Devoir surveillé 8 Liquéfaction de l hélium à l aide d un moteur Stirling

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Constance Rousseau
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1 Devoir surveillé 8 Liquéfaction de l hélium à l aide d un moteur Stirling Vendredi 27 juin - 3h Si au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. LES CALCULATRICES SONT INTERDITES. Un soin particulier sera accordé à la rédaction : toutes les réponses devront être justifiées. Toute réponse non justifiée ne donnera pas droit à l attribution des points. Il pourra être utile pour certaines questions, même si ce n est pas demandé explicitement, de faire un schéma de principe du dispositif étudié pouvant servir de support à la réflexion. Les expressions littérales seront encadrées, et les applications numériques soulignées. Aide numérique : = 110 J = 0, 33 J.K 1 = 0, 35 ( ) = 200 J = 0, 12 J.K 1 = 0, 94 J.K 1 ln = 0, 34 J.K 1 γ 1 = 0, 50 J.K 1 γ γ 1 ( ) = 300 J = 0, 18 J.K 1 γ 1 = 1, 41 J.K 1 γ 1 γ 1 ln = 0, 52 J.K 1 = 310 J γ 1 = 0, 83 J.K 1 = 2, 8 γ γ 1 ( ) = 500 J γ = 0, 30 J.K 1 γ 1 γ = 2, 34 J.K 1 γ 1 γ γ 1 ln = 0, 86 J.K 1 ln V A = 0, 46 J.K 1 ln V A = 152 J ln V A = 429 J V B V B V B ln V A = 0, 46 J.K 1 V B γ 1 ln V A γ = 152 J V B γ 1 ln V A = 429 J V B = 0, = 0, = 0, CT 0 + ρ liq V (c P vap T liq l V ) C(T 0 T ) = 9, 5 = 0, 4 C + c P vap ρ liq V ρ liq V l V Constantes fondamentales : Constante de Planck h = 6, J.s ;

2 1 Cycle de Stirling 1.1 Cycle de Stirling d un moteur diterme On considère n = mol d helium, assimilable à un gaz parfait de coefficient de Laplace (aussi appelé coefficient isentropique) constant γ = C P C V = 5, subissant un cycle modélisé par les évolutions 3 suivantes à partir de l état d équilibre thermodynamique initiale A de volume V A = 1 L : Compression isotherme réversible au contact de la source S f, jusqu à l état B, de volume V B = V A 4 ; Échauffement isochore au contact thermique de la source S c jusqu à l état C ; Détente isotherme réversible au contact de la source S c jusqu à l état D, de volume V A ; Refroidissement isochore au contact thermique de la source S f jusqu à l état A. La source chaude S c est maintenue à température constante = 930 K par un brûleur alimenté en méthane et en air. La source froide S f est maintenue à température constante = 330 K, en régime permanent de fonctionnement, par le retour d eau froide des circuits de chauffage. On donne la constante des gaz parfaits R = 8, 314 S.I. Les travaux macroscopiques considérés sont ceux des forces de pression. La variation d entropie d un gaz parfait entre deux états d équilibre thermodynamique E.I.(P I, V I, T I ) et E..(P I, V I, T I ) se déduit des identités thermodynamiques : ( 1 S I = γ 1 ln T + ln V ) T I V ( I γ = γ 1 ln T ln P ) T I P ( I = ln P + γ ln V ) P I V I Questions préliminaires À l aide d une analyse dimensionnelle, donner les unités du système international de la constante des gaz parfaits R Rappeler la définition des capacités thermiques à volume et à pression constante C V et C P On rappelle la relation de Mayer : C P C V =. Exprimer C V et C P en fonction de n, R et γ. 2/5 22 mai 2016

Étude du cycle moteur 1.1.4 Calculer les valeurs numériques de pression et de volume dans chacun des états. On présentera les résultats dans un tableau. 1.1.5 Représenter l allure du cycle en coordonnées de Watt (P, V ).

3 Étude du cycle moteur Calculer les valeurs numériques de pression et de volume dans chacun des états. On présentera les résultats dans un tableau Représenter l allure du cycle en coordonnées de Watt (P, V ) Le cycle est-il moteur ou récepteur? Justifier Pour chaque étape calculer le travail W reçu par le fluide et faire l application numérique ; le transfert thermique reçu de la part des sources chaude et froide et faire l application numérique ; commenter le signe des transferts d énergie ; calculer l entropie échangée S ech et faire l application numérique ; calculer la variation d entropie S et faire l application numérique ; déduire la réversibilité ou non de l étape Quelle est, sur le plan énergétique, la production de ce système sur un cycle? Quel en est le coût, toujours sur le plan énergétique? En déduire l expression du rendement. Le comparer au rendement théorique de Carnot Calculer la valeur de l entropie créée S cycle créée par irréversibilité au sein du système au cours d un cycle. Quel type d irréversibilité entre en jeu ici. 1.2 Cycle de Stirling d un moteur diterme L invention des frères Stirling (1816) a permis d améliorer considérablement le rendement de la machine précédente (c.f. figure ci-dessous). La machine possède deux pistons P 1 et P 2 (ce dernier étant calorifugé ou athermane), dans deux cylindres C 1 (à T 1 ) et C 2 (à T 2 ) reliés par le régénérateur Rg inventé par les Stirling. L ensemble constitué de Rg et des conduites reliant Rg à C 1 et C 2 est thermiquement isolé du milieu extérieur, la pression y est uniforme à chaque instant, et le volume de gaz dans cet ensemble est constamment négligé. L ensemble de ces opérations peut être ainsi modélisé : le piston P 2 est immobile au fond de C 2 (à droite) ; C 2 est donc vide, le fluide est en C 1 et subit une compression isotherme à, de V A à V B ; le mouvement simultané de P 1 et P 2 vers la gauche transfère, de façon isochore, le fluide de C 1 à C 2 à travers Rg où il se réchauffe jusqu à. P 1 s immobilise au fond (à gauche) de C 1 ; on fait ensuite subir une détente isotherme à jusqu au volume V A ; le mouvement simultané de P 1 et P 2 vers la droite transfère, de façon isochore, le fluide de C 2 à C 1 à travers Rg où il se refroidit jusqu à. P 2 s immobilise au fond (à droite) de C 2 ; 3/5 22 mai 2016

4 1.2.1 En comparant, pour le cycle précédent de la première partie, les valeurs des transferts thermiques au cours des évolutions B C et D A, expliquer précisément et complètement pourquoi et comment, tout en conservant pour le fluide chacune des évolutions précédentes, une partie de l énergie thermique précédemment transférée à S f peut servir à économiser une partie de l énergie thermique précédemment fournie par S c Exprimer le nouveau rendement en fonction des températures et Comparer le au rendement théorique de Carnot. Ce rendement peut-il être améliorer sans changer les sources? La source chaude est maintenue à température constante par chauffage solaire : le rayonnement solaire est capté par une parabole de rayon R = 1 m et concentré vers la source chaude. La puissance surfacique moyenne d énergie solaire reçue à Orléans est de l ordre de 500 W.m Quelle énergie doit recevoir la source chaude, de la part du Soleil, pour rester à température constante? Combien de cycle effectue le moteur par minute? En prenant la longueur d onde moyenne Soleil (λ = 550 nm), combien de photons reçoit la parabole? 1.3 Cycle de Stirling réfrigérateur Plus récemment, le cycle de Stirling a été mis en oeuvre, avec succès, pour obtenir de l azote liquide (T liq = 77 K). Le fluide utilisé est toujours de l hélium ; il est toujours assimilé à un gaz parfait de coefficient de Laplace constant γ = C P C V = 5 3. La machine utilisée est la même que précédemment. La température est maintenant remplacée par la température T liq. La température est remplacée par la température T c = 300 K L hélium est-il gazeux tout au long du cycle? On souhaite refroidir un détecteur infrarouge à l aide de l azote liquide produit par le réfrigérateur Stirling. Le détecteur est placé dans un cryostat, c est-à-dire une enceinte calorifugée. Le détecteur et le cryostat sont à l état initial à température ambiante θ 0 = 20 C. On verse un volume V liq = 10 L d azote liquide T liq = 77 K dans le cryostat. Une ouverture au sommet de ce dernier permet de maintenir la pression constante égale à la pression atmosphérique Sachant que la capacité thermique du détecteur et du cryostat vaut C = 3, 0 kj.k 1, déterminer la température finale du détecteur à l équilibre adiabatique. On donne l enthalpie massique de vaporisation de l azote l V = 200 kj.kg à pression atmosphérique, la pression de vapeur saturante à 77 K P sat (77 K) = 1, 013 bar, la masse volumique de l azote liquide ρ liq = 800 kg.m 3, 4/5 22 mai 2016

5 la masse molaire de l azote M(N 2 ) = 14 g.mol 1, la capacité thermique massique à pression constante de l azote vapeur c P vap = 1, 0 kj.k 1.kg 1. 5/5 22 mai 2016

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