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1 Mathématiques 3 e Livret de corrigés Rédaction : Nicole Cantelou Hélène Lecoq Fabienne Meille Jean-Denis Poignet Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 2 Séquence 1 Ce que tu devais faire JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e SÉQUENCE 1 PROBABILITÉS Séance 1 Les commentaires du professeur Il y a trois modèles disponibles en deux couleurs chacun soit au total 3 2 donc 6 jouets différents. Si on note M1, M2, et M3 les trois modèles et C1, C2 les deux couleurs, les possibilités sont : (M1,C pour modèle 1 en couleur 1, (M1,C, (M2,C, (M2,C, (M3,C, (M3,C. Il y a donc bien 6 possibilités. 20 % 25 % 5 % 0,2 % 730 0,46 46 % 2,13 4) 0,1 0,3 0,7 0, En effet, = = soit 20% On peut aussi écrire que : = 0, 2 et 0,2 c est 20 % 5 (il suffit de multiplier 0,2 par 100 pour obtenir le pourcentage) On peut encore écrire que : 100 = = Le pourcentage cherché est donc 20 %. Pour obtenir la fréquence, on divise le nombre de «pile» par le nombre total de lancers (revois éventuellement ton programme de statistiques de 5 e ou de 4 e ). 230 = 0, 46 La fréquence est 0, Cette fréquence s exprime en pourcentage 46 % (il suffit de multiplier 0,46 par 100 pour obtenir le pourcentage). Si la pièce n est pas truquée, on s attend au bout d un très grand nombre de lancers à obtenir à peu près autant de «pile» que de «face». Le nombre de «pile» est alors à peu près la moitié du nombre total de lancers. La fréquence est donc environ de 1 2 soit 0,5. La probabilité d obtenir pile est le nombre vers lequel la fréquence va se rapprocher si on fait de plus en plus de lancers. La probabilité d obtenir «pile» est donc 0,5. 2 Cned, Mathématiques 3 e

3 3 Séquence 1 EXERCICE 1 Jeu de Pauline : La probabilité de tirer la boule verte est 1 3. Dans ce jeu, il y a trois «possibilités» (en probabilité, on dira trois issues) : tirer la boule verte tirer la boule bleue tirer la boule rouge On a autant de chances de tirer chacune de ces trois boules. La probabilité de tirer la boule verte est donc d une chance sur 3, c est-à-dire 1 divisé par 3 donc 1 3. La probabilité de tirer la boule bleue est aussi 1 3. La probabilité de tirer la boule rouge est également 1 3. Jeu de Nadia : La probabilité d obtenir un «deux» en lançant un dé à six faces est 1 6. EXERCICE 2 Dans ce jeu, il y a six issues : obtenir le 1 obtenir le 2 obtenir le 3 obtenir le 4 obtenir le 5 obtenir le 6 On a autant de chance (si le dé n est pas truqué!) d obtenir le 1, le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6. La probabilité d obtenir le 2 est donc d une chance sur six soit 1 6. Pour savoir qui d Aurélie et d Andry a le plus de chances de gagner, on calcule la probabilité qu a chacun de gagner puis on compare les probabilités (car une probabilité est un nombre!). Jeu d Aurélie : Aurélie tire une boule dans une boîte qui en contient 5. La boîte contient exactement 2 boules jaunes. Aurélie a donc 2 chances sur 5 de tirer une boule jaune, soit une probabilité de gagner de 2 5. Le jeu d Aurélie comporte cinq issues (il y a 5 boules au total). 2 des ces 5 issues correspondent au tirage d une boule jaune. On a en fait divisé le nombre d issues correspondant aux boules jaunes par le nombre total d issues. Jeu d Andry : Andry tire une boule dans une boîte qui en contient 8. La boîte contient exactement 3 boules vertes. Andry a donc 3 chances sur 8 de tirer une boule verte, soit une probabilité de gagner de 3 8. Le jeu d Andry comporte 8 issues (il y a 8 boules au total). 3 des ces 8 issues correspondent au tirage d une boule verte. On a en fait divisé le nombre d issues correspondant aux boules vertes par le nombre total d issues. On compare 2 5 et 3 8 : = = = = < donc < La probabilité de gagner d Aurélie est plus grande que celle d Andry, c est donc Aurélie qui a le plus de chances de gagner. Pour comparer les deux fractions, on peut soit les mettre au même dénominateur, soit utiliser la calculatrice. Cned, Mathématiques 3 e 3

4 4 Séquence 1 EXERCICE 3 La partie coloriée en rouge représente un quart de la roue. La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est donc d une chance sur quatre soit = = La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est de 25 %. La partie coloriée en rouge représente trois huitièmes de la roue. La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est donc de trois chances sur 8 soit ,5 37,5 = = ,5 100 La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est de 37,5 %. EXERCICE 4 La zone rouge occupe le quart de la zone totale, la probabilité cherchée est le quotient de l aire de la surface rouge par l aire de la surface totale, soit 1 4. En effet, si on faisait tourner un très très grand nombre de fois la roue, la fréquence de l arrêt de l aiguille dans la zone rouge finirait par être égale au quotient de l aire de la zone rouge par l aire totale. On peut exprimer une probabilité (comme tout autre nombre) sous la forme d un pourcentage. Pour cela, on peut écrire la fraction avec le dénominateur 100, ou bien par exemple écrire : = = ou encore : 1 = 0, 25 0, = 25 4 On s intéresse à la probabilité de tirer une carte bien précise parmi 52 cartes. La probabilité de tirer le trois de cœur est donc d une chance sur 52 soit On s intéresse à la probabilité de tirer un trèfle. On sait qu il y a 13 cartes de trèfles (as, 2, 3,, roi) et que le nombre total de cartes dans le jeu est 52. Il y a donc 13 chances sur 52 de tirer un trèfle, soit une probabilité de 13 de tirer un trèfle = = La probabilité de tirer un trèfle est 1 4. On s intéresse à la probabilité de l événement «tirer un roi». Il y a quatre rois dans le jeu de 52 cartes. Il y a donc quatre chances sur 52, soit une probabilité de 4 de tirer un roi = = La probabilité de tirer un roi est La probabilité de tirer par exemple le 7 de pique (ou en fait n importe quelle carte) d un jeu de 52 cartes est Si on essaie de définir comment on calcule une probabilité, on se rend compte sur cet exemple que l on divise le nombre d issues correspondant à l événement (ici : tirer un trèfle) par le nombre total d issues. Remarque : on pouvait procéder différemment. Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux, l événement «tirer un trèfle» revient à tirer une couleur parmi 4. Il y a donc une chance sur quatre d obtenir un trèfle. La probabilité cherchée est donc de 1 4. On divise le nombre d issues correspondant à l événement (ici : tirer un roi) par le nombre total d issues. On n oublie pas de simplifier au maximum le résultat. 4 Cned, Mathématiques 3 e

5 5 Séquence 1 EXERCICE 5 Séance 2 Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 cœurs et 13 trèfles. Il y a donc 26 chances sur 52 de tirer un cœur ou un trèfle. La probabilité de tirer un cœur ou un trèfle est donc soit 1 2. On peut aussi procéder de la façon suivante : Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux, l événement «tirer un cœur ou un trèfle» revient à tirer deux couleurs parmi 4. Il y a donc deux chances sur quatre d obtenir un cœur ou un trèfle, soit une probabilité de 2 4 soit 1 2 ou un trèfle. Remarque : On sait que la probabilité de tirer un cœur est 1 4. de tirer un cœur On sait que la probabilité de tirer un trèfle est aussi = probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir un coeur ou un trèfle un coeur un trèfle Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 valets et 4 dames. Il y a donc 8 chances sur 52 de tirer un valet ou une dame. La probabilité de tirer un valet ou une dame est donc : = soit c) Dans les deux cas et, il suffit d additionner les probabilités «d obtenir ceci» et «d obtenir cela» pour obtenir la probabilité «d obtenir ceci ou cela». Il semble donc que ce que dit Andry est vrai. Cependant, nous n avons pas démontré ce résultat, donc on ne peut pas affirmer que ce que dit Andry est toujours vrai. Remarque : 4 On sait que la probabilité de tirer un valet est On sait que la probabilité de tirer une dame est aussi = probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir un valet ou une dame un valet un dame c) Cned, Mathématiques 3 e 5

6 6 Séquence 1 La probabilité de tirer un valet est 4 52 soit La probabilité de tirer un cœur est soit 1 4. Je cherche à calculer la probabilité de tirer un valet ou un cœur : Il y a 4 valets dans le jeu de cartes. Il y a 13 cœurs dans le jeu de cartes. Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont au nombre de 16 (attention : il ne faut pas compter deux fois le valet de cœur!). La probabilité de tirer un valet ou un cœur est donc = soit Le contre-exemple auquel pense Aurélie est sans doute celui donné par la question précédente : La probabilité de tirer un valet est 4 52, la probabilité de tirer un cœur est 13 52, la probabilité de tirer un valet ou un cœur est Cette dernière probabilité n est pas la somme des deux précédentes car : + = Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont : le valet de pique, le valet de trèfle, le valet de carreaux, le valet de cœur, puis les cartes de cœur suivantes : l as, le 2, le 3, le 4, le 5, le 6, le 7, le 8, le 9, le 10 (on ne recompte pas le valet de cœur, car on l a déjà compté), la dame et le roi soit au total 16 cartes (et non 17!). Il faut faire attention à ne pas compter deux fois le valet de cœur! Si on ajoute les deux probabilités, on ne trouve pas mais C est dû au fait que la probabilité d avoir un valet de cœur est comptée deux fois. Il n y a donc pas égalité car les événements «tirer un valet» et «tirer un cœur» peuvent se produire en même temps : c est le cas si on tire le valet de cœur. Conclusion : La probabilité d obtenir un événement A ou B n est pas toujours égale à la probabilité d obtenir A plus celle d obtenir B. Il y a égalité (comme dans les questions a et b du lorsque les événements «obtenir A» ou «obtenir B» ne peuvent pas se produire en même temps (on dit alors qu ils sont incompatibles). EXERCICE 6 Il y a 4 gommettes bleues. Il y a au total 15 gommettes. La probabilité d obtenir une gommette bleue est Il y a 5 gommettes vertes. La probabilité d obtenir une gommette verte est 5 15 soit 1 3. On peut bien entendu, et c est même plus simple, calculer directement la probabilité cherchée en divisant le nombre d issues favorables par le nombre total d issues. Le nombre de cas favorables est le nombre de gommettes bleues ou vertes. On les compte. On en trouve 9. On compte le nombre total de gommettes. On en trouve 15. La probabilité cherchée est donc 9 15 soit Cned, Mathématiques 3 e

7 7 Séquence 1 Les événements «prendre une gommette bleue» et «prendre une gommette verte» sont incompatibles. La probabilité de l événement : «la gommette est bleue ou verte» est donc soit donc gommettes sont carrées. La probabilité pour qu une gommette soit un carré est 6 15 soit gommettes sont des triangles. La probabilité pour qu une gommette soit un triangle est 6 15 soit 2 5. On peut aussi calculer la probabilité cherchée en divisant le nombre d issues correspondant à l événement par le nombre total d issues. Le nombre d issues correspondant à l événement est le nombre de gommettes carrées ou triangulaires. Il y en a 12. La probabilité cherchée est donc soit 4 5. Les événements «prendre une gommette carrée» et «prendre une gommette triangulaire» sont incompatibles. La probabilité de l événement : «la gommette est un carré ou un triangle» est donc : soit c est-à-dire 4 5. Il y a 8 gommettes qui sont soit un disque, soit jaunes. La probabilité de l événement : «la gommette est un disque ou la gommette est jaune» est donc EXERCICE 7 Il y a au total 5 boîtes. Il y a une chance sur 5 pour que la boule soit dans la boîte 1, soit une probabilité de 1 pour que la boule 5 soit dans la boîte 1. Comme la boule se cache dans une des 5 boîtes, l événement va obligatoirement se produire! Le nombre d issues correspondant à l événement est 5. Le nombre total d issues est 5. La probabilité que la boule se trouve dans une des 5 boîtes est donc de 5 soit 1. 5 Il ne fallait pas ajouter la probabilité d avoir un disque et la probabilité d avoir une gommette jaune. En effet, les deux événements ne sont pas incompatibles (c est-à-dire qu ils peuvent se produire en même temps) : c est le cas lorsqu on prend la gommette qui est un disque jaune! Il y a une issue qui correspond à l événement et un nombre total de 5 issues. On dit alors que l événement est certain. On peut aussi répondre à cette question de la façon suivante : Les événements : «la boule se trouve dans la boîte 1», ou «dans la boîte 2», ou «dans la boîte 3», ou «dans la boîte 4», ou «dans la boîte 5» sont incompatibles les uns avec les autres donc, d après la propriété précédente, la probabilité cherchée est la somme des probabilités de chacun des événements. La probabilité de chacun des événements est La probabilité est donc : = 5 = La probabilité est donc 1. Cned, Mathématiques 3 e 7

8 8 Séquence 1 Cet événement est impossible puisque il y a forcément une boule dans une des cinq boîtes! Les cinq issues sont : la boule se trouve dans la boîte 1 la boule se trouve dans la boîte 2 la boule se trouve dans la boîte 3 la boule se trouve dans la boîte 4 la boule se trouve dans la boîte 5. Aucune issue ne correspond à l événement «la boule ne se trouve dans aucune des 5 boîtes». La probabilité de cet événement est donc 0 5 EXERCICE 8 Une seule face porte le numéro 12. Le dé possède 12 faces «équitables». La probabilité d obtenir 12 est donc soit 0. Conclusion générale : Un événement est impossible quand aucun cas ne correspond à cet événement. Sa probabilité est donc 0 divisé par le nombre total de cas : elle est donc égale à 0. Un événement est certain quand tous les cas correspondent à cet événement. Sa probabilité est donc le nombre total de cas divisé par lui-même. Elle est donc égale à 1. L événement contraire à «obtenir 12» est l événement «obtenir moins de 12». L événement «obtenir moins de 12» peut aussi se traduire par l événement «obtenir 1, ou 2, ou 3,, ou 11». Le nombre d issues correspondant à cet événement est 11. Le nombre total d issues est 12. La probabilité de cet événement est donc La somme de la probabilité de l événement «obtenir 12» et de la probabilité de l événement contraire est : + = soit Remarque : La somme de la probabilité d un événement et de celle de son contraire est toujours égale à 1. En effet, un événement et son événement contraire sont toujours incompatibles. La probabilité de E «plus» la probabilité du contraire de E est donc égale à la probabilité de «E ou son contraire». L événement «E ou son contraire» correspond à toutes les issues, il est donc certain : sa probabilité est donc de 1. 8 Cned, Mathématiques 3 e

9 9 Séquence 1 EXERCICE 9 Le nombre total de pièces d Ali est : soit 25 pièces. Ali a 5 pièces de 1 centime, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est 5 25 soit 1 5. Ali a 4 pièces de 2 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 7 pièces de 5 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 2 pièces de 10 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 4 pièces de 50 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 3 pièces de 1, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Les commentaires du professeur : On commence par calculer le nombre total de pièces d Ali. Ali a soit 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes. La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes est L événement «tirer une pièce de plus de 5 centimes» est le contraire de l événement «tirer une pièce de 5 centimes ou moins». La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes est La probabilité de l événement contraire est donc : = soit Il y a 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes parmi les 25 pièces au total. La somme de la probabilité de «prendre une pièce de plus de 5 centimes» et de la probabilité de l événement contraire est égale à 1. La probabilité de «tirer une pièce de plus de 5 centimes» est donc : 1 moins la probabilité de «tirer une pièce de moins de 5 centimes» EXERCICE 10 Il y a au total 12 boules dans la boîte. Il y a 4 boules vertes. La probabilité de tirer une boule verte est donc 4 12 soit 1 3. On divise le nombre d issues correspondant à l événement «tirer une boule verte» par le nombre total d issues. On fait de même pour les questions, c) et d). Cned, Mathématiques 3 e 9

10 10 Séquence 1 Il y a 2 boules bleues. La probabilité de tirer une boule bleue est donc 2 12 soit 1 6. c) Il y a 3 boules jaunes. La probabilité de tirer une boule jaune est donc 3 12 soit 1 4. c) d) Il y a 2 boules roses. La probabilité de tirer une boule rose est donc 2 12 soit 1 6. e) 1 ère méthode : L événement contraire à «tirer une boule verte, ou bleue, ou jaune, ou rose» est «tirer une boule rouge». Il y a une boule rouge. La probabilité de tirer la boule rouge est donc La probabilité de «tirer une boule verte, ou bleue, ou jaune, ou rose» est donc : 1 = soit ème méthode : Les évènements «tirer une boule verte», «tirer une boule bleue», «tirer une boule jaune» et «tirer une boule rose» sont incompatibles les uns les autres donc pour calculer la probabilité cherchée, on additionne les probabilités de tirer une boule verte, une boule bleue, une boule jaune, une boule rose. d) e) 1 ère méthode : Comme la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une boule jaune, ou une boule rose plus la probabilité de son événement contraire est égale à 1, la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une boule jaune, ou une boule rose est : 1 moins la probabilité de l événement contraire 2 ème méthode : soit Comme les événements sont incompatibles les uns les autres, il suffit d ajouter les probabilités = La probabilité cherchée est bien Il y avait également une 3 ème méthode. On pouvait calculer la probabilité cherchée en divisant le nombre d issus correspondant à l événement par le nombre total d issues. Le nombre de boules vertes, bleus, jaunes ou roses est 11. La probabilité cherchée est donc Cned, Mathématiques 3 e

11 11 Séquence 1 EXERCICE 11 Séance 3 Le petit carré bleu foncé a pour côté 4 cm. Son aire est donc 16 cm 2. La grande cible est un carré de côté 2 ( soit 16 cm. Son aire est donc 256 cm 2. Comme l archer tire parfaitement au hasard, la probabilité qu il tire dans le petit carré bleu foncé est : = soit On ne peut pas dans ce cas compter le nombre d issues. Par contre, on peut calculer le quotient de l aire du petit carré bleu foncé par l aire du grand carré (qui représente la grande cible) : comme l archer tire au hasard et toujours dans la cible, ce quotient est la probabilité pour que la flèche soit dans le petit carré bleu foncé. Le carré «du milieu» a pour côté 2 (2 + soit 10 cm. Son aire est 100 cm 2. L aire de la zone qui vaut 5 points est l aire du carré «du milieu» moins l aire du petit carré, soit : donc 84 cm 2. La probabilité cherchée est le quotient de l aire de la zone qui rapporte 5 points par l aire de la grande cible. La difficulté est donc ici de ne pas se tromper dans le calcul de l aire de la zone qui vaut 5 points (ce n est pas un carré!). La probabilité pour que l archer tire dans la zone à points est : = soit c) L aire de la zone qui vaut 1 point est celle du très grand carré moins celle du «carré du milieu», soit donc 156 cm 2. La probabilité pour que l archer tire dans le zone à point est : = soit EXERCICE 12 L aire du disque bleu est : r r r π =π =π c) On peut aussi utiliser l événement contraire de l événement «rapporter 1 point». C est l événement «rapporter 5 points ou 10 points». Comme les événements «rapporter 5 points» ou «rapporter 10 points» sont incompatibles, la probabilité de «rapporter 1 point» est : = = = = On ne peut pas non plus dans ce cas de figure compter le nombre d issues favorables. L aire du grand disque est : π r Comme le point se promène au hasard sur l écran, la probabilité pour que ce point soit dans le disque bleu est le quotient de l aire du disque bleu par l aire du grand disque, soit : 2 2 r r π r 1 r 1 = = = = π r r 4 r 4 r 4 2 On peut par contre calculer le quotient de l aire du disque bleu par l aire du grand disque. La probabilité cherchée est 1 4. Cned, Mathématiques 3 e 11

12 12 Séquence 1 EXERCICE 13 Je n arrive pas à résoudre ce problème, il me semble très compliqué! nombre de fois où le centre du disque est dans le carré et où le disque ne touche pas le bord du carré On peut dire que 13 c est-à-dire 0,65 est une 20 approximation de la probabilité cherchée. J ai effectué une simulation d environ 500 lancers et j ai obtenu 319 lancers pour lesquels la pièce ne touche pas le bord. La nouvelle approximation de la probabilité obtenue est donc 319 soit 0, nombre de fois où le centre du disque est dans le carré 20 Cet exercice semble effectivement complexe! On commence par chercher une approximation de la probabilité cherchée par l expérience. En fait, cette probabilité correspond à la fréquence avec laquelle la pièce ne touche pas le bord du carré si on faisait un nombre infini de lancers. On ne peut pas la déterminer de façon exacte par l expérience, mais on peut tenter de s en approcher. De façon générale, plus on fait d essais, plus on va se rapprocher de la probabilité cherchée. Bien entendu, tu n as pas forcément trouvé les mêmes valeurs que les nôtres dans le tableau de la colonne de gauche. Tu n as pas obtenu la même approximation que celle donnée cicontre. Ce qui est important, c est de voir que plus on fait d essais, plus la fréquence a l air de s approcher d une fréquence «limite» qui est la probabilité recherchée et qui semble être environ 0,64. 4) Dire que le disque ne touche pas le bord du carré revient à dire que le centre du disque se trouve dans un carré de même centre que le grand carré, mais de 8 cm de côté. 4) On voit dans cette question que l on peut prouver le résultat à l aide d un raisonnement sur les aires. Comme la pièce est lancée au hasard, la probabilité pour que la pièce ne touche pas le bord est donc le quotient de l aire du carré hachuré par celle du grand carré soit : 2 10 = 100 = 0,64. On mène ici le même type de raisonnement que celui mené dans l exercice Cned, Mathématiques 3 e

13 13 Séquence 1 EXERCICE 14 Séance 4 La probabilité d obtenir chacune des faces est 1 6. Remarque : les issues étant des événements incompatibles les uns avec les autres, la somme des probabilités des issues est la probabilité d avoir toutes les issues possibles, c est-à-dire 1. La somme des probabilités notées sur les branches d un tel arbre est donc toujours égale à 1. La probabilité d obtenir chacune des lettres est 1 4. On vérifie bien que la somme des probabilités notées au-dessus des branches est égale à 1. EXERCICE 15 Conclusion : On a compris à la fin de cet exercice comment représenter un arbre de probabilités. Ceci étant, on ne voit pas pour l instant quel est son intérêt! Avant de représenter l arbre des probabilités, je calcule la probabilité de chacune des issues : tirer une boule portant le numéro 1 : Il y a quatre boules portant le numéro 1 et il y a 10 boules au total. La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1 est donc 4 soit 0,4. 10 Quand une probabilité peut s écrire sous forme décimale, on l écrit sous cette forme (ici 0,4) plutôt que sous la forme d une fraction 4 (ici 10 ). tirer une boule portant le numéro 2 : Il y a une boule portant le numéro 2. La probabilité cherchée est donc 1 soit 0,1. 10 Cned, Mathématiques 3 e 13

14 14 Séquence 1 tirer une boule pourtant le numéro 3 : Il y a 2 boules portant le numéro 3. La probabilité cherchée est donc 2 soit 0,2. 10 tirer une boule pourtant le numéro 4 : Il y a 3 boules portant le numéro 4. La probabilité cherchée est donc 3 soit 0,3. 10 La somme des quatre probabilités est 0,4 + 0,1 + 0,2 + 0,3 = 1. On trouve bien 1. La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, 2, ou 3 est 0,4 + 0,1 + 0,2 soit 0,7. Une fois l arbre représenté, on peut répondre facilement aux questions posées. Les issues étant des événements incompatibles les uns avec les autres, la probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, ou le numéro 2, ou le numéro 3 est la somme des probabilités d obtenir la boule 1, la boule 2 et la boule 3. Il suffit donc d ajouter les probabilités des trois branches correspondant à l événement. On peut également utiliser l événement contraire à l événement «tirer une boule portant le numéro 1, 2 ou 3». C est «tirer une boule portant le numéro 4». La probabilité cherchée est donc 1 0,3 soit 0,7. La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair est 0,1 (probabilité de tirer + 0,3 (probabilité de tirer 4) soit 0,4. «tirer une boule portant un nombre impair» est l événement contraire à l événement «tirer un boule portant un nombre pair». La probabilité cherchée est donc 1 0,4 soit 0,6. On additionne les probabilités de la branche de la boule 2 et de la boule 4. On peut aussi directement utiliser l arbre de probabilités. La probabilité cherchée est 0,4 + 0,2 soit 0,6. 14 Cned, Mathématiques 3 e

15 15 Séquence 1 EXERCICE 16 Il y a 6 lettres au total et il y a deux «e». La probabilité d obtenir un «e» est donc 2 6 soit 1 3. La probabilité de chacune des autres lettres est 1 6. Il faut faire bien attention : on a par exemple deux fois plus de chances d obtenir un «e» que d obtenir un «a». On n oublie pas de vérifier que la somme des probabilités notées au-dessus de chacune des branches est égale à = = La probabilité d obtenir une voyelle est la somme de la probabilité d obtenir «a», d obtenir «e» et d obtenir «u» soit : + + = = La probabilité d obtenir une voyelle est donc 2 3. Il suffit ensuit de bien lire l arbre de probabilités pour répondre à la question. La probabilité d obtenir une consonne est la probabilité de l événement contraire, soit : = c est-à-dire Cned, Mathématiques 3 e 15

16 16 Séquence 1 EXERCICE 17 Séance 5 Les 30 nombres trouvés sont tous compris entre 0 et 1. J appuie sur la touche F9. Les nombres changent, mais ils sont toujours compris entre 0 et 1. Pour «étendre» la formule calculée pour la case A1 aux cases A2 à A30, il suffit de cliquer une fois sur la case A1. La case est alors entourée d un cadre noir et un petit carré noir apparaît dans le coin inférieur droit de la case. Il faut alors cliquer sur ce petit carré et, sans relâcher le bouton gauche de la souris, placer le pointeur de la souris dans la case A30. On relâche ensuite le bouton gauche de la souris. 30 nombres apparaissent alors dans les cases A1 jusqu à A30. Si tu regardes bien les 30 nombres affichés par le tableur, ils semblent être tirés au hasard. Conclusion générale : La fonction ALEA() du tableur permet d afficher un nombre pris au hasard entre 0 et 1. EXERCICE 18 Ce nombre semble être tiré au hasard entre 1 et 2. Ce n est pas étonnant car on a vu dans l exercice précédent que : 0 < ALEA() < 1 On en déduit que : < ALEA() + 1 < soit : 1 < ALEA() + 1 < 2 Le nombre ALEA() + 1 est donc compris entre 1 et 2. Ce nombre semble être tiré au hasard entre 0 et 10. Je peux prouver que 10 ALEA() est compris entre 0 et 10. On sait que : 0 < ALEA() < 1 D où : 10 0 < 10 ALEA() < < 10 ALEA() < 10 Le nombre 10 ALEA() est donc compris entre 0 et 10. ALEA() est un nombre. Cette écriture doit te paraître étrange. En fait, c est le résultat que renvoie la fonction ALEA. On utilise une propriété des inégalités vue en 4 e : Si a < x < b alors a + c < x + c < b + c Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre ALEA() + 1 est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais lui est compris entre 1 et 2. On utilise une propriété des inégalités vue en 4 e : c est désignant un nombre strictement positif, si a < x < b alors a c < x c < b c Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre 10 ALEA() est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais il est compris entre 0 et Cned, Mathématiques 3 e

17 17 Séquence ALEA() est un nombre tiré au hasard compris entre 0 et ALEA() + 2 est un nombre tiré au hasard compris entre 2 et 102. En effet : 0< ALEA() < < 100 ALEA() < < 100 ALEA() < < 100 ALEA() + 2< < 100 ALEA() + 2< 102 «=100 ALEA() + 2» est la formule permettant au tableur d afficher un nombre tiré au hasard entre 2 et 102. Essaie sur ton tableur afin de contrôler que la formule donne bien le résultat escompté. Attention! La formule «=(ALEA()+ 100» ne donne pas la même chose : 0< ALEA() < 1 2< ALEA() + 2< 3 ( () ) ( () ) 2 100< ALEA < < ALEA < 300 EXERCICE 19 Les 30 nombres affichés sont des entiers compris entre 1 et 6. De plus, ces nombres semblent être tirés au hasard. Le tableur permet ici de simuler le lancer d un dé à 6 faces. Au 1 er tirage, on a obtenu 6. La fréquence de 1 obtenue au bout de 1 tirage est donc de 0 % ALEA() est un nombre tiré au hasard compris entre 1 et 7. ENT(1 + 6 ALEA()) est la partie entière du nombre : ALEA(). Ainsi : ENT(1,634 = 1 ; ENT(6,5555) = 6 Le résultat de ENT(1 + 6 ALEA()) est un entier tiré au hasard entre 1 et 6 (1 et 6 compris). A quoi sert de simuler à l aide d un ordinateur ce que l on peut faire avec un dé? A faire des centaines voire des milliers de tirages en un simple clic! La fréquence de 1 en pourcentage est le nombre de 1 obtenus divisé par le nombre de tirages multiplié par Au bout de 1 tirage, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 0%. 1 Au 2 ème tirage, on a obtenu 3. La fréquence de 1 obtenue au bout de 2 tirages est donc de 0 %. 0 Au bout de 2 tirages, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 2 toujours 0%. Au 3 ème tirage, on a obtenu 1. La fréquence de 1 obtenue au bout de 3 tirages est donc d environ 33,33 %. 1 Au bout de 3 tirages, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 3 environ 33,33%. Cned, Mathématiques 3 e 17

18 18 Séquence 1 Je remarque que plus le nombre de simulations est grand, plus la fréquence de l événement «obtenir 1 avec le dé» se stabilise autour de 16 % environ % est une valeur approchée de la probabilité d obtenir 1 en lançant un dé à 6 faces. Je sais calculer cette probabilité : il y a une chance sur 6 d obtenir 1, la probabilité est donc ,66 %. soit environ Les commentaires du professeur : On voit que l on peut chercher une probabilité en utilisant un tableur. Ici, la probabilité est très simple à calculer, donc l exercice n a pas beaucoup d intérêt, sauf de bien t expliquer les manipulations avec le tableur. Remarque : n hésite pas à appuyer souvent sur la touche F9 pour «rafraîchir» les données, ce qui revient à faire de nouveaux tirages. Tu peux voir, si tu as déjà fait tracer le graphique, qu il se retracera alors pour afficher les nouvelles données. EXERCICE 20 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12. La somme des deux résultats ne peut pas être égale à 1 car les plus petits résultats que peuvent afficher les dés verts et bleus sont 1 et 1. La plus petite somme est donc Cned, Mathématiques 3 e

19 19 Séquence 1 Les commentaires du professeur : Voici le type de tableau que l on peut obtenir. Bien entendu, comme les nombres sont tirés au hasard, tu n obtiens pas le même sur ton écran. Dans la case A1, on a écrit «= ENT(1 + 6* ALEA())». Dans la case B1, on a écrit «= ENT(1 + 6* ALEA())». Dans la case D1, on a écrit «= A1 + B1». Dans notre exemple, pour les dix premiers lancers, on a obtenu 4 lors des lancers 4, 5 et 6. 3 Au bout de 10 lancers, on a donc une fréquence en % de 100 soit 30 %. 10 J ai effectué une simulation de lancers. J obtiens 8,5 % comme valeur approchée de la probabilité cherchée. Les résultats semblent se stabiliser aux alentours de la valeur 8,5 % (environ) résultats du dé vert résultats du dé bleu Cned, Mathématiques 3 e 19

20 20 Séquence 1 Le nombre total de cas est le nombre de cases du tableau, soit 6 6 donc 36. Il y a 3 cas correspondant à l événement «obtenir une somme de 4 en lançant les deux dés». La probabilité d obtenir 4 est donc 3 36 soit 1 12, c est-àdire environ 8,33 %. Attention! le raisonnement suivant est faux : On peut obtenir 2,3, 4, 12 il y a donc 11 cas possibles. Il y a donc une chance sur 11 d obtenir 4, soit une probabilité de Pourquoi est-il faux? car les résultats 2, 3, 12 n ont pas tous la même probabilité d être tirés. En effet, pour obtenir 2 comme somme, on n a qu une possibilité : obtenir 1 avec chacun des deux dés. Par contre, pour obtenir une somme de 4, il y a 3 possibilités : obtenir 1 sur le dé vert et 3 sur le dé bleu, obtenir 3 sur le dé vert et 1 sur le dé bleu, obtenir 2 sur le dé vert et 2 sur le dé bleu. Les commentaires du professeur : Pour calculer chacune des probabilités, il suffit de compter le nombre de fois où intervient chaque nombre puis de diviser par le nombre total de possibilités, c est-à-dire 36. On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1. Une fois cet arbre constitué, on pourrait facilement répondre à des questions du type «Quelle est la probabilité pour qu en lançant deux dés à 6 faces, et en ajoutant les deux résultats obtenus, on obtienne un nombre plus grand que 5?». 20 Cned, Mathématiques 3 e

21 21 Séquence 1 EXERCICE 21 Séance 6 Les différents paris Si on parie sur un numéro, il y a une chance sur 37 de On suppose bien sûr que la roulette est non truquée, c est-à-dire que chaque numéro a la même probabilité de sortir. gagner soit une probabilité de Les événements «gagner» et «perdre» sont contraires, donc la probabilité de perdre est : = soit Si on parie sur 2 numéros, il y a donc 2 chances sur 37 de gagner soit une probabilité de La probabilité de perdre est : = soit c) Si on parie sur 3 numéros, il y a donc 3 chances sur 37 de gagner soit une probabilité de La probabilité de perdre est : = soit Exemples de gains et de pertes Si le numéro 5 sort, le joueur gagne 35 fois sa mise, soit donc 350. Si le 5 ne sort pas, le joueur perd sa mise, soit 10. Si l un des 2 numéros sort, le joueur gagne 17 fois sa mise, soit 17 8 donc 136. Si aucun des 2 numéros ne sort, le joueur perd sa mise, soit 8. c) Si l un des 3 numéros sort, le joueur gagne 11 fois sa mise, soit 11 5 donc 55. Si aucun des 3 numéros ne sort, le joueur perd sa mise, soit 5. c) Si le joueur gagne, il gagne 350 et récupère sa mise. Il gagne beaucoup plus qu il ne perd, c est vrai, mais attention, car on a beaucoup plus de chances de perdre que de gagner! Si le joueur gagne, il gagne 136 et récupère sa mise. c) Si le joueur gagne, il gagne 55 et récupère sa mise. Cned, Mathématiques 3 e 21

22 22 Séquence 1 La mise sur un numéro est-elle rentable? La probabilité de gagner en pariant sur un numéro est Le joueur va le plus probablement gagner 27 fois sur ses paris. En effet, pour chaque pari, la probabilité de gagner est de 1 37, donc le joueur gagne en moyenne fois pour paris soit environ 27 fois. Un joueur qui gagne 27 paris sur un numéro perd fois soit 973 fois sur paris. Il aura gagné : mise mise = 28 mise Il aura donc perdu 28 fois sa mise. S il parie fois 1, il perd 28. S il parie fois 10, il perd 280. S il parie fois 100, il perd c) Un joueur qui parie fois sur un numéro gagne en moyenne soit environ 270 fois. 37 Il perd alors en moyenne fois. Il aura donc gagné en moyenne : mise mise = 280 mise Il aura donc perdu 280 fois sa mise! S il parie fois 1, il perd 280. S il parie fois 10, il perd S il parie fois 100, il perd d) Le jeu n est pas du tout rentable pour le joueur, mais il l est pour le casino. 4) Le calcul correspond au calcul qu on a fait dans les questions 3 et c), mais cette fois pour un pari au lieu de ou Pour un pari sur un numéro, un joueur gagne en moyenne 1 36 fois et il perd en moyenne fois. l avantage du casino est : = soit environ 2,7 % On a déterminé cette probabilité dans la question 1. Il faut bien comprendre ici le sens de ce qu est une probabilité : 1 pour un pari, la probabilité de gagner est, cela veut dire que 37 plus on joue et plus, en moyenne, la fréquence des parties gagnées 1 va se rapprocher de. Autrement dit, le nombre de parties 37 1 gagnées va se rapprocher de fois le nombre de parties jouées. 37 Première constatation : plus un joueur parie des mises importantes, plus (en moyenne) il perd! Deuxième constatation : Plus un joueur parie de nombreuses fois sur un numéro, plus il perd! 4) L avantage du casino correspond au gain en moyenne du casino sur un pari. On peut retrouver alors facilement les résultats pour paris de mise 10 par exemple! Le joueur perd environ 2,7 % de 10 par pari donc 0,27 par pari. S il parie fois, il perd donc en moyenne environ On ne trouve pas tout à fait ce que l on a trouvé dans le a à cause de l arrondi que l on a déterminé avant de faire les calculs. 22 Cned, Mathématiques 3 e

23 23 Séquence 1 Cela veut dire qu en moyenne, sur un pari sur un numéro, le casino gagne environ 2,7 % de la mise du joueur. Pari sur 2 numéros : = = Pari sur 3 numéros : = = Les paris sur 2 ou 3 numéros font perdre autant d argent au joueur que le pari sur un numéro. Les trois paris sont donc aussi peu rentables pour le joueur, qui perd en moyenne 2,7 % de sa mise. Il faut retenir deux choses. En moyenne : plus un joueur joue à la roulette, plus il perd, plus un joueur mise gros, plus il perd gros. La meilleure façon de ne pas perdre d argent est donc de ne pas jouer! Cned, Mathématiques 3 e 23

24 24 Séquence 1 EXERCICE 22 Les issues sont : (R,P), (R,F), (V,P) et (V,F) (avec «R» pour rouge, «V» pour vert, «P» pour pile et «F» pour face). Séance 7 Je sais qu il y a une chance sur 4 pour que l aiguille s arrête devant le rouge, soit un probabilité de 1 4. Je sais également que la probabilité d obtenir pile est 1 2. Je n arrive pas à comprendre comment calculer la probabilité d obtenir rouge puis pile, c est-à-dire la probabilité d obtenir (R,P). 4) Si on jouait fois, on obtiendrait environ fois rouge soit environ fois rouge. 4 4) La probabilité de faire pile est 1, donc sur les fois où l on a obtenu rouge, on obtient environ soit fois pile. 2 Pour calculer le nombre de fois où l on a obtenu rouge puis pile, on 1 1 a calculé soit Si on jouait fois, on obtiendrait environ fois rouge soit environ fois rouge. 4 La probabilité de faire pile est 1, donc sur les fois où l on a obtenu rouge, on obtient environ Pour calculer le nombre de fois où l on a obtenu rouge puis pile, on 1 1 a calculé soit Cned, Mathématiques 3 e

25 25 Séquence soit fois pile. 2 La probabilité d obtenir rouge puis pile est 1 1 soit ) 4 2 La probabilité d obtenir (R,F) est 1 1 soit La probabilité d obtenir (V,P) est 3 1 soit La probabilité d obtenir (V,F) est 3 1 soit Si on jouait N fois (N entier assez grand), le nombre moyen de fois 1 1 où l on ferait (R,P) serait N Cela revient à dire que la probabilité d obtenir (R,P) est 4 2. Il suffit donc de multiplier la probabilité d obtenir rouge et la probabilité d obtenir pile. 5) On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1 : = = Cet arbre est l arbre des 4 issues du jeu à deux étapes. EXERCICE 23 Les quatre cas possibles sont (P,F), (P,P), (F,P) et (F,F). Les cas correspondant à l événement «faire au moins une fois pile» sont donc (P,F), (F,P) et (P,P). Il y en a donc 3 sur les quatre. La probabilité de faire au moins une fois pile est donc 3 4. Ce qui précède conduit à admettre que de manière générale, la probabilité «d un chemin» est égale au produit des probabilités rencontrées «le long du chemin». On peut aussi représenter un arbre de probabilités : 1 1 D où la probabilité de (P,P), de (P,F), de (F,P) et (F,F) est 2 2 soit 1 4. Pauline se trompe et Clément a raison. Pauline se trompe car elle considère que l événement obtenir d abord pile puis obtenir n importe quoi ensuite est aussi probable que d obtenir «face puis pile» ou «face puis face». Ce n est pas vrai puisque on peut obtenir «pile puis face» ou «pile puis pile». La probabilité n est pas 2 3. Comme les événements (P,P), (P,F) et (F,P) sont incompatibles les uns les autres, la probabilité d obtenir au moins une fois pile est la somme des probabilités de faire (P,P), de faire (P,F) et de faire (F,P) soit soit 3 4. Cned, Mathématiques 3 e 25

26 26 Séquence 1 EXERCICE 24 J écris T pour Trio de poisson aux petits légumes, S pour Steak grillé et son gratin de pommes de terre et M pour Mijoté de sanglier avec des frites, C pour Crème brûlée et P pour Profiteroles. Je représente l arbre de probabilités : On peut aussi répondre plus simplement et rapidement à cette question en disant qu il y a au total 3 2 soit 6 menus possibles : (T,C), (T,P), (S,C), (S,P), (M,C), (M,P), Il y a donc une chance sur 6 d avoir (S,C) soit une probabilité de 1 6. La probabilité de choisir steak puis crème brulée est 1 1 soit Cned, Mathématiques 3 e

27 27 Séquence 1 EXERCICE 25 Je représente le trajet de la coccinelle à l aide d un arbre. Séance 8 On peut aussi procéder de la façon suivante : Si on note (A,B) le parcours correspondant au cas où : elle parcourt un premier côté, s arrête en A, puis parcourt un deuxième côté et s arrête en B, les différentes possibilités de parcours sont : (A,C) (A,B) (B,A) (B,C) Il y en a quatre. (A,B) correspond à l événement «la coccinelle arrive en B». La probabilité pour que la coccinelle arrive en B est donc 1 4. (B,A) correspond à l événement «la coccinelle arrive en A». La probabilité pour que la coccinelle arrive en A est donc 1 4. (A,C) et (B,C) correspondent à l événement «la coccinelle arrive en C». Après avoir parcouru deux côtés : la probabilité pour que la coccinelle soit en B est 1 1 soit , La probabilité pour que la coccinelle arrive en C est donc 2 4 soit 1 2. la probabilité pour que la coccinelle soit en A est 1 1 soit La probabilité pour que la coccinelle soit en C est = + = soit La coccinelle sera le plus probablement en C. Remarque : si on utilise la représentation à l aide d un arbre, il suffit de regarder les «chemins» qui mènent à C. Il y en a 2. La probabilité que la coccinelle 1 1 aille en A puis en C est 2 2 soit 1 4. La probabilité que la coccinelle 1 1 aille en B puis en C est 2 2 soit 1 4. Cned, Mathématiques 3 e 27

28 28 Séquence 1 EXERCICE 26 Je représente la situation à l aide d un arbre : «V» représente les gens qui ont voté. «A» représente les gens qui se sont abstenus. Pourquoi les données qui sont des fréquences dans l énoncé sont présentées ici comme des probabilités? Comme 25 % des gens qui votent sont dans la catégorie ans, si on prend une personne au hasard, la probabilité pour qu elle soit dans cette catégorie est de 25 chances sur 100, soit 0,25. On peut écrire dans l arbre les probabilités exprimées en pourcentage ou sous forme décimale : 25 % correspond à 0,25, etc. La probabilité qu un électeur de ans ait voté est 0,25 0,68 soit 0,17. La probabilité qu un électeur de ans ait voté est 0,35 0,82 soit 0,287. On applique ensuite un raisonnement similaire à celui utilisé dans l exercice précédent. Ce qui change cette fois, c est qu il y a trois catégories, la somme comporte donc 3 termes : 0,25 0,68 ; 0,35 0,82 ; 0,4 0,75 La probabilité qu un électeur de 50 ans et plus ait voté est : 0,4 0,75 soit 0,3. La probabilité pour qu un électeur ait voté est la somme de ces probabilités, soit 0,17 + 0, ,3 donc 0,757 ou encore 75,7 %. EXERCICE 27 Je représente la situation à l aide d un arbre : La probabilité d obtenir (P, B) est 1 2 soit La probabilité d obtenir (F, B) est 1 5 soit La probabilité de tirer la lettre B est la somme de ces deux probabilités soit = + = soit La valeur approchée au centième par excès de cette probabilité est 0, Cned, Mathématiques 3 e

29 29 Séquence 1 EXERCICE 28 Séance 9 Cet exercice paraît complexe! On est invité à étudier les périmètres de deux quadrilatères : le quadrilatère KBSR et le rectangle ABCD. Je prouve que KBSR est un rectangle : ABCD est un rectangle donc l angle KAM est droit. Le quadrilatère AKRM a donc trois angles droits, donc il en a quatre. De plus, comme les côtés opposés d un rectangle ont la même longueur, on a : KR = AM. L angle KRM est donc droit, donc l angle KRS aussi. Pour pouvoir déterminer le périmètre de KBSR, on détermine sa nature. On prouve dans un premier temps que KBSR est un rectangle. On se souvient de la propriété suivante : «Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c est un rectangle». On sait d après le codage que l angle BKR est droit. Comme ABCD est un rectangle, l angle KBS est droit. Le quadrilatère KBSR a donc trois angles droits, donc c est un rectangle. Je prouve que KBSR est un carré : Comme KR = AM et KB = AM, on a : KB = KR. Le rectangle KBSR a deux côtés consécutifs de même longueur, c est donc un carré. Je calcule le périmètre de KBSR : Le périmètre de KBSR est 4 AM. Je calcule le périmètre de ABCD : P ABCD = 2 (6 + 4) = 20 soit 20 cm. La probabilité pour que le périmètre du quadrilatère KBSR soit inférieur au quart du périmètre de ABCD est la probabilité que : 4 AM < 20 4 soit 4 AM < 5 c est-à-dire AM < 5 4. Si M 0 est le point de [AD] tel que AM 0 = 5 4, AM0 la probabilité cherchée est AD soit 4 = c est-à-dire 5 soit 0, On prouve dans un 2ème temps que c est un carré. On se souvient de la propriété suivante : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un carré». On exprime le périmètre de KBSR en fonction de AM. Le calcul du périmètre de ABCD est simple : ABCD est un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Ensuite, on traduit la question posée. Comme M est placé au hasard sur le segment [AD] la probabilité cherchée est la probabilité que AM soit inférieure à 5 soit 1,25. 4 Comme AD = 4, la probabilité cherchée est 1, 25 soit Cned, Mathématiques 3 e 29

30 30 Séquence 1 EXERCICE 29 plus de chances d obtenir face que pile. autant de chances d obtenir face que pile. aucune chance d obtenir pile. plus de chance d obtenir pile que face. Même si on a fait 10 fois de suite pile, la probabilité de faire pile est encore 1 2. Une fois que les lancers sont faits, les résultats sont en fait «oubliés» : le joueur a deux possibilités qui sont pile ou face, et la probabilité de faire pile est encore 1 2. EXERCICE 30 La probabilité pour qu une peluche soit produite par l entreprise A et qu elle soit aux normes est : 0,75 0,95 soit 0, La probabilité pour qu une peluche soit produite par l entreprise B et qu elle soit aux normes est : 0,25 0,93 soit 0,232 5 La probabilité pour qu une peluche soit aux normes est : 0, ,232 5 soit 0,945 soit 94,5 %. 30 Cned, Mathématiques 3 e

31 31 Séquence 1 JE M ÉVALUE Il y a 3 issues qui correspondent à l événement «obtenir 3 ou moins» sur un total de 8 issues. La probabilité cherchée est donc , La probabilité de perdre, c est 1 moins la probabilité de gagner ,57 ne pas obtenir 2 ou ne pas obtenir 3 ne pas obtenir 2 et ne pas obtenir 3 ne pas obtenir 1, 4, 5 ou 6 obtenir 1, 4, 5 ou 6. 4) oui non 5) 0, ) Ces deux événements ne sont pas incompatibles. En effet, on peut très bien tirer un valet de trèfle! 5) Les quatre issues sont (P,P), (P,F), (F,P) et (F,F). Deux de ces issues correspondent à l événement : «obtenir une fois pile et une fois face» ) ) La probabilité d obtenir 6 ne dépend pas des résultats des 100 lancers précédents. 7) ) C est la probabilité d obtenir pile! ) 0,7 0,25 0,35 0,5 8) Cette probabilité est 0,5 0,7 soit 0,35. 9) 10) 0,1 0,8 0,2 0,4 0,12 0,45 0,5 0,55 9) Cette probabilité est 0,5 0,2 soit 0,1. 10) Cette probabilité est la somme des probabilités calculées dans les questions 8 et 9, soit 0,35 + 0,1 donc 0,45. Cned, Mathématiques 3 e 31

32 32 Séquence 2 Ce que tu devais faire JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e SÉQUENCE 2 NOMBRES Séance 1 Les commentaires du professeur quotient : 33 reste : 15 quotient : 40 reste : 1 quotient : 42 reste : 3 quotient : 40,5 reste : 0 7 est un diviseur de est un multiple de est un diviseur de est un multiple de ) Le reste d une division euclidienne est un entier à la fois supérieur ou égal à 0 et plus petit que le diviseur. Les nombres 15 ; 5 et 3 ne peuvent donc pas être le reste de la division euclidienne de 81 par 2. Dire que 7 est un diviseur de 63 signifie qu il existe un entier n tel que : 7 n = 63. De même, dire que 9 est un diviseur de 63 signifie qu il existe un entier m tel que : 9 m = 63. Les multiples de 63 sont : 63 0 (soit 0) ; 63 1 (soit 6 ; 63 2 (soit 126 ) ; Ni 7, ni 9 ne sont donc des multiples de et 828 sont pairs, donc on peut simplifier la fraction par 2. D après le critère de divisibilité par 3, 432 et 828 sont divisibles par 3. En effet : la somme des chiffres de 432 (qui est 9) est divisible par 3 la somme des chiffres de 828 (qui est 18) est divisible par ou 828 ne se termine ni par un 0 ni par un ou 828 n est donc pas divisible par 5. D après le critère de divisibilité par 9, 432 et 828 sont divisibles par 9. En effet : la somme des chiffres de 432 est divisible par 9 la somme des chiffres de 828 est divisible par 9. 4) Le plus grand nombre de fois que l on peut retrancher 23 à 877 est le quotient euclidien de la division euclidienne de 877 par = La réponse est donc est le reste de la division euclidienne. 32 Cned, Mathématiques 3 e

33 33 Séquence 2 EXERCICE 1 J ai fait de nombreux tests avec des valeurs différentes de n. A chaque fois, l entier n 2 + n 1 obtenu était impair. Ma conjecture est la suivante : «n 2 + n 1 est impair pour n importe quelle valeur de n». Malheureusement, je n arrive pas à la démontrer! Les commentaires du professeur : Ce qui est écrit est un bon début de recherche. En revanche, il aurait fallu écrire les valeurs de n testées, ainsi que les calculs correspondants de n 2 + n 1. Il est bien d écrire ta conjecture. Le plus difficile est ensuite de voir si elle est vraie. Comme on ne peut pas calculer n 2 + n 1 pour chaque valeur de n, il va falloir utiliser le calcul littéral. Comment? Si n = 1 n² + n 1 = 1² = 1 Si n = 2 n² + n 1 = 2² = 6 1 = 5 Si n = 3 n² + n 1 = 3² = 12 1 = 11 Si n = 4 n² + n 1 = 4² = 20 1 = 19 Pour n égal à 1 ou 2 ou 3 ou 4, le nombre n² + n 1 est impair. A l aide de la calculatrice Si n = 11 n² + n 1 = 11² = 131 Si n = 23 n² + n 1 = 23² = 551 Si n = 45 n² + n 1 = 45² = Pour n égal à 11 ou 23 ou 45, le nombre n² + n 1 est impair. Les commentaires du professeur : On pouvait bien entendu choisir d autres nombres. Cned, Mathématiques 3 e 33

34 34 Séquence 2 A l aide d un tableur Pour voir comment utiliser le tableur pour calculer de façon automatique n 2 + n 1, ouvre le fichier : sequence2exercice1corrige. Pour n variant de 1 à 110, n² + n 1 est impair. Je suis amené à faire la conjecture suivante : n² + n 1 est-il impair pour tout entier n supérieur ou égal à 1? n² + n = n(n + Les deux entiers n et n + 1 sont consécutifs. L un des deux est donc pair. Il s écrit donc sous la forme du produit de 2 par un entier. n(n + peut donc s écrire sous la forme d un produit de trois entiers, l un étant 2. n(n + est donc le produit de 2 par un entier, soit un nombre pair. Cela ne prouve pas cependant, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il en soit ainsi (en effet, tous les cas n ont pas été envisagés). Si n² + n 1 est impair pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on ne pourra le prouver qu en utilisant une lettre : on ne peut pas calculer n 2 + n 1 pour chaque valeur de n! n² + n = n n + n 1 = n(n + En effet, n + 1 est l entier qui suit n impair pair impair pair... Si n est pair, il peut s écrire sous la forme «2 fois un entier» n(n+ peut s écrire sous la forme : «2 fois un entier» (n + Si n est impair, n+1 est alors pair. n + 1 peut s écrire sous la forme «2 fois un entier». et n(n+ peut s écrire sous la forme : n «2 fois un entier». c) On déduit du que l entier n(n + 1 qui précède n(n + est impair. Ainsi, n² + n 1 est impair. Conclusion : Il n existe pas de valeur de n (n pour laquelle n² + n 1 est pair. Andry se trompait. 34 Cned, Mathématiques 3 e

35 35 Séquence 2 EXERCICE 2 Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. Les pavés carrés de la cuisine peuvent donc seulement avoir pour côté : 1 dm ou 2 dm ou 3 dm ou 4 dm ou 6 dm ou 9 dm ou 12 dm ou 18 dm ou 36 dm. Les commentaires du professeur : Voici trois méthodes permettant d obtenir la solution : A la main On ne doit couper aucun carreau. Voir si 17, par exemple, peut être le côté en cm d un carreau qui convient, revient donc à voir s il existe un entier qui vérifie : = 36 c est-à-dire à voir si 17 est un diviseur de 36. Le côté en dm d un pavé carré pouvant convenir est un entier inférieur ou égal à 36. Afin de déterminer toutes les tailles de carreaux possibles, il est essentiel de conduire sa recherche avec méthode. On essaie donc successivement les nombres entiers 1, 2, 3... et on regarde si chacun d eux est un diviseur de est-il un diviseur de 36? Oui. En effet, on peut trouver un nombre entier qui vérifie l égalité : 1... = 36 (l entier 36) L égalité : 1 36 = 36 met aussi en évidence que 36 est un diviseur de est-il un diviseur de 36? 36 se termine par un 6 donc 2 est un diviseur de 36. L égalité : 2 18 = 36 met aussi en évidence que 18 est un diviseur de est-il un diviseur de 36? La somme des chiffres de 36 est soit 9. Elle est divisible par 3 donc 3 est un diviseur de 36. L égalité : 3 12 = 36 met aussi en évidence que 12 est un diviseur de est-il un diviseur de 36? Oui. En effet, on peut trouver un nombre entier qui vérifie l égalité : 4... = 36 (l entier 9) L égalité : 4 9 = 36 met aussi en évidence que 9 est un diviseur de est-il un diviseur de 36? Non. En effet : 36 ne se termine ni par un 0, ni par un 5. On peut aussi dire : on ne peut trouver un nombre entier qui vérifie l égalité : 5... = 36 (En effet : 5 7 = 35 ; 5 8 = 40) 6 est-il un diviseur de 36? Oui. En effet : 6 6 = 36 La recherche méthodique des diviseurs de 36 nous a conduits à l égalité : 6 6 = 36. Les deux facteurs du produit 6 6 sont égaux. On peut arrêter notre recherche de diviseurs à ce niveau. On ne trouvera pas d autres diviseurs de 36. En effet, si on continue la recherche, on va trouver 9 ; 12 ; 18 et 36. Les diviseurs de 36 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. Avec un tableur : 1ère méthode On peut trouver les diviseurs de 36 à l aide d un tableur en procédant par exemple comme suit : Dans un premier temps, on écrit dans la colonne A les entiers de 1 à 36. Dans la colonne B, on demande au tableur, de calculer successivement le quotient de 36 par chacun de ces entiers. Pour cela, on entre dans la case B1 la formule : «=36/A1» puis on l étend. Les nombres de la colonne A pour lesquels on obtient un quotient entier sont les diviseurs de 36. Avec un tableur : 2ème méthode On écrit dans la colonne A les entiers de 1 à 36. Dans la colonne B, on demande au tableur, de calculer le reste de la division euclidienne de 36 par chacun de ces entiers. Les nombres de la colonne A pour lesquels le reste est 0 sont les diviseurs de 36. Remarque : pour obtenir avec le tableur le reste de la division euclidienne de 36 par 5, on tape dans une cellule : «=MOD(36;5)». Ici, on entre dans la case B1 la formule : «=MOD(36 ;A» puis on l étend. Cned, Mathématiques 3 e 35

36 36 Séquence 2 Si l on choisit des pavés carrés de 1 dm de côté, il faudra 36 pavés par côté de la pièce. Le nombre de pavés à acheter sera donc : = Le montant en euros de la dépense sera : 1, = 1 360, = 36 Si l on choisit des pavés carrés de 2 dm de côté, il faudra donc 18 pavés par côté de la pièce. Le nombre de pavés à acheter sera alors : = 324 Le montant en euros de la dépense sera : 2, = 664, = 36 Si l on choisit des pavés carrés de 3 dm de côté, il faudra donc 12 pavés par côté de la pièce. Le nombre de pavés à acheter sera alors : = 144 Le montant en euros de la dépense sera : 3, = 446,4 C est donc en achetant des pavés carrés de 3 dm de côté, qu on va carreler la pièce au moindre coût. 36 Cned, Mathématiques 3 e

37 37 Séquence 2 EXERCICE 3 Séance 2 On entre dans la colonne A les entiers de 1 à 30. Dans la cellule B1, on entre la formule : «= 30/A1» On étend ensuite cette formule jusqu à la cellule B30. Pour voir une animation de la manipulation du tableur pour répondre à cette question, ouvre le fichier sequence2exercice3corrige. Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; ,5 4 = 7,5 n est pas un entier. C est un nombre décimal. Il suffit de lister les nombres de la colonne A dont le nombre qui se trouve à droite est entier. Les nombres décimaux sont les nombres «à virgule» qui ont un nombre «fini de chiffres après la virgule». c) 30 4, n est pas un nombre entier. n est pas un nombre décimal (la division ne s arrête jamais»). c) Le groupe de chiffres se répète infiniment après la virgule. 30 n est donc pas un nombre décimal. 7 Un nombre, comme 30, qui peut s écrire à l aide d une fraction 7 est appelé : «nombre rationnel». Cned, Mathématiques 3 e 37

38 38 Séquence 2 EXERCICE 4 On procède avec méthode de façon à ne pas oublier de diviseurs. On essaie successivement tous les nombres entiers 1, 2, 3... On trouve successivement : Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; = = = = = = 60 On regarde ensuite si 60 est dans la table de 7. Non On regarde ensuite si 60 est dans la table de 8. Non plus. On regarde ensuite si 60 est dans la table de 9. Non plus. On s arrête ensuite car les diviseurs 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60 ont déjà été donnés dans les 6 premières égalités. EXERCICE 5 4 est-il un nombre parfait? Les diviseurs de 4 sont : 1 ; 2 ; 4. Ses diviseurs autres que lui-même sont donc : 1 et 2. La somme de ces diviseurs est soit n est donc pas un nombre parfait. 28 est-il un nombre parfait? Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28. Ses diviseurs autres que lui-même sont donc : 1 ; 2 ; 4 ; 7 et 14. La somme de ces diviseurs est soit est donc un nombre parfait. Recherche des diviseurs de 4 4 = = 2 2 On s arrête vu que les deux facteurs du produit sont égaux. Recherche des diviseurs de = = = 4 7 On s arrête. La prochaine égalité : 28 = 7 4 conduit aux diviseurs 4 et 7 déjà trouvés. On détermine les diviseurs de 496 à l aide d un tableur en utilisant l une des deux méthodes vues précédemment. Afin de repérer plus facilement les diviseurs, on peut faire afficher le mot DIVISEUR sur chaque ligne où il s en trouve un. Par exemple, si on a utilisé la méthode «sans» la fonction «MOD», on écrit dans C1 : = SI(B1 = ENT(B ; «DIVISEUR» ; ) La condition demande à l ordinateur d afficher dans la cellule C1 :. le mot DIVISEUR lorsque B1 est égal à sa partie entière (c està-dire lorsque B1 est un entier). un texte réduit à un espace dans l autre cas. On étend ensuite la formule jusqu à la ligne Cned, Mathématiques 3 e

39 39 Séquence 2 Les diviseurs de 496 autres que lui-même sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248. Leur somme est est donc un nombre parfait = donc il est vrai que : 28 = Attention! Pour répondre à la question posée, il n y a qu une seule méthode : calculer et voir si on obtient 28 ou non. Commencer la solution en écrivant : 28 = ne convient pas, puisqu on ne sait pas au début de l exercice si l égalité est vraie = = 496 Même type de remarque que précédemment. donc il est vrai que 496 = ) Les diviseurs de 220 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 44 ; 55 ; 110 ; 220. Les diviseurs de 284 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 71 ; 142 ; 284. La somme des diviseurs de 220 autres que luimême est : soit ) On détermine les diviseurs de 220 et 284 à l aide d un tableur en utilisant l une des deux méthodes vues précédemment. Les diviseurs de 220 autres que lui-même sont appelés diviseurs stricts de 220. La somme des diviseurs de 284 autres que luimême est : soit 220. La somme des diviseurs de 220 autres que luimême est égale à 284 ; la somme des diviseurs de 284 autres que lui-même est égale à 220. Deux entiers comme 220 et 284 sont dits amiables. Par définition, deux entiers sont amiables lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : la somme des diviseurs stricts de l un est égale à l autre et vice versa. Cned, Mathématiques 3 e 39

40 40 Séquence 2 EXERCICE 6 Les diviseurs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 d est égal à 1 ou 2 ou 4 ou = 56 1 est un diviseur de 56 2 est un diviseur de 56 (2 28 = 56) 4 est un diviseur de 56 (4 14 = 56) 8 est un diviseur de 56 (8 7 = 56) d est donc un diviseur de = 8 1 ; 2 ; 4 et 8 sont des diviseurs de 8. d est donc un diviseur de d est un diviseur de 326 donc il existe un entier n tel que : n d = 326. On cherche les nombres présents à la fois dans les deux listes. On pouvait également rédiger la réponse ainsi : d est un diviseur de 32 donc il existe un entier n tel que : n d = 32. si d est un diviseur de 24 donc il existe un entier m tel que : m d = 24. D où : = n d + m d = (n + m) d n et m sont entiers donc n + m est un entier. Comme : (n + m) d = et que n + m est entier, d est un diviseur de On a aussi : = n d m d = (n m) d n et m sont deux entiers. Comme 32 > 24 on a : n > m. Ainsi n m est un entier. Comme : = (n m) d et que n m est un entier, d est un diviseur de d est un diviseur de 248 donc il existe un entier m tel que : m d = = n d + m d = (n + m) d Comme : (n + m) d = et que n + m est entier, d est donc un diviseur de n et m sont entiers donc n + m est un entier = n d m d = (n m) d n m est un entier. d est donc également un diviseur de d est un diviseur de a donc il existe un entier n tel que : n d = a. d est un diviseur de b donc il existe un entier m tel que : m d = b. n et m sont entiers donc n m est un entier. a + b = n d + m d = (n + m) d Comme : (n + m) d = a + b et que n + m est entier, d est donc un diviseur de a + b. a b = n d m d = (n m) d n m est un entier. d est donc également un diviseur de a b. 40 Cned, Mathématiques 3 e

41 41 Séquence 2 EXERCICE 7 Les multiples de 5 figurant sur la grille sont : 5 ; 10 ; 15 ; 20. Les diviseurs de 5 sont 1 et 5. Je ne peux pas donner 5 qui est déjà entouré. Je peux donc seulement donner 1 ; 10 ; 15 ; 20. Séance 3 Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit : soit un multiple de 5 soit un diviseur de 5 Les multiples de 8 figurant sur la grille sont : 8 et 16. Les diviseurs de 8 sont 1 ; 2 ; 4 ; 8. Je ne peux pas donner 8 qui est déjà entouré. Je peux donc seulement donner 1 ; 2 ; 4 ; 16. c) Il n y a qu un multiple de 12 sur la grille : 12 lui-même. Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Je ne peux donner aucun des nombres déjà entourés. Je peux donc seulement donner 2 ; 3 ; 4 ; 6. Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit : soit un multiple de 8 soit un diviseur de 8 c) Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit : soit un multiple de 12 soit un diviseur de 12 Il n y a qu un multiple de 11 sur la grille : 11 lui-même. Les diviseurs de 11 sont 1 et 11. Je ne peux pas donner 11 qui est déjà entouré. Je peux donc seulement donner = 1 17 donc 17 est un multiple de n était pas encore entouré, donc vous aviez le droit de donner 17. Il n y a qu un multiple de 17 sur la grille : 17 lui-même. Les diviseurs de 17 sont 1 et 17. Je ne peux donner ni 1, ni 17 qui sont déjà entourés. Je ne peux donc pas donner de nombre. J ai perdu. Il n y a qu un multiple de 13 sur la grille : 13 lui-même. Les diviseurs de 13 sont 1 et 13. Je ne peux pas donner 13 qui est déjà entouré. Je peux donc seulement donner 1. Cned, Mathématiques 3 e 41

42 42 Séquence 2 19 = 1 19 donc 19 est un multiple de n était pas encore entouré, donc vous aviez le droit de donner 19. Il n y a qu un multiple de 19 sur la grille : dix-neuf lui-même. Les diviseurs de 19 sont 1 et 19. Je ne peux donner ni 1, ni 19 qui sont déjà entourés. Je ne peux donc pas donner de nombre. J ai perdu. c) La stratégie menée par la personne qui a joué en premier est la suivante : elle propose pour commencer et au tour suivant un nombre de la grille qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, dont le double n est pas dans la grille. Pourquoi cette stratégie permet-elle de gagner? la première fois, l adversaire ne peut jouer que 1, En effet : le double du nombre proposé par le premier joueur n est pas sur la grille, donc les multiples du nombre proposé (en dehors de lui-même), ne sont pas sur la grille. les diviseurs du nombre proposé sont 1 et lui-même Or, le nombre proposé par le premier joueur ne peut plus être joué. la deuxième fois, il ne peut jouer aucun nombre. même raisonnement que précédemment sauf que 1, cette fois, ne peut plus être choisi. EXERCICE 8 35 a un autre diviseur que 1 et lui-même : 5, il n est donc pas premier. Des entiers comme 11, 13, 17, 19 qui ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes, sont appelés nombres premiers. Voir si un entier est premier, c est voir s il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les critères de divisibilité peuvent nous aider à répondre à la question. 2 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, donc 2 est premier. c) 24 a d autres diviseurs que 1 et lui-même, par exemple 2, il n est donc pas premier. d) 117 a d autres diviseurs que 1 et lui-même, par exemple 9, donc 117 n est pas premier. d) La «somme des chiffres de 117» est , soit 9, donc 117 est divisible par Cned, Mathématiques 3 e

43 43 Séquence 2 EXERCICE 9 Je suis d accord avec lui : 1 n admet qu un seul diviseur (lui-même), il n est donc pas premier. Il a raison. En effet : 2 est un nombre premier. Les multiples de 2 autres que 2 admettent un diviseur autre que 1 et lui-même : 2. Ils ne sont donc pas premiers. De même, 3 est un nombre premier. Les multiples de 3 autres que 3 admettent un diviseur autre que 1 et lui-même : 3. Ils ne sont donc pas premiers. En effet : 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; sont des multiples de 2. Comme ils sont différents de 2, ils ne sont donc pas premiers. En effet : 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; sont des multiples de 3. Comme ils sont différents de 3, ils ne sont donc pas premiers. Il a raison. En effet : Un multiple de 4 s écrit sous la forme 4 n, où n est un entier. Or, on a : 4 = 2 2. Ainsi : 4 n = ( 2 n = 2 (2 n) n est un entier, donc 2 n qui est le produit de deux entiers est un entier. Ainsi : 4 n est le produit de 2 par un entier. 4 n est donc un multiple de 2. Or les multiples de 2 ont déjà été barrés. 4) Thomas a raison. En effet : Si 5 n était pas premier, il admettrait un diviseur autre que 1 et lui-même. Ce serait donc un multiple de 2, ou de 3 ou de 4. Comme 5 n est pas barré, ce n est pas le cas. 5 est donc un nombre premier. Le premier nombre à barrer est 5 5 soit 5². En effet, 5 2 ; 5 3 ; 5 4 ont été barrés précédemment (respectivement comme multiples de 2, de 3 et de 4). 5) Les nombres premiers inférieurs à 50 sont donc : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47. 5) Le premier nombre non barré est 7. En raisonnant comme dans le 4), on montrerait que 7 est un nombre premier (on l entoure). On barre les multiples de 7 (non encore barrés), sauf 7. Le premier à barrer est 7² (c est le seul à barrer). Le premier nombre non encore barré est 11. En raisonnant comme dans le 4), on montrerait que 11 est un nombre premier (on l entoure). On barre les multiples de 11 (non encore barrés), sauf 11. Le premier à barrer est 11² (soit 12. Il n est pas écrit dans ma liste. A présent, il n y a plus d entier à barrer. Les entiers non encore barrés sont tous premiers. Je les entoure. Cned, Mathématiques 3 e 43

44 44 Séquence 2 Les commentaires du professeur : On doit cette méthode, appelée «crible d Eratosthène» au célèbre savant de l antiquité Eratosthène, au IIIème siècle avant J.C. Il est bon de connaitre par cœur les nombres premiers inférieurs à 20. EXERCICE = 2 78 = = On est amené à écrire que : 39 = 3 13 après avoir remarqué que la somme des chiffres de 39 est soit 12. Comme elle est divisible par 3, l entier 39 est divisible par = c) = = = = 2 38 = = = = = = 2 51 = = = = c) Au début de l exercice, le critère de divisibilité par 3, faisait apparaître une simplification de la fraction par = 15 ; 15 est divisible par 3, donc 195 est divisible par 3. De même, = 12 ; 12 est divisible par 3, donc 156 est divisible par = = Arrivé à ce stade, on ne voit plus comment simplifier la fraction. En utilisant une décomposition en facteurs premiers de 65 et 52, une simplification de la fraction par 13 est apparue naturellement. 3, 19, 2 sont des nombres premiers 5, 17, 2 et 3 sont des nombres premiers. 44 Cned, Mathématiques 3 e

45 45 Séquence 2 EXERCICE 11 Séance 4 J ai fait de nombreux essais à l aide de schémas et voici ma solution : on peut faire 2 tas contenant chacun 15 cailloux blancs et 24 cailloux rouges. nombre de cailloux blancs par tas nombre de tas = 30 nombre de cailloux rouges par tas nombre de tas = 48 On déduit du que le nombre de tas est à la fois un diviseur de 30 et de 48. On va voir par la suite si ta solution est correcte. Vu qu il est possible de répartir en 3 tas identiques les cailloux, on sait dès maintenant que la réponse proposée ci-dessus (question n est pas correcte. Le nombre de tas est un entier. Le nombre de cailloux blancs par tas est un entier. L égalité : nombre de cailloux blancs par tas nombre de tas = 30 met en évidence qu on peut trouver un entier qui multiplié par le nombre de tas donne 30. Cela signifie que le nombre de tas est un diviseur de 30. En raisonnant comme précédemment, on montrerait que le nombre de tas est aussi un diviseur de 48. Le nombre de tas est donc à la fois un diviseur de 30 et de 48. On dit encore que le nombre de tas est un diviseur commun à 30 et 48. c) Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. Les diviseurs communs à 30 et 48 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Le plus grand diviseur commun à 30 et 48 est donc 6. On déduit de ce qui précède que le plus grand nombre de tas identiques qu on peut faire est 6. c) Pour trouver le plus grand diviseur commun à 30 et 48, on peut commencer par chercher les diviseurs de 30, puis ceux de 48. Recherche des diviseurs de = = = = 5 6 La prochaine égalité : 30 = 6 5 conduit aux diviseurs 6 et 5 déjà trouvés. On peut s arrêter. Les diviseurs de 30 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Recherche des diviseurs de = = = = = 6 8 La prochaine égalité : 48 = 8 6 conduit aux diviseurs 6 et 8 déjà trouvés. On peut s arrêter. Les diviseurs de 48 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. On le note fréquemment : PGCD(30 ; 48). Cned, Mathématiques 3 e 45

46 46 Séquence 2 4) On peut simplifier au maximum et en une fois la fraction 30 en la simplifiant par le plus grand 48 diviseur commun à 30 et 48, soit 6 (d après ce qui précède) = = ) En raisonnant comme précédemment, on montrerait, dans ce nouveau cas, que le plus grand nombre de tas identiques serait le plus grand diviseur commun à 81 et 54. Déterminons ce nombre. Les diviseurs de 81 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81. Les diviseurs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54. Les diviseurs communs à 81 et 54 sont donc : 1 ; 3 ; 9 ; 27. Le plus grand diviseur commun à 81 et 54 est donc 27. Le plus grand nombre de tas identiques, dans ce cas est 27. On peut simplifier au maximum et en une fois la fraction 81 en la simplifiant par le plus grand 54 diviseur commun à 81 et 54, soit 27 (d après ce qui précède) = 27 3 = ) Pour simplifier la fraction 30, on cherche un diviseur commun à 48 son numérateur 30 et à son dénominateur 48. Important : Lorsqu on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une fraction que l on ne peut plus simplifier. «Simplifier à l aide du PGCD, c est simplifier au maximum» 5) nombre de cailloux blancs par tas nombre de tas = 81 nombre de cailloux rouges par tas nombre de tas = 54 Le nombre de tas est un diviseur commun à 81 et 54. Recherche des diviseurs de = = = 9 9 Les deux facteurs du produit 9 9 sont égaux. On peut arrêter notre recherche. Les diviseurs de 81 sont donc : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 Recherche des diviseurs de = = = = 6 9 La prochaine égalité : 54 = 9 6 conduit aux diviseurs 6 et 9 déjà trouvés. On peut s arrêter. Les diviseurs de 54 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 Lorsqu on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une fraction que l on ne peut plus simplifier. «Simplifier à l aide du PGCD, c est simplifier au maximum» 46 Cned, Mathématiques 3 e

47 47 Séquence 2 EXERCICE 12 Je détermine les diviseurs de 60 : 60 = = = = = = 6 10 Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. Je détermine les diviseurs de 42 : 42 = = = = 6 7 Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42. Le plus grand diviseur commun à 60 et 42 est 6. PGCD(60 ; 4 = 6. Je détermine les diviseurs de 24 : 24 = = = = 4 6 On établit dans un 1er temps la liste des diviseurs de ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 sont des diviseurs de 60. Ensuite, d après la table de 7, celle de 8 et celle de 9 : 7 n est pas un diviseur de non plus. 9 non plus. On s arrête ensuite car les diviseurs 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60 ont déjà été mis en évidence dans les 6 premières égalités. On applique la même méthode pour trouver les diviseurs de 42. Les diviseurs communs à 60 et 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6. Le plus grand de ces diviseurs est 6. Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Je détermine les diviseurs de 16 : 16 = = = 4 4 Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16. Le plus grand diviseur commun à 24 et 16 est 8. Cned, Mathématiques 3 e 47

48 48 Séquence 2 EXERCICE 13 Clément a raison. Si 9 était le PGCD de 261 et 359, il diviserait 359. Or, la somme des chiffres de 359 : est égale à 17. Comme elle n est pas divisible par 9, l entier 359 n est pas divisible par 9. Le PGCD de 261 et 359 ne peut donc être égal à 9. EXERCICE 14 Les diviseurs communs à 167 et 167 sont tous les diviseurs de 167. Comme 167 est le plus grand diviseur de 167, on a : PGCD (167 ; 167) = 167 Le PDCD de deux nombres est un diviseur de ces deux nombres. Ici, 9 n est pas un diviseur de ne peut donc pas être le PGCD de 261 et 359! On peut commencer par déterminer les diviseurs de 167. Cependant, déterminer les diviseurs de 167 n est pas très simple. On peut toutefois s aider d un tableur. On remarque alors que 167 a seulement deux diviseurs : 1 et lui-même (il est donc premier). On conclut alors que : PGCD (167 ; 167) = 167 On peut éviter de déterminer les diviseurs de 167. En procédant comme ci-contre, on peut déterminer mentalement le PGCD de 167 et 167. En raisonnant comme ci-contre, tu pourrais montrer que : PGCD (1 001 ; 1 00 = PGCD (751 ; 75 = Il est essentiel de savoir écrire ces égalités en raisonnant comme précédemment. On peut commencer par déterminer les diviseurs respectifs de 323 et 646. En s aidant d un tableur, on trouve que : les diviseurs de 323 sont : 1 ; 17 ; 19 ; 323, ceux de 646 sont : 1 ; 2 ; 17 ; 19 ; 34 ; 38 ; 323 ; 646. D où on conclut que : PGCD (323 ; 646) = 323 On peut cependant éviter de déterminer les diviseurs respectifs de 323 et 646. Si l on remarque que : 646 = 323 2, en procédant comme cicontre, on peut déterminer mentalement le PGCD de 323 et Cned, Mathématiques 3 e

49 49 Séquence 2 Le plus grand diviseur de 323 est 323. Comme 323 divise 646, 323 est le plus grand diviseur commun de 323 et 646. Ainsi : PGCD (323 ; 646) = 323 c) Tous les entiers différents de 0 divisent 0. Les diviseurs communs à 0 et à 144 sont donc les diviseurs de 144. Le plus grand diviseur de 144 est 144. D où : PGCD (0 ; 144) = 144 d) 1 a un seul diviseur : 1. 1 divise et 59 ont donc un seul diviseur commun : 1. D où : PGCD (1 ; 59) = 1. EXERCICE 15 Je détermine les diviseurs de 15 : 15 = = 3 5 Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15. En raisonnant comme ci-contre, tu pourrais montrer que : PGCD (542 ; 1 084) = 542 PGCD (443 ; 886) = Il est essentiel de savoir écrire ces égalités en raisonnant comme précédemment. c) En raisonnant de même, on obtient par exemple : PGCD(0 ; 1 40 = PGCD(873 ; 0) = 873 d) En raisonnant de même, on obtient par exemple : PGCD(1 000 ; = 1 PGCD(1 ; 3 050) = 1 On calcule le PGCD de 15 et 28 à l aide des listes des diviseurs de 15 et de 28. Je détermine les diviseurs de 28 : 28 = = = 4 7 Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28. Le plus grand diviseur commun à 15 et à 28 est et 28 sont donc premiers entre eux. EXERCICE et 476 sont pairs donc 302 et 476 ne sont donc pas premiers entre eux. 315 et sont divisibles par 3 donc 315 et ne sont pas premiers entre eux. Thomas affirme, que dans chacun des cas, les entiers donnés ne sont pas premiers entre eux. Il a donc trouvé que les entiers donnés n avaient pas pour seul diviseur commun 1. Il n était pas difficile d aboutir à cette conclusion si l on pensait à utiliser les critères de divisibilité. D après les critères de divisibilité, 302 et 476 sont pairs, donc 302 et 476 admettent un autre diviseur commun que 1 : l entier 2. La somme des chiffres de 315 est soit 9. Elle est divisible par 3. Ainsi, 315 est divisible par 3. La somme des chiffres de est soit 15. Elle est divisible par 3. Ainsi, est divisible par et admettent un autre diviseur commun que 1 : l entier 3. Cned, Mathématiques 3 e 49

50 50 Séquence 2 EXERCICE 17 Séance 5 Aurélie a tort. 4 et 9 sont premiers entre eux. En effet, les diviseurs de 4 sont 1 ; 2 et 4 et ceux de 9 sont 1 ; 3 et 9. D où PGCD(4 ; 9) = 1. Les nombres 4 et 9 ne sont pas des nombres premiers. Les commentaires du professeur : Pour voir si l affirmation a des chances d être vraie, on commence par prendre des exemples. On pouvait raisonner avec d autres nombres. Andry a raison. Soient a et b deux nombres premiers distincts. a a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. b a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. Comme a et b sont distincts, a et b ont un seul diviseur commun : 1. Ils sont donc premiers entre eux. Les commentaires du professeur : Pour voir si l affirmation d Andry a des chances d être correcte, on commence par prendre des exemples. Prenons par exemple les nombres premiers 2 et 3. 2 a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. 3 a également pour seuls diviseurs 1 et 3. 2 et 3 ont donc pour seul diviseur commun 1. Ils sont donc premiers entre eux. Prenons maintenant par exemple les nombres premiers 7 et a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. 11 a également pour seuls diviseurs 1 et lui-même. 7 et 11 ont donc pour seul diviseur commun 1. Ils sont donc premiers entre eux. On se demande dans le cas général si la propriété est encore vraie. Vérifier qu elle l est pour un très grand nombre d exemples ne permet pas de conclure qu elle est toujours vraie. Si on veut prouver qu elle est toujours vraie, on raisonne à l aide de lettres. EXERCICE 18 Je vois bien que je n arrive pas à simplifier cette fraction, mais je n arrive pas à le justifier! Si on pouvait simplifier la fraction 16 par un entier 35 d différent de 1, on aurait : 16 d n n = = avec n et m entiers. 35 d m m C est bien là qu est le problème : comment justifier que l on ne peut pas simplifier une fraction? On aurait donc : 16 = d n où n est un entier, 35 = d m où m est un entier. d serait donc un diviseur commun à 16 et à 35. Ainsi, le numérateur et le dénominateur de la fraction aurait un diviseur commun autre que 1. On vient de prouver que si l on peut simplifier une fraction, c est que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun autre que Cned, Mathématiques 3 e

51 51 Séquence 2 D où la méthode suivante : Si 16 et 35 n ont pas de diviseur commun autre que 1, alors la fraction ne peut pas être simplifiée. On déduit de la remarque précédente une méthode qui permet de justifier qu une fraction est simplifiée au maximum. Je cherche la liste des diviseurs de 16 puis la liste des diviseurs de 35. Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16. Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35. Le seul diviseur commun de 16 et de 35 est 1. On ne peut donc pas simplifier la fraction Les diviseurs de 96 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 32 ; 48 ; 96. Si le numérateur et le dénominateur d une fraction n ont que 1 comme diviseur commun, c est-à-dire s ils sont premiers entre eux, alors la fraction ne peut pas être simplifiée. La liste des diviseurs est longue : il faut faire attention à ne pas en oublier! Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Le plus grand diviseur commun à 96 et à 72 est = = = = Lorsqu on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une fraction que l on ne peut plus simplifier. «Simplifier par le PGCD, c est simplifier au maximum» Les diviseurs de 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 27 ; 36 ; 54 ; 108. Les diviseurs de 135 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 27 ; 45 ; 135. Le plus grand diviseur commun à 108 et à 135 est = = = = Cned, Mathématiques 3 e 51

52 52 Séquence 2 EXERCICE = = = = = = 5 7 Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35. On détermine la liste des diviseurs de 24, la liste des diviseurs de 35. Le seul diviseur commun à 24 et 35 est 1. D où : PGCD(24 ; 35) = 1. La fraction 24 est donc irréductible = = = = = = = = 6 7 Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42. D où : PGCD(30 ; 4 = = = La fraction 5 est irréductible EXERCICE 20 Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont impairs n est pas nécessairement irréductible. On détermine la liste des diviseurs de 30, la liste des diviseurs de et 21 sont impairs et : EXERCICE = = Cet exercice met en évidence que deux nombres impairs ne sont pas, en général, premiers entre eux. 15 et 2, par exemple, sont impairs et ne sont pas premiers entre eux. A l aide de la touche simplification de fractions de la calculatrice, j obtiens : = Je sais que la fraction donnée par la calculatrice est irréductible. La calculatrice a donc simplifié la fraction par le PGCD de 524 et : 262 = 2 D où : PGCD(524 ; 234) = 2 Cette méthode permet de calculer quasiment directement le PGCD de deux nombres. On verra par la suite que pour de très grands nombres, cette méthode ne «marche» pas toujours. 52 Cned, Mathématiques 3 e

53 53 Séquence 2 EXERCICE 22 J essaie de déterminer le PGCD de et de mais je n y arrive pas. Séance 6 En effet, il paraît impossible d établir les listes de diviseurs de et de J ai essayé d utiliser les critères de divisibilité, mais je ne trouve rien non plus! J ai essayé d utiliser la touche simplification de fraction de la calculatrice mais cela ne marche pas! Il s affiche : La calculatrice ne répond pas à la question posée! J essaie de démontrer que les diviseurs communs à et à sont les mêmes que les diviseurs communs à et à mais je n y arrive pas. En effet, les nombres sont trop «grands et compliqués» pour que la calculatrice simplifie la fraction. Il semble donc bien que nous soyons bloqués! L idée est bonne = a est un diviseur commun à et Or, tout diviseur commun à deux entiers divise leur différence. Je conclus donc que a divise Ainsi, a est un diviseur commun à et c) On déduit de l égalité : = que : = b est un diviseur commun à et Or, tout diviseur commun à deux entiers divise leur somme. Je conclus donc que b divise Ainsi, b est un diviseur commun à et d) On déduit du et du c) précédents que les diviseurs communs à et sont exactement les mêmes que ceux de et Le plus grand diviseur commun à et est donc égal au plus grand diviseur commun à et 4 837, c est-à-dire : PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (1 835 ; 4 837). 4) étape 3 : = donc PGCD (1 835 ; 3 00 = PGCD (1 835 ; 1 167) étape 4 : = 668 donc PGCD (1 835 ; 1 167) = PGCD (1 167 ; 668) On peut lire le tableau de la façon suivante : PGCD(6672 ; 1835) = PGCD(1835 ; 4837) = PGCD(1835 ; 300 =PGCD(1835 ; 1167) = PGCD(1167 ; 668) On retrouve les résultats des étapes 3 et 4. Cned, Mathématiques 3 e 53

54 54 Séquence 2 c) Calcul du PGCD de 8 et de 1 1 a un seul diviseur : 1. Il divise 8. 1 est donc le seul diviseur commun à 1 et 8. On a donc : PGCD (8 ; = 1. d) On déduit du tableau affiché sur l écran de l ordinateur que : PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (8 ; D après le c), on a donc : PGCD (6 672 ; 1 835) = 1 La fraction est donc irréductible Les commentaires du professeur : Le procédé de calcul que nous avons utilisé pour déterminer le PGCD de et est appelé algorithme des différences successives (lorsqu on répète les mêmes actions à chaque étape pour résoudre un problème, on dit qu on met en place un algorithme). 54 Cned, Mathématiques 3 e

55 55 Séquence 2 EXERCICE 23 Je calcule le PGCD de 193 et de 87 à l aide de l algorithme par soustractions successives : = 106 donc PGCD (193 ; 87) = PGCD (87 ; 106) = 19 donc PGCD (87 ; 106) = PGCD (87 ; 19) = 68 donc PGCD (87 ; 19) = PGCD (19 ; 68) = 49 donc PGCD (19 ; 68) = PGCD (19 ; 49) = 30 donc PGCD (19 ; 49) = PGCD (19 ; 30) = 11 donc PGCD (19 ; 30) = PGCD (19 ; = 8 donc PGCD (19 ; 1 = PGCD (11 ; 8) 11 8 = 3 donc PGCD (11 ; 8) = PGCD (8 ; 8 3 = 5 donc PGCD (8 ; = PGCD (3 ; 5) 5 3 = 2 donc PGCD (3 ; 5) = PGCD (3 ; 3 2 = 1 donc PGCD (3 ; = PGCD (2 ; 2 1 = 1 donc PGCD (2 ; = PGCD (1 ; = 1 PGCD(193 ; 87) = 1 donc 193 et 87 sont premiers entre eux. La fraction 193 est donc irréductible. 87 Je calcule le PGCD de 124 et de 217 à l aide de l algorithme par soustractions successives : = 93 donc PGCD (124 ; 217) = PGCD (124 ; = 31 donc PGCD (124 ; 9 = PGCD (93 ; = 62 donc PGCD (93 ; 3 = PGCD (31 ; = 31 donc PGCD (31 ; 6 = PGCD (31 ; 3 = 31 En effet, le PGCD de 31 et de lui-même est le plus grand diviseur de 31, soit 31. Ainsi : PGCD(124 ; 217) = = = 31 7 = = La division de 4 par 7 «ne s arrête jamais». 4 7 nombre décimal. n est donc pas un Ainsi, n est pas un nombre décimal. Les commentaires du professeur : Comme on a simplifié la fraction 124 à l aide du PGCD de 124 et de 217, on sait que la fraction 217 obtenue est irréductible. Cned, Mathématiques 3 e 55

56 56 Séquence 2 EXERCICE 24 Je veux afficher dans la cellule A3 le plus petit des deux nombres des cases A2 et B2. J entre donc : «=MIN(A2 ; B». Je veux afficher dans la cellule B3 le plus grand des deux nombres des cases A2 et B2 moins le plus petit. J entre donc : «= MAX(A2 ; B MIN(A2 ; B». c) Voir la copie d écran ci-contre. d) PGCD (37 ; 37) = 37 D où : PGCD (592 ; 259) = = = = = Les commentaires du professeur : Comme on a simplifié la fraction 596 à l aide du PGCD de 596 et de 259, on sait que la fraction 259 obtenue est irréductible. 56 Cned, Mathématiques 3 e

57 57 Séquence 2 EXERCICE 25 Séance 7 Je trouve qu il est répétitif d enlever 76 à chaque fois, de l étape 2 à l étape 11. Il faudrait essayer d enlever directement le plus grand nombre de fois qu il y a 76 dans 779. Je ne sais pas quelle opération permet d obtenir ce résultat! Il y a pourtant une opération qui permet de faire cela, et tu la connais depuis la 6ème : c est la division euclidienne! On a pu enlever 10 fois de suite le nombre 76. Effectuer la division euclidienne de 779 par 76, c est trouver : - le plus grand nombre de fois où 76 est présent dans 779, - le reste. 779 = Le plus grand nombre de fois que l on peut enlever 76 à 779 est 10. Le reste est alors 19. PGCD (779 ; 76) = PGCD(76 ; ) = PGCD(76 ; ) = = PGCD(76 ; ) D où : PGCD (779 ; 76) = PGCD(76 ; ) = PGCD (76 ; 19) J effectue la division euclidienne de 57 par 19 : 57 = PGCD (57 ; 19) = 19 D où : PGCD (855 ; 779) = = = = = Comme on a simplifié la fraction 855 à l aide du PGCD de et de 779, on sait que la fraction obtenue est irréductible. Cned, Mathématiques 3 e 57

58 58 Séquence 2 EXERCICE = donc PGCD(6 672 ; 1 835) = PGCD(1 835 ; 1 167) = donc PGCD(1 835 ; 1 167) = PGCD(1 167 ; 668) = donc PGCD(1 167 ; 668) = PGCD(668 ; 499) 668 = donc PGCD(668 ; 499) = PGCD(499 ; 169) 499 = donc PGCD(499 ; 169) = PGCD(169 ; = donc PGCD(169 ; 16 = PGCD(161 ; 8) 161 = donc PGCD(161 ; 8) = PGCD(8 ; 8 = donc PGCD(8 ; = PGCD(1 ; 0) = 1 Ainsi : PGCD(6 672 ; 1 835) = 1 La fraction est donc irréductible. Les commentaires du professeur : On s arrête dès que l on trouve un reste nul. Le PGCD est alors facile à calculer car : PGCD(1 ; 0) = 1. EXERCICE Avant de calculer la somme des deux fractions, j écris sous forme irréductible Pour cela, je calcule le PGCD de et de à l aide de l algorithme d Euclide = donc PGCD( ; 6 160) = PGCD(6 160 ; 2 497) = donc PGCD(6 160 ; 2 497) = PGCD(2 497 ; 1 166) = donc PGCD(2 497 ; 1 166) = PGCD(1 166 ; 165) = donc PGCD(1 166 ; 165) = PGCD(165 ; = donc PGCD(165 ; 1 = PGCD(11 ; 0) = = = d où : = + = + = = = La fraction obtenue est-elle irréductible? Je calcule le PGCD de et de 560 à l aide de l algorithme d Euclide = donc PGCD( ; 560) = PGCD(560 ; 257) 560 = donc PGCD(560 ; 257) = PGCD(257 ; 46) 257 = donc PGCD(257 ; 46) = PGCD(46 ; 27) 46 = donc PGCD(46 ; 27) = PGCD(27 ; 19) 27 = donc PGCD(27 ; 19) = PGCD(19 ; 8) 19 = donc PGCD(19 ; 8) = PGCD(8 ; 8 = donc PGCD(8 ; = PGCD(3 ; 3 = donc PGCD(3 ; = PGCD(2 ; 2 = donc PGCD(2 ; = PGCD(1 ; 0) = 1 La fraction est irréductible. 58 Cned, Mathématiques 3 e

59 59 Séquence 2 EXERCICE 28 Je veux afficher dans la cellule A3 le plus petit des deux nombres des cases A2 et B2. J entre donc : «=MIN(A2 ; B». Je veux afficher dans la cellule B3 le reste de la division euclidienne du plus grand des deux nombres des cases A2 et B2 par le plus petit. J entre donc : «= MOD(MAX (A2 ; B;MIN(A2 ; B)». c) PGCD( ; 6 160) = PGCD(11 ; 0) = 11 D où : PGCD( ; 6 160) = 11. Cned, Mathématiques 3 e 59

60 60 Séquence 2 EXERCICE 29 Je choisis 1 et 2 comme entiers consécutifs. 1 a pour seul diviseur lui-même, 2 a pour diviseurs 1 et 2. 1 est donc le seul diviseur commun à 1 et 2, d où 1 et 2 sont premiers entre eux. Séance 8 On choisit au hasard trois exemples de deux entiers consécutifs. 2 est un nombre premier. Il a donc pour seuls diviseurs 1 et lui-même. Je choisis 20 et 21 comme entiers consécutifs. Les diviseurs de 20 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20. Ceux de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; est donc le seul diviseur commun à 20 et et 21 sont donc premiers entre eux. Je choisis 48 et 49 comme entiers consécutifs. Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. Ceux de 49 sont : 1 ; 7 ; est donc le seul diviseur commun à 48 et et 49 sont donc premiers entre eux. 20 = = = = = = = = = = = = 7 7 On est amené à se poser la question : Deux entiers consécutifs sont-ils toujours premiers entre eux? Je n arrive pas à la démontrer! Dans ce cas, il ne faut pas se contenter de dire qu on n arrive pas, il faut écrire ses pistes de recherche J utilise l idée d Andry Soit d un diviseur commun à deux entiers consécutifs m et m + 1 En utilisant la propriété d Andry, on déduit que d divise la différence (m + m soit 1. Si m est un entier, l entier qui vient juste après est m + 1. d divise donc 1. Or le seul diviseur de 1 est 1. On conclut donc que : d = 1. Si un nombre est un diviseur de 1, alors ce diviseur est nécessairement 1. On a démontré que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux. 60 Cned, Mathématiques 3 e

61 61 Séquence 2 J utilise l idée d Aurélie Soient m et m + 1 sont deux entiers consécutifs. J utilise la propriété citée par Aurélie : PGCD(m ; m + = PGCD(m ; m + 1 m) PGCD(m ; m + = PGCD(m ; On utilise ici la propriété citée par Aurélie à deux nombres : m et m n a qu un seul diviseur : lui-même. D où : PGCD(m ; = 1. Comme : PGCD(m ; m + = 1 les nombres m et m + 1 sont premiers entre eux = Les entiers et sont consécutifs. D après la question précédente, ils sont donc premiers entre eux La fraction soit 10 est irréductible EXERCICE 30 J ai calculé n² n + 11 pour différentes valeurs de n. Pour n = 0 : n² n + 11 = 11 Pour n = 1 : n² n + 11 = 11 Pour n = 2 : n² n + 11 = 13 Pour n = 3 : n² n + 11 = 17 Pour n = 4 : n² n + 11 = 23 Pour n = 5 : n² n + 11 = 31 Pour n = 6 : n² n + 11 = 41 Pour n = 7 : n² n + 11 = 53 Les nombres trouvés sont tous premiers. Je peux donc écrire la conjecture : «n² n + 11 est premier pour n importe quelle valeur de n». Je n arrive pas à la démontrer. On aurait pu également démontrer ce résultat en utilisant l égalité : PGCD (m ; n) = PGCD (n ; r) avec m n ; r : reste de la division euclidienne de m par n. Il est bon d avoir écrit des choses, même si la conclusion n est pas la bonne! Les calculs pour différentes valeurs de n du nombre n 2 n + 11 sont justes. Il semble normal de se dire que vraisemblablement, n 2 n + 11 est premier pour n importe quelle valeur de n. Cette conjecture est impossible à démontrer puisqu elle n est pas vraie! En effet, pour n = 11, n 2 n + 11 est un multiple de 11. Conclusion : avant d écrire une conjecture, il faut essayer de faire un grand nombre de tests. Pour cela, le tableur est un très bon outil. Cned, Mathématiques 3 e 61

62 62 Séquence 2 Si on entre 0 dans la cellule A2 et que l on veut calculer n 2 n + 11 pour n = 0 dans la cellule B2, on entre dans la cellule B2 la formule : «= A2^2 A2 + 11». Pour voir si un entier inférieur à 50 est premier, on peut utiliser la table des nombres premiers établie dans l exercice 9. Pour voir si un entier supérieur à 50 est premier, on peut chercher ses diviseurs à la main ou à l aide d un tableur. Pour n = 11, on a : n² n + 11 = 11² = 121 Dans ce cas, n² n + 11 a un autre diviseur que 1 et lui-même : 11. Il n est donc pas premier. Le nombre n² n + 11 n est pas premier pour n importe quelle valeur de n. 62 Cned, Mathématiques 3 e

63 63 Séquence 2 EXERCICE 31 La phrase est fausse. 4 a exactement 3 diviseurs : 1 ; 2 ; 4. 5 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Ainsi : 4 < 5 mais 4 a plus de diviseurs que 5. Séance 9 Pour justifier que cette phrase n est pas juste, il suffit de trouver deux entiers différents tels que le plus grand ait moins de diviseurs que le plus petit. On pouvait trouver d autres entiers, comme par exemple 8 qui a 4 diviseurs (1 ; 2 ; 4 et 8) et un nombre premier plus grand, par exemple 13, qui n a que deux diviseurs (1 et lui-même). EXERCICE 32 Appelons d la distance en m séparant deux arbres. d est un nombre entier d après l énoncé. Il y a un arbre à chaque coin du terrain donc d est un diviseur des nombres 112 et 98. Cet exercice n est pas facile! Afin de planter le minimum d arbres, d doit être la plus grande possible. d doit donc être le plus grand diviseur commun de 112 et 98 Déterminons-le par la méthode de l algorithme d Euclide : 112 = PGCD(112 ; 98) = PGCD(98 ; 14) 98 = PGCD(98 ; 14) = PGCD(14 ; 0) = 14 PGCD (112 ; 98) = 14 La distance d qui doit séparer deux arbres est 14 m. Comme : 112 = 14 8 et : 98 = 14 7, il y aura : 8 intervalles séparant deux arbres consécutifs sur la longueur, 7 intervalles séparant deux arbres consécutifs sur la largeur. Arrivé(e) à ce niveau, on peut calculer le nombre d intervalles séparant deux arbres consécutifs. On en déduira facilement le nombre d arbres à acheter : lorsqu on place des arbres sur une ligne fermée, le nombre d intervalles séparant deux arbres consécutifs est égal au nombre d arbres. Autour du terrain, il y aura donc 2(8 + 7) soit 30 intervalles séparant deux arbres consécutifs. Le père de Nadia devra donc acheter 30 arbres. Tu peux l observer sur les exemples ci-dessus : 4 arbres, 4 intervalles. 6 arbres, 6 intervalles. 8 arbres, 8 intervalles Cned, Mathématiques 3 e 63

64 64 Séquence 2 JE M ÉVALUE vrai faux 56 = = = = a donc 8 diviseurs : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; = = = a donc 5 diviseurs : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81. vrai faux La somme des chiffres de 441 est soit 9. Comme elle est divisible par 9, l entier 441 est divisible par 9. Il est donc divisible par un autre entier que 1 et lui-même. 441 n est donc pas un nombre premier On peut déterminer le PGCD de 288 et 64 de 3 façons : en cherchant les diviseurs communs à 288 et 64, en utilisant l algorithme des soustractions successives, en utilisant l algorithme d Euclide. La méthode la plus rapide ici est celle utilisant l algorithme d Euclide. Utilisons-la. 288 = PGCD(288 ; 64) = PGCD(64 ; 3 64 = PGCD(64 ; 3 = PGCD(32; 0) = 32 Le PGCD de 288 et 64 est 32. 4) vrai faux 5) vrai faux 6) vrai faux 4) n = m divise m, 18 divise 36, 18 divise donc la différence m 36 c est-à-dire 18 divise n. 5) 77 = 7 11 donc 11 est un diviseur de = donc 11 est aussi un diviseur de et 121 n ont pas pour seul diviseur commun 1 : ils ne sont donc pas premiers entre eux. 6) Répondre à la question, c est voir si le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à 1. Utilisons l algorithme d Euclide. 575 = PGCD(575 ; 48 = PGCD(483 ; = PGCD(483 ; 9 = PGCD (92 ; 2 92 = PGCD(92 ; 2 = PGCD (23 ; 0) = 23 Le PGCD de 575 et de 483 est 23. Les nombres 575 et 483 ne sont donc pas premiers entre eux. 64 Cned, Mathématiques 3 e

65 65 Séquence 2 7) vrai faux 7) = = = = = ) vrai faux 8) ( 10 ) = = ( 10 ) = = 10 = = La division de 5 par 3 ne «tombe pas juste», donc 5 3 n est pas un 9) vrai faux nombre décimal. 9) 164 1,64 = = = ,64 et 10 4 peuvent donc s écrire sous la forme d une fraction. 1,64 et 10 4 sont donc des rationnels. 10) 10) vrai faux côté hauteur relative Aire d un triangle = 2 L aire en cm 2 du triangle ABC est égale à : Cette aire en cm 2 est donc un entier naturel. 4,8 2,5 2 soit à 6 cm 2. Cned, Mathématiques 3 e 65

66 66 Séquence 3 SÉQUENCE 3 LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e Séance 1 C [AN) N [AC) (MN) // (BC) M [AB) Les longueurs des côtés correspondants des triangles AMN et ABC sont proportionnelles. Les trois données qui permettent d appliquer la propriété de Thalès sont : N [AC) M [AB) (MN) // (BC) La propriété de Thalès permet d affirmer, lorsque les données sont réunies, que les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. Le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN. Comme M est un point de [AB] et N un point de [AC], le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN. Le tableau : AM AN MN AB AC BC Le tableau dans lequel sont placées les longueurs des côtés correspondants est donc un tableau de proportionnalité. est un tableau de proportionnalité. AM AB MB = = AN AC NC AM AN MN = = AB AC BC MN NC MN = = AB AC BC Le tableau précédent est un tableau de proportionnalité donc les trois quotients (nombre du dessus divisé par nombre du dessous) sont égaux. AB NC BC = = AN AM MN 4) AM = 5 cm et AC = 7,5 cm. AM = 7,2 cm et AC = 7,5 cm. AM = 7,2 cm et AC = 10 3 cm. On ne peut pas répondre. 4) AM 5 6 On a : = = 7,5 AC 9 AM 6 = 7, = AC 9 D où : AC= 45 6 donc = 6 AM 7,5 9 soit AM = 5 cm. d où : 6 AC = 5 9 (les produits en croix sont égaux) soit AC = 7,5 cm. 66 Cned, Mathématiques 3 e

67 67 Séquence 3 EXERCICE 1 Je peux essayer pour des figures avec différentes positions du point M, de noter à chaque fois AM et BN, puis de voir si les longueurs AM et BN sont proportionnelles. Je peux aussi essayer d utiliser un logiciel de géométrie dynamique, de faire mesurer AM et BN, de faire calculer AM, puis de voir, en déplaçant le point BN M sur le cercle C 1, si le rapport AM BN reste le même. J ai utilisé la géométrie dynamique et il semble que le rapport AM soit toujours le même. BN Ma conjecture est donc la suivante : «AM et BN sont proportionnelles». J essaie de la démontrer mais je n y parviens pas! Il est bon, dans ce type de question «ouverte» (sans aide) d écrire ses recherches puis tentatives de résolution. cette première idée est une bonne idée. cette deuxième idée est également bonne. Elle est même meilleure que la précédente car elle permet de tester très rapidement un nombre de cas très très grand. Une conjecture a été énoncée. C est bien. Ce qui est alors important, c est de savoir la démontrer! Nous allons voir dans cet exercice que cette conjecture est vraie, et nous allons la démontrer. Attention! Il faut bien comprendre que «deux nombres proportionnels» n a de sens que si ces nombres sont «variables», ce qui est le cas ici. Quand on dit les nombres AM et BN, on veut dire par là les grandeurs AM et BN, car pour chaque position du point M, les nombres AM et BN changent. Cned, Mathématiques 3 e 67

68 68 Séquence 3 AM Pour compléter le tableau, il suffit de mesurer les longueurs sur ta figure. BN 0,65 1,35 2 2,65 1 1,5 0,65 2 1,5 1,35 3 1,5 2 = 4 1,5 2,65 Ce tableau semble être un tableau de proportionnalité. En calculant les quotients AM, on constate que l on obtient BN toujours (environ) la même valeur approchée. Il semble donc que le tableau représente une situation de proportionnalité. c) Les points obtenus semblent alignés avec l origine du repère, ce qui est cohérent avec le fait que le tableau semble représenter une situation de proportionnalité Les points semblent alignés avec l origine du repère donc les longueurs AM et BN semblent proportionnelles. Je déplace le point M, et je constate à l aide du logiciel de géométrie dynamique que le rapport AM BN ne change pas. 4) Voici ma conjecture : «les droites (AM) et (BN) sont parallèles». preuve : Le point M est sur le cercle de diamètre [AC] donc le triangle AMC est rectangle en M. On a donc : (AM) (MC). Avec le logiciel, on peut calculer le quotient et vérifier que celuici reste constant, quelle que soit la position du point M. 4) Un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre du cercle est un triangle rectangle. Le point N est sur le cercle de diamètre [BC] donc le triangle BCN est rectangle en N. On a donc : (BN) (NC). Les points M, C et N sont alignés. Les droites (AM) et (BN) sont donc perpendiculaires à la même droite (MN), d où : (AM)//(BN). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. 68 Cned, Mathématiques 3 e

69 69 Séquence 3 La situation semble être une situation de Thalès, mais n en est pas une. En effet, on a bien : A, C, B alignés M, C, N alignés (AM) // (BN) Cependant, les points N et M sont de part et d autre de C, ainsi que les points A et B. c) La situation n est pas une situation de Thalès comme celle qu on a vue en 4 ème. En 4 ème, on aurait eu : N [CM) B [CA) (AM)//(BN). La droite (A M ) est le symétrique de la droite (AM) par rapport à C, donc : (AM) // (A M ). M est le symétrique de M par rapport à C et N, C et M sont alignés dans cet ordre, donc : N [CM ). Une droite et son symétrique par rapport à un point sont deux droites parallèles. Si deux points sont symétriques par rapport à un autre, alors ces trois points sont alignés. A est le symétrique de A par rapport à C et A, C et B sont alignés dans cet ordre, donc : B [CA ). Essayons d appliquer la propriété de Thalès : Dans le triangle CA M : N [CM ) B [CA ) (A M )//(BN). D après la propriété de Thalès, les longueurs A M et BN sont proportionnelles. On peut alors appliquer la propriété de Thalès! Or [A M ] est le symétrique de [AM] par rapport à C, donc : AM = A M. Les longueurs AM et BN sont donc proportionnelles. Cned, Mathématiques 3 e 69

70 70 Séquence 3 EXERCICE 2 Dans les triangles ABC et AMN : M (AB) N (AC) (MN)//(BC) D après la propriété de Thalès, on a : AM AN MN = = AB AC BC 4,5 AN MN = = ,5 MN= MN = 6 cm ,5 AN= AN = 5,25 cm. 6 Séance 2 On peut aussi écrire les données en utilisant les demi-droites : M [AB) N [AC) (MN)//(BC) Il est pourtant préférable d utiliser la notation à l aide de droites, car elle «fonctionne» dans un plus grand nombre de cas : la situation 1 (de 4 ème ) et la situation dite «en papillon». Autre méthode : On pouvait aussi écrire, une fois que l on a énoncé les données, que les longueurs des côtés correspondants des triangles AMN et ABC sont proportionnelles. Ici, AM 4,5 soit est un coefficient de proportionnalité. AB 6 C est le coefficient de «réduction» : c est le nombre qui : multiplié par AB donne AM multiplié par AC donne AN multiplié par BC donne MN. MN = BC 4,5 6 AN = AC 4,5 6 = 8 4,5 6 = 6 = 7 4,5 6 = 5,25 EXERCICE 3 Dans les triangles ILM et IKJ : K (IL) J (IM) (ML)//(JK) D après la propriété de Thalès, on a : IK IJ KJ = = IL IM LM 5 IJ 7 = = 4 5 LM 7 4 LM= LM = 5,6 cm IJ= IJ = 6,25 cm. 4 Cette fois, il faut bien utiliser la notation avec les droites. Autre méthode : On pouvait aussi écrire, une fois que l on a énoncé les données, que les longueurs des côtés correspondants des triangles IJK et IML sont proportionnelles. Ici, IK IL soit 5 soit 1,25 est un coefficient de proportionnalité. 4 C est le coefficient «d agrandissement» : c est le nombre qui : multiplié par IL donne IK multiplié par IM donne IJ multiplié par LM donne JK. IJ = IM 1,25 = 5 1,25 = 6,25 LM 1,25 = JK soit : LM 1,25 = 7 7 D où : LM = 1,25 = 5,6. 70 Cned, Mathématiques 3 e

71 71 Séquence 3 EXERCICE 4 TO = 7 cm (IC) // (OS) Dans les triangles TIC et TOS : O (TI) S (TC) (IC)//(OS) D après la propriété de Thalès, on a : TI TC IC = = TO TS OS On pouvait aussi utiliser la proportionnalité et calculer un coefficient de proportionnalité = = 7 TS OS 4 7 TS= soit TS= cm. 6 7 OS= soit OS = 14 cm. 3 Pense à vérifier que tes résultats ont des chances d être justes. Cned, Mathématiques 3 e 71

72 72 Séquence 3 EXERCICE 5 Je n arrive pas à construire la figure de telle sorte que les droites (AC) et (DB) soient parallèles. Ce n est pas grave : il suffit en fait de raisonner sur une figure à main levée. O [AB] donc : OB = AB AO = 9 2 soit OB = 7 cm. (AC) // (BD) Dans les triangles OAC et OBD : D (OC) B (OA) (AC)//(BD) D après la propriété de Thalès, on a : 6 2 OC= soit OC= 12 cm = donc : DB= soit DB = 14 cm. 7 DB 2 O [CD] donc : CD = CO + OD CD = 12 7 OC OA CA = = OD OB DB OC 2 4 = = 6 7 DB = + soit CD = cm. 72 Cned, Mathématiques 3 e

73 73 Séquence 3 EXERCICE 6 Séance 3 J ai construit une figure dynamique. J ai réussi à tout construire, à mesurer AM, puis MD, mais je n arrive pas à faire calculer AM + MD! J ai fait des sommes AM + MD à l aide de la calculatrice. J ai l impression que le minimum du nombre AM + MD est atteint quand BM = 4 cm. Le problème semble difficile! Faire des essais à l aide de figures sur une feuille de papier, ou à l aide d un logiciel de géométrie est la meilleure chose à faire dans un premier temps. La méthode pour faire calculer cette somme est décrite dans la partie cours, dans la suite de l exercice. C est la méthode d Aurélie. Nous allons voir si c est vrai dans la suite de l exercice. Je n arrive pas à le démontrer : cela me paraît impossible. BM AM 4,12 4,47 5 5,66 6,4 MD 5,39 4,47 3,61 2,83 2,24 AM + MD 9,51 8,94 8,61 8,49 8,64 Les commentaires du professeur : On pouvait bien sûr choisir d autres valeurs que celles ci-dessus. Voici ma conjecture : «le minimum du nombre AM + MD est atteint quand BM = 4 cm» Cned, Mathématiques 3 e 73

74 74 Séquence 3 4) Par la symétrie d axe (BC) : le symétrique de M est M le symétrique de D est D Une symétrie axiale conserve les longueurs, d où : MD = MD Le symétrique de [MD] par la symétrie d axe (BC) est [MD ]. On a donc : MD = MD On a donc : AM + MD = AM + MD c) Pour que AM + MD soit minimale, on doit placer M sur le segment [AD ]. On a alors AM + MD = AD. Si on ne place pas M sur [AD ], on a, d après l inégalité triangulaire : AM + MD > AD. Conclusion : AM + MD est minimale quand M est sur le segment [AD ]. c) Il semble que, lorsque M est sur le segment [AD ], on ait : BM = 4 cm. C est ce que l on va essayer de démontrer dans la question suivante. x semble être égal à Cned, Mathématiques 3 e

75 75 Séquence 3 M [BC], BC = 6 et BM = x donc : MC = 6 x. Je cherche à appliquer la propriété de Thalès dans les triangles MAB et MD C. On reconnait en effet une situation de Thalès «en papillon». D (MA) C (MB) (AB)//(CD ) D après la propriété de Thalès, on a : MB MA AB = = MC MD' CD' x MA 4 = = 6 x MD' 2 x 4 = 6 x 2 x = 2 6 x x= 2(6 x) x = 12 2x 3x= 12 x= 4 cm C est pour x = 4 cm que AM + MD est minimale. c) Effectivement, ce que l on observe à l aide de la figure dynamique est cohérent avec la réponse précédente. AM + MD est minimale pour M sur [BC] tel que : BM = 4 cm. c) Cned, Mathématiques 3 e 75

76 76 Séquence 3 EXERCICE 7 Je ne vois pas ce que l on veut dire par : «h dépend de la longueur AB». Lorsque je déplace le point B puis le point D, la longueur h varie. La longueur h dépend donc des longueurs a et b. Lorsque je déplace le point C, la longueur h semble ne pas varier. La longueur h semble ne pas dépendre de AC. Séance 4 Il est vrai que cette notion n est pas si évidente. «h dépend de la longueur AB» veut dire : si AB change, est-ce qu alors h change? Pour le savoir, on peut construire une figure sur du papier puis placer différents points B. Pour chaque point B, la longueur AB n est pas la même : on regarde alors si la longueur h pour chacun des cas est la même. Ce n est pas le cas. La géométrie dynamique est un outil très efficace pour voir si une longueur dépend d une autre. (OI), (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite (AC). Les droites (OI), (AB) et (CD) sont donc parallèles. Dans les triangles CAB et CIO : I (CA) O (CB) (OI) // (AB) On applique la propriété de Thalès une 1 ère fois. D après la propriété de Thalès, on a : CI CO IO = = CA CB AB CI CA = h a Dans les triangles ACD et AIO : I (AC) O (AD) (OI) // (CD) On applique la propriété de Thalès une 2 ème fois. D après la propriété de Thalès, on a : AI AO IO = = AC AD CD AI AC = h b D où : h h CI AI CI+ AI AC + = + = = a b CA CA CA CA h h soit : + = 1. a b h h On a donc : + = 1 d où : a b Comme : , on a : h= a b h ne dépend donc que de a et de b. 1 1 h + = 1 a b a b 76 Cned, Mathématiques 3 e

77 77 Séquence 3 J ai appliqué la méthode de Clément. Je vois qu effectivement, lorsque je déplace le point C, la h h somme + est toujours égale à 1. a b 4) D où : h = 1,2 m. h h + = h 2h + = h = h= 5 4) h h On utilise l égalité : + = 1. a b On remplace a par 2 et b par 3. On résout alors l équation dont l inconnue est h. h h On utilise l égalité : + = 1. a b On remplace a par 7 et h par 5. On cherche b = 1 7 b 5 5 = 1 b = b b= 2 D où : b = 17,5 m. EXERCICE 8 CA = 2 CB = 4 CE 3 CD 5 Je compare les produits en croix : 2 5 = = 12 Les produits en croix sont différents, d où ; CA CB CE CD On pouvait également par exemple écrire les fractions à l aide du même numérateur et comparer leurs dénominateurs : 2 4 = et 4 sont deux fractions différentes car elles ont le même 5 numérateur, mais un dénominateur différent. Cned, Mathématiques 3 e 77

78 78 Séquence 3 Si on avait : (AB) // (CD), on aurait : Dans les triangles CAB et CED : C (AE) C (BD) (AB) // (CD) D après la propriété de Thalès, on aurait alors : CA CB = CE CD Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, on pourrait alors appliquer la propriété de Thalès et en déduire que les rapports CA CB et sont égaux, ce qui est impossible puisqu on a CE CD démontré dans la question précédente qu ils sont différents. Conclusion : les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Mais c est impossible car on a démontré dans la CA CB question précédente que :. CE CD Un au moins des trois points ci-dessous est donc faux : C (AE) C (BD) (AB) // (CD) Comme on sait que : C (AE) et que : C (BD), on déduit donc que (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. On voit dans cet exercice que la propriété de Thalès peut permettre de démontrer que des droites ne sont pas parallèles. Nous reverrons cette méthode de façon détaillée dans la séance Cned, Mathématiques 3 e

79 79 Séquence 3 EXERCICE 9 Séance 5 J ai construit une figure. Les droites (AC) et (BD) semblent parallèles. J ai placé des points A, B, C et D répondant à l énoncé à un autre endroit et j ai encore remarqué que les droites (AC) et (BD) semblaient parallèles. Ma conjecture est la suivante : «les droites (AC) et (BD) sont parallèles». J essaie d appliquer la propriété de Thalès pour démontrer cette conjecture, mais je n y arrive pas. Ma conjecture est la suivante : «les droites (AC) et (BD) sont parallèles». Effectivement, les droites (AC) et (BD) semblent être parallèles. La propriété de Thalès ne permet pas de démontrer que des droites sont parallèles! Elle permet : soit de calculer une longueur, soit de démontrer que des droites ne sont pas parallèles. [AB] est un diamètre du cerclec donc O est le milieu de [AB]. [CD] est un diamètre du cerclec donc O est le milieu de [CD]. Les segments [AB] et [CD] ont le même milieu donc le quadrilatère CADB est un parallélogramme. Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles d où : (CA) // (BD). On se souvient d une propriété vue en 5 e : «Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.» On applique une propriété du parallélogramme : «les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles». EXERCICE 10 Les droites (AC) et (BD) semblent toujours parallèles. Il semble que si : A [OB] C [OD] OA OC = OB OD alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles Les droites (AC) et (BD) semblent parallèles. Lorsque A se trouve sur la demi-droite [OB), les quotients sont toujours égaux mais les droites (AC) et (BD) ne sont plus parallèles. Il semble que si : O [CD] O [AB] OA OC = OB OD alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Par contre, si A est sur la demi-droite [OB), cela ne marche pas! Cned, Mathématiques 3 e 79

80 80 Séquence 3 EXERCICE 11 OA = 4 OC = 6 OB 7 OD 10,5 Je compare les produits en croix : 4 10,5 = = 42 OA OC D où : = OB OD. Pour comparer les deux écritures fractionnaires, on pouvait également écrire par exemple : D où : OC OA = OD OB 6 = 2 6 = 12 = 3 4 = 4 10, , On a dans les triangles OCA et ODB : C [OD] A [OB] OA = OC OB OD La configuration est celle de la situation 1 du «je retiens» précédent. D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (AC) et (DB) sont parallèles. EXERCICE 12 MP = 3 MN = 2 = 1 MR 8 MO 6 3 Je compare les produits en croix : 1 8 = = 9 Les produits en croix sont différents donc : MP MN MR MO On a dans les triangles MPN et MRO : P [MR] N [MO] MP MN MR MO D après la propriété de Thalès, les droites (PN) et (RO) ne sont pas parallèles. On pouvait également chercher à écrire les fractions à l aide d un même numérateur : 1 = 3 1 = et 3 ont le même numérateur et un dénominateur différent : 8 les fractions sont donc différentes. Attention! Comme les rapports sont différents, on n utilise pas la réciproque de la propriété de Thalès (qui permet de démontrer que des droites sont parallèles), mais la propriété de Thalès, comme on l a déjà vu dans l exercice Cned, Mathématiques 3 e

81 81 Séquence 3 EXERCICE 13 Dans les triangles ADE et ABC : A [CE] A [BD] AC = 6 AB = 4 AE 10,5 AD 7 Séance 6 On veut savoir si deux droites sont parallèles : on ne sait donc pas si l on va utiliser la propriété de Thalès ou sa réciproque. On commence par écrire les données permettant d appliquer la propriété directe ou la réciproque. On compare les rapports de longueurs. Je compare les produits en croix : 6 7 = 42 10,5 4 = 42 D où : AC AB =. AE AD D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dans les triangles NMB et NAC : M [AN] B [NC] NA 13 = NM 8 NC 11 = NB 7 Je compare les produits en croix : 13 7 = = 88 D où : NA NC. NM NB D après la propriété de Thalès, les droites (MB) et (AC) ne sont pas parallèles. Ici les rapports sont égaux. On conclut donc en utilisant la réciproque de la propriété de Thalès : les deux droites sont parallèles. On veut savoir si deux droites sont parallèles : on ne sait donc pas si l on va utiliser la propriété de Thalès ou sa réciproque. On commence par écrire les données permettant d appliquer la propriété directe ou la réciproque. On compare les rapports de longueurs. Ici les rapports sont différents. On applique donc la propriété de Thalès (comme dans l exercice 8). Les deux droites ne sont donc pas parallèles. Remarque : Ici, on a écrit comme données (entre autres) : M [AN] B [NC] Pourtant, on écrit dans la nouvelle propriété de Thalès : M (AN) B (NC) Pourquoi cette différence? Réponse : Il est vrai que la propriété de Thalès est vraie avec des droites mais elle l est aussi avec des segments (c est en fait un cas particulier). Comme ici, on ne sait pas, au début du raisonnement, si on va appliquer la propriété directe ou la réciproque, on écrit des segments, ce qui fonctionne dans les deux cas! Cned, Mathématiques 3 e 81

82 82 Séquence 3 EXERCICE 14 O [AI] donc : AI = AO + OI soit AI = 12 cm. P [AJ] donc : AJ = AP + PJ soit AJ = 7,2 cm. Dans les triangles APO et AJI : O [AI] P [AJ] AP = 3 AO = 5 AJ 7,2 AI 12 On commence par calculer les longueurs AI et AJ. On essaie alors d appliquer la réciproque de la propriété de Thalès, qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles. On pouvait également comparer les produits en croix. Je compare les produits en croix : 12 3 = ,2 = 36 D où : AP AO =. AJ AI D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (OP) et (IJ) sont parallèles. (AJ) est la tangente à C en J donc : (AJ) (JI). (AJ) (JI) et : (IJ) // (OP) donc : (AJ) (OP). P est un point de C donc la droite (AJ) est tangente à C en P. Prouver que (AJ) est tangente en P à C revient à prouver que : (AJ) (OP). D après le, on a : (AP) (PO). Dans le triangle AOP rectangle en P, d après la propriété de Pythagore : AO = AP + PO = 3 + PO 2 PO = PO = 16 PO= 4 On applique cette fois la propriété de Pythagore. Le rayon de C est 4 cm. EXERCICE 15 D [CO] donc : DO = CO CD soit : DO = 3 cm. 82 Cned, Mathématiques 3 e

83 83 Séquence 3 D [ER] donc : DR = ER ED soit : DR = 3,9 cm. On a : Dans les triangles DEC et DRO : D [CO] D [ER] On cherche à appliquer la propriété de Thalès ou sa réciproque. DC = 7 DO 3 DE 9, = = = DR 3, D où : DC DE =. DO DR D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (CE) et (RO) sont parallèles. On a : Dans les triangles DEC et DRO : O (CD) R (ED) (CE) // (RO) On applique cette fois la propriété de Thalès. D après la propriété de Thalès, on a : DC DE CE = = DO DR RO Soit x = CD D [CO] donc : DO = CO CD = 10 x D [ER] donc : DR = ER ED = 5 cm. x 8 = 10 x 5 5x= 8(10 x) 5x= 80 8x 13x= x= 13 La longueur CD est égale à cm. Cned, Mathématiques 3 e 83

84 84 Séquence 3 EXERCICE 16 Séance 7 J ai construit la figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. J ai placé : D (0 ; 0) C (8 ; 0) A(0 ; 4,5) B(8 ; 4,5) E (0 ; 6) N (6 ; 0). J ai fait mesurer tous les côtés du polygone AMCBN. Je trouve que le périmètre de ce polygone est environ égal à 26,4 cm. C était une bonne idée de penser à utiliser un logiciel de géométrie. La réponse trouvée est la bonne. Nous allons voir dans la suite de l exercice que l on pouvait déterminer ce périmètre à l aide de raisonnements géométriques. Calcul de EC ABCD est un rectangle donc : (AD) (DC). E (AD) donc : (ED) (DC). Le triangle ECD est donc rectangle en D. A [ED] donc : DE = DA + AE = 4,5 + 1,5 = 6. D après la propriété de Pythagore : EC = ED + DC D où : EC = 10 cm EC = EC = 100 Calcul de AM et EM Dans les triangles EDC et EAM : A (ED) M (EC) (AM) // (DC) (car ABCD est un rectangle) D après la propriété de Thalès : EA EM AM = = ED EC DC 1,5 EM AM = = D où : Et : 1,5 8 AM= soit : AM = 2 cm. 6 1,5 10 EM= soit : EM = 2,5 cm Cned, Mathématiques 3 e

85 85 Séquence 3 Calcul de MC M [EC] donc : MC = EC EM = 10 2,5 MC = 7,5 cm ABCD est un rectangle donc : AD = BC. D où : BC = 4,5 cm. c) Calcul de DN 3 N [DC] et : DN= DC 4 3 DN= 8= 3 2 D où : DN = 6 cm 4 Calcul de NC N [DC] donc : NC = DC DN = 8 6 NC = 2 cm Calcul de BN Dans le triangle BNC rectangle en C, d après la propriété de Pythagore, on a : BN = BC + CN BN = 4, BN = 24, 25 D où : BN 4,9 cm (arrondi au mm près) d) M [AB] et N [DC]. ABCD est un rectangle donc : (AB) // (DC). On a donc : (AM) // (NC). On a de plus : AM = NC = 2 cm. AMCN est un quadrilatère non croisé qui a deux côtés parallèles et de même longueur : c est donc un parallélogramme. Calcul de AN AMCN est un parallélogramme donc : AN = MC. D où : AN = 7,5 cm. P AMCBN = AM + MC + CB + BN + NA AM = 2 cm MC = 7,5 cm CB = 4,5 cm BN 4,9 cm NA = 7,5 cm D où : P AMCBN 26,4 cm (arrondi au mm près). Cned, Mathématiques 3 e 85

86 86 Séquence 3 EXERCICE 17 Si on suit les consignes de sécurité, on a l encadrement suivant : 30 HM 45. Dans les triangles MAB et MHP : A (MH) B (MP) (AB) // (HP) (car (AB) (HM) et (HP) (HM)) On applique la propriété de Thalès. D après la propriété de Thalès : MA MB AB = = MH MP HP D où : MH 3 x = MH 0,6 Avec MH = 30 : On calcule x pour la valeur minimale de MH, puis pour la valeur maximale de MH x = d où : 30 0,6 27 x = 0, 6 = 0,54 30 Avec MH = 45 : 45 3 x = d où : 45 0,6 42 x = 0, 6 = 0, = x 30 0,6 42 x = 45 0,6 D où : 0,54 x 0,56 La hauteur AB doit être comprise entre 54 cm et 56 cm. EXERCICE 18 On admet ici que x est compris entre les deux valeurs trouvées. On appelle : S le sommet commun des deux cônes A un point du cercle de base du grand cône C A le point du cercle de base du petit cône C tel que A soit un point du segment [SA ]. Pour calculer le volume du pot de glace, on calcule le volume du grand cône C moins le volume du petit cône C. Pour cela, il suffit de connaître les hauteurs SO et SO des cônes. 86 Cned, Mathématiques 3 e

87 87 Séquence 3 Calcul de SO et SO Comme les deux bases sont sur des plans parallèles et que S, A et A sont alignés, on a : (O A ) // (OA) Dans les triangles SOA et SO A : O (SO ) A (SA ) (O A ) // (OA) On applique la propriété de Thalès pour calculer SO. D après la propriété de Thalès : SO SA OA = = SO' SA' O'A ' D où : SO 3 = SO Soit x = SO. On a l égalité des produits en croix, soit : 12x= 3( x+ 6) 12x= 3x x 3x= 18 9x= 18 D où : x = 2 cm. On a donc : SO = 2 cm. SO = SO + 6 soit : SO = 8 cm. Calcul du volume des cônes V est le volume du cône C en cm 3. V est le volume du cône C en cm 3. V = V = 2 π π soit : V = 6 π cm 3 soit : V = 384 π cm 3 r h = π 2 V où r le rayon du disque de base, h la hauteur du 3 cône et V son volume. V V = 384 π 6 π = 378 π Le volume du pot de glace est 378 π cm 3. 1 cm 3 = 0,001 dm 3 = 0,001 L = 0,1 cl Le volume du pot de glace est donc 37,8 π cl soit environ 119 cl. Cned, Mathématiques 3 e 87

88 88 Séquence 3 EXERCICE 19 Séance 8 J ai construit la figure dynamique. Lorsque je déplace les sommets du parallélogramme ABCD, les côtés [MN] et [PQ] semblent parallèles. MNPQ semble donc être un trapèze. Je n arrive pas à le démontrer. La conjecture est bonne. Cependant, même si tu n as pas réussi à la démontrer, il faut que tu écrives tes recherches. ABCD est un parallélogramme donc (AD) // (BC). M (AD), P (BC) D où : (AM) // (PC). Dans les triangles RAM et RCP : C (AR) P (RM) (AM) // (PC) D après la propriété de Thalès : RA RM AM = = RC RP CP D où : RA RM = RC RP En raisonnant de façon analogue, on prouverait que : (AN) // (QC) RA = RN RC RQ (en appliquant la propriété de Thalès dans les triangles RAN et RCQ ) Dans les triangles RMN et RPQ : R [MP] R [NQ] RM = RN d après la question précédente. RP RQ D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (NM) et (QP) sont parallèles. D où MNPQ est un trapèze. 88 Cned, Mathématiques 3 e

89 89 Séquence 3 EXERCICE 20 A est le milieu de [BC] donc [AA ] est la médiane issue de A du triangle ABC. On rappelle que la médiane du triangle ABC issue de A est le segment d extrémités A et le milieu du côté opposé à A. Dans les triangles AJM et ABC : J [AB] M [AC] AJ = 2 AM = 2 AB 3 AC 3 D où : AJ AM =. AB AC D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (JM) et (BC) sont parallèles. c) G [JM], A [BC] et (JM) // (BC) donc : (JG) // (BA ). d) Dans les triangles ABA et AJG : J (AB) G (AA ) (JG) // (BA ) On cherche à appliquer la réciproque de la propriété de Thalès. Comme le segment [AB] est partagé en trois segments de même longueur [AI], [IJ] et [JB], on a : AI = IJ = JB = 1 AB 3 Comme : AJ = 2 AB 3 De même on a : c) AM 2 =. AC 3 D où : AJ = 1 AB 3 AJ 2 on a : = AB 3 d) On applique la propriété de Thalès. + 1 AB 3 = 2 AB 3 D après la propriété de Thalès, on a : AJ AG JG = = AB AA' BA' 2 AG JG = = 3 AA' BA' AG 2 2 D où : = AG= AA'. AA' 3 3 e) G est aux deux tiers de la médiane [AA ] du triangle ABC à partir de A. G est donc le centre de gravité de ce triangle. e) On applique la propriété rappelée dans l aide de Thomas : 2 G est sur la médiane [AA ] et : AG = AA '. 3 G est donc le centre de gravité du triangle ABC. Cned, Mathématiques 3 e 89

90 90 Séquence 3 4) Dans les triangle ABA et AJG : J (AB) G (AA ) (JG) // (BA ) 4) D après la propriété de Thalès : AJ AG JG = = AB AA ' BA' D où : 2 JG = 3 BA ' Dans les triangles AA C et AGM : G (AA ) M (AC) (GM) // (A C) D après la propriété de Thalès : AG AM GM = = AA' AC A'C D où : 2 GM = 3 A'C On a donc : JG GM = BA' A' C A est le milieu de [BC] donc : BA = A C. JG GM D où : = donc : JG = GM. A'C A'C JG = GM et G [JM] donc G est le milieu de [JM]. 5) G est le centre de gravité du triangle ABC, donc : BG 2 G est un point de [BB ] et : =. BB' 3 CG 2 G est un point de [CC ] et : =. CG ' 3 Dans les triangles BCB et BLG : L [BC] G [BB ] 5) On sait que : G (JM). Pou prouver que (IL), (KN) et (JM) sont concourantes en G, il reste donc à prouver que : G (IL) et : G (KN). J essaie dans un premier temps de prouver que : G (IL) en utilisant l aide. 90 Cned, Mathématiques 3 e

91 91 Séquence 3 BL = 2 BG = 2 BC 3 BB' 3 D où : BL BG =. BC BB' D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (LG) et (CB ) sont parallèles. Dans le triangle BAB et BIG : I [BA] G [BB ] BI = 2 BG = 2 BA 3 BB' 3 D où : BI BG =. BA BB' D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (IG) et (AB ) sont parallèles. On a : B est sur [AC] donc : (LG) // (CB ) revient à dire (LG) // (AC) (IG) // (AB ) revient à dire (IG) // (AC) Or G est un point de (LG) et de (IG), donc les droites (IG) et (LG) sont confondues. G est donc un point de (IL). On montre de la même manière que G est un point de (KN). Les droites (IL), (KN) et (JM) sont donc concourantes en G. Cned, Mathématiques 3 e 91

92 92 Séquence 3 EXERCICE 21 Séance 9 triangle AM 1 N 1 On ne sait pas si les droites (M 1 N 1 ) et (BC) sont parallèles. On ne sait donc pas si on peut appliquer la propriété de Thalès. On ne peut donc pas répondre. triangle AM 2 N 2 On a : A (N 2 C) A (M 2 B) (M 2 N 2 ) // (BC) D après la propriété de Thalès, les longueurs des côtés correspondants des triangles ABC sont proportionnelles. Comme : AM 2 < AB, le triangle AM 2 N 2 est une réduction du triangle ABC. triangle AM 1 N 1 Cette question est «un piège» : on ne peut pas savoir si les triangles AM 1 N 1 est une réduction de ABC car on ne sait pas si les droites (M 1 N 1 ) et (BC) sont parallèles. triangle AM 2 N 2 La propriété de Thalès nous permet de démontrer que le triangle AM 2 N 2 est soit un agrandissement, soit une réduction du triangle ABC. Comme : AM 2 < AB, le triangle AM 2 N 2 n est pas un agrandissement du triangle ABC, mais une réduction. triangle A 3 M 3 N 3 Comme BAC = M3A3N3, imaginons que le sommet A du triangle ABC soit confondu avec A 3. triangle AM 3 N 3 Dans les triangles A 3 BC et A 3 M 3 N 3 : M 3 [A 3 B] N 3 [A 3 C] On essaie dans un premier temps de voir si les droites (M 3 N 3 ) et (BC) sont parallèles. A M 2,8 A3N3 4,2 = = A B 3 A C 4, Je compare les produits en croix : 3 4,2 = 12,6 2,8 4,5 = 12,6 A3M3 A3N3 Ils sont égaux donc : = A3B A3C D après la réciproque de la propriété de Thalès, on a : donc : (M 3 N 3 ) // (BC). D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (M 3 N 3 ) et (BC) sont parallèles. 92 Cned, Mathématiques 3 e

93 93 Séquence 3 Dans les triangles A 3 BC et A 3 M 3 N 3 : M 3 [A 3 B] N 3 [A 3 C] (M 3 N 3 ) // (BC) D après la propriété de Thalès, les longueurs des côtés correspondants des triangles A 3 BC et A 3 M 3 N 3 sont proportionnelles. Comme : A 3 M 3 < A 3 B, le triangle A 3 M 3 N 3 est une réduction du triangle ABC. On peut affirmer que (M 3 N 3 ) et (BC) sont parallèles car on l a démontré précédemment. La propriété de Thalès nous permet de démontrer que le triangle A 3 M 3 N 3 est soit un agrandissement, soit une réduction du triangle ABC. triangle A 4 M 4 N 4 BAC n est égal à aucun angle du triangle A 4 M 4 N 4 donc A 4 M 4 N 4 n est pas une réduction de ABC. Dans les triangles SOA et SO B : O (SO) B (SA) (O B) // (OA) D après la propriété de Thalès, on a : SO' SB O'B = = SO SA OA triangle A 4 M 4 N 4 Si un triangle n a pas les mêmes angles qu un autre triangle, il ne peut pas être un agrandissement ou une réduction de celui-ci. Le raisonnement est le même que celui détaillé dans le corrigé de l exercice 18 de cette séquence. D où : 8 ' = r soit r' = r = 3,6 cm 20 SO' k= SO 8 4 k= = k = 0, c) A = π r 2 = π 9 2 A = 81π cm 2 A = π r 2 = π 3,6 2 A = 12,96π cm 2 A' 12, 96π 12, 96 = = = 0, 16 A 81π 81 0,16 = 0,4 2 A' 2 d où : = 0, 4 A d) 2 π 9 20 = 3 2 π 3, 6 8 = 3 34, 56π = = 0, π soit V V = 540 π cm 3 A' A V' V = 34,56 π cm 3 V' V 0,064 = 0,4 3 d où : V' V 3 = 0, 4 soit V' V 2 = k 3 = k Pour calculer le coefficient de réduction, on divise une dimension du petit cône par la dimension correspondante du grand cône. Dans notre cas, on calcule par exemple le quotient de la hauteur du petit cône par celle du grand cône. On remarque que le quotient de la plus petite aire par la plus grande est égal au carré du coefficient de réduction. π = r 2 V h où r le rayon du disque de base, h la hauteur du 3 cône et V son volume. Le quotient du plus petit volume par le plus grand est égal au cube du coefficient de réduction. Cned, Mathématiques 3 e 93

94 94 Séquence 3 JE M ÉVALUE et la propriété de Thalès la réciproque de la propriété de Thalès de démontrer que deux droites sont parallèles La propriété de Thalès permet de calculer une longueur (on le sait depuis la classe de 4e) ou de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles (on l a vu dans l exercice 8). La réciproque de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles. de démontrer que des droites ne sont pas parallèles de calculer des longueurs AM = 4 cm et AN = 5,3 cm AM = 6 cm et AN = 16 3 cm AM = 4 cm et AN = 16 3 cm AM = 6 cm et AN = 5,3 cm 4) oui non 5) AE = 12 7 cm et BC = 35 3 cm AE = 28 3 cm et BC = 15 7 cm AE = 1,7 cm et BC = 11,7 cm AE = 9,3 cm et BC = 2,1 cm Attention, on donne le résultat de AN sous forme fractionnaire car le quotient de 16 par 3 n est pas un nombre décimal. On a : M (AB) N (AC) (MN) // (BC) D après la propriété de Thalès : AM AN MN = = AB AC BC AM 5 D où : = 6 7,5 AN 5 Et : = 8 7,5 5 AM = 6 = 4 7, AN = 8 = = = 7,5 7, ) On a : M [AB] N [AC] AM 4 2 AN = = = = = AB 6 3 AC 7, AM AN D où : = AB AC D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 5) On a : A (DB) A (EC) (DE) // (BC) D après la propriété de Thalès : AE AD ED = = AC AB CB AE 3 D où : = Et : = 7 BC 3 12 AE= 4 = d où : 3 BC = 5 7 BC = 3 94 Cned, Mathématiques 3 e

95 95 Séquence 3 6) oui non 7) TV 2,6 cm TV 3,8 cm 8) TV = 5 cm TV 1,4 cm 6) On a : A [EB] A [CD] AE = 3 AD = 6 AB 7 AC = = 42 D où : AE AD AB AC D après la propriété de Thalès, les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles. 7) On applique la propriété de Pythagore dans le triangle TVR rectangle en R. On a : TV 2 = VR 2 + RT 2 D où : TV 2 = = = 25 On a donc : TV = 5 cm. 8) La droite (US) est parallèle à (VR) car (US) et (VR) sont perpendiculaires à (RT). 9) US = 15 cm US = 0,6 cm US = 3 cm US = 2 cm Dans les triangles TRV et TSU : U (VT) S (TR) (VR) // (US) D après la propriété de Thalès, on a : TU TS US = = TV TR VR 1 US D où : = US = 3 soit US = 0,6 cm ) 0,0625 0,125 0,5 1 2 Le rapport des deux aires est 0,25. Le coefficient de réduction est le nombre positif dont le carré est 0,25. Ce nombre est 0,5. 10) 4,5 cm 3 50 cm 3 0,405 cm 3 555,6 cm 3 10) Le volume de P 2 en cm 3 est 15 0,3 3 soit 0,405. Cned, Mathématiques 3 e 95