Sommaire de la séquence 1

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1 Sommaire de la séquence 1 Séance Je construis des triangles Séance Je reproduis un triangle, un angle Séance J étudie l inégalité triangulaire Séance J étudie le cercle circonscrit Séance Hauteur d un triangle Séance Médiane d un triangle Séance J effectue des exercices de révision Séance J effectue des exercices de révision - suite Séance J effectue des exercices de révision - fin Objectifs Savoir construire un triangle. onnaître et savoir l inégalité triangulaire. Savoir ce qu est le cercle circonscrit à un triangle. Savoir le tracer. Savoir ce que sont les hauteurs et les médianes d un triangle. e cours est la propriété du ned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. es contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. ned-2009 ned cadémie en ligne

2 séance 1 Séquence 1 Séance 1 Je construis des triangles vant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la SÉQUENE N 1. Prends ensuite ton cahier de cours et écris «SÉQUENE 1 : TRNGLES» en haut de la première page blanche. Fais de même avec ton cahier d exercices. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. je révise les acquis de la 6 e 1- Sur la figure ci-dessous : (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) 2- Que peux-tu dire du triangle ci-contre? E F G (d 4 ) (d 4 ) est la médiatrice de [] (d 3 ) est la médiatrice de [] (d 2 ) est la médiatrice de [] (d 1 ) est la bissectrice de 3- Que peux-tu dire du triangle ci-contre? l est quelconque. l est rectangle. l est équilatéral. l est isocèle. 4- Sur la figure ci-dessous : K D J l est isocèle. l admet un axe de symétrie. l est quelconque. l est équilatéral. () est la médiatrice de [D]. () est la bissectrice de D. est le milieu de [D]. D = D ned, Mathématiques 5e 7 ned cadémie en ligne

3 Séquence 1 séance 1 Prends ton cahier d exercices puis effectue les deux exercices suivants. Tu construiras les figures sur du papier calque que tu colleras sur ton cahier après avoir vérifié sur le corrigé. Exercice 1 Un professeur propose aux élèves de sa classe l exercice Trace : suivant : Fais le travail a) un triangle tel que : = 4,5 cm = 3,2 cm = 2,6 cm demandé. Pour chaque b) un triangle DEF tel que : ED = 6,4 cm EF = 5,3 cm DEF = 27 construction : fais une figure c) un triangle GH tel que : GH = 3,8 cm G = 4,7 cm à main levée lorsqu il y a plusieurs réponses possibles, indique-le. Exercice 2 Un professeur propose un nouvel exercice aux élèves de sa classe : Fais le travail demandé. Trace : a) un triangle JKL tel que : JK = 4,2 cm LJK = 35 LKJ = 75 b) un triangle MNP tel que : PMN = 48 PNM = 70 c) un triangle QRS tel que : QR = 4,6 cm RS = 2,9 cm RQS = 28 Effectue l exercice ci-dessous directement sur ton livret. Exercice 3 1- Dans quelle(s) question(s) des exercices 1 et 2 est-on sûr que tous les élèves de la classe ont tracé des triangles superposables? RemRque : Deux triangles sont dit superposables si l on peut faire coïncider exactement un des deux triangles reproduit par transparence sur l autre sans retourner le papier calque (on a juste le droit de le décaler ou de le faire tourner sur lui même, mais pas de le retourner). 8 Ex 1 a) Ex 1 b) Ex 1 c) Ex 2 a) Ex 2 b) Ex 2 c) 2- a) onnaître les longueurs de deux côtés d un triangle suffit-il pour le reproduire à l identique?... b) De même, connaître les mesures de deux angles d un triangle suffit-il pour le reproduire à l identique? D après les exercices 1 et 2, pour reproduire à l identique un triangle donné, que suffit-il par exemple de connaître?... ou... ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

4 séance 1 Séquence 1 ou... Prends une nouvelle page de ton cahier de cours. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le sur ton cahier et apprends-le. j e retiens onstruction de triangles Reproduire un triangle On sait reproduire un triangle lorsque : on connaît la longueur des trois côtés du triangle. 1,9 cm 2,8 cm 3,5 cm on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l angle compris entre ces côtés. D 1,8 cm 28 3,5 cm E F on connaît la longueur d un côté et la mesure des deux angles qui lui sont adjacents G H GH et GH sont adjacents à [GH] 4,2 cm Prends ton cahier d exercices puis effectue les trois exercices suivants. Exercice 4 Les vacances d Erwan Thomas et Erwan sont sur la plage à 400 m l un de l autre : ils observent un bateau et se demandent à quelle distance il se trouve. Grâce à un instrument de visée, ils mesurent les angles TE et ET. Reproduis la figure ci-contre sur ton cahier d exercices en prenant 1 cm pour 100 m. En effectuant deux mesures sur ta figure, trouve une valeur approchée des distances T en m séparant respectivement Erwan et Thomas du bateau m E Exercice 5 a) Trace un triangle isocèle de sommet principal tel que : = 4,3 cm et = 3,4 cm b) Trace un triangle isocèle EDF de base [DF] tel que : DEF = 42 et EF = 4,6 cm c) Trace un triangle isocèle GH de base [H] tel que : H = 4,8 cm et HG = 64 d) Trace un triangle équilatéral JKL de 13,5 cm de périmètre. ned, Mathématiques 5e 9 ned cadémie en ligne

5 Séquence 1 séance 2 Exercice 6 a) Trace un triangle rectangle en tel que : = 3,5 cm et = 6,1 cm b) Trace un triangle DEF rectangle en F tel que : FE = 2,7 cm et DE = 5,2 cm c) Trace un triangle GH rectangle en tel que : H = 5,3 cm et HG = 34. Séance 2 Je reproduis un triangle, un angle Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d exercices. Reproduis les figures demandées sur un papier calque que tu colleras ensuite sur ton cahier, après vérification sur le corrigé. Exercice 7 Reproduis la figure suivante en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas. Exercice 8 Dans chacun des cas suivants et en t inspirant de la méthode utilisée dans l exercice 7, reproduis à l aide de ton compas et d une règle non graduée les angles suivants : a) x b) x c) x O O y O y y 10 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

6 séance 2 je comprends la méthode Reproduire l angle ci-contre à l aide d un compas et d une règle non graduée Séquence 1 x O y 1- O Je place deux points et n importe où sur [Ox) et [Oy). l suffit ensuite de reproduire le triangle O. 3- y x O O' ' x' Je prends la longueur comme écartement de compas. Je pointe le compas en et je trace un arc. y x 2- y x O O' ' x' Je trace une demi-droite [O x ) sur mon cahier. Je prends la longueur O comme écartement de compas. Je pointe le compas sur l origine de la demi-droite que je viens de tracer et trace un arc qui coupe [O x ) en. 4- y y' ' x O O' ' x' Je prends la longueur O comme écartement de compas. Je pointe le compas sur O et je trace un arc qui coupe ce dernier tracé en. Je trace la demi-droite d origine O qui passe par. 'O'' et O ont la même mesure. Effectue l exercice ci-dessous sur une feuille de papier calque que tu colleras dans ton cahier d exercices après avoir vérifié tes constructions sur le corrigé. Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, en utilisant uniquement un compas et une règle non graduée, trace la demi-droite [Oz) telle que [Ox) soit la bissectrice de yoz. a) x b) x y O y O ned, Mathématiques 5e 11 ned cadémie en ligne

7 Séquence 1 séance 2 Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d exercices. Tu construiras les figures sur du papier calque et tu les colleras sur ton cahier après correction. Exercice 10 DEFGH est un cube de 2,5 cm d arête. H G a) Quelle est la nature du triangle? du triangle G? b) Représente en vraie grandeur les triangles du a). Exercice 11 onstruis en vraie grandeur la figure représentée ci-contre à main levée. Pour chaque partie de la figure, tu indiqueras les étapes de ta construction. E 43 D F 117 E 28 5,2 cm 5,6 cm D Exercice 12 Tes réponses aux questions 3, 4 et 5 devront être soigneusement justifiées. 1- Trace un triangle tel que : = 42 = 7,4 cm = Trace la médiatrice (d) de []. Elle coupe () en. 3- Quelle est la nature du triangle? 4- Déduis de la question précédente la mesure de. Détermine. 5- Que représente [) pour l angle? Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices (question 1) puis sur ton livret (questions suivantes). Exercice 13 Les vacances d Erwan Erwann est dans son bungalow, face à la plage. l s amuse avec trois dés : un rouge, un jaune et un vert. l lance simultanément les trois dés, regarde les nombres qu il obtient. l essaie ensuite de construire un triangle dont les longueurs des côtés en cm sont ces trois nombres. 1 e lancer 2 e lancer 3 e lancer 4 e lancer 5 e lancer 6 e lancer dé rouge dé jaune dé vert Voici les résultats obtenus lors de 6 lancers : 1- a) Essaie de construire sur ton cahier, pour chaque lancer d Erwann, un triangle dont les longueurs des côtés en cm sont les trois nombres obtenus. Pour chacune des constructions, commence par tracer le segment le plus long en bleu. b) Que remarques-tu? 12 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

8 séance 3 Séquence 1 2- a) On considère les figures où les arcs tracés se coupent. omplète : Dans chacun des cas, la plus grande longueur est.. à la somme des deux autres. b) magine un jet de dé qui n est pas dans le tableau et qui conduirait à une figure où les arcs se coupent. dé rouge : dé jaune : dé vert : onstruis la figure correspondante ci-contre en commençant par tracer le segment le plus long. 3- a) onsidère les figures où l on obtient trois points alignés. omplète : Dans chacun des cas, la plus grande longueur est.. à la somme des deux autres. b) magine un jet de dé qui n est pas dans le tableau et qui conduirait à une figure où l on obtient trois points alignés. dé rouge : dé jaune : dé vert : onstruis la figure correspondante ci-contre en commençant par tracer le segment le plus long. 4- a) On considère les figures où les arcs tracés ne se coupent pas. omplète : Dans chacun des cas, la plus grande longueur est.. à la somme des deux autres. b) magine un jet de dé qui n est pas dans le tableau et qui conduirait à une figure où les arcs ne se coupent pas. dé rouge : dé jaune : dé vert : onstruis la figure correspondante ci-contre en commençant par tracer le segment le plus long. ned, Mathématiques 5e 13 ned cadémie en ligne

9 Séquence 1 séance 3 Prends ton cahier de cours puis note ce que suit : j e retiens négalité triangulaire On admet les propriétés suivantes : Propriétés : On peut construire un triangle dont les côtés ont pour longueurs trois nombres donnés si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres. Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, M on obtient trois points alignés. On dit dans ce cas que l on obtient un triangle aplati. Si : M + M = alors M []. Si la plus grande longueur est supérieure à la somme des deux autres, on ne peut pas construire le triangle. Effectue l exercice ci-dessous sur ton livret. Exercice 14 Séance 3 J étudie l inégalité triangulaire Sans faire de figure, complète le tableau suivant en précisant s il est possible ou impossible de construire un triangle dont les nombres a, b, c sont les longueurs des côtés. a b c possible? justification 3 cm 7 cm 6 cm cm 12 cm 20 cm dm 32 cm 13 cm ,1 cm 2,07 cm 4,8 cm Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d exercices. Exercice 15 Dans chacun des cas suivants, indique si les points,, sont alignés ou non. Si oui, précise lequel se trouve entre les deux autres. a) = 5 cm = 4 cm = 9 cm b) = 2,3 cm = 7 cm = 4,7 cm c) = 3 dm = 18 cm = 12 cm d) = 10,75 m = 8,53 m = 3,48 m 14 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

10 séance 3 Séquence 1 Exercice 16 Voici les trajets qu ont empruntés quatre enfants pour traverser un parc (E et S désignent respectivement l entrée et la sortie du parc). (Les arcs sont tous des demi-cercles) E ES = 8 hm 1- alcule la longueur en hm du trajet de 2,5 hm 200 m 1,5 hm 2 hm 120 m120 m 200 m S a) Mathieu b) Victor c) Pierre (Pour Mathieu et Pierre, tu donneras la valeur exacte du résultat ainsi que sa troncature au dixième). 2- Parmi les quatre enfants, qui a parcouru le chemin le plus long? le plus court? Mathieu Pierre Victor indy On rappelle la propriété illustrée par l exercice précédent : le trajet le plus court pour aller d un point E à un point S est la ligne droite. Nous admettons que cette propriété est vraie. Nous allons l appliquer dans l exercice ci-dessous. Effectue-le sur le livret. Exercice a) Trace en bleu le trajet le plus court pour aller du point au point. b) omplète : < a) Trace en gris le trajet le plus court pour aller du point au point. b) omplète : < omplète : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est.... à la somme des longueurs des deux autres. Lis attentivement ce qui suit. j e retiens Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. < + Effectue l exercice ci-après sur le livret. ned, Mathématiques 5e 15 ned cadémie en ligne

11 Séquence 1 séance 3 Exercice 18 Dans chacune des questions ci-dessous : l unité est le centimètre le gros point désigne une lettre de la figure omplète : a) X Y 4 6 Z b) M 5 5,5 c) R 3 S 5 T YZ < X + Z Or : YX = et XZ = donc : YZ < < + Or : donc : < RT < + Or : donc : RT < Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice 19 L unité de longueur est le centimètre. Saurais-tu déterminer sachant que : [] est le plus long côté du triangle 2 cm 9 cm est un entier pair. Exercice 20 Un triangle isocèle a un côté qui mesure 22 cm et un autre de 8 cm. ombien mesure le troisième côté? Effectue l exercice ci-dessous sur le livret. Exercice Dans chacun des cas suivants, complète les pointillés par < ou > ou =. a) M M M M M + M M + M M + M M + M b) Si M [] alors M + M. Si M [] alors M + M. 16 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

12 séance 4 Séquence 1 2- omplète la conjecture suivante : Quelle que soit la position du point M, la distance est toujours. ou égale à la distance M + M. Prends ton cahier de cours et note à la suite ce qui suit. j e retiens Si M [] alors = M + M Si M [] alors < M + M Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. Quelle que soit la position du point M, on a toujours : M + M Le symbole signifie «est inférieur ou égal à». ette inégalité est appelée l inégalité triangulaire. M M < M + M < M + Fais l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 22 On considère la figure à main levée ci-contre. 1- Reproduis-la en vraie grandeur. 2- -t-on : L + LK = K? 2,9 cm L J 1,8 cm K Séance 4 J étudie le cercle circonscrit Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice onstruis : a) un triangle tel que : = 11 cm = 8 cm = 12 cm b) la médiatrice (d 1 ) de [] c) la médiatrice (d 2 ) de []. Si tu as oublié comment tracer la médiatrice d un segment, revois la construction dans le livret de 6 ème (séquence 5, séance 5, dans le «Je comprends la méthode» qui précède l exercice 34). 2- a) ppelle O le point d intersection de (d 1 ) et (d 2 ), puis trace le cercle de centre O qui passe par. Que remarques-tu? b) Trace la médiatrice (d 3 ) de []. Que remarques-tu? ned, Mathématiques 5e 17 ned cadémie en ligne

13 Séquence 1 séance 4 Effectue l exercice suivant sur ton livret. Exercice Trace un triangle et (d 1 ) la médiatrice de []. Place un point sur (d 1 ). Trace le cercle de centre passant par. Pourquoi ce cercle passe-t-il également par? 2- Trace (d 2 ) la médiatrice de [] Place un point J sur (d 2 ). Trace le cercle de centre J passant par. Pourquoi ce cercle passe-t-il également par? 3- Soit O le point d intersection de (d 1 ) et (d 2 ). Trace le cercle de centre O passant par. Que remarques-tu? Pourquoi? 4- Le point O appartient-il à la médiatrice de []? Prends ton cahier de cours puis recopie soigneusement le paragraphe suivant après l avoir lu (décalque la figure). j e retiens ercle circonscrit à un triangle Les médiatrices des trois côtés d un triangle se coupent en un même point : on dit qu elles sont concourantes. e point commun est le centre d un cercle passant par les trois sommets du triangle. On dit que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle. Remarque : On admettra que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le seul point équidistant des trois sommets du triangle. Lis attentivement ce qui suit : je comprends la méthode Savoir construire le cercle circonscrit à un triangle donné O O On trace les médiatrices de deux côtés du triangle (cela suffit!) : par exemple, celles de [] et de []. On appelle O le point d intersection de ces deux médiatrices. On trace le cercle de centre O qui passe par. l passe par et. 18 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

14 séance 4 Séquence 1 Effectue l exercice suivant sur ton livret. Exercice 25 Trace le cercle circonscrit au triangle, puis celui au triangle DEF. D F E Prends ton cahier d exercices puis effectue les quatre exercices suivants : Exercice onstruis : a) un triangle rectangle en tel que : = 3,2 cm et = 7 cm b) le cercle circonscrit au triangle. 2- Que remarques-tu? Exercice 27 l a été décidé qu une gare serait construite à égale distance de trois villes : Luciole, Patros et Rumeix. À vol d oiseau, les distances séparant ces trois localités sont : Luciole-Patros : 8 km Patros-Rumeix : 9 km Luciole-Rumeix : 8,5 km 1- Représente les trois villes sur un plan où 1 cm représente 1 km. 2- Détermine sur ce plan l endroit où devra être construite la gare. 3- près avoir effectué une mesure sur ton plan, donne une valeur approchée de la distance en km séparant chaque ville de la gare. L exercice ci-après est un «défi». ela veut dire que cet exercice est particulier : prends ton temps avant de répondre ou de regarder le corrigé. Essaie de te laisser 15 min de vraie réflexion, n hésite pas à utiliser la méthode de ton choix, et d essayer de trouver des solutions en faisant des essais. ned, Mathématiques 5e 19 ned cadémie en ligne

15 Séquence 1 séance 4 Exercice 28 défi Les trois points alignés ci-contre représentent trois villages où habitent Erwann et ses deux cousins : E., F. et G. Un weekend, les trois cousins décident de se rencontrer. ls cherchent un lieu qui soit équidistant des trois villages. Où va avoir lieu la rencontre? E F G Exercice 29 En voyant la figure ci-contre, lex Privif, sans faire de tracé, s exclame : «l y a une certitude. Les centres des cercles circonscrits aux triangles MKL, NKL, KQL et KPL sont alignés!» M Qu en penses-tu? N L K Effectue l exercice suivant sur ton livret. Q P Exercice 30 [] et (d) étant donnés, construis un triangle sachant que : le centre O du cercle circonscrit au triangle appartient à (d) le côté [] mesure 3,5 cm ombien y a-t-il de triangles possibles? onstruis-les tous. (d) 20 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

16 séance 5 Séquence 1 Effectue l exercice suivant sur ton livret. Séance 5 Hauteur d un triangle Exercice Observe le triangle ci-contre. On dit que le côté [] est opposé au sommet. Place en bleu le sommet et son côté opposé. b) omplète : Le côté opposé au sommet est : Place en gris le sommet et son côté opposé. 2- a) onstruis en bleu la droite ( ) qui passe par et qui est perpendiculaire au côté opposé à, b) onstruis en gris la droite ( ) qui passe par et qui est perpendiculaire au côté opposé à. Prends ton cahier de cours et note ce qui suit. Qu entendons-nous par «droites remarquables»? En fait, on appelle les médiatrices, les bissectrices, les hauteurs et (on va le voir plus tard) les médianes d un triangle, «des droites remarquables». es droites possèdent en effet bien des propriétés j e retiens Droites remarquables Hauteur d un triangle Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. E hauteur issue de E ou relative à [FG] K hauteur issue de K ou relative à [ML] F P G P est le pied de la hauteur issue de E M L Q Q est le pied de la hauteur issue de K Remarque : L expression «hauteur d un triangle» a plusieurs sens. i-contre, la hauteur issue de R est : - la droite (RU), - ou le segment [RU], - ou la longueur du segment [RU]. S U R T ned, Mathématiques 5e 21 ned cadémie en ligne

17 Séquence 1 séance 5 je comprends la méthode Tracer la hauteur issue de d un triangle H Je repère le côté opposé à : c est []. Je trace la perpendiculaire à () passant par. (H) est la hauteur issue de du triangle. Effectue les trois exercices suivants sur ton livret. Exercice 32 À la question : «Trace un triangle JK et la hauteur (d) issue de J.», six élèves ont répondu comme suit : Méline apucine orentin J J K (d) K (d) K J (d) oline Eloïse J (d) lément J (d) J K K (d) K ndique sous chaque réponse si elle est juste ou fausse. Lorsqu elle est fausse, corrige en bleu. 22 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

18 séance 5 Séquence 1 Exercice Dans le triangle : a) Trace la hauteur relative à [] (ppelle K son pied). b) Trace la hauteur relative à [] (ppelle L son pied). 2- Pour chacune des questions suivantes, tu exprimeras de deux façons différentes ta réponse. a) Que représente (D) pour le triangle DE? F J D E [D] [E] F [J] b) Que représente (EJ) pour le triangle EF? Exercice 34 Trace un triangle tel que (d) soit la hauteur relative à []. (d) Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d exercices. Remarque : nous allons utiliser dans l exercice suivant une nouvelle notation pour un angle. ette notation n utilise qu un point. Écrire «Dans le triangle, l angle µ mesure 110» signifie : «Dans le triangle, l angle de sommet (c est-à-dire ) mesure 110. ette nouvelle notation permet d écrire plus rapidement des angles. Par contre, il faut bien préciser dans quel triangle on se place. ned, Mathématiques 5e 23 ned cadémie en ligne

19 Séquence 1 séance 6 Exercice Trace : - un triangle PQR tel que : PQ = 8 cm, PR = 6 cm et QR = 7 cm, - les trois hauteurs du triangle PQR. Que remarques-tu? 2- Trace : - un triangle tel que : = 10 cm, µ =110 et µ = 30, - les trois hauteurs du triangle. Que remarques-tu? Exercice 36 On considère la figure à main levée ci-contre. Que représentent : 1- () pour le segment [D]? 2- (D) pour le triangle D? D Exercice 37 On considère la figure à main levée ci-contre. O désigne le centre du cercle circonscrit au triangle, (d) est la hauteur issue de, est le milieu de []. 1- Quelle est la position relative des droites (d) et ()? 2- a) Que représente la droite (O) pour le segment []? b) Quelle est la position relative des droites (O) et ()? 3- Quelle est la position relative des droites (d) et (O)? (d) O Séance 6 Médiane d un triangle Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l avoir lu. 24 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

20 séance 6 Séquence 1 j e retiens Médiane d un triangle Définition : Dans un triangle, on appelle médiane toute droite qui passe : par un sommet par le milieu du côté opposé à ce sommet. Remarque : Selon le contexte, une médiane est une droite, un segment, ou une longueur. i-contre, la médiane issue de est : la droite () le segment [] la longueur. médiane issue de ou relative à [] Effectue les deux exercices suivants sur ton livret. Exercice Trace la médiane issue de F. 2- Trace la médiane issue de K. E J F G K 3- Trace la médiane relative à [MN]. 4- Trace la médiane relative à [QP]. L P M Q N R ned, Mathématiques 5e 25 ned cadémie en ligne

21 Séquence 1 séance 6 Exercice 39 a) Trace les médianes du triangle suivant : S b) Que remarques-tu? T U Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. onstruis la figure sur du papier calque puis colles-la sur ton cahier après la correction. Exercice 40 Trace un triangle tel que : = 3,6 cm = 5,4 cm la médiane [] relative à [] a pour mesure de sa longueur 4,2 cm. Effectue l exercice suivant sur ton livret. Exercice 41 D K G E F D [D] F [] [] 1- Tu veilleras dans cette question à ce que tes réponses soient précises. Tu indiqueras bien à chaque fois quel triangle tu considères quand cela est nécessaire. Reconnais sur la figure ci-dessus les droites particulières suivantes : a) une médiane :... b) des hauteurs : ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

22 séance 6 Séquence 1 c) des médiatrices : d) une bissectrice : Que représente K pour le triangle D? ite deux droites parallèles : Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 42 On considère la figure à main levée ci-contre. 1- Quelle est la nature du quadrilatère D? 2- Que représente () pour le triangle D? Effectue l exercice suivant sur ton livret. D O Exercice 43 (d') Le sommet M d un triangle KLM a été effacé. Retrouve-le sachant que : (d) est la bissectrice de LK M L (d ) est la médiane issue de L. (d) K ned, Mathématiques 5e 27 ned cadémie en ligne

23 Séquence 1 séance 7 Séance 7 J effectue des exercices de révision Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d exercices. Tu construiras ces figures sur du papier calque, à coller ensuite après correction. Exercice a) onstruis un triangle tel que : = 3,6 cm et = = 64. b) Trace le symétrique D de par rapport à (). 2- Quelle est la nature du triangle? 3- ompare : a) et D b) et. 4- a) Que déduis-tu du 3? b) Que représente le point pour le triangle D? Exercice 45 onstruis en vraie grandeur la figure représentée à main levée ci-contre, sachant que : EG = 7,4 cm G = 6,2 cm E = 8 cm E F J G H Effectue maintenant l exercice suivant sur ton livret. D Exercice 46 Hocine, Djamila, Mohamed et Yasmina sont quatre enfants d un petit village d lgérie. Yasmina a remarqué qu ils habitaient tous à la même distance du puits du village. Yasmina a également remarqué qu elle habitait à égale distance des maisons d Hocine et de Mohamed, mais plus près de la maison de Djamila que de celle de Mohamed. Détermine l emplacement du puits ainsi que celui de la maison de Yasmina. Hocine Djamila Mohamed Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. 28 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

24 séance 7 Séquence 1 Exercice Trace : un triangle EFG isocèle en E la médiatrice (d) de [FG]. 2- Démontre que (d) passe par E. 3- Démontre que (d) est : a) la hauteur issue de E, b) la médiane issue de E. 4- Que représente (d) pour l angle FEG? 5- Recopie et complète : Dans un triangle EFG isocèle en E, la médiatrice de la base est aussi Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens as particuliers Propriété : Dans un triangle isocèle en, la médiatrice de [], la bissectrice de, la médiane issue de et la hauteur issue de sont confondues. Remarque : Un triangle équilatéral EFG est isocèle en E, en F et en G. Si on trace par exemple les trois médianes du triangle, on a ainsi obtenu les trois hauteurs, les trois bissectrices et les trois médiatrices. E F G Effectue l exercice ci-dessous sur ton livret. ned, Mathématiques 5e 29 ned cadémie en ligne

25 Séquence 1 séance 8 Exercice 48 Les sommets E, F et G d un triangle EFG ont été effacés. Retrouve-les sachant que : (D) est la hauteur issue de E (d) est la médiatrice de [EF] ( ) est la médiane issue de E. (D) ( ) (d) Séance 8 J effectue des exercices de révision (suite) Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Tu construiras les figures sur du papier calque, à coller ensuite après correction. Exercice 49 onstruis un triangle isocèle en tel que : = 3,2 cm la hauteur [H] ait 4,5 cm pour mesure de sa longueur. Exercice onstruis un triangle équilatéral KLM de 4,4 cm de côté. 2- Trace la bissectrice de KL M et celle de LMK. Elles se coupent en. 3- est-il le centre du cercle circonscrit au triangle KLM. Effectue l exercice ci-dessous sur ton livret. 30 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

26 séance 8 Séquence 1 Exercice 51 Les sommets J et K d un triangle JK ont été effacés. Retrouve-les, sachant que : le cercle circonscrit au triangle JK a O comme centre, la hauteur relative au côté [J] est (d), KJ est obtus. (d) O Prends ton cahier d exercices et effectue l exercice ci-dessous. Exercice 52 On considère la figure à main levée ci-contre. 1- Que représente (K) pour le segment [LM]? K 2- Quelle est la nature du triangle KMN? 3- ompare : a) KL et KM b) KM et KN 4- Que représente K pour le triangle LMN? L N M Effectue l exercice ci-dessous sur ton livret. ned, Mathématiques 5e 31 ned cadémie en ligne

27 Séquence 1 séance 9 Exercice 53 Les vacances d Erwan nstruments autorisés : règle graduée, compas, équerre. À l occasion des vacances, la municipalité de la ville où séjourne Erwann a décidé d organiser un concours. Pour le gagner, il faut retrouver un gros galet sur lequel est inscrit le nom de la ville. Les candidats disposent du plan suivant : Maïs Eglise Habitation Pins fs hêne Scierie bri chemin Pour localiser le galet, ils doivent suivre les instructions suivantes : Dans le triangle P, tracer le pied R de la hauteur relative à []. ( est le point représentant l bri, P est celui représentant les Pins ) onstruire le point U du chemin tel que MEU soit un triangle isocèle en U. Tracer le point T tel que : - d une part UT + TR = UR - d autre part, (ST) est une médiane du triangle HS. 32 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

28 séance 9 Séquence 1 Tracer le symétrique V de T par rapport à (ER). onstruire le point W de [EV] tel que VT W et ST aient la même mesure. Le galet cherché est en W. Erwann dit que le galet est près de l habitation. -t-il une chance de gagner? Séance 9 J effectue des exercices de révision (fin) Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. D Exercice 54 Reproduis la figure ci-contre. nstruments autorisés : le compas et la règle non graduée. E Effectue l exercice ci-dessous sur ton livret. Exercice 55 Les sommets F et G d un triangle EFG ont été effacés. Retrouve-les, sachant que : (d) est la hauteur issue de F (d ) est la bissectrice de EFG (d') (d) E ned, Mathématiques 5e 33 ned cadémie en ligne

29 Séquence 1 séance 9 Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Utilise du papier calque pour l exercice 56. Exercice 56 JK est un triangle isocèle en tel que : JK = 3 cm. O désigne le centre de son cercle circonscrit. On a : OJK = Fais une figure à main levée représentant le triangle JK et le point O. 2- a) onstruis en vraie grandeur le triangle JK. b) Y a-t-il une seule possibilité? Sinon, donne-les toutes. Exercice 57 Un jardinier prend son arrosoir dans un cabanon, va puiser de l eau dans la rivière en M, puis va arroser son massif de rosiers R. l aimerait marcher le moins possible pour aller arroser ses roses. Pour quelle position de M la distance M + MR est-elle la plus petite possible? ide : tu peux essayer de tracer le symétrique du point par rapport à la droite (d). R rivière M (d) Voici un exemple d emplacement pour le point M Enfin, nous allons terminer cette séquence 1 par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement, puis entoure en rouge les bonnes réponses. 34 ned, Mathématiques 5e ned cadémie en ligne

30 je m évalue 1- Dans quels cas les points K, L, M sont-ils alignés? KL = 13,7 cm LM = 4,85 cm KM = 8,95 cm KL = 3,4 cm LM = 7,8 cm KM = 4,35 cm KL = 8,7 cm LM = 6,9 cm KM = 15,6 cm KL = 94 mm LM = 1,3 dm KM = 3,6 cm 3- Dans quel cas, lors de la construction d un triangle PQR, tous les élèves d une classe obtiendront-ils des triangles superposables? S ils savent que RPQ = 35 PRQ = 90 QR = 5 cm RP = 3,5 cm PQR = 35 QR = 5 cm QP = 3,5 cm PQR = 35 RPQ = 23 PQ = 5,2 cm RQP = 95 Dans les questions 5, 6 et 7 on considère la figure ci-dessous : (d) séance 9 Séquence 1 2- Dans quel cas les trois nombres proposés peuvent-ils être les longueurs en cm des côtés d un triangle («non aplati»)? 4,3 ; 4,9 ; 9,3 3,4 ; 7,1 ; 3,4 4,3 ; 7,9 ; 9,3 3,8 ; 1,4 ; 9,3 4- Dans un triangle KLM, à quel côté les angles LK M et LMK sont-ils adjacents? [KL] [KM] [LM] [MK] (D) 5- Dans le triangle, la droite (d) est : la hauteur issue de la médiane relative à [] la médiatrice de [] la bissectrice de 7- Dans le triangle, la droite ( ) est : la hauteur relative à [] la médiane relative à [] la médiatrice de [] la bissectrice de µ 9- Si O est le centre du cercle circonscrit à un triangle KLM alors le triangle OKL est quelconque isocèle en O équilatéral rectangle en O ( ) 6- Dans le triangle, la droite (D) est : la hauteur issue de la médiane relative à [] la médiatrice de [] la bissectrice de 8- Le centre O du cercle circonscrit à un triangle isocèle de sommet principal, appartient à la bissectrice de µ la bissectrice de µ la médiane issue de la hauteur issue de 10- Dans un triangle équilatéral : les hauteurs et les médianes sont confondues les médianes et les médiatrices sont confondues les médiatrices et les bissectrices sont confondues les médiatrices et les hauteurs sont confondues ned, Mathématiques 5e 35 ned cadémie en ligne