Electronique PMP 2014/2015. «Electronique et conditionnement des capteurs»

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1 2014/2015 Electronique PMP «Electronique et conditionnement des capteurs» Pierre Benech Laurent Montès Julien Poëtte Fanny Poinsotte Simon Pontié Nicolas Ruty Marion Dohen

2 En couverture : interpretation libre basée sur le schéma de la carte Ramps 1.4, pouvant piloter, entre autre une imprimante 3D de type Prusa i3, dont quelques exemplaires sont dans les locaux de Phelma. Source : http ://reprap.org 2

3 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Prérequis 3 1. Introduction 4 2. Dipôles linéaires et sources élémentaires 4 3. Lois de Kirchhoff 8 4. Théorème de superposition 9 5. Analyse fréquentielle des circuits électroniques 9 6. Ponts diviseurs de tension ou de courant Représentation de Thévenin et de Norton Théorème de Millman Diagrammes de Bode Composants non linéaires Conclusion Exercices Bibliographie 23 Chapitre 2. Dispositifs à semi-conducteur Introduction Quelques concepts de physique des semi-conducteurs La diode à jonction Transistor bipolaire Etages amplificateurs à base de transistors bipolaires Bilan des structures amplificatrices Transistor MOS (Métal Oxyde Semi-conducteur) Conclusion Exercices 68 Chapitre 3. Amplificateurs opérationnels Introduction Caractéristiques d un AOP idéal Amplificateur utilisé en non linéaire (réaction positive) Amplificateur avec une contre réaction (réaction négative) Les défauts des amplificateurs opérationnels Conclusion Exercices 80 Chapitre 4. Electronique numérique Introduction La représentation des données La représentation binaire La logique combinatoire Situations de compétition et «glitch» Chemins critiques 92 3

4 7. Circuits séquentiels Conclusion Exercices 98 4

5 Introduction L électronique à Phelma, dans le tronc commun PMP. Vous vous êtes probablement déjà rendus compte que nous sommes maintenant entourés de dispositifs électroniques. La totalité des systèmes de mesure physique comporte une partie souvent très importante d électronique et du traitement de signal, à la fois analogique et numérique. Comprendre les possibilités (et les limites!) de l électronique dans le contexte d une chaîne de mesure doit donc faire partie du bagage de compétence de tout ingénieur s intéressant à l instrumentation. Centrale en électronique est la notion de modèle. La plupart des difficultés rencontrées en électronique viennent de la nécessité de comprendre à chaque instant quel modèle utiliser et pourquoi. Un modèle trop simpliste risque de faire perdre de vue des caractéristiques essentielles, tandis que l utilisation de modèles trop compliqués fait exploser le nombre de calculs nécessaires pour la résolution d un circuit. Il faut donc à chaque moment réaliser des choix en se basant sur sa propre expérience, théorique et pratique. Cette nécessité se rencontre dans beaucoup d autres domaines de la physique et des sciences appliquées et c est pourquoi l électronique représente un exercice didactique utile, même pour des non spécialistes. Les enseignements en électronique pour le tronc commun PMP à Grenoble INP-Phelma tournent autour de trois activités : Le cours théorique, au premier semestre, entre septembre et janvier. C est le cours qui couvre le programme traité dans ce polycopié, avec pour but de fournir les outils de calcul et de réflexion essentiels pour traiter un problème électronique. Vous avez reçu aussi un autre fascicule regroupant un bon nombre d exercices qui seront en partie traités en cours, sous la forme de «travaux dirigés». Les travaux pratiques, au premier semestre, entre octobre et décembre. Ils ont pour but de vous faire familiariser avec des problématiques pratiques et des techniques de mesure fondamentales que l on retrouve en laboratoire (un instrument avant tout : l oscilloscope et ses sondes!) Le bureau d étude, au premier semestre, imbriqué avec les travaux pratiques, destiné à la réalisation complète d un circuit simple, mais non banal, de la conception jusqu aux soudures sur une plaque de circuit imprimé et les mesures sur le circuit réalisé. Ce sera aussi l occasion de vous familiariser sur le terrain avec certains composants les plus communs, leurs limites, ce qu il faut faire (ou ne pas faire) pour éviter de les endommager, la lecture de leurs fiches techniques. En plus que les activités «obligatoires», certains projets de groupe au deuxième semestre tournent autour de l électronique et de la robotique. Phelma a aussi un club de robotique animé par un groupe d étudiants qui participent à des compétitions nationales avec leurs réalisations. N hésitez pas à prendre contact avec eux (robotronik.phelma@gmail.com ) : vous risquez de vous amuser, tout en faisant de l électronique. Les ressources à votre disposition. L électronique est un vaste domaine qui nécessite du temps et de l énergie pour être abordé. Elle évoque probablement des mauvais souvenirs à quelqu un d entre vous. C est tout à fait normal que vous rencontriez des difficultés lors de vos premiers abords. Avant de commencer, il y a une chose très importante à faire : pas de panique! Vous avez un certain nombre de possibilités à saisir, lorsque vous n avez pas compris quelque chose ou vous avez un doute. Voyons-les ensemble : Demandez à vos enseignants! L organisation en cours/td permet de poser librement toutes les questions que vous pouvez avoir. Si vous montrez que vous avez tout d abord cherché de résoudre un problème qui vous bloque, nous serons contents de vous aider. La bibliothèque Phelma, au Polygone, où vous pouvez trouver des ouvrages spécialisés pour vous aider dans la révision ou approfondir les arguments vus en cours. La 1

6 bibliothèque des sciences sur le campus universitaire de Grenoble dispose aussi d un vaste choix d ouvrages dédiés à l électronique. Les annales contenant les anciens sujets d examen, mis à disposition sur Chamilo. On y trouve les sujets d examen des dernières années pour le cours théorique, mais aussi pour la plupart des cas leur solutions complètes. L espace dédié au cours d électronique sur Chamilo où on trouve les annales déjà cités, mais aussi plusieurs documents en format pdf (ce polycopié, des fiches techniques de composants, des notes d applications...). On insiste sur l utilité d avoir un accès à l espace «PHELMA A1 PMP Electronique» sur la plate-forme Dockéos. Normalement, si vous êtes en première année dans le tronc commun PMP, vous y êtes inscrit d office. Si ce n est pas le cas, contactez vite un de vos enseignants du cours théorique et mettez le au courant du problème. Pour résumer : vous aurez probablement besoin d un certain effort pour surmonter les difficultés, mais c est tout à fait à votre portée! L organisation de ce document. Ce document est dédié à l analyse d un certain nombre de fonctions de base de l électronique. Après quelques rappels sur les notions indispensables à l étude de l électronique analogique, les principes physiques, les comportements de certains dispositifs et quelques montages de base seront présentés. Les composants à semiconducteur étudiés seront les jonctions PN (diodes), les transistors bipolaires à jonction et les transistors MOS. Nous allons ensuite décrire le fonctionnement de l amplificateur opérationnel, composant qui s est développé à partir de la fin des années 40 du siècle dernier et qui s est avéré un bloc de base incontournable pour toutes les applications d électronique analogique en basse fréquence. Dans la dernière partie du cours, quelques principes d électronique numérique seront fournis. 2

7 CHAPITRE 1 Prérequis 3

8 1. Introduction Réaliser une étude d un circuit analogique veut dire pouvoir déterminer n importe quelle grandeur électrique (tension ou courant) à n importe quel endroit du circuit fourni. Dans ce chapitre, nous allons présenter une série de concepts de base qui permettront d aborder cette étude. Nous allons commencer par aborder la description des éléments les plus significatifs (résistances, condensateurs, inductances), qui font partie de la classe importante des composants linéaires. Nous allons aussi fournir une introduction très succincte des transformées de Laplace en théorie des circuits et nous décrirons des techniques utiles pour analyser le comportement en fréquence d un circuit linéaire. Dans une deuxième partie de ce chapitre, nous introduirons des techniques utiles pour analyser le cas d un élément non linéaire et nous verrons au paragraphe 10.2 le concept de linéarisation, qui est à la base de beaucoup de modèles physiques même en dehors de l électronique. 2. Dipôles linéaires et sources élémentaires Un dipôle est un élément d un circuit électrique comportant deux connexions (deux «pattes»). Un composant passif peut absorber de l énergie et la dissiper en chaleur, ou peut éventuellement la stocker. Par contre, en aucun cas il ne pourra fournir à ses bornes une énergie supérieure à celle qu il a absorbée depuis que le circuit a été mis en marche. En formules, si p(t) représente la puissance instantanée électrique fournie par notre dipôle au reste du circuit, à chaque instant t 0 que l on peut considérer, nous avons : E = t0 p(t)dt 0 (1) Le résultat E de l intégrale représente l énergie que le dipôle fournit au reste du monde depuis le début des temps. Si cette valeur est positive, le dipôle est par contre dit actif. Nous commencerons par présenter les conventions de signe utilisées et les caractéristiques des dipôles générateurs de courant et de tension, qui sont des dipôles actifs. Nous allons ensuite présenter les modèles de trois dipôles passifs qui traditionnellement constituent la base de l électronique analogique : les résistances, les inductances et les condensateurs. Ces dipôles sont caractérisés par des lois caractéristiques linéaires et font donc partie de la classe des dispositifs linéaires. I I I I V V V V Figure 1. Les quatre conventions de signe possibles pour un dipôle Conventions de signe. Sur un dipôle, on peut s intéresser à deux grandeurs électriques : la tension que l on peut mesurer à ses bornes et le courant qui circule à son intérieur. Le sens de mesure du courant et de la tension étant arbitraire, il y a quatre conventions de signe possibles qui sont montrées en figure 1. Nous avons deux possibilités : Convention récepteur : montrée dans les deux premiers cas, où la puissance rentrante dans le dipôle correspond au produit du courant fois la tension. 4

9 e e e(t) e a) b) c) d) Figure 2. Différents symboles utilisés pour indiquer des sources de tension. Le symbole doit toujours présenter une indication de signe. Le symbole a) indique une source qui peut être continue ou variable. b) est toujours continue, c) est toujours variable, d) est une source de tension commandée, dans ce cas, il faut indiquer clairement la commande. Convention de générateur : montrée dans les deux derniers cas, où la puissance sortante du dipôle est donnée par le produit du courant fois la tension. Les deux conventions sont utilisées dans la suite pour fournir les relation constitutives des dipôles actifs et passifs que nous présenterons Source de tension. Une source de tension parfaite est un dipôle actif qui présente à ses bornes toujours la même différence de potentiel, pour n importe quel courant circulant à son intérieur. Ce modèle montre ses limites quand on imagine de connecter une source de tension idéale aux bornes d un court circuit idéal : cette situation est impossible à résoudre et donne lieu à un courant infini qui circule dans la maille. Lorsque des quantités nulles ou infinies sortent d un calcul, c est typiquement signe que le modèle que l on utilise est un peu trop simplifié pour pouvoir les calculer. Souvent, on se sert donc d un modèle un petit peu plus complexe, comportant une source de tension en série avec une résistance R. Cette modification permet d obtenir un courant fini dans la situation que l on vient de décrire et la résistance est souvent appelée «résistance interne» de la source de tension utilisée. On remarquera qu elle est nulle pour une source idéale. On utilise souvent une convention de type générateur pour le choix des signes. La figure 2 indique certains des symboles qui sont utilisés dans la littérature. Nous pouvons utiliser une source de tension pour modéliser la présence d une pile ou un système d alimentation pour notre circuit. Nous pouvons aussi utiliser des sources de tension dont la valeur évolue avec le temp pour représenter la présence d un générateur ou une tension variable. Une source de tension peut aussi être pilotée ou commandée, c est à dire prendre une valeur qui est fixée par une autre grandeur électrique du circuit. Cet artifice mathématique est à la base de beaucoup de modèles de composants plus complexes que l on abordera dans la suite. Certains auteurs utilisent le symbole d) dans la figure 2, tandis que d autres ne font pas de distinction dans les symboles d une source indépendante ou commandée Source de courant. Une source de courant est un dipôle actif qui est toujours traversé par le même courant, quelque soit la tension à ses bornes. Il s agit ici aussi d un modèle idéalisé, qui montre ses limites quand il est branché en parallèle avec un circuit ouvert. Un modèle plus réaliste est celui où la source de courant idéale est mise en parallèle avec une conductance G (une conductance est l inverse d une résistance). Dans le cas d une conductance interne nulle, on retrouve donc le modèle de la source idéale. On utilise souvent une convention de type générateur pour le choix des signes. Les symboles les plus souvent utilisés pour indiquer une source de courant dans un schéma électrique sont montrés la figure 3. 5

10 i i i a) b) c) Figure 3. Différents symboles utilisés pour indiquer des sources de courant. Le symbole doit toujours présenter une indication de signe. Le symbole c) indique une source commandée. Dans la vie de tous les jours, on trouve moins d objets qui sont la transposition réelle d une source de courant, au contraire de ce qui se passe pour une pile, direct correspondant d une source de tension. Néanmoins, il s agit d un concept qui en théorie des circuits a la même importance que la source de tension (on dit que c est son dual) et qui est aussi très utilisé dans les modèles de certains composants plus complexes. Comme nous avons vu pour le cas de la source de tension, une source de courant aussi peut être pilotée ou commandée Résistance. Les résistances sont un des dipôles passifs de base de l électronique analogique. Ces composants, comme leur nom l indique, sont caractérisés par leur résistance au passage du courant, exprimée en ohm (symbole : Ω, dimension d une tension sur un courant). La propriété principale d une résistance est d absorber une certaine puissance électrique, qui est entièrement dissipée en chaleur. Si l on dispose d un barreau cylindrique de matériel conducteur homogène, il est possible en déduire sa résistance à partir des propriétés du matériau utilisé, ainsi que de sa géométrie : avec ρ la résistivité du barreau en Ω m, L sa longueur en m, S la section en m 2. R = ρ L S (2) I R I R V V a) b) Figure 4. Représentation schématique d une résistance. Les symboles a) et b) sont utilisés couramment. La tension et le courant dans cet exemple sont définis avec une convention récepteur. Avec la convention récepteur choisie en figure 4, la caractéristique courant/tension du composant est la suivante : v(t) = Ri(t) (3) En d autres termes, la tension v(t) mesurée aux bornes d une résistance est proportionnelle au courant i(t) circulant dans la résistance et le facteur de proportionnalité est la valeur R de la résistance. 6

11 I C I C V V a) b) Figure 5. Représentation schématique d un condensateur. a) symbole d un condensateur non polarisé, b) condensateur polarisé. Ordres de grandeurs : à l heure actuelle, les valeurs de R peuvent aller pour les composants discrets d une fraction d ohm jusqu à des centaines de gigaohms, les valeurs supérieures à la dizaine de megaohms étant rarement utilisées (et très chères). Il existe beaucoup de technologies différentes permettant d obtenir des résistances discrètes, selon la gamme de valeurs à obtenir, la tenue en puissance souhaitée et la classe de tolérance et de stabilité (vieillissement, température) demandée Condensateur. Un condensateur est un dipôle passif qui va pouvoir stocker une certaine charge électrique. Il est déterminé par sa capacité C exprimée en farad (symbole F, ayant les dimensions d un temps sur une résistance), qui est le rapport entre la charge q(t) stockée sur les armatures du condensateur et la tension v(t) qui y est appliquée : q(t) = Cv(t) (4) Si l on rappelle que le courant est la dérivée de la charge, nous pouvons réécrire la relation constitutive en utilisant tension et courant, en adoptant la convention de signe récepteur, montrée figure 5 : i(t) = C dv(t) (5) dt La capacité C dépend des paramètres physiques et géométriques du composant. Ainsi, dans le cas simple où on fabrique un condensateur avec deux plaques de surface S en vis-à-vis, séparées par une distance d, on obtient : C = ɛ 0 ɛ r S d avec ɛ 0 la constante diélectrique du vide (8, F/m) et ɛ r la perméabilité diélectrique relative du diélectrique qui se trouve entre les deux plaques. Ordres de grandeurs : comme nous avons vu pour les résistances au paragraphe 2.4, il existe beaucoup de technologies de construction différentes aussi pour les condensateurs. Les paramètres importants sont la valeur de la capacité, qui peut aller de quelques picofarads (10 12 F) à quelques farads et la tenue maximale en tension. Les condensateurs de valeur élevée (supérieure à quelques microfarads) sont de type électrochimique et sont polarisés, c est à dire que la tension appliquée à ses bornes ne peut pas changer de signe. En cas contraire, une dégradation des caractéristiques du condensateur peut se produire et si le courant est suffisant ce dernier peut exploser (attention pendant les TP et les projets!). Pour les condensateurs très sollicités dans les alimentation à découpage, on specifie aussi sa résistance équivalente série et le courant efficace qui peut être supporté Inductance. Une inductance (ou self) est un dipôle passif, qui va produire un champ magnétique qui s oppose aux variations du courant qui la traverse. Il est déterminé par la valeur de son inductance L exprimée en henry (symbole H, dimensions d une résistance sur un temps). La figure 6 présente différents symboles qui sont utilisés dans les schémas 7 (6)

12 I L I L V V a) b) Figure 6. Représentation schématique d une inductance. Le symbole b) est parfois utilisé quand l auteur du schéma désire mettre en évidence la présence d un noyau en matériau magnétique. électriques pour indiquer une inductance. L équation caractéristique de ce composant est la suivante : v(t) = L i(t) (7) t Une inductance peut être réalisée à partir d un simple bobinage. Souvent le calcul de la valeur exacte de l inductance à partir des paramètres géométriques et des matériaux s avère très complexe. Dans le cas simple d une bobine enroulée sur un support circulaire, composée par N spires qui ne se chevauchent pas (simple couche), l inductance peut s évaluer par la relation suivante : L = µ N 2 S (8) l avec µ la permittivité du milieu (en V s A 1 ), N le nombre de spires, S la section des spires et l la longueur du solénoïde. Cette relation met bien en évidence le rôle crucial joué par le noyau autour duquel est réalisé le bobinage. Un noyau de matériel ferromagnétique permet par exemple d augmenter très grandement l inductance par rapport à ce qui peut s obtenir en l air, à condition que l induction magnétique ne soit pas trop intense (risque de saturation). Par rapport aux résistances et au condensateurs, les inductances réelles se comportent de façon souvent bien moins proche du modèle mathématique énoncé dans l équation (7). Il s agit néanmoins de composants indispensables dans beaucoup de domaines tels que les filtres à haute fréquence ou la conversion d énergie dans les alimentations à découpage. Ordres de grandeurs : un fil mono brin d un diamètre de l ordre du millimètre a une inductance de l ordre de quelques nano henrys par centimètre lorsque il est isolé et loin d autres conducteurs. Bien que petite, cette inductance peut devenir un problème lors de signaux rapides ou circuits sensibles. Dans le commerce, on trouve des alliages métalliques et des ferrites dans des formes adaptés pour construire facilement des inductances (ou des transformateurs) sur différentes gammes de fréquences, ainsi que des inductances déjà bobinées pour des valeurs allant du nano henry au henry. Pour les inductances de grande valeur, il faudra faire très attention aux phénomènes de saturation du noyau, ainsi qu aux pertes et aux capacités parasites du bobinage. 3. Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff nous permettent de prendre en compte les connections d un circuit électronique d un point de vue mathématique. Cela nous permet donc d écrire un ensemble d équations qui, avec les relations caractéristiques des composants utilisés (linéaires ou pas), nous permettent, sauf cas pathologiques, de calculer toutes les grandeurs en jeu dans le circuit (courants et tensions). Beaucoup de théorèmes utilisées en électronique dérivent plus ou moins directement des deux lois de Kirchhoff, qui sont les suivantes : 8

13 -Loi des noeuds : Un noeud est un regroupement de plusieurs fils électriques connectés ensemble. La loi des noeuds consiste à dire que la somme algébrique des courants issus des différentes lignes est nulle : il n y a donc pas de «création» de courant au niveau du noeud. -Loi des mailles : Une maille est une portion du réseau incluant des fils et des composants, partant d un point donné et arrivant à ce même point après avoir parcouru un certain chemin dans le réseau. La somme algébrique des tensions mesurées avec la même convention de signe tout le long de la maille est nulle (le potentiel du point de départ étant celui du point d arrivé). Une limitation importante existe pour des signaux variables dans le temps : ces lois sont valables seulement quand la taille physique du circuit est très petite devant la longueur d onde des signaux qui y transitent. En d autres termes, les phénomènes propagatifs ne sont pas pris en compte par les lois de Kirchhoff. Par exemple, si l on prend une fréquence f = 50 Hz (fréquence secteur en France), la longueur d onde respective est de 6000 km. Si l on considère un système de distribution électrique d une petite ville, nous pouvons nous appuyer tranquillement sur les lois de Kirchhoff. Si l on parle par contre d une ligne électrique qui traverse l Europe, probablement il faudra recourir à des modèles plus poussés qui prennent en compte les effets de propagation. Les échelles changent en changeant la fréquence et cela détermine l utilisation de techniques d analyse et de réalisation bien différentes pour les circuits fonctionnant à 50 Hz, 100 MHz ou 10 GHz. Dans la suite, nous allons toujours considérer vérifiées les conditions qui permettent d appliquer les lois de Kirchhoff. Dans un circuit linéaire, l application des relations constitutives des composants avec les lois de Kirchhoff permet d écrire un système dont la résolution donne accès à toutes les valeurs des courants et tensions présents dans le circuit. 4. Théorème de superposition Lorsqu un circuit électrique linéaire contient plusieurs sources de courant et/ou de tension indépendantes, il est possible d étudier séparément les effets de ces différentes sources sur le circuit grâce au théorème de superposition. Ceci est une importante conséquence de la linéarité. Ainsi, chaque source va avoir une influence sur le circuit, ce qui va déterminer des valeurs particuliers des courants et des tensions aux endroits qui nous intéressent. Finalement, les courants et les tensions sont la somme des contributions issues séparément des différentes sources, considérées une à la fois, les autres étant éteintes. De cette façon, l étude d un schéma complexe se résume à la superposition de circuits plus simples, comme le montre l exemple de la figure 7. On rappelle qu éteindre une source de tension implique de la substituer avec une source de tension nulle, c est à dire un court circuit. De la même façon, éteindre une source de courant veut dire la substituer avec une source de courant nulle, qui est un circuit ouvert. Dans les paragraphes qui suivent, nous allons aborder un ensemble de techniques mathématiques qui vont nous permettre de simplifier grandement l étude des circuits linéaires dans le cas où les signaux qui y sont injectés sont variables dans le temps. 5. Analyse fréquentielle des circuits électroniques 5.1. Utilisation des transformées de Laplace. Une conséquence importante de la linéarité d un circuit est que si l on a une excitation sinusoïdale à une fréquence donnée, tous les courants et tensions mesurables sur ce circuit seront des fonctions sinusoïdales ayant cette même fréquence, avec amplitudes et phases éventuellement différentes de celles de l excitation. Cette propriété permet d utiliser les transformées de Fourier et de Laplace pour l analyse des circuits et donc représenter un générateur fournissant une excitation de forme quelconque par une somme (éventuellement infinie) de générateurs sinusoïdaux élémentaires. 9

14 Z 1 V 1 Z 2 Z 3 V s I V 2 Circuit de départ V s = V s1 + V s2 + V s3 Z 1 Z 1 Z 1 V 1 Z 2 Z 3 V s1 Z 2 Z 3 V s2 Z 2 Z 3 V s3 I V 2 Calcul de V s1 Calcul de V s2 Calcul de V s3 V s1 = Z2//Z3 Z 2//Z 3+Z 1 V 1 V s2 = Z1//Z3 Z 1//Z 3+Z 2 V 2 V s3 = Z 1 //Z 2 //Z 3 I Figure 7. Décomposition d un circuit par le théorème de superposition. V 1 = 5 V, v 2 (t) = 3 V sin(2πt 50 Hz), I = 50 ma, Z 1 = 250 Ω, Z 2 = 500 Ω, Z 3 = 1 kω. Grâce au théorème de superposition vu au paragraphe 4, on peut étudier séparément la contribution de chaque générateur (chaque «fréquence»), pour ensuite reconstituer la grandeur électrique que l on veut mesurer. Une définition plus précise des propriétés des transformées de Laplace est fournie dans le cours «Transformées intégrales», ici nous nous contentons d en fournir quelques rappels. En supposant qu une grandeur dans le domaine temporel u(t) soit connue, nous allons définir la transformée de Laplace (unilatérale) U(p) de la façon suivante : U(p) = + 0 u(t) exp( pt)dt (9) à condition, bien évidemment, que l intégrale converge pour certaines valeurs de la variable complexe p, ce qui est très souvent le cas pour les signaux que l on peut rencontrer dans des circuits électroniques en règle générale. Pour ce qui concerne la notation, la variable p = σ+jω est très souvent indiquée avec la lettre s dans la littérature anglo-saxonne, voire parfois avec la lettre z dans un contexte plus mathématique. Elle est appelée pulsation complexe, pour marquer l analogie avec la pulsation ordinaire ω = 2πf, qui en constitue la partie imaginaire. La présence d une partie réelle non nulle consiste à considérer un développement des signaux à représenter sur une sorte de base, formée par des fonctions harmoniques multipliées par des exponentielles croissantes ou décroissantes selon la valeur de σ. Nous allons écrire : U(p) = L{u(t)} (10) Nous rappelons rapidement trois propriétés que nous allons utiliser dans la suite : linearité : L{αu(t) + βv(t)} = αl{u(t)} + βl{v(t)}, α et β en étant des constantes éventuellement complexes. dérivation par rapport à t : L { du(t) dt } = pl{u(t)} u(0), où u(0) est la valeur initiale de u(t). intégration : L{ t U(p) u(τ)dτ} = p 10

15 Domaine du temps Domaine de Laplace Impédance Resistance u(t) = Ri(t) U(p) = RI(p) Z(p) = R Condensateur i(t) = C di(t) I(p) = pcv (p) Cv(0) Z(p) = 1 dt pc Inductance v(t) = L dv(t) dt V (p) = pli(p) Li(0) Z(p) = pl Table 1. Equations constitutives des principaux dipôles linéaires, dans le domaine du temps et de Laplace, valeurs de l impédance dans les trois cas. Dans le contexte de l analyse fréquentielle des circuits, nous allons utiliser des lettres majuscules pour indiquer une transformée de Laplace d une grandeur électrique, ainsi que la lettre minuscule indiquera la même grandeur dans le domaine du temps Le concept d impédance. En présentant les équations constitutives des dipôles de base, nous avons vu que dans le cas des composants tels qu un condensateur ou une inductance, nous avons des relations entre tension et courant qui contiennent des dérivées. L analyse d un circuit qui contient des éléments de ce type consiste donc à résoudre un système différentiel. Ce système est linéaire si le circuit ne comprend que des éléments linéaires. Une possibilité est d écrire le système différentiel en utilisant les techniques classiques d - analyse des circuits et de le résoudre en tenant compte des conditions initiales, à l aide de la transformée de Laplace. En réalité, on se rend vite compte que l on peut analyser directement le circuit dans le domaine de Laplace. En effet, les lois de Kirchhoff s énoncent de façon identique en utilisant les transformées des courants et des tensions. Dans le tableau 1, nous avons représenté les équations caractéristiques des principaux dipôles linéaires (résistance, condensateur, inductance) dans le domaine du temps et de Laplace. Comme l on peut voir dans le tableau, pour les composants réactifs (condensateur et inductance), la transformée de Laplace comporte deux termes dont le deuxième fait rentrer en jeu les conditions initiales. Dans le cas où les conditions initiales sont nulles 1, nous pouvons écrire toutes les trois équations constitutives sous la forme unifiée suivante : V (p) = Z(p)I(p) (11) où Z(p) est une fonction complexe d argument complexe et est appelée impédance. La dernière colonne du tableau 1 montre les expressions de l impédance que l on obtient pour les trois cas considérés. Pour résumer, l utilisation de la transformée de Laplace et du concept d impédance permet souvent de résoudre à une fréquence donnée un circuit linéaire comportant des éléments réactifs exactement comme on le ferait pour un circuit comportant seulement des résistances, à condition de considérer le concept d impédance (qui est un nombre complexe), au lieu de celui de résistance (qui est toujours un nombre réel) Régime sinusoïdal permanent. Dans beaucoup de situations pratiques intéressantes, il n y a pas besoin d utiliser tout l outillage de la transformée de Laplace pour la résolution d un circuit et on peut simplifier certains calculs en considérant nulle la partie réelle σ de la pulsation complexe p. D un point de vue mathématique, cela veut dire que nous sommes en train d analyser le comportement de notre circuit en nous plaçant sur l axe vertical du plan p, ce qui correspond à l adoption de la transformée de Fourier. D un point de vue plus physique, considérer une pulsation imaginaire pure revient à exciter le circuit avec des signaux parfaitement sinusoïdaux à une fréquence f, ce qui donne une pulsation ω = 2πf. Les définitions vues précédemment restent valables, à condition d effectuer la substitution p = jω = j2πf. L équation caractéristique d un condensateur en régime sinusoïdal 1. Ou elles n ont aucune importance dans notre circuit, par exemple parce que nous avons attendu suffisamment longtemps pour que l énergie stockée dans les éléments réactifs soit dissipée dans les composantes résistives. 11

16 devient donc : V (f) = 1 I(f) (12) j2πfc tandis que pour une inductance nous avons : V (f) = j2πfli(f) (13) Dans le cas d une excitation à une fréquence unique f, on peut calculer une grandeur u(t) dans le domaine temporel en adoptant l équation suivante, à partir de sa transformée U(f) : u(t) = R{U(f) exp(2πft)} (14) L idée de représenter le module et la phase d un signal sinusoïdal de fréquence connue à l aide d un nombre complexe est très utilisée et cette représentation prend le nom de phaseur Ponts diviseurs de tension ou de courant Bien que les lois de Kirchhoff soient suffisantes pour résoudre un circuit avec les relations caractéristiques des composants, il s avère souvent laborieux et inintéressant de les appliquer pour une résolution à la main. Une série de techniques puissantes (bien que d utilisation moins générale) a été donc développée. Ces techniques, bien sûr, découlent des lois de Kirchhoff, mais permettent de raccourcir considérablement les calculs lorsque l on peut les appliquer. La première technique que nous allons présenter est celle des ponts diviseurs de tension et de courant. Dans l analyse des circuits, des situations telles que montrées en figure 8 sont très fréquentes. Dans la première, on connait la tension aux bornes de l association série de deux impédances Z 1 et Z 2 et on cherche celle aux bornes de l impédance Z 2. L application des relations constitutives des deux impédances (qui sont traversées par le même courant) permet d écrire : V = E Z 2 Z 1 + Z 2 (15) Cette situation est appelée «pont diviseur de tension» ou «diviseur potentiométrique». Z 1 E Z 2 V A Z 1 Z 2 I a) b) Figure 8. Ponts a) de tension et b) de courant. Il existe aussi la situation duale montrée en figure 8 b), où on veut calculer le courant I circulant dans l impédance Z 2, en parallèle avec l impédance Z 1, les deux étants alimentées par un courant connu A. Nous pouvons écrire : I = A Z 1 Z 1 + Z 2 (16) Cette configuration est appelée «pont diviseur de courant». 2. En traitement du signal, un concept tout à fait identique est appelé enveloppe complexe. 12

17 7. Représentation de Thévenin et de Norton 7.1. Equivalence de Thévenin et de Norton. Les théorèmes d équivalence de Thévenin et Norton sont utilisés afin de simplifier l étude de circuits électriques. Ils permettent de trouver un modèle équivalent à l ensemble d un circuit, à condition que ce dernier soit constitué exclusivement par des éléments linéaires et des générateurs (voir la figure 9). Ce circuit doit être sous la forme d un dipôle, c est à dire un réseau connecté à l extérieur seulement par deux bornes. Thévenin : Un dipôle linéaire peut se modéliser sous la forme d un générateur idéal de tension E en série avec une impédance Z. Norton : Un dipôle linéaire peut se modéliser sous la forme d un générateur de courant idéal I en parallèle avec une impédance Z (admittance Y = 1/Z). Il existe quelques cas particuliers où l une des deux représentations n existe pas. Par exemple, la représentation Thévenin d un générateur de courant idéal n est pas possible, alors que la représentation Norton existe (et est en fait le générateur lui même). De toute façon, pour n importe quel dipôle linéaire, au moins une de ces deux représentations existera toujours. Z E I Z Equivalent Thévenin Equivalent Norton Figure 9. Représentation schématique des équivalences Thévenin et Norton (les deux dipôles sont considérés en prenant la masse comme référence). Les deux modèles (si tous les deux existent) sont totalement équivalents. Le passage de l un à l autre se fait en indiquant que la tension E du générateur idéal du modèle de Thévenin est lié au générateur idéal de courant I du modèle de Norton par la relation suivante : E = ZI (17) 8. Théorème de Millman Le théorème de Millman est directement issu des lois de Kirchhoff et permet d exprimer de façon rapide le potentiel V s entre deux noeuds en fonction des courants et potentiels dans les branches qui y sont raccrochées. Ce théorème est utilisable quand un circuit a une configuration telle qu il peut être vu comme une mise en parallèle de plusieurs sources de tension V i et d impédance Z i, avec des sources de courant I k. La tension V s peut donc s écrire de la façon suivante : v s = Vi Z i + I k 1 (18) Z i 13

18 Z s v e Z e g v0 V e v s Figure 10. Représentation simplifiée d un étage amplificateur. L exemple précédent montré en figure 7 se prête à être résolu avec le théorème de Millman, ce qui nous permet d écrire immédiatement : V s = V 1 Z 1 + V2 Z Z 3 + I 1 Z Z Z 3 (19) Le lecteur pourra vérifier que ce résultat est en accord avec le résultat obtenu en figure 7 avec la technique de superposition des effets. 9. Diagrammes de Bode 9.1. Définitions et mise en cascade de blocs amplificateurs. Un étage amplificateur est très souvent utilisé à l intérieur d une chaîne d amplification plus complexe. Pour cette raison, pour caractériser l étage pris singulièrement, il faut représenter son interaction avec le montage dans lequel il est inséré. Ceci peut se faire en modélisant l amplificateur sous la forme d un quadripôle, tel que celui montré en figure 10, en faisant appel aux concepts de gain en tension et impédances d entrée et de sortie. Cette approche est utile aussi non seulement lorsque on fait des calculs théoriques, mais aussi en laboratoire, car on peut effectuer des mesures assez directes des différents paramètres Impédance d entrée. L impédance d entrée modélise l effet de charge que l étage amplificateur représente, en conditions de fonctionnement, par rapport aux circuits qui le précèdent dans la chaîne. C est l impédance du montage vue de son entrée. Pour la calculer, on peut imaginer d appliquer un générateur de courant de test i test,e à l entrée du circuit et mesurer la tension v test,e que l on obtient à ses bornes. L impédance d entrée sera donnée par : Z e = v test,e i test,e (20) Cette valeur peut dépendre de la condition de charge appliquée à la sortie. Dans la pratique, on considérera le circuit dans les conditions les plus proches que possible à celles de fonctionnement normal Impédance de sortie. L impédance de sortie modélise la capacité de la part de l étage amplificateur de piloter des charges. Ces charges sont dues aux étages qui suivent celui que l on est en train d étudier. En d autres termes, c est l impédance série que l on utilise pour représenter selon Thévenin la sortie de l étage. De façon analogue à ce qui a été vu au paragraphe 9.1.1, on peut imaginer d appliquer un générateur de courant de test i test,s cette fois à la sortie du circuit et mesurer la tension v test,s que l on obtient à ses bornes. La valeur obtenue peut dépendre de la condition de charge appliquée à l entrée du circuit : Z s = v test,s i test,s (21) Comme dans le cas précédent, on considérera le circuit dans les conditions les plus proches que possible à celles de fonctionnement normal. 14

19 Gain en tension à vide. C est le rapport entre la tension mesurée à l entrée du circuit et celle en sortie. Le gain en tension modélise l effet d amplification en tension de l étage que l on est en train d analyser, en pilotant l étage avec un générateur de tension idéal et sans brancher aucune charge à la sortie. De cette façon, le gain en tension ne dépend pas des impédances d entrée et de sortie de l étage. Dans les étages qui ne sont pas unidirectionnels, on peut aussi définir un gain en tension inverse, qui représente le signal que l on trouve à l entrée du circuit en pilotant la sortie avec un générateur de tension. Si cet aspect est important mathématiquement pour donner une représentation complète du circuit comme quadripôle, il est souvent négligé dans la pratique de laboratoire. i e i s v e H(p) v s Quadripôle linéaire Figure 11. Représentation des grandeurs électriques sur les deux portes d un quadripôle linéaire Fonctions de transfert d un circuit. Beaucoup de circuits électroniques (amplificateurs, filtres, systèmes de traitement quelconques d un signal...) peuvent être modélisés par des quadripôles linéaires, c est à dire des circuits linéaires à 4 bornes, caractérisés par leurs grandeurs d entrée (v e, i e ) et de sortie (v s, i s ), tel que montré figure 11. Pour décrire leur comportement, on introduit la fonction de transfert du circuit. C est le rapport entre une grandeur de sortie sur une grandeur d entrée, dans le domaine de Laplace. Ces grandeurs sont très souvent des tensions : H(p) = V s V e (22) La définition de fonction de transfert est aussi appliquée quand on effectue une mesure du circuit en régime sinusoïdal permanent, condition que l on peut créer facilement en laboratoire, à l aide d un générateur de signaux et d un oscilloscope. L étude de la fonction de transfert d un circuit correspond à l étude du comportement en fréquence du gain à vide vu au paragraphe 9.1. On peut tracer expérimentalement cette fonction de transfert en mesurant, pour chaque fréquence f du signal d entrée V e (f), le rapport d amplitudes V s (f)/v e (f), ainsi que le déphasage entre les deux signaux. En explorant toute la plage de fréquence qui nous intéresse, on obtient deux courbes d amplitude (en db) et de phase (en degrés ou en radiants), par rapport à un axe logarithmique des fréquences, qui décrivent le comportement du système en présence d une entrée sinusoïdale pure. Ces courbes sont appelées diagrammes de Bode. C est clair que les possibilités graphiques offertes par les ordinateurs modernes (ou une simple calculette graphique) permettent de tracer très rapidement des courbes très précises à partir d une fonction de transfert complète. Cependant, la connaissance des propriétés d une fonction de transfert permet de tracer à la main des diagrammes approchés et de reconnaître l importance des paramètres du circuit qui ont une influence sur le comportement en fréquence du circuit. 15

20 9.3. Traitement mathématique. Une propriété des quadripôles linéaires contenant un nombre fini de composants concentrés est que la fonction de transfert H(p) peut être mise sous la forme d un rapport de deux polynômes en p ayant des coefficients réels : H(p) = N(p) D(p) Grâce au théorème fondamental de l algèbre, un polynôme de degré n a exactement n solutions qui peuvent être réelles ou complexes. Dans ce dernier cas, les solutions complexes apparaissent en couples complexes conjuguées. Dans la terminologie courante, les solutions du numérateur N(p) sont appelées zéros, tandis que les pôles sont les solutions du dénominateur D(p). 3 Tracer à la main un diagramme de Bode à partir d une fonction de transfert dont on connaît l expression analytique correspond en pratique à identifier ses pôles et ses zéros et à tenir compte de leur influence lors du tracé. Bien que la décomposition en facteurs d un polynôme ne soit pas un problème simple si son degré est élevé, souvent des considérations sur le circuit de départ permettent d identifier la présence de certains pôles et zéros, et de tracer les diagrammes sans faire aucun calcul Diagrammes de Bode asymptotiques dans le cas général. En effectuant une décomposition en facteurs des polynômes N(p) et D(p), la fonction de transfert H(p) peut être mise sous la forme suivante : H(p) = αp q K k=1 M m=1 [ 1 + 2ξ k p ω k + [ 1 + 2ξ m p ω m + ( ) ] 2 p L ) ω k l=1 (1 + pωl ( p ω m ) 2 ] N n=1 (23) ( 1 + p ω n ) (24) Nous appelons K le nombre de zéros complexes de pulsation propre ω k et facteur d amortissement ξ k, L est le nombre de zéros réels de pulsation ω l, M est le nombre de pôles complexes de pulsation propre ω m et amortissement ξ m et N le nombre de pôles réels de pulsation ω n. Le terme q est un entier (positif, négatif ou nul) et permet de tenir compte des zéros ou des pôles à l origine. Le terme α est réel. Notre but est de tracer l allure du module de la fonction de transfert en db et de la phase. En substituant p = j2πf dans l expression H(p), nous pouvons observer que grâce aux propriétés du logarithme et du calcul de la phase, les graphiques peuvent être obtenus par la somme des contributions des termes élémentaires qui participent aux produits de l équation (24). Nous pouvons donc analyser séparément la contribution de chaque terme. -facteur α : H 0 (p) = α, l atténuation (ou le gain) en db est la valeur suivante : k 1 = 20 log α (25) où le logarithme est en base 10 (définition de db) et k 1 va être positif (respectivement négatif) si α > 1. Si α est réel et positif, la phase φ 1 va être zéro (respectivement 180 ) -facteurs p q : H q (p) = p q, nous allons considérer seulement le cas où q = ±1, car les autres peuvent être dérivés de ce cas de figure. L atténuation ou le gain en db qui correspond à un pôle (si q = 1), ou un zéro (si q = 1) à l origine est le suivant : k 2 = ±20 log ω (26) et donc le diagramme du module par rapport à la fréquence est une droite de pente +20 db/décade qui est positive pour un zéro (et respectivement négative pour un pôle). La phase φ 2 est constante et vaut 90 pour un pôle et 90 pour un zéro dans l origine. La figure 12 montre les diagrammes de Bode résultant d un terme de ce type. 3. Une fonction de transfert H(p) pour un circuit à paramètre concentrés avec un nombre fini de composants est en fait une fonction méromorphe. 16

21 Amplitude/dB p p 0,01 0, Phase/degrées p p ,01 0, Fréquence normalisée Figure 12. Diagrammes de Bode du module et de la phase d un terme associé à un pôle (1/p) ou à un zéro (p) dans l origine. -pole réel ω n : H n (p) = 1/(1+p/ω n ), le diagramme de Bode de l amplitude a la forme suivante : k 3 = 20 log 1 + j2πf ( ) 2 2πf = 20 log 1 + (27) ω n Une approximation de la courbe peut être obtenue en analysant le comportement asymptotique. Si 2πf est très faible devant ω n, le module exprimé en db sera proche de 0. Si par contre, la fréquence f est suffisamment élevée, le facteur 1 pourra être négligé à l intérieur de la racine, et nous obtiendrons une droite de pente 20 db/décade. Cette approximation asymptotique avec deux droites qui se croisent pour 2πf = ω n induit une erreur qui vaut 3 db à cette fréquence. Pour la phase (en degrés), nous obtenons : φ 3 = 180 π ω n 2πf arctan (28) ω n Si le terme 2πf est suffisamment petit devant ω n, la phase est proche de zéro, tandis que si on est à des fréquences très élevées nous avons φ La transition s effectue sur une plage assez large de fréquences et une approximation asymptotique effectuée souvent consiste à considérer trois droites dont la première à 0 jusqu à une décade avant ωn ωn 2π, la deuxième part de ce point et arrive à 90 une décade après 2π. La troisième droite continue à 90 et reste constante pour des fréquences plus élevés que ω n 2π. L erreur maximale que l on obtient avec cette approximation est inférieure à 6 en valeur absolue. On obtient un déphasage φ 3 = 45 quand 2πf = ω n. La figure 13 représente le diagramme de Bode du module et de la phase d un terme associé à un pôle réel simple. -zéro réel ω l : H l (p) = (1+p/ω l ) grâce aux propriétés du logarithme, la situation (que l on peut voir en figure 14) est identique à celle du pôle réel, à un signe près. 17

22 Amplitude/dB ,01 0, Phase/degrés ,01 0, Fréquence normalisée 2πf/ω n Figure 13. Diagrammes de Bode du module et de la phase d un terme associé à un pôle réel. Amplitude/dB ,01 0, Phase/degrés ,01 0, Fréquence normalisée 2πf/ω l Figure 14. Diagrammes de Bode du module et de la phase d un terme associé à un zéro réel. 18

23 Amplitude/dB ξ m = 0, ξ m = 0, 2 5 ξ m = 0, 4 0 ξ m = 0, ξ m = , Phase/degrés ξ m = 0, 05 ξ m = 0, 2 ξ m = 0, 4 ξ m = 0, 707 ξ m = 1 0, Fréquence normalisée 2πf/ω m Figure 15. Diagrammes de Bode du module et de la phase d un terme associé à un couple de pôles complexes conjugués. -couple de pôles complexes conjugués ω m, ξ m : H m (p) = 1/(1+2ξ m p/ω m +(p/ω m ) 2 ), nous avons ici un comportement plus complexe et plus intéressant, car le paramètre d amortissement ξ m joue un rôle important. Le module en db associé à ce facteur a la forme suivante : ( ) 2 2πf k 4 = 20 log 1 2πf [ ( + j2ξ m = 20 log 2πf 1 ω m tandis que la phase est : ω m ω m ) 2 ] 2 + 4ξ 2 m ( 2πf ω m ) 2 (29) φ 4 = 180 π arctan 2ξ m(2πf)/ω m 1 (2πf/ω m ) 2 (30) En cherchant à représenter l allure du module avec des asymptotes, nous pouvons observer que quand (2πf)/ω m est petit devant 1, le module est proche de 0 db et est donc représentable avec une ligne horizontale. En haute fréquence, nous avons par contre une droite de pente 40 db/décade. Le comportement autour de la fréquence ω m /(2π) dépend par contre fortement de la valeur de ξ m et présente un pic de plus en plus prononcé quand ξ m est proche de zéro. La figure 15 montre l évolution de l amplitude et de la phase pour diverses valeurs du coefficient d amortissement ξ m. Plus ce dernier est petit, plus les pôles sont proches de l axe imaginaire et on trouve un pic d amplitude importante dans le diagramme du module. De même, le passage de la phase entre 0 et 180 est de plus en plus brusque lorsque ξ m diminue. Souvent, au lieu que travailler avec le coefficient d amortissement ξ m, on introduit le «coefficient de qualité» q m = 1/(2ξ m ), qui est lié à la surtension que l on obtient à la résonance. -couple de zéros complexes conjugués ω k, ξ k : H k (p) = 1 + 2ξ k p/ω k + (p/ω k ) 2 de même, la situation change par rapport au cas des pôles complexes conjugués tout simplement par le changement de signe devant l allure du module et de la phase. On 19

24 Amplitude/dB ξ k = ξ k = 0, ξ k = 0, 4-10 ξ k = 0, 2-15 ξ k = 0, , Phase/degrés ξ k = 1 ξ k = 0, 707 ξ k = 0, 4 ξ k = 0, 2 ξ k = 0, 05 0, Fréquence normalisée 2πf/ω k Figure 16. Diagrammes de Bode du module et de la phase d un terme associé à un couple de zéros complexes conjugués. introduit ici aussi le «coefficient de qualité» q k = 1/(2ξ k ). La figure 16 montre les diagrammes de Bode que l on obtient en cette situation. Une fois analysé le comportement de chaque terme de la décomposition de H(p), la construction du diagramme de Bode complet consistera dans la somme des différents termes de gain et de phase. 10. Composants non linéaires Méthode de la droite de charge. Contrairement aux cas analysés jusqu à maintenant, certains composants électroniques ne disposent pas d une caractéristique courant/tension linéaire. Il est parfois intéressant, lors d une étude, d utiliser des techniques de résolutions graphiques, plutôt que d utiliser les expressions littérales compliquées reliant tensions et courants. Cette même stratégie peut aussi être adoptée utilement dans la mise en place d une résolution à l ordinateur. Nous allons considérer ici le cas d un circuit dont tous les éléments sont linéaires, sauf un. L idée de base consiste à représenter selon Thévenin ou Norton (voir le paragraphe 7.1) tout ce qui est connecté à l élément non linéaire. Cela est toujours possible, car comme nous venons de le dire, tous les autres éléments sont linéaires. La Figure 17 montre le résultat de cette modélisation. La convention de représentation sera toujours «récepteur» pour le dipôle non linéaire et la relation courant/tension est spécifiée par la fonction non linéaire u AK = f(i AK ) On cherche donc à déterminer l état du composant non-linéaire D, c est à dire déterminer la valeur de la tension u AK = u SM aux bornes du composant, ainsi que le courant i AK = i SM le traversant. Ce couple de point (u 0, i 0 ) représente le point de fonctionnement du composant, lorsque l on relie le dipôle au circuit. Nous pouvons tracer sur le même repère les deux équations suivantes : i AK = f(u AK ) (31) 20