Problème de chargement de camions-citernes Tank Truck Loading Problem

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1 Problème de chargement de camions-citernes Tank Truck Loading Problem Fabien Cornillier CENTOR, Université Laval Fayez F. Boctor CENTOR, Université Laval Gilbert Laporte CRT, HEC Montréal Jacques Renaud CENTOR, Université Laval Journées de l optimisation Montréal

2 Plan de la présentation Présentation du problème et de ses particularités Revue de la littérature Formulation mathématique Méthodes de résolution Génération des problèmes-tests Résultats numériques

3 Quelles demandes? Quelles quantités? Maximums demandés Minimums demandés

4 Un camion-citerne doit livrer T commandes dont on connaît : Présentation du problème Particularité le type de produit la quantité minimale demandée a t la quantité maximale demandée b t La citerne étant composée de C compartiments de capacités Q c, l objectif est d attribuer chaque commande à un compartiment et de déterminer pour chacune la quantité à livrer. Les camions-citernes ne disposent pas de débitmètre : la livraison d une commande consiste à décharger complètement un ou plusieurs compartiments par gravité on ne peut donc attribuer qu une seule commande par compartiment on ne peut livrer qu un maximum de C commandes Remarque : Une commande peut toujours être affectée à plusieurs compartiments

5 Présentation du problème Définition complète Le problème de chargement consiste à maximiser la quantité chargée dans le camion-citerne pour un ensemble de commandes donné : en respectant les bornes minimales et maximales des quantités demandées en respectant les capacités des compartiments en n allouant qu une seule commande par compartiment (absence de débitmètre) t : index des commandes (t {1,..., T}) ; c index des compartiments (c {1,..., C}) ; x t variable représentant la quantité livrée dans le réservoir t ; y tc, variable binaire égale à 1 si le compartiment c est utilisé pour livrer le réservoir t, 0 sinon.

6 Exemple ?

7 Exemple 1 Demandes classées en ordre décroissant des demandes minimales

8 Exemple 1 Demandes classées en ordre décroissant des demandes maximales X X

9 Exemple 2 Les choses se compliquent ? On doit fractionner une demande

10 Autres problèmes de chargement à compartiments multiples Christofides, Mingozzi & Toth (199) Christofides, Mingozzi & Toth, Loading Problems (199) Un coût d utilisation est associé à chaque compartiment Un seul produit Un compartiment peut être partiellement déchargé Résolution du problème statique (chargement uniquement) et dynamique (chargement et déchargement) Objectif : minimiser le coût des compartiment utilisés Smith, A genetic algorithm approach to solving a multiple inventory loading problem (200) Problèmes multiproduits Coût de stockage associé à chaque produit Coût fixe associé à chaque livraison Les quantités demandées sont fixes et connues Objectif : minimiser la somme des coûts de stockage et de livraison

11 Christofides, Mingozzi & Toth, Loading Problems (199) Autres problèmes de chargement à compartiments multiples Un coût d utilisation est associé à chaque compartiment Un seul produit Smith (200) Un compartiment peut être partiellement déchargé Résolution du problème statique (chargement uniquement) et dynamique (chargement et déchargement) Objectif : minimiser le coût des compartiment utilisés Smith, A genetic algorithm approach to solving a multiple inventory loading problem (200) Problèmes multiproduits Coût de stockage associé à chaque produit Coût fixe associé à chaque livraison Les quantités demandées sont fixes et connues Objectif : minimiser la somme des coûts de stockage et de livraison

12 Autres problèmes de chargement à compartiments multiples Brown, Ellis, Graves & Ronen (198) Brown, Ellis, Graves & Ronen, Real-Time, Wide Area Dispatch of Mobil Tank Trucks (198) Résolvent un problème similaire dans lequel on cherche à minimiser les écarts des quantités chargées aux quantités commandées. Aucune méthode n est cependant décrite : "The model is solved by a highly specialized enumeration" La littérature ne traite pas de notre problème Aucune méthode existante n est adaptée

13 mandées en respectant les capacités des compartiments en n allouant qu une seule commande par compartiment (absence de débitmètre) Formulation mathématique de notre problème t : index des commandes (t {1,..., T}) ; c index des compartiments (c {1,..., C}) ; x t variable représentant la quantité chargée de la commande t ; y tc, variable binaire égale à 1 si le compartiment c est affecté à la commande t, 0 sinon. (TTLP) T Maximiser x t (1) t=1 s.c. : a t x r b t (t {1,..., T}) (2) x t C c=1 Q c y tc (t {1,..., T}) () T y tc 1 (c {1,..., C}) (4) t=1 y tc = 0 ou 1 (t {1,..., T}; c {1,..., C}). (5) (2) : Commandes minimales et maximales () : Limite de capacité des compartiments (4) : Pas plus d un produit par compartiment Étape 1 : Identification rapide de conditions suffisantes de non réalisabilité

14 Intérêt d une méthode de résolution On peut résoudre très simplement ce problème par programmation linéaire en nombres entiers (CPLEX, GLPK), mais dans un problème d approvisionnement des stations d essence, on doit résoudre des dizaines de millier de problèmes de chargement (de l ordre de pour un problème de 200 stations). Temps de résolution d un seul problème de chargement par PLNE comportant 5 commandes et 5 compartiments : jusqu à secondes

15 Méthode de résolution Vue générale Problème de chargement Heuristique Solution réalisable? non oui Solution optimale? non Programmation linéaire en nombres entiers oui Solution optimale, si elle existe

16 Méthode de résolution Vue générale Étape 1 : Identification rapide de conditions suffisantes de non réalisabilité Étapes 2 : Fractionnement des commandes de quantité minimale élevée Étapes : Affectation des commandes dont la quantité minimale est non nulle (a t > 0) Étape 4 : Affectation des commandes restantes (a t = 0) Étape 5 : Tester l optimalité de la solution trouvée Étape 6 : Si aucune solution réalisable n est trouvée, ou si la solution trouvée ne satisfait pas au test d optimalité, résoudre le problème par un algorithme de programmation linéaire en variables entières On cherche, par cette séquence, à limiter le nombre de problèmes à résoudre par programmation linéaire en variables entières.

17 Méthode de résolution Algorithme Étape 1 Identification rapide de conditions suffisantes de non réalisabilité j = i = Table9.. Cost 6.00 of routes6.00 containing 8.06 stations 8.61 i and9.1 j j = i = TAB. 21 Assignment of residual.21 demands Demands Compartments Table 4. Tanks 8 in non-decreasing 9 order 1 Table 5. Sequential assignment of the4 a t and 9 compartments in non-decreasing 5 order of the Q c 4 Tanks 2 Compartment (a Tanks Compartments 2, b 2 ) = (6, ) 6 1Q 1 = (a 9.0 M M 16. M (a 2, 9b 2 ) = (6, 8) 2 Q 1 = 4, b 4 ) = (, ) Q 2 = M M M 11.0 M 1.0 (a (a.0.5 M 14.8 M 4, b 4 ) = (4, 4) Q 2 = 4, b 4 ) = (1, 1) Q = (a 5.2 M 11.1 M (a 1, b 1 ) = (0, 1) 5 Q = 2 1, b 1 ) = (0, 1) Q 4 = M 10.9 M (a M (a, b ) = (0, 2) Q = 1, b ) = (0, 2) M M M M M M 11.0 M M 14.8 M M 11.1 M Soit T +, le nombre de commandes telles que a t > 0 et T s le nombre de commandes devant être livrées par plus d un compartiment (a t > max{q c }). Si T + + T s > C ou t=1 T a t > C c=1 Q c, aucune solution réalisable n existe : arrêt. Dans l exemple : T + = 2 et T s = 0

18 i = Méthode de résolution j = Algorithme i = Table9.. Cost 6.00 of routes6.00 containing stations i and9.1 j j = i 6.00Table9.. Cost 6.00 of routes6.00 containing 8.06 stations 8.61 i and9.1 j Étape 2 j = i = Fractionnement 2 j = 14 6 des.21 commandes dont i = le 1 minimum requis 6.00 est 4.00 élevé Trier les commandes dans l ordre décroissant des a t 8.94 et l ordre.84 décroissant 6 des b t Trier les compartiments dans 5 l ordre décroissant des capacités Si pour un rang donné on a a t > Q c, on fractionne 4.4la commande 6.4.6t en deux 8 commandes t et t avec a t = b0 t = Q c et a t 5 = a t Q0 c, b t = b t 1 5Q c Insérer 1 la nouvelle 0 2 commande 5 4 t dans 5 la4 liste 6 triée4 des 2 commandes Table Incrémenter Tanks 8 le innombre non-decreasing T commandes order 1 Table 5. Sequential 2 11 assignment 1 05 of Table Sithe une 4 4. a t commande Tanks 9 compartments 8 in non-decreasing ne peut pas non-decreasing of à l étape the4 5 a t 9 order être affectée 1 0 Table à un5. compartiment Sequential 5 assignment : aller order and 69 (MILP) compartments of the Q c in non-decreasing 56 order of the Q c Tanks5 2 Compartments 0 Tanks 2 2 Compartments 0 6 (a Tanks Compartments , b 2 ) = (6, ) 6 1Q 1 = (a Tanks Compartments 2, b 2 ) = (6, ) 6 1Q 1 = (a 9.0 M M M 9 1. (a 2, 89 b 2 ) = (6, 8) 12 Q = 4, b 4 ) = (, ) Q 2 = (a 9.0 M M 16. M 1. (a (6, 8) 2 Q 1 = 4, Mb 4 ) = M(, ) M Q = M (a (a M.0 M.5 M M M M , b 4 ) = (4, 4) Q 2 = 4, b 4 ) = (1, 1) Q = 2 (a 1.0 (a.0.5 M 14.8 M (4, 4) Q 2 = 4, b 4 ) = (1, 1) Q = (a 5.2 M 11.1 M 9.4 (a 1, b 1 ) = (0, 1) 45 Q = 2 1, b 1 ) = (0, 1) Q 4 = (a 5.2 M 11.1 M 9.4 (a 1 1 (0, 1) 5 Q = 2 1, b 1 ) = (0, 8.5 1) M Q = 1 M (a 8.5 M M M.6 M (a (a M M (a 9 ) (0, 2) Q 4 = 1, b ) = 5 (0, 2) 6 8 9, b ) = (0, 2) Q 4 = 1, b ) = (0, 2) M M M

19 Méthode de résolution Algorithme Étape Affectation des commandes dont le minimum est non nul On cherche à affecter les commandes pour lesquelles a t > 0 de manière à minimiser la capacité non utilisée du véhicule. Le coût d affectation e tc est infini si a t > Q c, et égal à max{0, Q c b t } sinon Si T < C, on crée C T commandes fictives t avec e tc = Q c pour tout c Si t est assigné à c et b t > Q c une nouvelle commande t est définie avec a t = 0 et b t = max{0, b t Q c } Pour chaque commande dont a t = 0, on définit une nouvelle commande avec a t = 0 et b t = b t

20 Algorithme Étape - Exemple Table 5. Sequential assignment Tanks 2 Compartments (a 2, b 2 ) = (6, ) 6 1Q 1 = (a 9.0 M M 4, b 4 ) = (, ) 16. Q 2 = M 1. M M M 11.0 M 11.5 (a.0 4, b 4 ).5= (1, 1) M 14.8 Q = 2M (a 1, b 1 ) 5.2 = (0, 1) M 11.1 Q 4 = 1M M 10.9 M.6 4 (a, b 5) = (0, 2) M M9 9.0 M M M M M M 11.0 M M M 14.8 M M 11.1 M 9.4 sing order 8.5of the am t and compartments 10.9 M M M lit the second demand as 15.5 it exceeds.5the M 11.5 Méthode de 6.8 résolution 6.4 w have five demands (Table 5). We then order to minimize the total unused ca- Demands ! 6! 0! 4 0!! Compartments 2 1

21 Méthode de résolution Algorithme - Étape 4 Affectations itératives des commandes restantes 0 0 6! ! 0 1 Si tous les compartiments sont utilisés ou toutes les commandes ont été satisfaites, aller à l étape 5 Considérer toutes les commandes non satisfaites t dont 0-0 b t > 0 1 Affecter itérativement la commande dont la valeur b t est la plus élevée au compartiment de plus grande capacité et poser b t := max{0, b t Q c } Figure 1. Graph of the assignment problem Répéter l opération jusqu à ce que toutes les commandes maximales soient nulles ou que tous les compartiments soient utilisés. Table 6. Assignment of residual demands ! Demands Compartments (a, b ) = (0, 2) Q = 2 (a 2, b 2) = (0, 1) (a 1, b 1) = (0, 1) (a 4, b 4) = (0, 0)

22 Méthode de résolution Algorithme Étape 5 Conditions suffisantes d optimalité de la solution trouvée La solution trouvée est optimale si au moins l une des conditions suivantes est satisfaite : 1. tous les compartiments sont pleins 2. toutes les commandes maximales b t sont satisfaites. T + = C 4. il existe une seule commande t telle que a t > 0 remplissant les C 1 compartiments les plus volumineux : T + = 1 et C 1 c=1 Q c < a t C c=1 Q c

23 Méthode de résolution Algorithme Étape 6 Résolution par programmation linéaire en nombres entiers Résoudre le TTLP par un algorithme de programmation linéaire en nombres entiers. Si on entre à l étape 6 par l étape 5 : on trouve toujours une solution optimale Si on y entre par l étape 2 : aucune solution réalisable n est garantie

24 Tests numériques Génération des problèmes Génération de problèmes de 5 commandes (T = 5) L algorithme de chargement a été testé sur 8000 instances de problèmes, 100 instances pour chacune des combinaisons de T +, R a et R b, avec : T + {1,..., 4} R a {0.1, 0., 0.5, 0., 0.9} R b {1.0, 1.5, 2.0, 2.5} et où T + : nombre de commandes dont a t est non nul R a : ratio de la somme des demandes minimales sur la capacité du véhicule (R a = T t=1 a t/ C c=1 Q c) R b : ratio de la somme des demandes maximales sur la capacité du véhicule (R b = T t=1 b t/ C c=1 Q c) Les tailles des compartiments sont fixées à 15000, 5500, 5500, 9000 et

25 Tests numériques Résultats avec Rb=1.5 Table. Computational results for the TTLP with R b = 1.5 T + Feasible Optimal Optimal Average R a %Capacity Seconds Seconds Steps 1-5 Step 1-5 proven Step 5 optimality gap Heuristic ILP Average:

26 Tests numériques Résultats 65 moyens pour 5 les différentes 2 valeurs de 0.40 Rb verage: Table 8. Aggregate computational results for the TTLP for differents values of R b R b Feasible Optimal Optimal Average %Capacity Seconds Seconds Steps 1-5 Step 1-5 proven Step 5 optimality gap Heuristic ILP

27 Conclusion Il s agit d un problème de chargement original Aucune autre méthode que la programmation linéaire en nombres entiers ne permettait de le résoudre L heuristiques proposée est performante et rapide Sa performance et sa rapidité lui permettent d être utile dans toute méthode de génération de routes pour le problème d approvisionnement des stations d essence

28 References 1 Ministère des ressources naturelles du Québec. Prix de l essence ordinaire par région administrative. Technical report, V. Malépart, J. Renaud, and F. F. Boctor. La distribution des produits pétroliers au Québec : État de la situation. Technical report, Université du Québec, P. Toth and D. Vigo, editors. The Vehicle Routing Problem. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, G. G. Brown and G. W. Graves. Real-time dispatch of petroleum tank trucks. Management Science, 2:19 2, January G. G. Brown, C. J. Ellis, G. W. Graves, and D. Ronen. Real-time, wide area dispatch of Mobil tank trucks. Interfaces, 1:10 120, V. Malépart, F. F. Boctor, J. Renaud, and S. Labilois. Nouvelles approches pour l approvisionnement des stations d essence. Revue Francaise de Gestion Industrielle, 22:15 1, 200. N. Christofides, A. Mingozzi, and P. 2Toth. Loading problems. In P. Toth and N. Christofides, editors, Combinatorial Optimization, pages Wiley, J. C. Smith. A genetic algorithm approach to solving a multiple inventory loading problem. International Journal of Industrial Engineering, 10: 16, N. Christofides. Vehicle routing. In A. H. G. Rinnooy Kan E. L. Lawler, J. K. Lenstra and D.B. Shmoys, editors, The traveling salesman problem. A guided tour of combinatorial optimization, pages Wiley, H. N. Gabow. An efficient implementation of Edmonds algorithm for maximum matching on graphs. Journal of the ACM, 2:221 24, J. Edmonds. Paths, trees and flowers. Canadian Journal of Mathematics, 1: , PC*MILER User s Guide. ALK Technologies, Inc., références