Quantification de l énergie pour les systèmes simples

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1 Les buts de cet amphi Quantification de l énergie pour les systèmes simples Chapitre 4 Utiliser le formalisme de la physique ondulatoire pour aborder des problèmes de physique d une grande importance pratique Propagation de particules microscope à effet tunnel, radioactivité α Particules confinées énergies quantifiées, liaison chimique. IBM surface d un cristal de cuivre, 48 atomes de fer forment une enceinte d un rayon de 7 nm Les deu types de mouvement classique On considère un potentiel qui tend vers quand r tend vers l infini 1. États liés et états de diffusion = énergie O O < états liés électrons dans un atome > états de diffusion collisions entre particules

2 Les états stationnaires de l équation de Schrödinger La forme des états stationnaires (1D) On considère un potentiel qui tend vers quand tend vers l infini Hamiltonien On s intéresse au états propres de l hamiltonien «équation de Schrödinger indépendante du temps» Solutions physiquement intéressantes : tend vers quand tend vers l infini Rappel : une fois les connus, on peut en déduire l évolution de tout état Si, état directement éligible comme fonction d onde état lié se comporte comme une combinaison d ondes planes à l infini : quand On peut l utiliser pour former des paquets d ondes état de diffusion tats liés et états de diffusion Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le théorème de Sturm-Liouville On peut classer les niveau par valeur croissante de l énergie en fonction du nombre de nœuds (points où le signe change) de la fonction d onde. 2 ème état ecité : 2 nœuds V min 1er état ecité : 1 nœud Aucun état physiquement intéressant avec < V min ntre V min et, états liés en nombre fini ou dénombrable fondamental : pas de nœuds Au dessus de, continuum d énergies : états de diffusion

3 Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le cas de potentiels s (ou «pairs») Potentiel par rapport à : 2. L eemple du puit semi-infini On peut chercher les états propres de sous forme de fonctions paires ou impaires. A montrer en eercice, en remarquant que si est état propre, alors l est également énergies:? Les fonctions impaires ont toujours au moins un nœud en = État fondamental pair Premier état ecité impair Deuième état ecité pair, Recherche des états de diffusion Recherche des états de diffusion > (II) état d énergie supérieure à région 1 : 1 2 n = L, la fonction d onde ψ et sa dérivée ψ sont continues : région 2 : Système linéaire de 2 équations à 3 inconnues : on trouve toujours une solution différente de la solution nulle A=B=C= Pour toute énergie supérieure à la valeur asymptotique du potentiel, Comment raccorder ces fonctions en? on trouve un état propre ψ () de l hamiltonien. Il se comporte comme une onde plane à l infini, en ou de manière équivalente en

4 Recherche des états liés état d énergie inférieure à région 1 : Recherche des états liés < (II) n = L, la fonction d onde ψ et sa dérivée ψ sont continues : 1 2 région 2 : Système linéaire de 2 équations à 2 inconnues : on ne trouve pas toujours une solution différente de la solution nulle A=B= Il faut pour cela avec Comment raccorder ces fonctions en? Pour m et donnés, ceci n est possible que pour des valeurs particulières de l énergie. Recherche graphique des états liés dans le plan ( k, K ) Résultats pour le puit semi-infini 4π4 : cercle 3π 2π2 figure tracée pour π 2 4 π 2π 3π 4π Pour un puits infini, on trouvait les états liés en Ici on les trouve en : kl légèrement inférieur à π, kl légèrement inférieur à 2π, etc., et il y en a un nombre fini (4 sur la figure) Continuum d états libres pour Nombre fini d états liés pour

5 nergie d interaction Modélisation de la force nucléaire entre un proton et un neutron On ne trouve qu un seul état lié, et cette liaison est faible: 3. L effet tunnel distance p-n 1 deutéron (noyau de deutérium) particule d énergie moyenne < a? Le coefficient de transmission par effet tunnel Le microscope à effet tunnel Binnig et Rohrer, 1985 Le coefficient de transmission est non nul, contrairement au cas classique! pointe Le coefficient de transmission varie eponentiellement avec la hauteur et la largeur a de la barrière passage tunnel cristal nombre ridiculement faible pour des objets macroscopiques retournement «spontané» d une pièce de monnaie : lectron: - = 1 ev, a = 5 Angströms : a = 6 Angströms : Le courant varie etrêmement vite avec la distance! énon sur du nickel

6 La radioactivité alpha Caractéristiques de l émission α Röntgen 1895 : les rayons X (photons) émis lors de la fluorescence de tubes à rayons cathodiques impressionnent des plaques photos Becquerel, février 1896 : qu en est-il de la fluorescence de sels d uranium eposés à la lumière du soleil? et quand il n y a pas de soleil??? Pierre et Marie Curie, 1898 : séparations chimiques successives sur les sels, puis sur des résidus de minerais d uranium. Ils isolent le polonium et le radium. énergie de la particule α : entre 4 et 9 Mev temps moyen d émission : T entre 1-6 s et s Gamow 1929 : V(r) puits de potentiel lié au forces nucléaires r répulsion coulombienne particule α = noyau d hélium (Rutherford et Soddy, 199) T (s) 238 uranium 218 radium (MeV) L inversion de la molécule d ammoniac NH 3 Structure pyramidale qui peut s inverser comme un parapluie 4. Le modèle du puits double ou «comment combiner effet tunnel et puits de potentiel» Y a-t-il une signature epérimentale de ce degré de liberté? réponse : oui, apparition d une raie d absorption à partir de l état fondamental à la fréquence ν = 24 GHz Quelle est la structure de cet état fondamental?

7 Modélisation du phénomène d inversion G M D Δ a : position du plan des hydrogènes Les niveau d énergie les plus bas du double puits On fie la largeur a et on choisit comme unité d énergie. On choisit dans cette unité et on fait varier la largeur Δ On s intéresse au niveau d énergie < : quel est le rôle de l effet tunnel à travers la barrière? Le puits de potentiel est pair : on peut chercher les états propres de l hamiltonien sous forme de fonctions paires ou de fonctions impaires Δ Les niveau d énergie les plus bas du double puits Les niveau d énergie si la séparation Δ est très grande Unité d énergie: 4 On peut négliger complètement l effet tunnel entre les deu puits Les états «particule à gauche» et «particule à droite» doivent alors être états propres de l hamiltonien 3 2 2a 1 puits infini de largeur 2a,.2,2.4,4 a 1, 2, 3 : niveau d un puits semi-infini de largeur a Comment combiner ce résultat avec le fait que les fonctions propres peuvent être choisies s ou s? fonction : fonction : même énergie

8 Les premiers niveau d énergie si Δ grand, mais non premier niveau ecité du puits semi-infini niveau fondamental du puits semi-infini Clivage 2A entre les deu états les plus bas : G G D D Les configurations «classiques» Particule localisée à gauche ou à droite : = - = + avec si L oscillation tunnel dans le double puits L effet tunnel à l origine de la chimie On prépare la particule dans l état «droit» à l instant t = : Deu noyau et un électron (par eemple l ion H 2+ ) : électron L évolution ultérieure s obtient par : noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 où on a introduit la «pulsation de Bohr» : Le «saut tunnel» de l électron de l orbite 1 vers l orbite 2 crée un abaissement d énergie pour l état, d autant plus grand que les noyau sont proches. Au temps, la particule est dans l état «gauche», puis se retrouve dans l état «droit» au temps, etc. attraction entre atomes liaison chimique