Chapitre 1 : Analyse Combinatoire

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1 Chapitre 1 : Analyse Combinatoire L2 éco-gestion, option AEM (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 1 / 23

2 Question du jour Pensez-vous que dans cette assemblée, deux personnes au moins soient nées le même jour? (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 2 / 23

3 L analyse combinatoire L analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment dénombrer des objets. Pourquoi dénombrer? Ex : comment classer 2 élèves? 3? 4?...20? comprendre comment compter devient rapidement important. Dénombrement et mathématiques : Théorie des probabilités : lorsque le nombre de cas possibles est fini, alors la connaissance de ce nombre est primordiale. Combinatoire géométrique : de combien de façons peut-on colorier une carte avec k couleurs, de telle sorte que deux pays frontaliers soient de couleur différente? Théorème des quatre couleurs. Théorie des graphes : ex nombre d Erdös. Triangle de Pascal : comment développer (x + y) 8 rapidement?... (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 3 / 23

4 Plan 1 Un principe de base 2 Nombre d arrangements 3 Nombre de permutations 4 Nombre de combinaisons (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 4 / 23

5 Plan 1 Un principe de base 2 Nombre d arrangements 3 Nombre de permutations 4 Nombre de combinaisons (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 5 / 23

6 Un principe de base Exemple 1 Dans un magasin, j ai le choix entre trois ordinateurs portables de même dimension et 2 pochettes. Combien ai-je de choix possibles? Le principe multiplicatif On considère deux ensembles finis A et B. On note A B le produit cartésien de A par B, c est-à-dire l ensemble des couples (x,y) où x est dans A et y est dans B. Le cardinal de A B est égal au produit des cardinaux de A et de B : card(a B) = card(a) card(b) (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 6 / 23

7 Principe multiplicatif Exemple 2 Le mot de passe Izly (CROUS,...) comporte six chiffres entre 0 et 9. Combien y a-t-il de mots de passe différents? Exemple 3 Un digicode est composé d une lettre (A ou B) suivi de 3 chiffres. Combien y a-t-il de codes possibles? Exemple 4 On veut garer 3 voitures sur un parking de 6 places. Combien y a-t-il de possibilités de trois places vides? (de garer les voitures?) (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 7 / 23

8 Plan 1 Un principe de base 2 Nombre d arrangements 3 Nombre de permutations 4 Nombre de combinaisons (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 8 / 23

9 Arrangements Définition d un arrangement Etant donné un ensemble E de n objets, un arrangement de k de ces objets est une suite ordonnée de k objets pris parmi ces n objets. Attention On tient compte de l ordre des objets. Exemple 1 Combien y a-t-il de podiums de 3 coureurs d un 100m d une course de 8 coureurs? (3,7,2) est un arrangement ; (2,7,3) en est un autre. (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 9 / 23

10 Nombre d arrangements Arrangements sans répétition Sans répétition Dans un arrangement sans répétition, les k objets de la liste sont tous distincts. Cela correspond à un tirage sans remise et avec ordre. Exemple 1 Combien y a-t-il de podiums possibles de 3 personnes avec 10 partants? avec 20 partants? (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 10 / 23

11 Nombre d arrangements Arrangements sans répétition Propriété Le nombre d arrangements sans répétition de k objets parmi n (avec 0 k n) est donné par Exemple 2 A k n = n (n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! Combien de nombres de six chiffres peut-on former avec les chiffres les 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, chaque chiffre n étant présent qu une fois, et de façon que chaque nombre commence par 7 et soit divisible par 5? (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 11 / 23

12 Nombre d arrangements Arrangements avec répétition Avec répétition Dans le cas d un arrangement avec répétition, les k objets de la liste ne sont pas nécessairement tous distincts. Cela correspond à un tirage avec remise et avec ordre. Propriété Le nombre d arrangements avec répétition de k objets parmi n est n k. Exemple Combien de nombres de 6 chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 2 et 3? (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 12 / 23

13 Des arrangements aux combinaisons......en passant par les permutations Podiums sans ordre Combien y a-t-il de podiums possibles de 3 coureurs sur 10 partants si maintenant on ne tient plus compte de l ordre d arrivée? Il s agit donc de dénombrer (entre autres) des permutations... (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 13 / 23

14 Plan 1 Un principe de base 2 Nombre d arrangements 3 Nombre de permutations 4 Nombre de combinaisons (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 14 / 23

15 Nombre de permutations Permutations sans répétition Sans répétition Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments. Autrement dit, c est un arrangement de k = n objets pris parmi n objets. Exemple 1 Le nombre 2537 est une permutation du nombre Propriété Le nombre de permutations de n éléments distincts est A n n = n!. Exemple 2 Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec 1, 3 et 5? (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 15 / 23

16 Nombre de permutations Permutations avec répétitions Problème Trouver le nombre de mots que l on peut former par permutation des différentes lettres 1 du mot VAI. 2 du mot VIVA. 3 du mot AVIVA. 4 du mot AVIVAIT. la solution passe par la compréhension du nombre de permutations avec répétitions. (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 16 / 23

17 Nombre de permutations Permutations avec répétitions Propriété Preuve... Considérons un ensemble de n objets divisés en p groupes d éléments identiques, les groupes comprenant respectivement n 1,n 2,..., et n p objets (on a donc n 1 + n n p = n). Alors le nombre de permutations de cet ensemble est : n! n 1!n 2!...n p! (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 17 / 23

18 Plan 1 Un principe de base 2 Nombre d arrangements 3 Nombre de permutations 4 Nombre de combinaisons (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 18 / 23

19 Nombre de combinaisons Définition Une combinaison de k objets pris dans E est un sous-ensemble de k de ces n objets. Exemple L ordre n intervient pas. Le joueur de poker tire une combinaison de 5 cartes d un jeu de 52 cartes. L ordre des cartes ne compte pas. (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 19 / 23

20 Nombre de combinaisons Combinaisons sans répétition Une combinaison sans répétition correspond à un tirage sans remise et sans ordre. Propriété Le nombre de combinaisons sans répétition est donné par ( ) n Cn k = = Ak n k k! = n! k!(n k)! C ( n k : notation francophone. n ) k : notation anglosaxone. Preuve Même raisonnement que pour le dénombrement des permutations avec répétitions. (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 20 / 23

21 Nombre de combinaisons Combinaisons sans répétition Exemple De combien de manières peut-on choisir une délégation de 3 hommes et 2 femmes pris parmi un groupe de 7 hommes et 5 femmes? Remarque Formaliser et démontrer la proposition : le nombre de manières de choisir k éléments parmi n (sans ordre) correspond au nombre de manières d en choisir n k parmi n. (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 21 / 23

22 Combinaisons et triangles de Pascal Propriété C k n = C k 1 n 1 + C k n 1, 0 k n Cette formule permet de démontrer la formule du binôme de Newton : (x + y) n = n k=0 C k n x k y n k. Triangle de Pascal : premières lignes, détail des C k n pour n = 0,1,2,3,4 et k = 0,...,n Exemple (x + y) 4 = 1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4 (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 22 / 23

23 Nombre de combinaisons Combinaisons avec répétitions Une combinaison avec répétitions correspond au cas d un tirage sans ordre et avec remise. Propriété (admise) Le nombre de combinaisons avec répétition de k objets parmi n est Cn+k 1 k = ( ) n+k 1 k, k étant éventuellement supérieur à n. Exemple Lors d une soirée, 3 amis munis de 3 "bons pour une boisson" se dirigent vers le bar qui peut délivrer 8 sortes de boissons dénommées ABCDEFGH. Combien de commandes peuvent-ils faire? [AAB = ABA] (L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 23 / 23

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