I. QU'EST-CE QUE L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIERE DANS LE VIDE?

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1 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 1 Ch.8. Temps et relativité restreinte Chapitre 8 : TEMPS ET RELATIVITE RESTREINTE Qu'est-ce que la relativité restreinte? En 1905, Albert EINSTEIN élabore la théorie de la relativité restreinte. Le postulat principal est que la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est constante dans tout référentiel galiléen. Une conséquence est que la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est une valeur limite que l'on ne peut pas dépasser. Cette théorie peut-elle être remise en cause par des expériences récentes? (exercice 27, p. 226.) Temps et relativité restreinte. Invariance de la vitesse de la lumière et caractère relatif du temps. Savoir que la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens. Postulat d Einstein. Tests expérimentaux de l invariance de la vitesse de la lumière. Définir la notion de temps propre. Exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée. Notion d événement. Temps propre. Dilatation des durées. Preuves expérimentales. Extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Activité documentaire n 2 P : 211 :...LORSQUE LA RELATIVITE ARRIVA. Compétence exigible au baccalauréat : Extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Les muons (voir ch. 1) sont des particules élémentaires produites dans la haute atmosphère. Ces particules ont une durée de vie très courte, de l'ordre de la microseconde. Elles atteignent cependant la surface de la Terre. La mécanique classique explique-t-elle la détection de muons à la surface de la Terre? Les muons sont des particules voisines de l'électron, mais beaucoup plus massives, qui mettent en évidence la présence de rayonnements cosmiques. Ces rayonnements, présents dans tout l'univers, sont notamment constitués de particules chargées. Parmi ces particules, on trouve principalement des protons qui interagissent avec les noyaux des atomes des éléments chimiques qu'ils rencontrent dans la haute atmosphère. Après plusieurs désintégrations, des muons peuvent se former. Les muons parcourent une distance importante dans la matière, car ils interagissent peu avec cette dernière. Pour parvenir au sol, ils doivent traverser une couche d'atmosphère d'une épaisseur d'environ 10 km. Pour repérer leur présence au niveau du sol, on utilise des détecteurs (doc. ci-contre). Ils voyagent à une vitesse de valeur très élevée, v = 0,998 x c, avec c = 3,00 x 10 8 m. s -1, la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. D'après les lois de la mécanique classique, à cette vitesse, il faut environ 33 µs aux muons pour traverser cette couche d'atmosphère. Q1.Retrouver par le calcul la valeur de 33 µs indiquée dans le texte. Q2. Diverses expériences ont montré que les muons ont une durée de vie moyenne notée T o, de l'ordre de 2,2 µs. En raisonnant en mécanique classique, devrait-on détecter des quantités non négligeables de muons au niveau du sol? Un exemple de détecteur de muons : le cosmodétecteur, réalisé par le Centre de physique des particules de Marseille (CPPM) dans le cadre de l'opération Cosmos à l'école, menée conjointement par Sciences à l'école et l'in2p3. Q3.Des muons sont pourtant détectés au niveau du sol (voir ch.1). La relativité restreinte permet d'expliquer cette détection par la dilatation des durées. On suppose un muon se déplaçant, par rapport à la Terre, avec Traces de muons dans un détecteur une vitesse de valeur v proche de c. On considère deux événements affectant ce muon qui se produisent en deux points différents sur Terre. Ces événements sont, par exemple, sa création dans l'atmosphère et son arrivée au niveau du sol. La durée entre ces événements mesurée sur Terre est notée T. Dans la théorie de la relativité restreinte, T est différente de la durée T o entre ces deux mêmes événements mesurée dans un référentiel lié au muon en mouvement. La durée T est appelée durée mesurée. La durée T o est appelée durée propre. Ces deux durées sont liées par la relation de la dilatation des durées : T' = γ T o. Le coefficient γ est donné par γ = 1 /. v est la valeur de la vitesse relative de l'horloge qui mesure T, liée à la Terre, par rapport à celle qui mesure T o, liée à l'objet en mouvement. a. Calculer γ dans le cas du muon. b. En déduire la durée de vie moyenne mesurée, par un observateur terrestre, T d'un muon se déplaçant à la vitesse de valeur v. c. En comparant T et T o, expliquer l'expression «dilatation des durées». d. Comparer T à la valeur 33 µs indiquée dans le texte. Q4. En quoi l'observation de muons au niveau du sol est-elle une preuve expérimentale de la pertinence de la relativité restreinte? I. QU'EST-CE QUE L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIERE DANS LE VIDE?. En 1905, A. EINSTEIN (physicien allemand ) publie un article qui s'appuie sur les travaux de H. LORENTZ ( ) et H. POINCARÉ ( ), ainsi que sur les résultats de l'expérience précédente. Dans cet article, il postule que la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens : c'est l'invariance de la vitesse de la lumière. Ceci remet en cause la mécanique classique pour laquelle la valeur de la vitesse dépend du référentiel. Voir exercices 1, p. 217, et 5 à 6, p Postulat d'a. Einstein pour la vitesse de la lumière : la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens. II. QU'EST-CE QUE LA RELATIVITE RESTREINTE? 1) La relativité restreinte Le temps est une grandeur mesurée par une horloge. En physique classique, celle de GALILÉE et NEWTON (chap. 5 et 6), le temps est absolu : il s'écoule indépendamment des conditions extérieures et de la même façon pour tout observateur, qu'il soit en mouvement ou pas. Selon la théorie de la relativité restreinte, l'écoulement du temps dépend du référentiel. La durée séparant deux événements dépend donc du référentiel d'observation (activité 3 p : et doc.suivants). * Un événement est un fait se produisant à un endroit donné. Ses coordonnées ( x; y; z; t ) dépendent du référentiel.

2 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 2 Ch.8. Temps et relativité restreinte Doc1.Deux horloges immobiles l'une par rapport à l'autre mesurent les mêmes durées entre les événements 1 et 2. La durée séparant l'émission de la lumière (événement 1) et sa réception après réflexion sur un miroir (événement 2) est mesurée par deux horloges proches de ces deux événements et immobiles l'une par rapport à l'autre. Ces deux horloges indiquent la même durée : c'est la durée propre T o. Doc2. Une horloge en mouvement et une horloge fixe ne mesurent pas la même durée entre les événements 1 et 2. Les événements n'ont pas lieu au même endroit dans le référentiel lié au clocher. L'horloge liée au clocher n'est pas proche des deux événements. Elle indique une durée mesurée T. Deux horloges en mouvement relatif ne mesurent pas la même durée entre deux événements. Une durée mesurée est toujours supérieure à la durée propre. C'est le phénomène de dilatation des durées : T > T 0. 2) Relativité du temps Temps propre Le temps propre, ou durée propre, T o est la durée séparant deux événements ayant lieu au même endroit dans un référentiel galiléen (R). Cette durée est mesurée par une horloge fixe dans ce référentiel galiléen et proche des deux événements. Temps mesuré L'activité 2 a montré que la durée de vie propre d'un muon en mouvement dans l'atmosphère terrestre est plus petite que la durée de vie mesurée par un observateur immobile à la surface de la Terre. Le temps mesuré, ou durée mesurée, T est la durée séparant deux événements mesurée par une horloge fixe dans un référentiel galiléen (R') en mouvement par rapport au référentiel galiléen (R) dans lequel on mesure le temps propre. Relativité du temps T et T o sont liées par la relation de dilatation temporelle : T = γ. T o. Le coefficient γ, sans unité, est donné par la relation : γ = 1 / où v est la valeur de la vitesse relative d'une horloge par rapport à l'autre. c est la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. Comme v est inférieure à c, le coefficient γ est supérieur à 1. Une durée mesurée T est toujours supérieure à la durée propre T o correspondante. Deux horloges en mouvement relatif ne mesurent pas la même durée entre les deux mêmes événements : T > T o. C'est le phénomène de dilatation des durées. Une horloge qui se déplace par rapport à un observateur bat plus lentement qu'une horloge immobile par rapport à cet observateur. Voir exercices 2, p. 217, et 7 à 11, p III. PHYSIQUE CLASSIQUE OU RELATIVITE RESTREINTE? Le postulat d'einstein est compatible avec les lois de la mécanique classique de GALILÉE et de NEWTON. En effet si γ est bien inférieure à c, alors v est très proche de 1. T est alors égale à T 0. Dans ce cas, la mesure d'une durée est indépendante du référentiel choisi. Dans le cas où la valeur de la vitesse relative entre les horloges considérées est faible par rapport à la valeur de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, la dilatation des durées n'est plus perceptible, même avec des horloges atomiques. Dans certaines situations, il est indispensable de prendre en compte la relativité du temps. C'est le cas des GPS (activité 3 p : ) : sans synchronisation, les horloges embarquées dans les satellites seraient décalées par rapport à une horloge terrestre. Voir exercices 3, p. 217, et 12 et 13, p L ESSENTIEL : Invariance de la vitesse de la lumière dans le vide La valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens. Relativité restreinte En physique classique, le temps est absolu; il s'écoule de la même manière quel que soit le référentiel d'étude. En relativité restreinte, le temps est relatif au référentiel choisi. Le temps propre, ou durée propre, T 0 est la durée séparant deux événements ayant lieu au même endroit dans un référentiel galiléen (R). Cette durée est mesurée par une horloge fixe dans ce référentiel (R) et proche des deux événements. Le temps mesuré, ou durée mesurée, T est la durée séparant deux événements mesurée dans un référentiel galiléen (R') en mouvement par rapport au référentiel galiléen (R) dans lequel on mesure le temps propre. L'horloge qui mesure T' est fixe dans (R'). Deux horloges en mouvement relatif ne mesurent pas la même durée entre deux événements. Une durée mesurée est toujours supérieure à la durée propre. C'est le phénomène de dilatation des durées : T > To.. Voir schéma ci-dessus. Physique classique ou relativité restreinte Dans le cas où la valeur de la vitesse relative entre les horloges considérées est faible par rapport à la valeur de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, la dilatation des durées n'est plus perceptible, même avec des horloges atomiques.

3 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 3 Ch.8. Temps et relativité restreinte EXERCICE RESOLU p : 218. Compétences : Calculer. Extraire des informations. Définir la notion de durée propre et exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée On considère le déplacement d'une particule élémentaire, un méson, dans un référentiel terrestre (R) supposé galiléen. Sa vitesse constante a pour valeur v = 0,99 x c, où c est la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide (c = 3,0 x 10 8 m.s -1 ). Il parcourt dans (R), depuis sa création jusqu'à sa désintégration, une distance d = 3,0 km. 1. a. Calculer la durée de vie T du méson dans le référentiel (R) b. Dans quel référentiel la durée de vie propre peut-elle être déterminée? En déduire que T est une durée mesurée. 2. Montrer que la durée de vie propre T o de ce méson a pour expression T o = 1-0, T'. Calculer To. La relation qui lie les durées propre T o et mesurée T est T = γ. T o avec γ = 1 / Solution : 1.a. La durée de vie du méson est calculable à partir de la distance qu'il parcourt dans (R) et de la valeur de sa vitesse de parcours : T' = d = 3,0 x 10 3 = 1,0x10-5 s = 10 µs. La durée de vie du méson mesurée dans (R) est de 10 µs. v 0,99 x 3,0 x 10 8 b. Les deux événements sont la création et la désintégration du méson. Ils ont lieu au même endroit dans le référentiel lié au méson. Le référentiel (R) est en mouvement par rapport au référentiel lié au méson. T est donc une durée mesurée. 2.On déduit la durée de vie propre en utilisant la relation T = γ. T o où T est la durée mesurée entre deux événements et T o la durée propre. γ = 1 / avec v la vitesse relative entre les deux référentiels (v < c). Durée de vie propre : Atlas, un détecteur de particules du CERN. Il détecte notamment des mésons. Application immédiate (à faire). Une particule a une durée de vie propre de 2,51 µs. Elle se déplace dans un référentiel galiléen (R) avec une vitesse constante ayant pour valeur v = 0,95 x c. Quelle est la durée de vie T de cette particule mesurée par une horloge fixe dans le référentiel (R)? EXERCICES Ch.8. p : TEMPS ET RELATIVITE RESTREINTE QU'EST-CE QUE L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIERE DANS LE VIDE? p : 219 n 5 : Connaître l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide 1. Énoncer le postulat sur l'invariance de la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. 2. Quel est le premier physicien à l'avoir énoncé? p : 219 n 6 : Connaître la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide 1. Avec trois chiffres significatifs, rappeler la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. 2. La valeur de cette vitesse est-elle aujourd'hui connue de façon exacte? QU'EST-CE QUE LA RELATIVITE RESTREINTE? p : 219 n 7 : Attribuer les principes. Compléter le texte avec les termes suivants : absolu(e), relatif(ve), invariant(e), Isaac NEWTON et Albert EINSTEIN. a. En mécanique classique, le temps est... et la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est... C'est la mécanique d'... b. En relativité restreinte, le temps est... et la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est... C'est la mécanique d'... p : 219 n 8 : Comprendre la relation entre durée propre et durée mesurée. La durée mesurée T entre deux événements est reliée à la durée propre To par : T' = γ. To où γ = 1 / horloges qui mesurent T et To. 1. Dans quels référentiels galiléens ces durées sont-elles mesurées? 2. Montrer que γ est supérieur ou égal à un. 3. En mécanique relativiste, on parle de dilatation de durées. Justifier cette expression. avec v la valeur de la vitesse relative des deux p : 219 n 9 : Étudier un électron dans le tube cathodique d'un téléviseur. L'étude d'un électron dans le tube cathodique d'un ancien modèle de téléviseur a montré que le coefficient γ qui lui est associé dans un référentiel terrestre supposé galiléen est égal à 1, Exprimer la valeur v de la vitesse de déplacement de l'électron dans ce référentiel terrestre. 2. Calculer sa valeur. Le coefficient γ est donné par la relation : où γ = 1 / avec c = 2, x 10 8 m.s -1. p : 219 n 10 : Exploiter le coefficient γ On imagine que, dans un futur lointain, un astronaute puisse se déplacer suivant une trajectoire rectiligne à une vitesse de valeur constante par rapport à la Terre égale à 0,80 x c. Le référentiel lié à l'astronaute est supposé galiléen. On considère deux événements se déroulant au même endroit sur Terre. La durée propre To séparant ces deux événements est mesurée par une horloge liée à la Terre et proche du lieu où se déroulent ces événements. 1. De quel coefficient γ la durée T entre ces deux événements mesurée par l'astronaute est-elle allongée par rapport à la durée propre relevée sur Terre? 2. Quelle devrait être la valeur de la vitesse de l'astronaute par rapport à la Terre pour que la durée qu'il mesure soit le double par rapport à la durée propre sur Terre? Donnée : Les durées propre To et mesurée T sont reliées par T = γ. To où : γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des deux horloges qui mesurent T' et To. p : 220 n 11 : Exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée Un astronaute s'éloigne de la Terre avec une vitesse de valeur constante v = 0,90 x c suivant une trajectoire rectiligne jusqu'à une planète distante de d = 4,0 al. La durée mesurée T' par une horloge sur Terre est différente de la durée propre To relevée par une horloge fixe dans un référentiel lié à l'astronaute supposé galiléen. Ces deux durées sont reliées par : T = γ. T o. Le coefficient γ est donné par la relation : γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des deux horloges qui mesurent T et T o. 1. Quelle est la durée du trajet de l'astronaute pour un observateur terrestre? 2. Quelle est la durée de ce même trajet pour l'astronaute?

4 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 4 Ch.8. Temps et relativité restreinte PHYSIQUE CLASSIQUE OU RELATIVITE RESTREINTE? p : 220 n 12 : Distinguer physique classique et relativité restreinte Associer ces deux postulats fondamentaux à la bonne théorie : Postulat A : La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens : elle est la même pour tout observateur. Postulat B : Le temps s'écoule de la même manière dans tout référentiel : il est le même pour tout observateur. Théorie 1 : Mécanique classique. Théorie 2 : Relativité restreinte. p : 220 n 13 : Étudier le vol d'un pigeon Place Saint-Marc à Venise, des touristes observent des pigeons. Doivent-ils utiliser la relativité restreinte dans le cas de l'étude du vol d'un pigeon? p : 220 n 14 : La relativité du temps Extraire des informations; exploiter une relation. On imagine qu'un OVNI est repéré dans le sud ouest de la France. Il se déplace à une vitesse constante par rapport au sol dont la valeur est égale aux deux tiers de celle de la vitesse de la lumière dans le vide. On cherche à déterminer la durée qui s'écoule lors d'un survol rectiligne entre Bordeaux et Arcachon de l'ovni, villes distantes de 49 km, lorsque cette durée est : a. mesurée par Nicolas en vacances à Arcachon; b. mesurée par un extraterrestre à bord de l'ovni. Données : Les durées propre T o et mesurée T sont reliées par T = γ. T o, où: γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des horloges qui mesurent T et T o. Le référentiel terrestre et celui lié à l'ovni sont supposés galiléens. Nicolas et l'ovni sont immobiles respectivement dans ces référentiels. 1. Quels sont les deux événements dont on cherche à mesurer la durée qui les sépare? 2. Qui de Nicolas ou de l'extraterrestre mesure la durée propre du survol de l'ovni? 3. Calculer la durée du survol mesurée par Nicolas. 4. Calculer la durée du survol mesurée par l'extraterrestre. p : 220 n 15 : Une période variable. Raisonner ; calculer. On imagine qu'une fusée se déplace selon une trajectoire rectiligne avec une vitesse de valeur constante v = km.s -1 par rapport à la Terre. À son bord, un astronaute envoie à un ami resté sur Terre un signal lumineux périodique. Il règle sa fréquence d'émission f à 5,0 Hz. Le référentiel terrestre et celui lié à la fusée sont supposés galiléens pendant la durée des mesures. Données : avec v la valeur de la vitesse relative des horloges qui mesurent Les durées propre T o et mesurée T sont reliées par T = γ. T o, où: γ = 1 / T et T o et c = 3,00 x 10 8 m.s Quels sont les deux événements à considérer pour étudier la période du signal lumineux envoyé par l'astronaute à son ami? 2. Quelle est la période propre de ce signal lumineux? 3. Quelle est la période mesurée de ce signal par l ami resté sur Terre? p : 220 n 16 : A chacun son rythme Calculer, raisonner; exploiter une relation. p : 220 n 17 : Relativité es-tu là? Construire et exploiter une représentation graphique.

5 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 5 Ch.8. Temps et relativité restreinte ETUDE DOCUMENTAIRE - Activité 3 p : 212. «Être à l'heure pour se situer» Compétence exigible au baccalauréat : Extraire et exploiter des informations relative à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Lors d'un trajet routier, il est nécessaire de pouvoir se localiser si l'on souhaite optimiser son parcours. Alors que la carte papier était longtemps l'unique moyen de repérage, le GPS (Global Position System) est actuellement très utilisé. Quels sont les principes de fonctionnement du GPS? En quoi la relativité permet-elle de prévoir et justifier les dérives temporelles des horloges embarquées à bord des satellites GPS? La Terre et une constellation de satellites GPS. Développé initialement à des fins militaires, le GPS est aujourd'hui utilisable par les civils. Le GPS comprend une constellation de 24 satellites. Chacun d'eux emporte une horloge atomique (voir l'activité 5 du ch.7) de haute précision et évolue sur une orbite circulaire autour de la Terre. Il émet régulièrement un signal électromagnétique indiquant l'heure d'émission et sa position par rapport à la Terre. Le récepteur GPS, situé dans un bateau ou une voiture par exemple, détecte l'heure d'arrivée du signal. Avec ces 2 informations, heure d'émission et heure de réception, le récepteur calcule la durée de propagation du signal et en déduit la distance qui le sépare du satellite. Principe de la localisation. Le principe de la localisation par GPS est très simple : c'est celui de la triangulation. Supposons que nous soyons perdus quelque part en France. Si nous passons devant un panneau de signalisation indiquant que Paris est à 161 km, que Rennes est à 233 km et que Poitiers est à 136 km, il suffit de dessiner trois cercles sur une carte et de repérer où ces trois cercles se coupent, dans le cas présent à Blois (doc.). Pour localiser un point M à la surface du globe terrestre, il suffit d'entrer en contact avec quatre satellites GPS. En effet, avec un satellite, le point M est localisé sur une sphère de rayon égale à la distance qui le sépare du satellite. Avec deux satellites, le point M est localisé à l'intersection de deux sphères. Une telle intersection est un cercle. Avec trois satellites, le point M est localisé à l'intersection de trois sphères, ce qui donne deux positions possibles. Le quatrième satellite permet de lever l'ambiguïté restant entre les deux positions précédentes. Être à l'heure pour se situer. Pour minimiser l'erreur sur les distances, toutes les horloges du système doivent être parfaitement synchronisées. Pour déterminer une distance à dix mètres près, il faut mesurer la durée du trajet avec une précision d'environ 30 nanosecondes. Les horloges atomiques embarquées à bord des satellites sont bien plus précises que cela. En revanche, le récepteur GPS au sol ne peut disposer d'une horloge de ce type, chère et volumineuse. Pour pallier cela, son horloge électronique, relativement peu précise, est remise régulièrement à l'heure à l'aide des signaux en provenance des satellites. La relativité et le GPS. Les satellites GPS se déplacent à plus de kilomètres d'altitude, avec une vitesse dont la valeur est de 3,9 x 10 3 mètres par seconde dans un référentiel géocentrique. À cause de cette vitesse, leurs horloges retardent de 7 microsecondes par jour par rapport aux horloges terrestres. Ce retard relève de la théorie de la relativité restreinte. À cela s'ajoute un effet plus subtil lié à la gravitation, donc à la théorie de la relativité générale qui prévoit que deux horloges identiques soumises à une gravité différente ne battent pas au même rythme. À cause de ce deuxième phénomène, les horloges des satellites GPS avancent de 45 microsecondes par jour par rapport à une horloge située au sol. D'après J.-M. Courty et E. Kierly, «La gravitation», dossier hors-série n 38, Pour la science, janvier-avril La synchronisation d'horloges dans des situations particulières. Deux principes de synchronisation d'horloges. Principe de localisation à la surface de la Terre : trois cercles sont nécessaires. D après J.-M. Courty et E. Kierly, «La gravitation», dossier hors-série n 38, Pour la Science, janvier-avril a. Schématisation du principe de synchronisation de deux horloges immobiles l'une par rapport à l'autre. Le signal est émis par la balise B 1 à la date t 1 indiquée par l'horloge située en B 1. Dès réception, B 2 renvoie un signal à la date t 2 indiquée par l'horloge située en B 2. B 1 reçoit un signal à la date t' 1. b. Schématisation du principe de la synchronisation d'une montre (horloge mobile) grâce à deux horloges immobiles synchronisées. Le promeneur P, dont la montre n'est pas forcément à l'heure, est situé entre deux balises B 1 et B 2. On suppose qu'il reçoit simultanément les signaux de B 1 et de B 2. Chaque signal contient l'heure d'émission, par exemple t pour B 2 et t + 1 ms pour B 1. La relativité restreinte permet d'écrire que T = γ T o, avec T la durée mesurée au sol et T o la durée propre indiquée par une horloge embarquée dans le satellite. Le coefficient γ a pour expression : par γ = 1 / avec c = 3,00 x 10 8 m.s -1 et γ la valeur de la vitesse relative des deux horloges. Q1. Expliquer le principe de localisation par GPS. On pourra se servir d'une carte mentale pour relever les mots-clés. Q2.Pourquoi faut-il synchroniser toutes les horloges du GPS, celles des satellites et celle du récepteur? Q3.Lors de la synchronisation des deux horloges immobiles, comment s'exprime t 2 en fonction de t 1 et de t 1 (doc. a)? Q4.Lors de la synchronisation d'une horloge mobile grâce à deux horloges immobiles (doc. b) : a. Quelle information sur sa position le promeneur P peut-il tirer de la différence des dates d'émission des signaux issus des balises B 1 et B 2? b. Sachant que la distance B 1 B 2 est de 900 km, calculer la position de P par rapport à B 1 et par rapport à B 2. On suppose que les signaux émis sont des ondes électromagnétiques qui se déplacent dans le vide ou dans l'air à la vitesse de la lumière de valeur c. c. Comment le promeneur P, connaissant sa position par rapport à B 1 ou B 2, peut-il vérifier si sa montre est synchronisée avec les horloges des balises? Q5. Un satellite émet 2 signaux successifs séparés d'une durée propre de 1 s; cette durée est connue avec la plus grande précision permise par l'horloge du satellite. a. En utilisant la théorie de la relativité restreinte, donner l'expression de la durée mesurée au sol entre ces deux émissions. b. En déduire l'expression du retard de l'horloge embarquée dans le satellite par rapport à l'horloge au sol expliqué par la relativité restreinte. c. On suppose que la vitesse relative des deux horloges est v = 3,9 x 10 3 m.s -1. Calculer ce retard sur une journée. d. Ce résultat est-il compatible avec la phrase en gras dans le texte? Q6.a. De combien les horloges des satellites avancent-elles par rapport aux horloges terrestres à cause des phénomènes de relativités restreinte et générale cumulés? b. Si cette avance n'était pas prise en compte par le GPS, la distance entre un satellite et le récepteur serait erronée. Quelle serait alors l'erreur sur la mesure de cette distance au bout de 24 heures?

6 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 6 Ch.8. Temps et relativité restreinte ETUDE DOCUMENTAIRE - Activité 3 p : 212. «Être à l'heure pour se situer» Correction :

7 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 7 Ch.8. Temps et relativité restreinte Chapitre 8 : TEMPS ET RELATIVITE RESTREINTE Activité documentaire n 2 P : 211 :...LORSQUE LA RELATIVITE ARRIVA. Compétence exigible au baccalauréat : Extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Les muons (voir ch. 1) sont des particules élémentaires produites dans la haute atmosphère. Ces particules ont une durée de vie très courte, de l'ordre de la microseconde. Elles atteignent cependant la surface de la Terre. La mécanique classique explique-t-elle la détection de muons à la surface de la Terre? Les muons sont des particules voisines de l'électron, mais beaucoup plus massives, qui mettent en évidence la présence de rayonnements cosmiques. Ces rayonnements, présents dans tout l'univers, sont notamment constitués de particules chargées. Parmi ces particules, on trouve principalement des protons qui interagissent avec les noyaux des atomes des éléments chimiques qu'ils rencontrent dans la haute atmosphère. Après plusieurs désintégrations, des muons peuvent se former. Les muons parcourent une distance importante dans la matière, car ils interagissent peu avec cette dernière. Pour parvenir au sol, ils doivent traverser une couche d'atmosphère d'une épaisseur d'environ 10 km. Pour repérer leur présence au niveau du sol, on utilise des détecteurs (doc. ci-contre). Ils voyagent à une vitesse de valeur très élevée, v = 0,998 x c, avec c = 3,00 x 10 8 m. s -1, la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. D'après les lois de la mécanique classique, à cette vitesse, il faut environ 33 µs aux muons pour traverser cette couche d'atmosphère. Un exemple de détecteur de muons : le cosmodétecteur, réalisé par le Centre de physique des particules de Marseille (CPPM) dans le cadre de l'opération Cosmos à l'école, menée conjointement par Sciences à l'école et l'in2p3. Q1.Retrouver par le calcul la valeur de 33 µs indiquée dans le texte. Pour parcourir 10 km, les muons mettent 33 µs ; on retrouve bien le résultat annoncé dans le texte. Q2. Diverses expériences ont montré que les muons ont une durée de vie moyenne notée T o, de l'ordre de 2,2 µs. En raisonnant en mécanique classique, devrait-on détecter des quantités non négligeables de muons au niveau du sol? Traces de muons dans un détecteur La distance parcourue par le muon en 2,2 µs est : d = v T 0 = 0,998 x 3,00 x10 8 x 2, d = 6,6 x 10 2 m. Cette distance est très faible devant l épaisseur de 10 km d atmosphère à traverser par les muons pour atteindre le sol. D après la mécanique classique, les muons n ont pas le temps d atteindre la Terre. Q3.Des muons sont pourtant détectés au niveau du sol (voir ch.1). La relativité restreinte permet d'expliquer cette détection par la dilatation des durées. On suppose un muon se déplaçant, par rapport à la Terre, avec une vitesse de valeur v proche de c. On considère deux événements affectant ce muon qui se produisent en deux points différents sur Terre. Ces événements sont, par exemple, sa création dans l'atmosphère et son arrivée au niveau du sol. La durée entre ces événements mesurée sur Terre est notée T. Dans la théorie de la relativité restreinte, T est différente de la durée T o entre ces deux mêmes événements mesurée dans un référentiel lié au muon en mouvement. La durée T est appelée durée mesurée. La durée T o est appelée durée propre. Ces deux durées sont liées par la relation de la dilatation des durées : T' = γ T o. Le coefficient γ est donné par γ = 1 /. v est la valeur de la vitesse relative de l'horloge qui mesure T, liée à la Terre, par rapport à celle qui mesure T o, liée à l'objet en mouvement. a. Calculer γ dans le cas du muon. 3 a. Pour ces muons : b. En déduire la durée de vie moyenne mesurée, par un observateur terrestre, T d'un muon se déplaçant à la vitesse de valeur γ. T = γ T 0 = 15,8 x 2,2 x 10 6 soit T = 35 x 10 6 s = 35 µs. La durée de vie moyenne d un muon mesurée sur Terre est de 35 µs. c. En comparant T et T o, expliquer l'expression «dilatation des durées». La durée de vie du muon, pour un observateur terrestre, devient 15,8 fois plus grande que dans le référentiel lié au muon, d où l expression «dilatation des durées». d. Comparer T à la valeur 33 µs indiquée dans le texte. T > 33 µs, donc les muons formés dans la haute atmosphère peuvent atteindre le sol. Q4. En quoi l'observation de muons au niveau du sol est-elle une preuve expérimentale de la pertinence de la relativité restreinte? La mécanique galiléenne ne peut pas expliquer l observation de muons sur Terre. Le modèle de relativité restreinte a permis, par la dilatation des durées, d expliquer cette observation.

8 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 8 Ch.8. Temps et relativité restreinte EXERCICE RESOLU p : 218. Compétences : Calculer. Extraire des informations. Définir la notion de durée propre et exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée On considère le déplacement d'une particule élémentaire, un méson, dans un référentiel terrestre (R) supposé galiléen. Sa vitesse constante a pour valeur v = 0,99 x c, où c est la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide (c = 3,0 x 10 8 m.s -1 ). Il parcourt dans (R), depuis sa création jusqu'à sa désintégration, une distance d = 3,0 km. 1. a. Calculer la durée de vie T du méson dans le référentiel (R) b. Dans quel référentiel la durée de vie propre peut-elle être déterminée? En déduire que T est une durée mesurée. 2. Montrer que la durée de vie propre T o de ce méson a pour expression T o = 1-0, T'. Calculer To. La relation qui lie les durées propre T o et mesurée T est T = γ. T o avec γ = 1 / Atlas, un détecteur de particules du CERN. Il détecte notamment des mésons. Solution : 1.a. La durée de vie du méson est calculable à partir de la distance qu'il parcourt dans (R) et de la valeur de sa vitesse de parcours : T' = d = 3,0 x 10 3 = 1,0x10-5 s = 10 µs. La durée de vie du méson mesurée dans (R) est de 10 µs. v 0,99 x 3,0 x 10 8 b. Les deux événements sont la création et la désintégration du méson. Ils ont lieu au même endroit dans le référentiel lié au méson. Le référentiel (R) est en mouvement par rapport au référentiel lié au méson. T est donc une durée mesurée. 2.On déduit la durée de vie propre en utilisant la relation T = γ. T o où T est la durée mesurée entre deux événements et T o la durée propre. γ = 1 / avec v la vitesse relative entre les deux référentiels (v < c). On en déduit la durée de vie propre : Application immédiate (à faire). Une particule a une durée de vie propre de 2,51 µs. Elle se déplace dans un référentiel galiléen (R) avec une vitesse constante ayant pour valeur v = 0,95 x c. Quelle est la durée de vie T de cette particule mesurée par une horloge fixe dans le référentiel (R)? Solution : La durée de vie mesurée de cette particule dans le référentiel (R) est de 8,0 µs. EXERCICES Ch.8. p : TEMPS ET RELATIVITE RESTREINTE QU'EST-CE QUE L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIERE DANS LE VIDE? p : 219 n 5 : Connaître l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide 1. Énoncer le postulat sur l'invariance de la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. 2. Quel est le premier physicien à l'avoir énoncé? 1. On postule que la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tout référentiel galiléen. 2. Le premier physicien à l avoir énoncé est A. Einstein. p : 219 n 6 : Connaître la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide 1. Avec trois chiffres significatifs, rappeler la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide. 2. La valeur de cette vitesse est-elle aujourd'hui connue de façon exacte? 1. La valeur de la vitesse de la lumière dans le vide, avec trois chiffres significatifs, est égale à 3,00 x 10 8 m s La valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est aujourd hui connue de façon exacte. Elle est fixée à 2, x 10 8 m s 1. QU'EST-CE QUE LA RELATIVITE RESTREINTE? p : 219 n 7 : Attribuer les principes. Compléter le texte avec les termes suivants : absolu(e), relatif(ve), invariant(e), Isaac NEWTON et Albert EINSTEIN. a. En mécanique classique, le temps est absolu et la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est relative. C'est la mécanique d' Isaac Newton. b. En relativité restreinte, le temps est relatif et la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est absolue. C'est la mécanique d' Albert Einstein. p : 219 n 8 : Comprendre la relation entre durée propre et durée mesurée. La durée mesurée T entre deux événements est reliée à la durée propre To par : T' = γ. To où γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des deux horloges qui mesurent T et To. 1. Dans quels référentiels galiléens ces durées sont-elles mesurées? La durée propre T 0 est mesurée par une horloge fixe dans un référentiel galiléen (R) et telle que les événements se déroulent au même endroit et à proximité de cette horloge. La durée mesurée T est mesurée par des horloges fixes et synchronisées dans un référentiel galiléen (R ). Les deux référentiels et, par conséquent, les horloges sont en mouvement relatif l un par rapport à l autre. Dans (R ), les deux événements ne se produisent pas au même endroit. 2. Montrer que γ est supérieur ou égal à un. Puisque v et c sont positifs et que v < c, le rapport v/c et son carré sont compris entre 0 et 1. Donc est donc compris entre 0 et 1 ainsi que sa racine carrée. Enfin, l inverse d un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à 1. γ est donc supérieur à En mécanique relativiste, on parle de dilatation de durées. Justifier cette expression. L observateur en mouvement par rapport aux événements mesure une durée T supérieure à la durée propre T 0 puisque γ > 1. On parle ainsi de durée dilatée mesurée par cet observateur.

9 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 9 Ch.8. Temps et relativité restreinte p : 219 n 9 : Étudier un électron dans le tube cathodique d'un téléviseur. L'étude d'un électron dans le tube cathodique d'un ancien modèle de téléviseur a montré que le coefficient γ qui lui est associé dans un référentiel terrestre supposé galiléen est égal à 1, Exprimer la valeur v de la vitesse de déplacement de l'électron dans ce référentiel terrestre. 2. Calculer sa valeur. Le coefficient γ est donné par la relation : où γ = 1 / avec c = 2, x 10 8 m.s De la formule de γ, on peut tirer v : 2. La valeur de la vitesse de déplacement de l électron dans un référentiel terrestre est de 9,14 x 10 7 m s 1. p : 219 n 10 : Exploiter le coefficient γ On imagine que, dans un futur lointain, un astronaute puisse se déplacer suivant une trajectoire rectiligne à une vitesse de valeur constante par rapport à la Terre égale à 0,80 x c. Le référentiel lié à l'astronaute est supposé galiléen. On considère deux événements se déroulant au même endroit sur Terre. La durée propre To séparant ces deux événements est mesurée par une horloge liée à la Terre et proche du lieu où se déroulent ces événements. 1. De quel coefficient γ la durée T entre ces deux événements mesurée par l'astronaute est-elle allongée par rapport à la durée propre relevée sur Terre? 1. L astronaute en mouvement par rapport à la Terre ne peut pas être proche des deux événements. La durée séparant les deux événements est donc, pour l astronaute, une durée mesurée. La durée mesurée T par l astronaute est égale à 1,7 fois la durée propre T 0 2. Quelle devrait être la valeur de la vitesse de l'astronaute par rapport à la Terre pour que la durée qu'il mesure soit le double par rapport à la durée propre sur Terre? Donnée : Les durées propre To et mesurée T sont reliées par T = γ. To où : γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des deux horloges qui mesurent T' et To. Lorsque la durée mesurée est doublée par rapport à la durée propre, γ = 2. De la formule de γ, on peut tirer v :. Donc : L astronaute doit se déplacer à une vitesse de valeur v = 0,87 x c pour que la durée qu il mesure entre deux événements soit doublée par rapport à la durée propre sur Terre. p : 220 n 11 : Exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée Un astronaute s'éloigne de la Terre avec une vitesse de valeur constante v = 0,90 x c suivant une trajectoire rectiligne jusqu'à une planète distante de d = 4,0 al. La durée mesurée T' par une horloge sur Terre est différente de la durée propre To relevée par une horloge fixe dans un référentiel lié à l'astronaute supposé galiléen. Ces deux durées sont reliées par : T = γ. T o. Le coefficient γ est donné par la relation : γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des deux horloges qui mesurent T et T o. 1. Quelle est la durée du trajet de l'astronaute pour un observateur terrestre? 2. Quelle est la durée de ce même trajet pour l'astronaute? 1. Vu de la Terre, ce voyage a duré : 2. Pour l astronaute : soit p : 220 n 12 : Distinguer physique classique et relativité restreinte Associer ces deux postulats fondamentaux à la bonne théorie : Postulat A : La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens : elle est la même pour tout observateur. Postulat B : Le temps s'écoule de la même manière dans tout référentiel : il est le même pour tout observateur. Théorie 1 : Mécanique classique. Théorie 2 : Relativité restreinte. La théorie 1 correspond au postulat B et la théorie 2 correspond au postulat A. p : 220 n 13 : Étudier le vol d'un pigeon Place Saint-Marc à Venise, des touristes observent des pigeons. Doivent-ils utiliser la relativité restreinte dans le cas de l'étude du vol d'un pigeon? Les touristes ne doivent pas utiliser la relativité restreinte pour l étude du vol d un pigeon, car ce dernier se déplace avec une vitesse de valeur très faible comparée à celle de la lumière. p : 220 n 14 : La relativité du temps Extraire des informations; exploiter une relation. On imagine qu'un OVNI est repéré dans le sud ouest de la France. Il se déplace à une vitesse constante par rapport au sol dont la valeur est égale aux deux tiers de celle de la vitesse de la lumière dans le vide. On cherche à déterminer la durée qui s'écoule lors d'un survol rectiligne entre Bordeaux et Arcachon de l'ovni, villes distantes de 49 km, lorsque cette durée est : a. mesurée par Nicolas en vacances à Arcachon; b. mesurée par un extraterrestre à bord de l'ovni. Données : Les durées propre T o et mesurée T sont reliées par T = γ. T o, où: γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des horloges qui mesurent T et T o. Le référentiel terrestre et celui lié à l'ovni sont supposés galiléens. Nicolas et l'ovni sont immobiles respectivement dans ces référentiels. 1. Quels sont les deux événements dont on cherche à mesurer la durée qui les sépare? 2. Qui de Nicolas ou de l'extraterrestre mesure la durée propre du survol de l'ovni? 3. Calculer la durée du survol mesurée par Nicolas. 4. Calculer la durée du survol mesurée par l'extraterrestre. 1. Les deux événements dont on cherche à mesurer la durée qui les sépare sont les passages de l OVNI au-dessus de Bordeaux et d Arcachon. 2. Dans le référentiel de la soucoupe, les 2 événements sont proches de l horloge embarquée dans l OVNI. La durée mesurée par l extraterrestre est une durée propre. 3. Les horloges synchronisées et fixes dans un référentiel terrestre qu utilise Nicolas pour mesurer la durée séparant les passages de l OVNI au-dessus de Bordeaux et d Arcachon indiquent une durée mesurée. En effet, ces horloges sont en mouvement par rapport à celle qui mesure la durée propre. T = d = d = 3 x 49 x 10 3 = 2, s. Nicolas mesure une durée de survol égale à 2,5 x 10 4 s. v 2 c 2 x 3,00 x La durée propre du survol de l OVNI mesurée par l extraterrestre est T 0 = 1,8 x 10 4 s.

10 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 10 Ch.8. Temps et relativité restreinte p : 220 n 15 : Une période variable. Raisonner ; calculer. On imagine qu'une fusée se déplace selon une trajectoire rectiligne avec une vitesse de valeur constante v = km.s -1 par rapport à la Terre. À son bord, un astronaute envoie à un ami resté sur Terre un signal lumineux périodique. Il règle sa fréquence d'émission f à 5,0 Hz. Le référentiel terrestre et celui lié à la fusée sont supposés galiléens pendant la durée des mesures. Données : Les durées propre T o et mesurée T sont reliées par T = γ. T o, où: γ = 1 / avec v la valeur de la vitesse relative des horloges qui mesurent T et T o et c = 3,00 x 10 8 m.s Quels sont les deux événements à considérer pour étudier la période du signal lumineux envoyé par l'astronaute à son ami? 2. Quelle est la période propre de ce signal lumineux? 3. Quelle est la période mesurée de ce signal par l ami resté sur Terre? 1. Les deux événements à considérer pour étudier la période d un signal lumineux sont les émissions consécutives de deux signaux lumineux. 2. La période propre de ce signal lumineux est celle mesurée à bord de la fusée : T 0 = 1 = 1 = 0,20 s. f 5,0 3. La période mesurée par l ami resté sur Terre est : T = γ T o avec γ = 1 / soit p : 220 n 16 : A chacun son rythme Calculer, raisonner ; exploiter une relation. Correction :

11 Thème 2 : COMPRENDRE Lois et modèles p : 11 Ch.8. Temps et relativité restreinte p : 220 n 17 : Relativité es-tu là? Construire et exploiter une représentation graphique. Correction :