LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE

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1 LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE Origine de la théorie de la fille d attente Cette théorie est une approche mathématique permettant d analyser les files d attente. Elle est basée sur l étude des équipements téléphoniques automatiques réalisée au début du XXe siècle par l ingénieur danois en télécommunication, A. K. Erlang. L application de cette théorie n a été généralisée à divers types de problèmes qu après la Seconde Guerre mondiale. Objectif de la théorie de la fille d attente (1/2) Si on veut concevoir un système de, il faut comparer le coût associé au niveau de (capacité) mis en place et le coût associé à l attente des clients. L objectif de l analyse des files d attente est de minimiser le coût total, qui équivaut à la somme de deux coûts : le coût associé à la capacité de mise en place (coût de ) et le coût associé à l attente des clients (coût d attente). Le coût de est le coût résultant du maintien d un certain niveau de, par exemple le coût associé au nombre de caisses dans un supermarché.

2 Objectif de la théorie de la fille d attente (2/2) Les coûts d attente sont constitués des salaires payés aux employés qui attendent pour effectuer leur travail (mécanicien qui attend un outil, chauffeur qui attend le déchargement du camion, etc.). Lorsque le client est externe à l entreprise, le coût d attente est difficile à évaluer, car il s agit d un impact plutôt que d un coût pouvant être comptabilisé. L objectif de l analyse des files d attente est de trouver un compromis entre le coût associé à la capacité de et le coût d attente des clients Objectif de la théorie de la fille d attente (2/2) L objectif est de caractériser le degré de performance du système en répondant à des questions du type suivant : en moyenne, combien de temps attend un client avant d'être servi? quel est le nombre moyen de clients dans le système? quel est le taux d'utilisation moyen des serveurs?... Exemple Agence bancaire Les serveurs sont les guichets de l'agence. Tous les guichets offrent le même, et chaque client ne devra donc visiter qu'un seul guichet. Atelier de production Les «clients» sont les ordres de fabrication à exécuter, et les «serveurs» sont les machines nécessaires à l'exécution de chaque ordre de fabrication. Parking Les «clients» sont les véhicules qui cherchent à stationner. Les «serveurs» sont les emplacements de parking, et la «durée de» est la durée pendant laquelle chaque véhicule reste stationné.

3 Type de fille d attente 1/2 Les systèmes à serveurs parallèles, où chaque client ne requiert le que d'un seul serveur et tous les serveurs sont capables de fournir ce. Type de fille d attente 2/2 Les systèmes à serveurs en série, où chaque client doit visiter plusieurs serveurs successifs dans un ordre fixe pour recevoir satisfaction. Vocabulaire (1/1) La capacité du système, c est-à-dire le nombre de clients pouvant être simultanément présents dans le système, est limitée ou non. Dans le premier cas, on suppose que les clients qui arrivent lorsque le système est déjà saturé le quittent immédiatement sans obtenir le désiré. On dit que ces clients sont perdus. Dans le cas d'un système à capacité illimitée, aucun client n'est perdu (mais la longueur des files d'attente peut grandir indéfiniment).

4 Vocabulaire (1/2) état d'un système à l'instant t est le nombre de clients présents dans le système à l instant t (un client est présent dans le système si il est en file d attente ou en cours de ). Les quantités fondamentales auxquelles s'intéresse l'analyste dans le cadre des modèles de files d'attente sont les probabilités d'état, que nous définissons de la façon suivante : pour n = 0, 1, 2,... et t 0: pn(t) = probabilité de l'état n à l'instant t pn (t) = probabilité que n clients soient présents dans le système à l'instant t pn représente également la proportion du temps (à long terme) où le système contient n clients. Mesures de la fille d attente Lorsque les probabilités sont connues, il est possible de calculer de nombreuses mesures de performance du système de files d attente à étudier. Parmi les plus importantes, on considérera les mesures à long terme suivantes: Ls = nombre espéré de clients dans le système Lq = nombre espéré de clients dans la file d'attente Ws = temps espéré passé par chaque client dans le système Wq = temps espéré passé par chaque client dans la file d'attente Par définition, on a : Mesures de la fille d attente De plus, si le système comporte c serveurs parallèles, alors : puisqu'il y a (n-c) clients dans la file si et seulement si il y a n clients dans le système.

5 Mesures de la fille d attente λeff = taux d'entrée moyen des clients dans le système (nombre moyen de clients entrant dans le système par unité de temps). Loi de Little : Pour tout système de files d attente Ls =λeff Ws Lq =λeff Wq Durée moyenne du, par client = Ws Wq Nombre moyen de serveurs occupés = Ls - Lq Mesures de la fille d attente Si le système comporte c serveurs, le taux moyen d occupation de chaque serveur (c est-à- dire, la proportion du temps pendant laquelle chaque serveur est occupé) est alors obtenu par la formule : Exercice Le gestionnaire d'un petit atelier enregistre en moyenne 5 commandes par jour. Les 6 ouvriers employés dans l atelier sont très polyvalents, si bien que chaque commande peut être réalisée par n importe lequel d entre eux. Néanmoins, le gestionnaire est inquiet car il constate que les ouvriers sont occupés en permanence et que son carnet de commandes contient, en moyenne, une vingtaine de commandes en cours (enregistrées, mais non satisfaites). Pour mieux comprendre la situation, le gestionnaire aimerait estimer le temps moyen consacré par les ouvriers à chaque commande. Il voudrait également pouvoir annoncer à ses clients, au moment de la passation de commande, un délai de livraison attendu.

6 Correction λeff = 5 commandes / jour en moyenne et Ls = 20 commandes. Donc, par la loi de Little, Ws = 20/5 = 4j le gestionnaire peut annoncer un délai de livraison de 4 jours. Par ailleurs, Ls - Lq = 6 (puisque les ouvriers sont occupés en permanence). Donc chaque commande requiert en moyenne 1,2 jours de travail effectif. Un établissement de restauration rapide qui peut traiter en moyenne 200 commandes à l heure voit malgré tout se former des files d attente avec un nombre moyen de 150 commandes à l heure. Le problème vient du fait que les arrivées des clients ont lieu à intervalles aléatoires plutôt qu à intervalles fixes. De plus, certaines commandes requièrent un temps de traitement plus long. En d autres termes, les processus d arrivée et de ont un degré de variabilité élevé, et suit un processus cumulatif. PROCESSUS CUMULATIFS Des événements se produisent l un après l autre à travers le temps; nous definissons: N(s, t) = nombre d événements se produisant entre les instants s et t; N(t) = nombre d événements se produisant entre les instants 0 et t; X i = temps entre le (i - 1)-ème et le i-ème événements; S n = X 1 + X X n = instant auquel le n-ème événement se produit.

7 LE PROCESSUS DE POISSON Première caractérisation Un processus de Poisson est un processus cumulatif qui satisfait les propriétés suivantes: Stationnarité: N(s, t) a la même distribution que N(t, s). Accroissements indépendants: si [s, t[ et [s, t [ ne se recoupent pas, N(s, t) et N(s, t ) sont indépendants. P(N(h) = 1) λh si h est suffisamment petit. P(N(h) 2) 0 si h est suffisamment petit. λ est le taux d arrivée (ou paramètre) du processus. LE PROCESSUS DE POISSON Deuxième caractérisation Un processus de Poisson est un processus cumulatif tel que: N(t) est une variable de Poisson à paramètre λt Nous avons alors: P(N(t) = k) = ( λ t) k! k e - λ t pour k = 0, 1,..., E(N(t)) = λt et Var(N(t)) = λt. LE PROCESSUS DE POISSON Troisième caractérisation Un processus de Poisson est un processus cumulatif tel que: X 1, X 2,... sont des variables aléatoires indépendantes, exponentielles à paramètre λ. Nous avons alors: P(X x) = F(x) = 1 - e - λ x pour x 0; f(x) = λ e - λ x pour x 0; E(X) = 1/ λ et Var(X) = 1/ λ 2.

8 PROPRIETÉS DE LA DISTRIBUTION EXPONENTIELLE Dans un processus de Poisson les arrivées ne dépendent pas les unes des autres: c est véritablement un processus d arrivées au hasard CARACTÉRISATION D UN SYSTÈME DE FILE D ATTENTE Le processus des arrivées Distribution du temps entre arrivées Arrivées groupées ou isolées Taille de la population Comportement des arrivées La file d attente Longueur maximum Règles de priorité Les s Nombre de serveurs Nombre de phases dans le système de Distribution de la durée de LE PROCESSUS DES ARRIVÉES Distribution du temps entre arrivées Exponentiel autre Types d arrivées au hasard selon un horaire Taille de la population finie infinie Comportement des arrivées joint la file d attente, et attend jusqu à la fin du refuse de joindre la file d attente (BALK) quitte la file d attente après un certain temps

9 LA FILE D ATTENTE Longueur maximum finie infinie Règles de priorité premier arrivé, premier servi (FIFO) autre Nombre de serveurs un seul plusieurs LES SERVICES Nombre de phases dans le système de une seule plusieurs Distribution de la durée de exponentielle autre CONFIGURATIONS AVEC UN CHEMIN Exemple Un cabinet de dentiste Arrivées Système à un chemin et une phase Service Départs après Chez McDonald s Arrivées Système à un chemin et plusieurs phases Phase 1 du Phase 2 du Départs après

10 CONFIGURATION AVEC PLUSIEURS CHEMINS ET UNE PHASE Exemple Banque ou bureau de poste Arrivées Chemin 1 Chemin 2 Départs après Chemin 3 CONFIGURATION AVEC PLUSIEURS CHEMINS ET PLUSIEURS PHASES Exemple Inscriptions à l université Arrivées Phase 1 du Chemin 1 Phase 1 du Chemin 2 Phase 2 du Chemin 1 Phase 2 du Chemin 2 Départs après NOTATION DES FILES D ATTENTE Une file d attente peut s identifier par les six paramètres suivants: (A / B / C):(D / E / F) A représente le temps entre arrivées M = Markovien, ou exponentiel D = Déterministe, ou constant G = Général (autre) B représente la durée de (Mêmes possibilités que pour les temps entre arrivées) C représente le nombre de serveurs

11 NOTATION DES FILES D ATTENTE D représente la capacité de la file d attente (infinie ou finie; défaut = infinie) E représente la taille de la population de clients (infinie ou finie; défaut = infinie) F représente la discipline de FIFO = premier arrivé, premier servi LIFO = dernier arrivé, premier servi PRIORITY = classes de priorité diverses (défaut = FIFO) DÉFINITIONS ET GÉNÉRALITÉS X(t) = nombre de clients dans le système à l instant t P n est la proportion de temps où il y a n clients dans le système a n = P(un nouveau client trouve n clients devant lui) d n = P(un client qui part laisse n clients derriere lui) DÉFINITIONS ET GÉNÉRALITÉS L = nombre moyen de clients dans le système L Q = nombre moyen de clients dans la queue W = temps moyen dans le système W Q = temps moyen dans la queue L L Q = = n = 0 n = s n P n (n - s) P s'il y a s serveurs n

12 D AUTRES GÉNÉRALITÉS Si le processus d arrivées est un processus de Poisson à paramètre λ: a n = P n L = λ W et L Q = λ W Q (Cette dernière expression est la formule de Little)

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