Brigitte Lacaze/ Chargée de mission Rectorat de Grenoble

Transcription

1 Construction du nombre décimal au cycle 3 Brigitte Lacaze/ Chargée de mission Rectorat de Grenoble

2 Objectifs

3 Objectifs de cette conférence Se mettre dans la peau des élèves qui découvrent ces nouveaux nombres et qui doivent ainsi modifier radicalement leurs représentations. Aider à construire une programmation pour l'apprentissage des nombres décimaux sur les 3 années du cycle 3. Identifier les principaux obstacles, les difficultés récurrentes pour l'élève à propos des décimaux. Trouver des manières d'aborder les notions pour lever les obstacles.

4 Testez vos connaissances Phase 1

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8 1/ ,08 3/4

9 Un peu d histoire Multiples systèmes dans le temps nécessaires pour les besoins économiques et commerciaux (estimation de patrimoine, intérêts, arpentage, échanges, )

10 L INSUFFISANCE DES NOMBRES ENTIERS ET L ARRIVÉE DE NOUVEAUX NOMBRES Les fractions Les nombres rationnels Les nombres décimaux

11 FRACTIONS ÉGYPTIENNES 2500 AVANT JC Les problèmes de partage en parts égales sont sans doute à l'origine des fractions égyptiennes

12 Le papyrus de Rhind Le papyrus de Rhind a été écrit vers 1650 ans avant JC par le scribe Ahmès, qui affirme l avoir copié sur un document plus vieux de 200 ans. Il se présente sous la forme d un rouleau de 6 m sur 30 cm de large contenant 87 problèmes. Dans son introduction, Ahmès le présente ainsi : «exemple de calcul afin de sonder les choses, et connaître tout ce qui est obscur ainsi que tous les secrets.»

13 Fractions égyptiennes Le problème 6 du papyrus Rhind : Partager 9 pains entre 10 hommes. Réponse : Tu devras effectuer 10 fois 2/3 1/5 1/30 Les seules fractions utilisées par les Égyptiens, à l exception de 2/3, sont des fractions de numérateur 1.

14 Fractions égyptiennes Pour noter les fractions ils utilisent le signe mot en forme de bouche signifiant «la part» 2/3 s écrit avec un signe spécial : Et 1/2 :

15 Fractions égyptiennes La décomposition n étant pas unique, les Égyptiens avaient décidé d'utiliser celle contenant le moins de termes et n'en répétant aucun : Par exemple pour choix de et non de L œil d Horus, qui symbolisait la fraction, permettait de représenter les fractions de 1/2 à 1/64

16 La fraction

17 FRACTIONS BABYLONIENNES 3000 PUIS 2000 AVANT JC Dans les mathématiques babyloniennes, les fractions prennent une autre signification, celle d inverse

18 Les «pionniers» des fractions Sumériens (3000 avant J.C.) Apparition des premières représentation des fractions pour des cas particuliers

19 Fractions babyloniennes Les sumériens concevaient la fraction 1/n comme «l'inverse de n» et désignaient ce type de fraction par le terme général d' «inverse». S'il s'agissait de la fraction m/n, les S'il s'agissait de la fraction m/n, les mathématiciens babyloniens l'exprimaient, semble-t-il, au moyen de la formule «m fois l'inverse de n».

20 La fraction

21 Fractions babyloniennes Babyloniens (2000 avant J.C.) une écriture, dite cunéiforme, qui permet de représenter des grands nombres mais également des cas particuliers de fractions. Le système de numération est sexagésimal (base 60) et combine le principe additif et le principe de position. Les fractions se représentent avec des dénominateurs de 60 ou 3600 (60²). Le système est parfois ambiguë et nécessite, pour les astronomes d utiliser le contexte pour évaluer un ordre de grandeur du nombre et d éviter ainsi la confusion Système perpétué par l astronomie (mesure de temps et d angles)

22 L ARRIVÉE DES NOMBRES RATIONNELS

23 Nombre rationnel Chez les arabes au Xième siècle le rapport de deux longueurs prend le statut de nombre. C est le nombre qui, multiplié par 3, donne 2.

24 L ARRIVÉE DES NOMBRES DÉCIMAUX L'apparition des nombres décimaux est liée au développement d'algorithmes d'opérations

25 Les nombres décimaux Vers 952 : Ibrahim al Uqlidisi, savant arabe, invente les fractions décimales pour écrire les nombres. Par exemple pour partager successivement 19 en deux, il écrit : Il lit ce dernier résultat cent millièmes.

26 Les nombres décimaux 1427 : Jemshid al Kashi donne une définition des fractions décimales et des opérations. 1579: en occident, François Viète incite à utiliser les fractions décimales plutôt que des fractions sexagésimales. 1585, le belge Simon Stevin introduit les décimaux en 1585, le belge Simon Stevin introduit les décimaux en Europe avec une écriture particulière et des règles de calcul simples : 89,532 s écrit alors Au début du XVIIème siècle, Willebrod van Roijen Snell (dit Snellius) et John Napier généralisent la virgule dans l écriture des nombres décimaux.

27 Version «enfants» Trop compliqué et rébarbatif pour des élèves du primaire? Alors voici une autre présentation trouvée sur le web

28 Des moutons

29 aux nombres décimaux

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36 Testez vos connaissances Phase 2

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38 1/3 2/3 x 1/4 = 1/6 1/16 1/8 1/4 1/8

39 De nouveaux nombres Fraction Nombre décimal Rationnel Réel

40 Le concept de fraction Selon Brissiaud, une fraction peut s interpréter de 4 façons différentes. Par exemple la fraction 13/4 : Soit les nombres 13 et 4 renvoient à des grandeurs de nature différentes (ex: 13 cas de maladie pour 4 milliers d habitants) et se lit généralement «13 pour 4» la fraction désigne une proportion et définit une «grandeur quotient» On peut ainsi définir une grandeur - quotient : vitesse, rendement,

41 Le concept de fraction Soit les nombres 13 et 4 renvoient à des grandeurs de même nature la fraction désigne un rapport (ex : le rapport trigonométrique «tangente» dans un triangle à partie de la mesure des cotés) et et se lit souvent «13 divisé par 4» : en 13 mm combien y a-t-il de fois 4 mm? La fraction renvoie à une division quotition.

42 Le concept de fraction Soit le nombre 13 renvoie à une grandeur alors que le nombre 4 est sans dimension. Dans ce cas, la fraction 13/4 (pour 13 mm / 4 par exemple) se lit également «13 divisé par 4» mais elle renvoie au partage de la totalité des 13 mm en 4 partie égales. Il s agit d une division partition de la pluralité.

43 Le concept de fraction Soit enfin le nombre 13 est sans dimension et il opère sur 1/4 (13 fois un quart de mm, par exemple).la fraction se lit alors «13 quarts» il s agit d une partition de l unité suivie d une multiplication. La fraction renvoie à un fractionnement de l unité A terme les élèves doivent s approprier ces différents sens de 13/4. Au CM1 il est important que les enfants s approprient l équivalence : «13 partagé en 4» partition de la pluralité), c est aussi «13 quarts» (fractionnement de l unité)

44 Fraction définitions C est une partie d un tout (sens = opérateur de partage) cycle 3 : Une fraction correspond à un certain nombre de parts considéré après le partage d un nombre entier en part égales C est un rapport (sens = division)sixième a b Une fraction ( a et b entiers avec b non nul) est le nombre qui, multiplié par b donne a. C est un nombre et pas 2 nombres.

45 Nombre décimal définitions C est un nombre à virgule. La partie de gauche de la virgule est la partie entière. Elle représente un nombre entier d unités. La partie de droite de la virgule est la partie décimale. Elle représente une fraction décimale de l unité. Exemple : 3,6 3 est la partie entière et 0,6 est la partie décimale.

46 Nombre décimal définitions C est un nombre pouvant s écrire sous forme de fraction décimale : a 10 n Avec a entier relatif et n entier naturel Il possède un développement décimal limité. Bien comprendre qu un nombre entier est un décimal

47 A quoi sert le nombre décimal? Historiquement il est apparu avec l avènement de l imprimerie C est un nombre qui permet d exprimer : Le résultat d un partage Une mesure de longueur Le repérage d un point sur une droite Il permet d écrire d une autre manière une fraction décimale Il permet d approcher d aussi près qu on le souhaite (filtre décimal) la mesure d une grandeur continue quelconque par fractionnements successifs de celle-ci en dixièmes, centièmes, millièmes Il permet d appréhender qu entre deux entiers il y a d autres nombres, une infinité de nombres.

48 Dans quel ordre aborder les fractions et les décimaux? Fractions Fractions décimales Décimaux

49 Les ensembles de nombres Peut-on toujours atteindre la mesure d une grandeur avec un nombre décimal?

50 Exemple de partage d un segment Partager une bande de papier de longueur 22 en 8 parties égales : Chaque morceau aura une longueur comprise entre 2 et 3.

51 Exemple de partage d un segment Partager une bande de papier de longueur 22 en 7 parties égales : Chaque morceau aura une longueur comprise entre 3 et 4.

52 Nombre rationnel Dans ces deux problèmes la solution va être un nombre rationnel : quotient d un entier par un entier naturel non nul. Dans le premier cas, ce nombre peut s exprimer de deux façons : 22 En écriture fractionnaire : En écriture à virgule : 2, = = = 2, C est un décimal. Dans le deuxième cas : En écriture fractionnaire : 22 7 Impossible de trouver une fraction décimale égale à C est un nombre rationnel non décimal. Il admet un développement décimal illimité périodique : 3,

53 Les rationnels suffisent-ils à tout mesurer? < 2 < 2 1,4 < 2 < 1,5 1,41 < 2 < 1,42 1,414 < 2 < 1,415 C est un nombre réel non rationnel qui admet un développement illimité non périodique : 1, ,4142 < 2 < 1,4143 1,41421 < 2 < 1,41422

54 Les rationnels suffisent-ils à tout mesurer? La longueur d un cercle de diamètre 1 vaut non rationnel qui admet un développement illimité non périodique : 3,

55 Des Naturels aux Réels ensemble des nombres réels : nombres rationnels et irrationnels D Q R ensemble des nombres rationels : nombres qui peuvent s écrirent sous a la forme, avec a et b entiers relatifs b et b non nul N Z ensemble des nombres décimaux : nombres qui peuvent s écrire sous la a forme avec a entier relatif 10 n et n entier naturel ensemble des nombres entiers relatifs ensemble des nombres entiers naturels

56 Testez vos connaissances Phase 3

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59 a = 74/100 =0,74 b = 79/100 =0,79 c= 83/100 =0,83 d= 88/100 =0,88 8 chercheurs 295 pièces

60 D) 1, /4

61 La construction des décimaux Continuité et ruptures Erreurs fréquentes et leurs origines Rôle central de la numération de position Organisation de l apprentissage des fractions et décimaux

62 CONTINUITÉ ET RUPTURES

63 Du côté des élèves 1. Entre 17 et 18, on ne peut écrire aucun nombre. 2. Le produit de 2 nombres est toujours supérieur à chaque facteur du produit. 3. Plus l écriture d un nombre est longue, plus sa valeur est grande. 4. Il n existe pas de nombre entre 0 et Un nombre décimal est le résultat du «collage» de 2 entiers. 6. Un décimal est un entier dans lequel on change d unité (3,25 m c est 325 cm). 7. Un nombre entier n est pas un nombre décimal. 8. Entre 17,25 et 17,26, il n y a aucun nombre ,564 «son chiffre des dizaines est 5 et celui des dixièmes est 1»

64 Du côté des élèves 10. Ecrire dix-huit unités et trois centièmes (évaluation CM2 2010) La bonne 18,03 Différentes réponses : 18,3/100 : la virgule remplace le mot unité et la partie décimale est écrite en utilisant la bonne fraction décimale. 18,3 ou 18,003 : confusion entre dixièmes, centièmes, millièmes et unités, dizaines, centaines Le centième c est comme la centaine ça vient en premier d où 18,3 La centaine est au 3 e rang à gauche à partir de la virgule; par symétrie le centième sera au troisième rang à droite à partir de la virgule et cela donne 18, : confusion centaine/centième 3018 idem mais on met un zéro pour séparer les deux parties séparées oralement.

65 Du côté des élèves 10. Ecrire dix-huit unités et trois centièmes (évaluation CM2 2010) 18,300 : 3 centièmes c est 300 après la virgule : ce n est pas 318 car on a parlé de centièmes donc le 3 c est après mais centaine/centième pose question d où le 0 initial. Pas de virgule mais un espace et 003 pour 3 centièmes. 300,18 ou 3,18 : curieuse inversion de position entre partie entière et partie décimale.

66 Du côté des élèves 11. Effectuer 1,5 x 4 = 4,20 1,5 x 4 = 4, /100 = 96, Ecrire 80,4 = 80/4 ¼ = 1,4

67 Du côté des élèves : la virgule 1. Oublis fréquents de la virgule : Lecture des nombres à partir du dernier chiffre de droite : 12,654 «douze mille six cent cinquante - quatre» 2. Additions et soustractions mal posées : les chiffres sont alignés en partant de la droite. 3. Pour calculer un ordre de grandeur, travail sur les chiffres de gauche sans tenir compte de leur rang et donc sans avoir une idée correcte de la partie entière. Ex 32,56

68 Origines des erreurs On peut faire l hypothèses de règles visant des automatismes arrivées trop vite, avant que le sens ne soit suffisamment installé. «Une place particulière est également accordée à la construction des «automatismes», mot qui désigne non pas des procédures apprises sans réflexion, mais au contraire des résultats et des raisonnements construits avec intelligence et progressivement intériorisés. Disponibles en mémoire immédiate, les automatismes donnent à l élève comme plus tard à l adulte, les moyens d une réflexion libre» Introduction du document ressource «nombres au cycle 2» (2010)

69 RÔLE CENTRAL DE LA NUMÉRATION DE POSITION

70 Connaissances essentielles 1 Un et deux dixièmes et quatre centièmes 1,24

71 Connaissances essentielles Valeur de chaque chiffre, référée à l unité, en fonction du rang qu il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : cent fois l unité Centième : unité partagée en 100 etc 32,634 3 fois «10 unités» 3 fois «l unité partagée en 100»

72 Connaissances essentielles Relations entre valeurs 1 dixième = 10 centièmes = 100 millièmes 1 centième = 1 dixième partagé en dix 1 dizaine = 100 dixièmes etc

73 Du côté des enseignants 1. Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 c est écrire 0, 00, 000 à la droite du nombre. 2. Pour comparer deux décimaux, on complète la partie décimale avec des zéros jusqu à ce que les deux nombres aient autant de chiffres derrière la virgule. 3. Pour multiplier par 10, 100, 100 on déplace la virgule de 1 rang, 2 rangs, 3 rangs vers la droite.

74 Pour comprendre la comparaison des nombres Pourquoi > 876 Parce que 2 milliers c est plus grand que 876 unités En effet 2 milliers = unités Pourquoi 745 > 729 Parce que 4 dizaines c est plus que 29 unités En effet 4 dizaines = 40 unités Pourquoi 7,6 > 7,46 Parce que 6 dixièmes c est plus que 46 centièmes En effet 6 dixièmes = 60 centièmes

75 D où une seule règle pour comparer des nombres entiers ou décimaux Les nombres étant écrits (ou imaginés) l un sous l autre, on parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès que l on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure. Ex : ,368 25, ,7 8,9856

76 Pour multiplier par 100 Nombre entier : «écrire deux 0» à droite 24 x 100 = Nombre décimal : «déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite» 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule) 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule et apparition de «0)

77 Résultats et difficultés 2,3 x % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20% La virgule «frontière» et «écrire un 0» 230 5% La virgule «absente» et «écrire un 0» 35,2 x % 3500,2 ou 35,200 ou 3500,200 13% La virgule «frontière» % Que faire quand la virgule «disparait»?

78 Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 Interpréter 20,45 par exemple : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que 20,45 x 10 revient à multiplier chaque terme de la décomposition par 10, donc on obtient : 20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes Savoir que 20 dizaines, c est 2 centaines (car 10 dizaines, c est 1 centaine).. Savoir que 40 dixièmes, c est 4 unités (car 10 dixièmes, c est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c est 1 dixième)

79 Conclusion Quand on multiplie un nombre par 10, 100 chaque chiffre prend une valeur dix fois (cent fois) plus grande. Ce n est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui «changent» de valeur et donc de place. C est la même chose pour les entiers et les décimaux!

80 En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45,x 10 et 37 x 10 milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes,

81 Avec d autres systèmes de numération Numération romaine Multiplier XXXVII par X (37 par 10) CCCLXX (370)

82 Conclusion pour l enseignement Une bonne connaissance de la numération décimale est indispensable pour comprendre la comparaison des nombres, la multiplication par 10, 100, 1000 et les techniques opératoires. Le travail sur ces 3 registres de connaissances peut renforcer la compréhension de la numération décimale à condition de respecter ce schéma : Elaboration de réponses raisonnées Formulation de règles générales Retour sur la justification des règles

83 ORGANISATION DE L APPRENTISSAGE DES FRACTIONS ET DÉCIMAUX

84 Enjeux de l apprentissage La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification

85 Les programmes 2008

86 Les programmes 2008 : aide à la progression CM1 CM2

87 Un enseignement difficile

88 Etape n 1 Découverte de nouveaux nombres Eprouver le besoin d approcher au plus près la mesure d une grandeur continue à partir de situations sociales : = > partition de la pluralité = > fractionnement de l unité = > rapport de quantités et proportionnalité Réaliser la nécessité d un système d écriture socialisé pour communiquer et garder en mémoire les nouveaux nombres. Apprendre à partager (perception et mesure) et différencier la partie et le tout (extension du concept d unité). Passer d un monde physique encore très qualitatif (autant/plus que/moins que) à un monde physique quantitatif (combien?).

89 Etape n 1 Découverte de nouveaux nombres Découverte de techniques et utilisation d outils de mesurage et de fractionnement : Pliage d une bande et d un disque Machines à segmenter (guide âne et parapluie) Unité étalon et report (aires, masses, capacités) Balance de Roberval et comparaison directe

90 Etape n 1 Découverte de nouveaux nombres Partition de la pluralité : Ex : Partager 5 pizzas entre 4 enfants Partager 13 bonbons entre 3 enfants Fractionnement de l unité: Ex : Partager une tablette de chocolat entre 4 enfants Proportion : Partager une boisson en 6 parts Ex : Organiser une mesure pour respecter une proportion dans un cocktail Faire un plan de la classe sur une feuille

91 Etape n 2 Construction de l équivalence Partition pluralité / Fractionnement unité

92 Etape n 2 Construction de l équivalence Partition pluralité / Fractionnement unité

93 Etape n 2 Construction de l équivalence Partition pluralité / Fractionnement unité 17 amis se rendent dans une pizzéria fêter l anniversaire de l un des leurs. Ils commandent 17 quarts de pizzas. Combien de pizzas va-t-il falloir?

94 Etape n 2 Construction de l équivalence Partition pluralité / Fractionnement unité

95 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Construction d un système de mesure propre à la classe pour garder en mémoire et communiquer Le résultat d un mesurage ou d un partage Une position ou un intervalle La comparaison de deux grandeurs = > Nécessité de socialiser une unité étalon = > Problèmes de report et nécessité d instrumentation = > Précision de la mesure et fractionnement décimal = > Limites de la mesure et besoin d un système cohérent

96 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Quotition et fractionnement de l unité Ex : Installer des étagères le long d un mur de la classe Report et fractionnement d une unité étalon :

97 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Fractionnement de l unité Ex: carreler le dessus du lavabo dans une salle de bains Elaboration d un système de mesure : Ex : Comment garder une trace des performances de saut en longueur et comment comparer les résultats obtenus? Idem pour les lancers de poids. Repérage d une position :

98 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Mesurage et comparaison

99 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Mesurage et comparaison

100 Etape n 3 Fractionnement décimal et système de mesure Proportion et rapport

101 Etape n 4 Simplification de fractions et équivalence d écritures Repérer et relever des équivalences d écritures (perspectives de la proportionnalité) Notamment : 3/10 = 30/100 = 0,3 = 0,30 = 30% ¼ = 25/100 = 0,25 = 25 % ½ = 5/10 = 50/100 = 0,5 = 50 % ¾ = 75/100 = 0,75 = 75 % Ecritures équivalentes

102 Etape n 4 Simplification de fractions et équivalence d écritures Fractions équivalentes

103 Etape n 5 Calculs sur les fractions usuelles et décimales Voir programmes et manuels

104 Etape n 6 Introduction des nombres à virgule comme changement de notation C est au début du 17 ème siècle que le mathématicien flamand Simon Stévin (dit Simon de Bruges) introduit l écriture à virgule que nous connaissons aujourd hui dans l intention de simplifier les activités d écriture, de comparaison et de calcul avec les fractions décimales. La correspondance fractions décimale et nombre à virgule peut être établie en utilisant la calculette : 438 : 100 = 438/100 = = 4,38

105 Etape n 7 Etude des nombres décimaux Lecture et écriture, comparaison et ordre, opérations = > Eviter les «ficelles qui peuvent permettre de réussir des exercices mais qui vont plutôt à l encontre du sens = > Faire systématiquement oraliser les écritures décimales et s appuyer sur la désignation orale pour la compréhension. Ex : 438/100 = 400/ / /100 = 4 + 1/10 + 8/10 = 4,38 (dire : 4 unités et trente huit centièmes)

106 Comment travailler au CE2? Quelques grandes lignes

107 En CE2 Travailler beaucoup la numération, la distinction chiffre/nombre : Avec la monnaie, les manipulations, les boîtes de 100 craies Penser à faire et défaire les paquets (ex : = 4 u m 950 u ou 49 c 50 u ou 495 d Attention à l utilisation systématique du tableau de numération : ne pas tracer les colonnes facilite la lecture (la systématisation du tableau de numération peut être une gène pour l accès au sens. Travailler en calcul mental : Pour les tables de multiplication, les faire réciter dans tous les sens (dans 20 combien de fois 5, 6 x combien = 30?; comment faire 42? Ou qu est-ce que 42?...

108 En CE2 Travailler sur les rapports entre les nombres courants et les relations numériques (comme moitié, double) Passer du temps sur les droites graduées et leur fonctionnement : difficile car le nombre 2 correspond à la fois au point 2 et à l intervalle 2). 8 est 2 fois plus loin de 0 que 4 car 8 c est 2 fois 4. Travailler sur des portions de droites, donner des portions de droites, varier les échelles et les graduations, proposer des portions à compléter, choisir une droite parmi plusieurs propositions, en fonction du nombre à placer Travailler le rapport à la proportionnalité (le rapport entre la grandeur des intervalles et la grandeur des nombres).

109 En CE2 Problème de la multiplication par 10 : on apprend souvent : on met un zéro Il ne faut donc pas institutionnaliser ce théorème élève, ne jamais s appuyer dessus pour valider mais toujours faire un retour au sens, à la numération, à des analogies On dit que «le zéro prend la place vide» donc si la place n est pas vide on ne peut pas mettre de zéro. Ex : 12 x 10 = 120, le 1d fois 10 de 12 devient 1c, le 2u fois 10 de 12 devient 2d, donc 20. Tous les chiffres se décalent vers la gauche. Multiplier par 10 c est «tirer» tous les chiffres du nombre de un cran vers la gauche. Travailler les unités de mesure (1/2 heure, ¼ de litre ) au CE2 mais ne pas aborder les fractions par ce biais en CM1

110 Testez vos connaissances Phase 4

111

112 1/4 1,1 m 3/5

113 MERCI DE VOTRE ATTENTION

114 Tâche complexe Problème utilisant les décimaux

115 Enjeux de l apprentissage La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

116 Tâche complexe et différenciation pédagogique dans la classe Lors d une activité, on peut graduer la difficulté de la tâche. Lors d une même évaluation, on peut permettre l accès aux aides ou proposer un travail complémentaire aux plus rapides. Lors d une même séquence, on peut adapter la progression aux élèves. Lors d une séance, on peut laisser certains élèves travailler en autonomie relative.

117 REVEILLON (CM2) Énoncé distribué aux élèves : sous la forme d un dialogue accompagné d une affiche à compléter Objectif réveillon: trouver le prix du réveillon pour le reporter sur une affiche à l attention des villageois

118 RÉVEILLON (CM2) Robin et Lucie, tous deux habitants de Pinsol, font partie du comité des fêtes du village et doivent organiser le réveillon de la Saint-Sylvestre. Robin: -Salut Lucie! Lucie: -Salut Robin! Alors tu t es renseigné auprès du traiteur? Robin: -Oui, il m a dit qu il pouvait préparer un repas pour 37 par personne, mais il n a pas compté le prix du service. Or les deux serveurs nous reviennent à 155 en tout. Lucie: -Parfait. Moi, je me suis occupée des cotillons. Ça coûtera 3,40 par personne. J ai aussi trouvé un animateur pour la soirée et il nous demande 373. Robin: -Bon, alors on va pouvoir fixer le prix de la soirée. Au fait tu sais à peu près combien de personnes vont venir? Lucie: -Oh, comme d habitude. Les 12 tables de 8 de la salle seront complètes. Robin: -Alors il ne reste plus qu à terminer la maquette de l affiche avant de l apporter chez l imprimeur. Regarde! Lucie: -Eh! Pas mal! Au fait, dis-moi, tu as une réduction pour les 16 affiches à imprimer? Robin: -Oui, elles nous reviennent à 4,70 pièce. Lucie: -Et bien, dépêche-toi de t en occuper parce qu après il nous faudra aller les coller. Et il ne reste qu un mois avant le réveillon. Robin: -Bien, j y vais de ce pas! Allez, salut!et on se tient au courant, d accord? Lucie: -Pas de problème. Salut Robin!

119 Venez fêter le Nouvel AN à PINSOL Repas, Cotillons, Soirée dansante. Ambiance assurée! Prix par personne Inscriptions à la mairie auprès de M. PONS

120 Enoncé canonique Réveillon (CM2) Le comité des fêtes du village de Pinsol organise un réveillon pour le nouvel an. Il est prévu de remplir la salle des fêtes comprenant 12 tables de 8 personnes. Le traiteur consulté propose un repas à 37 par personne. Mais ce prix ne comprend pas le service qui sera assuré par 2 serveurs au prix de 155 en tout. Chaque participant au réveillon paie 3,40 pour les cotillons. De plus il faudra dépenser 373 pour l animation de la soirée. Pour la publicité, il faut imprimer 16 affiches à 4,70 pièce. 1) Quel est le coût total du réveillon? 2) Quel est le prix payé par chaque personne participant au réveillon?

121 Aide A V F? Il faut compléter l affiche. Robin et Lucie sont frère et sœur. Le réveillon de la Saint Sylvestre a lieu le 31 Janvier? Il manque des informations dans le texte. On connaît le prix d un repas. On connaît le nombre de personnes à chaque table. On connaît le nombre d affiches à imprimer. Pour trouver le nombre de personnes qui viendront au réveillon, on peut multiplier 12 par 10. Pour trouver le prix total de l animation, on peut multiplier 373 par 12. La conversation entre Robin et Lucie a lieu le 13 décembre. Pour calculer le prix de revient par personne, il faut additionner le prix du repas, des affiches, des serveurs, et le multiplier par le nombre de personnes. Un traiteur c est quelqu un qui prépare des plats cuisinés. Puisqu il y a 2 serveurs, il faut calculer 2 x 155 S il manque des informations, je peux les demander;

122 Aide B1 Pour trouver le prix du réveillon par personne à inscrire sur l affiche, je calcule: Le nombre de participants si toutes les tables sont complètes : Le coût du repas et le coût des cotillons pour tous les participants: Le coût des serveurset le coût de l animation: Le coût des affiches: Le coût total du réveillon pour tous les participants: Le prix du réveillon pour une personne:

123 Aide B2 Le prix de revient par personne à inscrire sur l affiche, c est: Le prix des serveurs. + + Le coût total de tous les repas Le prix des affiches: Coût total de la soirée pour.. personnes + + Le prix de l animation: Le prix des cotillons: Et le prix de la soirée pour une personne?.

124 REVEILLON Question défi Les élèves donnent très souvent une valeur approchée par défaut du coût du prix de la soirée par personne. La question qui peut leur être posée est alors: A partir du résultat que vous avez trouvé, calculer la somme récoltée les organisateurs du réveillon lorsque chaque participant aura payé. Cette somme correspond-elle au coût total du réveillon? Si non, comment trouver l argent manquant?

125 Ils ont tout ramené à la personne

126 Même procédure mais pb d arrondi car service et animation distinctes

127 Pose de l addition incorrecte

128 Dans l addition, on ramasse tous les nombres qui apparaissent.

129 Opération avec les zéros. Erreur dans technique de l addition sur les décimaux. Coincés sur la division, sont repartis par personne.

130 OK. Erreur sur l arrondi

131 Calcul au brouillon. Bonne réponse sur l affiche