rappelle que 1atm = 10 5 N/m² Exercice 4 : Compression adiabatique d un gaz parfait Un récipient, fermé par un piston mobile, renferme 2g d hélium (gaz parfait, monoatomique) dans les conditions (p 1, v 1 ). On amène le gaz dans les conditions (p 2, v 2 ). On donne p 1 = 1 atm, v 1 = 10L et p 2 = 3 atm. 1. Déterminer : 2. Le volume final v 2 ; 3. Le travail reçu par le gaz ; 4. La variation d énergie interne du gaz ; 5. En déduire l élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T 1. Exercice 5 : Equation de la statique des fluides Deux vases A 1 et A 2 de sections S 1 = 50 cm² et S 2 = 10 cm², dont les bases sont dans un même plan horizontal, communiquent par un tube fin de volume négligeable, muni d un robinet R initialement fermé. On verse un litre de mercure dans A 1 et 0.5 litre de mercure dans A 2. Déterminer les déplacements x 1 et x 2 des deux niveaux de mercure lorsqu on ouvre le robinet. Enveloppe du Bâtiment Page 12

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