(Note : Ces notes sont un complément aux informations du cours)

Transcription

1 La régression et le trend (Note : Ces notes sont un complément aux informations du cours) On utilise le trend, ou le calcul de tendance, lorsqu il s agit d une série chronologique. L écriture de la formule de base est la même que pour la régression simple sauf pour les calculs de l origine et de la pente. La formule pour la régression simple est : Y c a+ tel que : Y c La valeur calculée (c) de Y a L ordonnée à l origine La pente Formule pour la droite de tendance: Y t a+ tel que : Y t La valeur calculée de la tendance (t) de Y a L ordonnée à l origine La pente Voici la différence dans les calculs: Pour la régression simple le calcul de la pente (b) et de l ordonnée à l origine (a) sont : b ( xy) ( x ) a Y bx Remarquez que dans la première formule on utilise les petits x et y alors que pour le calcul de l ordonnée à l origine on utilise les moyennes (Y ) et ( X ) (Y et X majuscules) Exemple : Supposons que l on détermine qu il existe un lien logique et étroit entre la valeur d une voiture et son kilométrage. Nous supposons que la valeur de la voiture dépend du kilométrage. Supposons les observations suivantes:

2 Voiture 1 Valeur (Y) Kilométrage (X) A B C D E F G H Nous aurons le tableau suivant: Voiture Valeur Kilométrage y x (Y) (X) ( Y i Y ) ( X i X ) A ,5 B ,5 C ,5 D ,5 E ,5 F ,5 G ,5 H ,5 Y N Y i Y La valeur moyenne des automobiles est de $30, X N X i X ,5 1 En effet la valeur de la voiture dépend du kilométrage. La variable dépendante (Y) (la valeur de la voiture) est fonction de la variable indépendante (X) (le kilométrage) En effet la valeur de la voiture dépend du kilométrage. La variable dépendante (Y) (la valeur de la voiture) est fonction de la variable indépendante (X) (le kilométrage)

3 Les voitures ont une moyenne de 53,937.5 kilomètres. Nous obtenons donc les résultats suivants: Voiture Y X Y-moyY (y) X-moyX (x) xy x y A , , , B , , , C , D , E , , , F , H , , , I , Somme moyenne ,5 Ainsi la pente est de : b ( xy) ( x ) ,44147 La pente signifie que pour chaque kilomètre la valeur de la voiture perd 0,44147 sous. L origine est de: a Y bx a 3075 ( 0,44147 )(53937,5) a 569,7 L origine nous informe que selon la droite la voiture, lorsqu elle n a aucun kilomètre au compteur, vaut $56,9.7 Nous avons donc l équation de régression suivante pour notre exemple: Y c a+

4 Y c 569,7 + (-0,4417) (X) Donc comme pour chaque kilomètre (X) la valeur de la voiture décroît de 0,4 cents et que la voiture à l origine possède une valeur de $569,7, il est possible d estimer la valeur d une voiture de 60,000 kilomètres à : Y c 569,7 + (-0,4417) (60000) Y c 569,7 + (-0,4417) (X) Y c 569,7 + (-9050,69) Y c 7,93.03 La voiture vaudrait, selon l équation, $7,93.03 Il existe une autre équation qui évite de faire le calcul des petits x et y. Ainsi nous aurions: Pour la pente n n xy x ( x)( y) ( x) Et pour l origine a y bx On utilise les résultats des X et Y (et non x et y) pour ces calculs. Nous aurions donc le tableau suivant: (Afin de faciliter les calculs nous avons utilisé la fraction 30 pour représenter etc) Voiture Y X XY Y X A B C 0 77, ,5 D E F H I Somme , ,5 Moyenne 30,75 53,9375

5 Nous obtiendrons les mêmes resultants que précédemment. La pente est de : n n xy x (11565) (6904,5) ( x)( y) ( x) ( 431,5)( 47) ( 431,5) ( 431,5 )( 47) (11565) (6904,5) 1619, , , ,5 9041,75-0,441 et l origine est a 3075 ( 0,44147 )(53937,5) Le trend (tendance) Comme nous l avons mentionné précédemment la formule de la tendance est la même que pour la droite de régression. Toutefois les calculs de la pente et de l origine sont différents. Il est important de noter qu il faut utiliser la droite de régression à l intérieur de l univers des observations. Il serait en effet dangereux de présumer ce qui se passe à l extérieur du champs d observation. Le trend permet toutefois de faire cette projection. On utilise essentiellement le trend pour faire des projections dans le temps. Supposons que nous désirons connaître le nombre de personnes atteintes d une maladie grave dans une ville. Supposons que nous avons le nombre de personnes, en millier, pour une période de 7 ans tel que : Année Y X (année XY (X * Y) X représentant)

6 (milieu) Total Y représente le nombre de personnes, en millier, atteintes de la maladie et X représente l année. Remarquez que les années sont représentées en fonction de l année du point milieu de toutes les observations. Pour notre exemple on observe que c est l année 000. L année 1999 prend la valeur -1 puisqu il s agit d une année avant le point de référence alors que l année 001 prend la valeur + 1 puisqu il s agit d une année après l année de référence. L origine a est simplement la moyenne des Y (pour notre exemple la moyenne des personnes atteintes de la maladie pour la période). Nous avons donc : a n Y i 4 a 1 7 Pour notre exemple le résultat est identique à celui observée en 000 mais ceci ne sera pas toujours nécessairement le cas. La pente nous est donnée par l équation suivante: ( XY ) ( X ) 3 1,14 Nous avons donc : Y t a+ ce qui pour notre exemple donne: Y t 1 + 1,14 (X)

7 Il nous est alors possible d estimer le nombre de personnes atteintes de la maladie en l an 010 en substituant X par la valeur 10. (En effet l année 010 se situe 10 ans après l année de référence). Nous avons donc: Y t 1 + 1,14 (10) Y t ,4 Y t 3,4 Il y aurait, toutes choses demeurant égale par ailleurs 3, 3,400 personnes atteintes de la maladie en 010. Il est également possible de faire une projection antérieur à l année de référence. Par exemple en 1995 il y avait, selon l équation: Y t 1 + 1,14 (-5) Y t 1-5,7 Y t 6,3 (6,300 personnes atteintes de la maladie). Lorsque nous avons un chiffre pair d observations on procède comme suit: Année Y X 199 -, , , , , ,5 On utilise donc une fraction pour identifier les X. 3 On utilise habituellement la locution latine Ceteris Paribus