L' L' L~~ 13. Décembre 1997

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1 IREU de RENNES ( L' L' L~~ 13 ~1 13 Décembre 1997 j

2 SOMMAIRE MOT DU DIRECTEUR LA CRISE DE JUIN LE COLLOQUE INTERNE LA MULTIPLICITE DES CONTRATS DANS L'USAGE DES FIGURES EN GEOMETRIE... 9 BILAN FORMATION DIDACTIQUE MATHEMATIQUES EDAP CONCOURS D'AFFICHES A L'IREM LA BIBLIOTHEQUE DE L'IREM-CCAFE A PROPOS DES ABONNEMENTS... : MATHEMATIQUES SUR LE SERVEUR DE L'ACADEMIE DE RENNES PRODUIRE ET LIRE DES TEXTES DE DEMONSTRATIONS... 38

3 LA VIE DES GROUPES MATHEMATIQUES EN CLASSE DE PREMIERE STT AAC INTEGRATION D'OUTILS DE CALCUL FORMEL ALGEBRE LINEAIRE, DU LYCEE A LA FAC L'ELEVE ACTEUR DE SA PROPRE CORRECTION NOTES DE LECTURE UN MATHEMATICIEN AUX PRISES AVEC LE SIECLE MATHEMATIQUES : (Récit) INITIATION AUX TRAITEMENTS STATISTIQUES METHODES ET METHODOLOGIE... 56

4 MOT DU DIRECTEUR L'année 1997 qui se tennine efqui sera finie quand vous recevrez ce bulletin a été une année importante et difficile pour l'irem Importante, car elle a vu notre arrivée dans de nouveaux locaux, que certains d'entre_ vous ont pu visiter lors de la journée" portes ouvertes" qui a fait suite au colloque interne. Difficile car un déménagement est toujours source de dysfonctionnements ponctuels, certes, mais néanmoins gênants lors du réaménagement. D'autant plus difficile que nous avons mis en chantier des manifestations à l'occasion de ce déménagement: - journées IREM à Rennes, - colloque interne à Rennes, - concours d'affiches, et qu'il a fallu assurer tout ce travail en plus du travail habituel. D'autant plus difficile qu'une fois dans de nouveaux locaux plus modernes, cette modernité impose des questions et des choix! Par exemple, le renouvellement, l'amélioration du potentiel informatique, la mise en réseau, etc... L'année a été aussi une année délicate pour le réseau de_s IREM qui a connu une grave crise, qui semble à court terme réglée, mais dont on reparlera sans doute dans les mois qui viennent. Cette année a été aussi, pour nous à l'irem de Rennes, une année malheureusement attristée par la disparition brutale de nos amis Louis LE STRA T et Geneviève MOURAUD, qui ont longtemps participé à la vie de l'irem. BorisLAZAR 1

5 La crise de Juin 1997.Au cours des vingt cinq dernières années (et même un peu plus... ) d'existence des IREM, celles-ci ont connu quelques situations critiques, depuis la grande réduction de leurs crédits et la réaction qui s'ensuivit en 1976, jusqu'au trouble dû à la création des MAFPEN. Depuis 1994/1995 le Ministère s'est attaqué peu ou prou à une des bases du réseau des IREM : les commissions Inter IREM, en décidant de ne plus reconnal'tre leur existence et donc de ne plus leur verser de subvention (lisa, HSE et frais de déplacements). Etait-ce une attaque voulue ou plus simplement parce que le Ministère avait décidé de fonctionner de façon différente et de mettre en place des Thèmes? Ceux-ci recouvraient plus ou moins les projets des commissions mais souvent en compliquant la vie de tout le monde, par exemple en étant liés à deux commissions. Dans un premier temps les CII 1 et l' ADIREM 2 ont fait le gros dos et ont pensé qu'au moyen de quelques complications comptables la situation antérieure pourrait perdurer. Ce ne fut pas aussi simple que prévu, en particulier parce que le MEN voulait des preuves que le travail avançait en fonction des thèmes proposés, pour donner les subventions promises. S'opposaient ainsi deux logiques : - l'une, celle de chercheurs qui savent qu'ils sont capables de fournir un certain travail parce qu'ils l'ont toujours fait, - les IREM sont en effet connus sur le plan aussi bien national qu'international pour la qualité de leurs travaux, leur capacité d'innovation, - qui savent aussi que c'est perdre son temps que de faire des rapports d'étape de type administratif. - l'autre, celle d'un trésorier payeur qui veut bien payer mais qui a peur de se faire «avorr»... L'argument des!rem était le suivant : "Nous comprenons fort bien que nous devons rendre des comptes à ceux qui donnent les moyens, mais chaque fois que nous avons eu une commande nous y avons répondu parce que nous avions pu travailler dans l'esprit de liberté qui était le notre. C'est là votre meilleure garantie. Par contre, si vous nous perturbez avec des contrôles tatillons et a priori, à terme nous serons improductifs. N'oubliez pas non plus que les gens qui travaillent dans ces commissions le font par goût et non pour gagner une demie HSA ou même une HSA (une heure de colle leur rapporterait bien plus, par exemple... )". questions. Les ADIREM des derniers mois se sont pour l'essentiel déroulées autour de ces 1 Commission Inter!REM. 2 Assemblée des Directeurs d'irem 2

6 A ces premiers débats s'est rajouté au cours de l'année 1996/1997 une autre menace : la subvention donnée par le Ministère par Je canal de la DGES 3, passerait par celui des DLC 4 ce qui n'est pas un simple changement de sigle mais bien plus : en effet, les IREM ont toujours considéré que leur mission de recherche, le «R» de GRF 5, en font des établissements universitaires et à ce titre qu'ils doivent traiter avec la DGES et non avec la DLC. Enfin, l'année s'est terminée avec la lettre de A. Boissinot, Directeur des Lycées et Collèges du MEN, aux chefs de MAFPEN, datée du 2 Juin lettre dans laquelle il affirmait, on ne peut plus clairement, deux choses : - l'argent de la DLC ne doit pas servir aux travaux de recherche des IREM et dans cette perspective c'est une remise en cause du fonctionnement des GRF, - la non reconnaissance du label IREM pour les formateurs ce qui va là encore à l'opposé des idées que les IREM développent depuis des années. Après différentes rencontres au Ministère, et avec l'aide du collectif de défense des IREM remis au goût du jour pour la circonstance nous avons obtenu une convention qui nous permet de fonctionner. pour l'instant et à court terme, mais nul ne sait ce que l'avenir nous réserve d'autant que le Ministère a l'intention de remettre à plat tout ce qui concerne la formation continue. Cette intention largement médiatisée, parfois de façon provocatrice (ah! les stages de poterie...) a déjà eu un premier résultat, en tout cas en ce qui concerne 1 'IREM de Rennes : moins de candidats aux stages courts et la première Journée IREM qui devait se tenir à Redon n'aura pas lieu faute d'un nombre suffisant de participants. En effet, se sont conjugués deux effets penùcieux : - les enseignants sachant qu'ils ne pourront se faire remplacer demandent moins que par le passé des autorisations d'absence, - les chefs d'établissement sont devenus plus réticents qu'autrefois, c'est tout au moins 1' analyse que nous en faisons ici. S~ pour notre part, nous pelj$ons qu'il est peut-être temps de faire un bilan de la formation continue des enseignants, avec une mise à plat des relations entre IREM-MAFPEN IUFM-Université, il nous paraît important d'affirmer quelques principes: - Si pour découvrir une nouvelle calculatrice ou un nouveau logiciel on peut envisager une formation de type traditionnelle c'est-à-dire un animateur et des auditeurs et ceci sur un temps plus ou moins long, dès lors qu'il s'agit de réfléchir sur un sujet ou sur une pratique cela devient notoirement insuffisant et la seul solution un tant soit peu raisonnable est le groupe de recherche formation où l'on peut effectivement se former en faisant une vraie recherche, ou éventuellement le stage de longue durée dans lequel les participants ont une activité de type GRF. 3 Direction Générale des Enseignements Supérieurs. 4 Direction des Lycées et Collèges. 5 Groupe de Recherche Fonnation. 6 la date vous évoque peut être quelque chose... 3

7 - A côté de ces GRF, il existe des stages courts dont le seul intérêt est de faire connaître des travaux, des résultats et surtout des façons de se former, et enfin des journées de présentation de plusieurs travaux de 1 'IREM. Dans notre esprit ces dispositifs ont pour but de mieux faire connaître les actions de formation. Rappelons pour finir que le droit sur le temps de travail à la formation est un droit des travailleurs et des enseignants, qui sont des travailleurs comme des autres. APPEL DU COLLECTIF«DEFENSE DES IREM» Cet appel a été envoyé en Juin 1997 à tous les IREM. La Direction des Lycées et Collèges (DLC) programme la mort des IREM sous couvert de nouvelles modalités de démarche contractuelle. Comme l'a confirmé une entrevue récente entre l'ad!rem et les représentants de la DLC, le Directeur de la DLC s'oppose à l'attribution aux!rem par les MAFPEN des moyens nécessaires pour que les professeurs des lycées et collèges puissent travailler au sein des groupes de recherche!rem; nationalement, les commissions inter-irem ne sont plus reconnues et disparaissent, les moyens restent accordés individuellement sur des thèmes proposés par la DLC et revus tous les deux ans. Le refus d'une formation continue appuyée à une recherche pédagogique, l'opposition à une forme de travail qui rassemble des enseignants de différents ordres d'enseignement sont ainsi brutalement et clairement signifiés. Nous tenons à sauvegarder l'outil de travail original que sont les IREM : - Parce que la recherche qui y est menée, s'appuyant à la fois sur une réflexion théorique et sur des pratiques enseignantes, permet une réflexion à long terme sur l'enseignement des mathématiques et les relations des mathématiques avec les autres disciplines scientifiques mais aussi avec la philosophie, l'histoire ou les sciences humaines. - Parce que cette recherche sans cesse confrontée au réel, nourrit et dynamise une formation continue apte à penser et intégrer les changements imposés par la société. - Parce que le travail en commun, à partir de leurs compétences et au delà de tout rapport hiérarchique, de professeurs de l'enseignement secondaire et d'universitaires, est essentiel pour la recherche sur l'enseignement. - Parce que la structure nationale en réseau permet d'aborder globalement la plus grande partie des questions posées par l'enseignement des mathématiques. ' 4

8 L'histoire de ces dernières années a montré que les retombées du travail accompli par les IREM profitent à un grand nombre d'enseignants et à l'école tout entière< en particulier c'est parce que les!rem mènent dans les commissions une recherche suivie qu'ils peuvent répondre à des commandes du Ministère de l'education Nationale. Alors que de nombreux enseignants étrangers ont mis ou voudraient mettre en place une telle structure de travail dans leur pays, est-il raisonnable de remettre en cause l'existence des IREM? Ne vaudrait-il pas mieux étendre ce type d'institution à d'autres disciplines? Le Collectif demande que soient reconsidérées les décisions du Directeur de la DLC et que soit sauvegardée la structure de travail des IREM, il appelle à s'associer à cette demande. Diffuser et faites signer cet appel. Renvoyez l'appel à: Collectif«Défense des!rem»!rem de Lille USTL Villeneuve d' Ascq Cedex Fax: [email protected] Voici quelques p1-opos récents de notre Ministre en réponse à une question de Madame C GENISSON Députée du Pas-de-Calais : [... ] La direction des lycées et collèges n'est pas institutionnellement en charge du financement de la recherche en mathématiques effectuée par les!rem. Ceux-ci ont en effet un statut universitaire et disposent de ressources qui leur sont affectées par la direction générale des enseignements supérieurs et, dans le cadre de leur autonomie, par les universités auxquelles ils sont rattachés. [... ] [...] J'ai cependant demandé à mes services d'examiner la situation des!rem en vue de bien identifier leurs missions, et de les articuler plus rationnellement avec les missions générales des universités en matière de recherche, notamment avec celles dorénavant confiées, depuis leur création, aux instituts universitaires de formation des maîtres, qui participent également à la recherche en éducation. [...] 5 '

9 LE COLLOQUE INTERNE 1997 Ce colloque a lieu en général dans un site choisi en dehors de Rennes car le fait de tous se retrouver dans un même lieu pendant deux jours et demi, y compris les soirées permet souvent de discuter, d'échanger, de mieux travailler en quelque sorte... Et pourtant cette année exceptionnellement nous avons décidé, et ce au colloque de St Malo en 1996, de le faire les 8 et 9 Mai dans les nouveaux locaux de l'irem, pour fëter notre installation et de le prolonger par une Journée«Portes Ouvertes» le Samedi 10 Mai. Il est vrai que ce colloque a été moins convivial que d'autres mais de l'avis général il s'est bien déroulé. " La journée «Portes Ouvertes» était destinée à faire connaître à tous nos collègues professeurs de mathématiques 1 'IREM et ce qu'on y fait : groupes de recherche, brochures, stages courts, universités d'été... Elle a comporté : - des démonstrations de logiciels, - des présentations des travaux de plusieurs groupes de recherche, - un débat sur les parcours différenciés, - - une conférence de Colette Laborde. Elle a aussi permis à un grand nombre de personnes de visiter la bibliothèque de l'irem et d'acheter des brochures. " Un grand nombre d'enseignants, y compris des staguures de l'rufm, étaient présents malgré un long week-end, donné il est vrai un peu tardivement... et ont permis de faire de cette journée une réussite. Il faut aussi remercier le travail des délégués IREM grâce à qui l'information peut arriver dans les lycées. " La matinée était consacrée : - d'une part, à la découverte de logiciels conçus pour l'enseignement des mathématiques (aides à la démonstration, constructions de courbes, calcul formel, banque de problèmes... ) et présentés par des professeurs travaillant à l'lrem, au S.TA du Rectorat, avec le laboratoire de didactique de l'irmar ou de l'apmep, - d'autre part, à la présentation de quelques groupes de recherche des dernières années par des membres de ces groupes. 6

10 ll faut dire honnêtement que les logiciels ont eu plus de succès... " Enfin, les enseignants présents ont pu regarder deux expositions : - une proposée par J.P. Escofier, «Les mathématiques à l'époque révolutionaire». l'autre présentant des travaux d'élèves de Vitré (merci à F. Pautret de nous l'avoir confiée) sur«l'histoire des mathématiciens». Nous avons eu les honneurs de la presse... Beaulieu: des nouveau?' locaux pour I'I.R.E.M..: A Beaulieu, I'I.R.E.M~ (Institut universitaire de recherche sur l'enseignement des mathématiques) s'est vu attribuer cette année de nouveaux locaux : un des bâtiments neufs de Be8ulleu Nord. Ce lut l'occasion pour lui dè: redorer son image ~t celle des', mathématiques en général qui auraient tendance. à fair&. l'objet 111 d'attaquee non Justifiées,., selon Boris Lazar, le- p résldent. Les I.R.E.M. ont été créés il y a vingt-cinq ans, dans le vent de philosophie de -. mal 68.., à une époque -Qù' les maths modernes avalent toutes les peines à s'lnsé-- rer. daos l'er;tse!qnement AujoUr- d'hui, les vingt-cinq lnstlluts en France poursuivent leur objectif : des formations cotitlnues d'ensej.. gnants par le.~lais de travaux de recherche. ' Ainsi, à Rennes, -plusieurs équipes do recherche; encadrées. par des: enseignants du secon- da!re et.du supérieur, rassemblent près de soixante personnes.. Cette conception de l'enselgn.,. ment par I'I.R.E.M. semble po"er ses fruits et celui-cl jouit mainte- nant d'une notoriété cèrtalne lors des cong'rès - internationaux de : maths, tous les quatre ans. Maf.. gré tout, explique B. Lazar,, en France, l'enseignement dea mothi eoultre. d'attequel Des gens, peut être qualifiés dana Jeure domaines male sana com.. pétence dens celui dea matha, se permettent de lee Juger: c'est. une réaction à un lmpérlallome, dea maths qui n'est pa1 de notro ressort mali de celui d'autre disciplinee qui s'en servent comme un moyen. de sélectl_on. La tâche est rude : Il s'agit pour B. Lazar et ses collègues de redynamlser l'!mage des maths et de montrer qu'enes so111 vivantes. Pour ce faire, Ils ont organisé un concours d'affiches pour les collégiens et lycéens (mercredi 7 mal, vingt prix ont été décernés aux meilleurs des quatre cent cin- quante participants) ainsi qu'une journée portes ouvertes dans les nouveaux locaux samedi dernier : les professeurs de l'académie.se Démonstrations de logiciels ei d'enseigneïnènt A ltî]oumée porte' ouvertes.... /.. i ~.,., sont retrouvés au\out db diverses : métrle-- et Importante démonstra.. manifestations (séances de pré-. Uon de loglplels destinés à l'en-. senfation des derniers travaux de selqnem~nts).: recherche, Conférence de Cçlette Laborde, professeur à Grenoble, sur l'usage des figures en géo-- 7

11 Liste des logiciels DOMINO (J.Juw) DEFI (!. GJORGIUITI) PROPORTIONNALITE (o. ooisnard, 1. HOUDEBINE. J.M LE LAOUENAN) MENTHONIEZ (o. PY) SMAO GRAPHIX GEOPLAN CALQUES GEOMETRIQUES ATELIERS DE GEOMETRIE MULTIMEDIA (Cescinqlogicielsootitéprtscotiopar D. BO!SNARD du STA, Service Technique d'appui du Redoratquitestetous les logiciels de mathématiques mais aussi d'autres disciplines et qui par aillam a praé à l'irem du matériel pour oettejoumée). PREMIERS PAS (A.S!MON,ÂNICOLAS,C.BOULARD) BANQUE DE PROBLEMES (R. BEU.OEIL) MODELES MATHEMATIQUES POUR WORD (A. GUILLEMoT) DERIVE (J.B.LAGRANGE, A. LEGROS) CABRI (Y. LEGER) 8

12 LA MULTIPLICITE DES CONTRATS DANS L'USAGE DES FIGURES EN GEOMETRIE Voici le texte de la conférence que Colette LABORDE a faite à Rennes lors de /ajournée«portes ouvertes 11. A côté de notions mathématiques qui font l'objet de définitions explicites dans l'enseignement figurent de nombreux outils de l'activité mathématique, qui ne sont guère objets d'études. Les figures géométriques relèvent de cette catégorie de notions qualifiées de paramathématiques par Chevallard (1991). Les attentes de l'enseignement relativement à ces outils sont le plus souvent implicites et variables suivant les niveaux scolaires. Cet exposé a pour objectif d'analyser le rôle que peuvent jouer les figures dans la résolution des problèmes de géométrie, de montrer la variabilité du contrat didactique relatif à leur usage suivant le type de tâche proposé et débouche sur la situation nouvelle créée par les environnements informatiques de géométrie dynamique. L La distinction entre théorique et spatio-graphique On considère la géométrie comme un corps de connaissances théoriques, même si elle a pu se développer partiellement sous la pression d'exigences du monde réel. On distingue les objets et relations géométriques qui sont de nature théorique, de leurs extériorisations dans des systèmes de signifiants divers. On s'intéresse en particulier aux réalités spatio-graphiques (dessins produits par la trace du plomb sur le papier, d'un bâton sur le sable, d'électrons sur l'écran de l'ordinateur) qui représentent ces objets théoriques. En tant que réalités de l'espace sensible, elles donnent à voir des relations spatiales. Les objets et relations de la géométrie sollicitent de la part de l'individu des connaissances et contrôles théoriques tandis que les réalités spatio-graphiques sollicitent d'abord une appréhension et des contrôles perceptifs (parfois aidés d'instruments). Ce n'est que lors d'un processus d'interprétation en termes de géométrie, qu'elles appellent des connaissances théoriques. L'existence de ces deux modes de connaissances et de contrôles a été exprimée dans plusieurs recherches, sous des noms parfois différents : dessin/figure (Parzysz 1988, Arsac 1989, Laborde & Capponi 1994), figura! concept (Fishbein 1993, Mariotti 1995), problématique pratique!problématique théorique (Salin et Berthelot 1994). Duval (1988, 1994), Matos (1992) et Salin & Berthelot (op.cit.) ont montré que!'.appréhension perceptive peut s'ériger en obstacle à une interprétation géométrique. En particulier, des dessins prototypiques et les traitements associés (Matos 1992, p.1 09) se sont installés. Pluvinage (1989) et Rauscher (1993) ont proposé l'expression géométrie de traitement pour désigner les traitements de dessins contrôlés par des connaissances géométriques dans l'enseignement de la géométrie au collège. Reprenant la notion d'invariant utilisée par Vergnaud (1994), nous considérons que les élèves ont à construire non seulement des invariants géométriques mais aussi spatiaux et surtout construire des liens entre ces deux types d'invariants. Ce sont ces liens qui permettent la mobilité nécessaire entre le théorique (les savoirs géométriques) et spatiographique (le dessin) dans les processus de résolution d'un problème géométrique. 9

13 L'enseignement se doit de favoriser la construction de ces liens, en particulier l'apprentissage de l'identification de configurations spatiales en lien avec leur interprétation géométrique. Or, l'enseignement secondaire n'ignore pas les dessins en géométrie - les activités de tracé, de dessins, de lectùre sont présentes dans les manuels de collège, mais reposant sur des attentes différentes sur ce que l'élève est en droit de faire. IL Les dessins en géométrie dans les manuels de collège Une première enquête réalisée sur cinq manuels de troisième 1 par Clouzeau (1997) met clairement en évidence que l'interprétation géométrique de dessins fait partie des compétences exigées des élèves de collège. Clouzeau a systématiquement relevé les exercices de calcul de longueur manquante mettant en jeu le théorème de Thalès dans ces cinq manuels. na pu constater que toutes les hypothèses n'étaient données verbalement que dans moins de la moitié des exercices. Plus précisément, 142 exercices nécessitent que l'élève tire des données du problème, du dessin qui accompagne le dessin alors que 116 exercices les explicitent toutes dans l'énoncé verbal. Une étude plus fine des données que l'élève doit tirer du dessin pour pouvoir résoudre l'exercice, montre que ce dernier est en droit de lire sur le dessin: -l'appartenance d'un point à une droite, une demi-droite, un segment ou un cercle, -l'existence de l'intersection de 2 objets géométriques (droites, segments, cercles), -l'ordre des points sur une droite ou un segment, -le caractère non croisé d'un polygone, - la perpendicularité si elle est codée, -l'égalité de lon~eurs si elle est codée. Prenons le cas de l'appartenance à un objet géométrique. L'élève est en droit de la lire sur un dessin lorsqu'elle fait partie des données du problème. n n'est plus en droit de la lire lorsqu'elle fait partie des résultats à démontrer. On retrouve dans l'usage des dessins la distinction proposée par Duval (1991) entre le caractère de vérité d'une proposition (souvent vraie lorsqu'on peut la lire sur le dessin) et son statut opératoire (hypothèse ou conclusion). L'usage assigné au dessin dans l'enseignement semble donc varier suivant la tâche à réaliser, lecture de données du problème ou démonstration par exemple. L'examen des différentes catégories d'exercices de géométrie au collège et des commentaires sur leur résolution que peuvent faire certains de leurs auteurs confirme cette impression. On peut ainsi distinguer trois types de problèmes suivant le rôle du dessin : - les problèmes de reproduction de dessins fournis avec parfois des données verbales supplémentaires (ils ont cours surtout en 6ème et Sème) ; un dessin est donné en entrée de la tâche, il en est demandé un autre en sortie (Pluvinagé 1989 & Rauscher 1993); 1 Il s'agit des manuels: Mathématiques 3ème Delord R, Terracher P.H., Vinrich G., Hachette Education 1 Maths 3ème Corrieu L., Desnoyer D., Marchand D., Sogemond S., et Verdier P., Delagrave 1 Pythagore 3ème Bonnefond G., Daviaud D. et Revranche B., Hatier 1 Math 3ème Depresle P., Jauffret P., Marcelle! F., Mazaud P. et Pène N., Belin 1 Math 3ème IREM de Strasbourg, Bourdenet G., Marchand N., Mollet-Petit F., Pluvinage F. et Richeton J.P., Istra. 10

14 - les problèmes de construction qui consistent à demander la construction (en général à la règle et au compas) d'un dessin satisfaisant à un ensemble de conditions ; des données verbales sont founùes en entrée, un dessin est à donner en sortie par les élèves ; - les problèmes de démonstration dans lesquels on a à établir des propriétés géométriques à partir d'un ensemble donné de propriétés. Le dessin n'est qu'un élément auxiliaire du problème. Examinons les attentes implicites de l'enseignement au niveau du collège dans ces trois types de problèmes : * Dans les problèmes de reproduction à l'identique ou en plus grand, ou de construction en vraie grandeur (surtout fréquents en 6ème ), l'élève est en droit de tirer certaines informations visuelles du dessin donné à reproduire ; ainsi, il est en général permis (sans que ce soit explicité) de conclure à l'alignement de trois points ou à l'intersection de trois droites, à l'appartenance d'un point à une droite ou à un segment, au seul vu du dessin. Certains exercices demandent en plus de reconnaître visuellement des quarts de cercle ou des demicercles. Toutes les informations visuelles ne sont pas à prendre et c'est bien en cela que 1' on peut conclure qu'un certain contrat est en vigueur. illustrons le à l'aide de l'exercice 47 (p.45) du manuel "Cinq sur cinq" de la classe de 6ème (Hachette, 1994). Le dessin ci-dessous (Fig.!) y est fourni avec la consigne "Refaire, en plus grand, le dessin suivant". Fig.! Une première sorte d'implicite concerne l'agrandissement. ll s'agit très probablement d'une augmentation de t~e qui concerne les distances et non les angles (implicite jugé décodable par les élèves de par la connaissance supposée qu'ils ont de l'agrandissement de plans ou de cartes) mais cet agrandissement n'est probablement pas à l'échelle (sinon on l'aurait indiqué dans l'énoncé, le "en plus grand" formule de la langue courante délivre du même coup les élèves d'une obligation de précision). La mesure des distances confirme cette interprétation. Les mesures des segments OC, OA, OB, et OD ne s'expriment pas en nombres entiers de centimètres. Là encore une règle implicite joue. Si les auteurs avaient voulu la prise en considération des mesures, ils les auraient choisies s'exprimant en nombres "ronds" pour faciliter les calculs. Une deuxième sorte d'implicite est relative au choix des informations prises sur le dessin à respecter dans la reproduction. Certainement les alignements de 0, C et D, de 0, A et B, l'intersection en 0 de dl, d2 et d3, la position de d2 interne à l'un des angles aigus formé par d 1 et d2, l'ordre des points 0, C et D. Mais la taille respective des angles formés par les droites n'est probablement pas à respecter de façon précise. ll suffit que 1' angle d20d3 soit environ de taille proche de dl0d2 et que dl0d3 soit un angle nettement aigu. 11

15 * Les problèmes de construction sont des classiques, surtout lorsqu'ils relèvent de la catégorie règle et compas : certains usages des instruments y sont permis, d'autres non. Ainsi la construction d'une tangente à un cercle passant par un point donné extérieur au cercle ne peut se faire par pivotement de la règle autour du point. On ne peut de même trouver le centre d'un cercle en essayant plusieurs positions avec le compas de façon à tracer un cercle coïncidant avec le cercle donné. Le tâtonnement ou encore la stratégie essai-erreur validée par un contrôle perceptif est illicite. Comme le dit Chevallard (1991), seule est véritablement enjeu la constructibilité de l'objet géométrique et non sa représentation effective. Le licite connaît aussi des variations. Suivant les exercices, on admettra ou l'on interdira le report par règle graduée de mesures. * Dans les problèmes de démonstration, si l'on se réfère aux seuls termes de l'énoncé et si ce dernier ne fait pas mention de dessin, l'élève serait tout fait en droit de fournir une justification de la propriété à établir sans fournir de dessin. Mais parce que le dessin est un élément d'appui de l'élaboration de la preuve, il est implicitement demandé aux élèves d'accompagner la rédaction de la preuve d'un dessin. Le rôle de ce dessin dans l'élaboration de la preuve est d'ailleurs réglementé comme l'expriment certains manuels actuels : "Attention! Certaines impression sont parfois mauvaises. L'utilisation des instruments permet seulement de se faire une idée de certaines propriétés d'une figure. Cela s'appelle/aire une conjecture ("il semble que", "on dirait que"). Quand on affirme un résultat, il faut toujours le prouver en utilisant une ou plusieurs propriétés étudiées en classe. On dit aussi montrer ou démontrer ou justifier." (Delord, Terracher et Vmrich ; 4ème, 1992, Collège Hachette, p.l38). Le dessin n'est qu'un pourvoyeur d'impressions visuelles susceptibles de donner des idées de propriétés géométriques mais contrairement aux problèmes de reproduction, il n'est pas permis de les prendre pour vérifiées par l'objet géométrique dont le dessin est une représentation. Seuls les faits théoriques et de plus vus en classe, sont à utiliser dans une chaîne de déductions. Le contrat paraît clair, il l'est un peu moins si l'on approfondit tant soit peu la question Les propriétés d'ordre, de régionnement, dans certains cas d'intersection, peuvent être en général admises directement de la constatation visuelle sur le dessin (Augé 1994) et non à justifier. Le même manuel de 6ème (p.l31) donne ainsi un exemple d'exercice résolu de la démonstration de l'alignement de trois points (Fig.2). I Fig.2 12

16 Citons le in extenso. "On considère la figure ci-contre, dans laquelle les trois triangles EFG, FGH, et FHI sont équilatéraux. Prouver que les points E, F et I sont alignés. EFG = GFH = HFI = 60 (voir dans la marge) angle EFI = angle EFG +angle GFH + angle HFI. angle EFI = 60 x 3 = 180 L'angle EFI est donc plat: on en déduit que les points E, F et I sont alignés." En marge il est indiqué que dans un triangle équilatéral, chaque angle est égal à 60. La démonstration fournie fait appel, sans le prouver, aux positions respectives dans le plan des droites FE, FG, FH et FI pour conclure à l'égalité: EFI = EFG + GFH + HFI. ll est aussi intéressant de constater que le même manuel de 6ème (cité plus haut) qui admettait que 1' alignement de trois points soit tiré du dessin pour les problèmes de reproduction, ne le permet plus dès qu'il s'agit d'un problème de démonstration. Les exigences diffèrent suivant les deux types de problème. Lorsqu 'un exercice fait appel à plusieurs des tâches citées précédemment peuvent alors coexister un ou plusieurs contrats différents. Les exercices du Brevet des Collèges en fournissent souvent des exemples dans la mesure où ils visent à évaluer les divers apprentissages réalisés par les élèves au collège. Exemple: Construire un rectangle ABCD de centre 0, tel que AB= 4,8 cm et BC = 3,6 cm. Placer le point M milieu du côté [BC]. Prouver que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires. A, , 0----JIN B D c Fig.3 Le point M milieu du côté BC peut être placé sur le dessin sans mettre en jeu un procédé géométrique à 1' aide de tracés de cercles mais tout simplement en utilisant une règle graduée et en reportant la longueur 1,8 cm. En revanche la perpendicularité de OMet BC ne peut être montrée en mesurant les longueurs OM et OB et en vérifiant que OB 2 = OM 2 +BM 2 On attend des élèves qu'ils utilisent la propriété du point de concours des diagonales d'un parallélogramme et celle de la droite des milieux d'un triangle soit pour la réciproque du théorème de Pythagore, soit pour le parallélisme de OM à BC. ll est à noter au passage que les mesures données dans le problème contribuent à renforcer le recours aux mesures : puisqu'elles sont données, elles doivent être utilisées. Elles ouvrent la porte à une lecture directe des mesures de OM et OB sur le dessin qui doit être fait «en vraie grandeud>. 13

17 Une solution sans recours aux mesures fondée sur la propriété de la droite des milieux est pourtant possible. ID. Les environnements informatiques de géométrie dynamique L'apparition du nouveau type de dessin rendu possible par les logiciels de géométrie dynamique renouvellent complètement la situation, en ce qu'ils intègrent des aspects théoriques et des aspects spatio-graphiques dans leur comportement, offrant ainsi une réification de l'interaction entre théorie et dessin mentionnée au début de cet exposé. Un logiciel de géométrie dynamique comme Cabri-géomètre (Laborde & Straesser 1990) permet de créer des réalités spatio-graphiques d'objets géométriques à l'aide de commandes exprimées en termes de primitives géométriques (droite perpendiculaire à, médiatrice de, milieu de,... ). Ces dessins à l'écran de l'ordinateur peuvent être saisis par l'un de leurs éléments que l'on déplace à l'aide de la souris, le dessin se déforme alors en conservant les propriétés géométriques qui ont servi à le construire et celles qui en découlent dans une géométrie grosso modo euclidienne. On pourrait comparer ces réalités que sont les Cabri-dessins aux objets physiques du monde réel, en déclarant de façon rapide qu'ils résistent aux manipulations de l'individu en suivant des lois de la géométrie. Ces logiciels entrent dans la catégorie des micro-mondes: il s'agit d'offrir une réalité matérielle incarnant une théorie mais une réalité épurée de tous les bruits parasites de l'authentique réel (Minsky-Papert 1970, Thompson 1985). IV. Observations d'élèves Des élèves travaillant par binômes à la résolution de problèmes de géométrie avec le logiciel Cabri-Géomètre ont été observés et leurs échanges verbaux retranscrits. Nous avons ensuite dans la mesure du possible segmenté les protocoles ainsi obtenus en unités de façon à identifier les unités du cours desquelles : - les élèves travaillent au niveau du dessin, effectuant des actions de tracé, de déplacement d'objets, - les élèves travaillent au niveau théorique, - et les unités dans lesquelles ils établissent un lien entre théorique et spatiographique. Evidemment, l'attribution d'une unité à l'une des catégories précédentes n'est pas toujours aisée, certains termes de la langue pouvant aussi bien rendre compte des aspects spatiaux que géométriques, la géométrie ayant justement pour origine la mod.élisation de l'espace. Mais les passages du théorique au spatio-graphique ont surtout été l'objet d'analyse, car nous pensions à priori que l'environnement logiciel devait les favoriser. Dans ces allers et retours entre géométrique (ou théorique) et spatio-graphique lors de la recherche de la solution à un problème, les élèves travaillent à trois niveaux : au niveau spatio-graphique, dans lequel ils repèrent des invariants spatiographiques. Citons en quelques uns : la localisation d'un objet par rapport à un autre: à l'intérieur ou à l'extérieur, l'ordre de points alignés, la proximité, l'intersection,... ' 14

18 les formes : circulaire, carrée, 1' alignement, la tangence, la symétrie,... les comcidences d'objets, 1' estimation de longueurs, de tailles. Soulignons que ces invariants spatio-graphiques ne sont pas spontanés chez les élèves et sont le résultat d'un apprentissage. Ainsi, les premières formes reconnues par les élèves sont circulaires et carrées, mais plus tard après un apprentissage de la géométrie, les élèves savent reconnaître la forme d'une ellipse, ou d'une parabole. L'apprentissage de ces invariants se fait donc en interaction avec l'apprentissage de la géométrie : au niveau théorique, dans lequel les élèves ont recours à des définitions, théorèmes qu'ils utilisent dans des implications, - dans la mise en relation entre spatio-graphique et théorique. De l'observation d'élèves résolvant un problème de géométrie, nous avons dégagé plusieurs modalités sous lesquelles peut s'effectuer cette mise en relation : interprétation géométrique immédiate d'un invariant spatio-graphique, raison géométrique donnée à l'existence d'un invariant spatio-graphique repéré, prédiction sur le spatio-graphique issue de connaissances géométriques : si l'on dessine un cercle de rayon OM, il devrait toucher la droite Den M parce que D est perpendiculaire à OM. expérimentation sur le dessin fondée sur des connaissances géométriques : si ce quadrilatère est un carré, ses diagonales devraient être perpendiculaires. «Vérifions sur le dessin si elles le sont, elles ne le sont pas donc le quadrilatère considéré n'est pas un carré». L'observation d'élèves travaillant dans l'environnement informatique Cabrigéomètre nous a montré que les mises en relation entre spatio-graphique et théorique avaient aussi lieu, peut-être même de façon plus importante qu'en papier crayon. En effet, les fonctionnalités de l'environnement Cabri-géomètre permettent davantage d'expérimentations sur le dessin à 1' écran de 1' ordinateur : on peut déplacer un élément du dessin et observer les modifications du dessin, on peut mesurer, on peut vérifier certaines relations géométriques entre objets. Donnons un exemple: on conjecture que deux droites D et D'sécantes en A sont perpendiculaires, on peut tracer une perpendiculaire D" à D' par A et vérifier visuellement si D" et D' restent en comcidence lors du déplacement d'un des objets du dessin. Les expérimentations sont donc non seulement potentiellement plus nombreuses mais de nature différentes puisque le comportement du dessin est contrôlé par une théorie géométrique. Cette dernière caractéristique nous semble fondamentale pour 1' apprentissage : elle permet la confrontation des attentes de l'élève à ce qu'il observe sur l'écran qui a lieu de façon indépendante de sa volonté ; 1' ordinateur est alors susceptible d'opposer un démenti à ce que l'élève supposait. De la contradiction naît un déséquilibre cognitif, dont on sait qu'il peut être moteur pour l'évolution des connaissances. Dans ces observations d'élèves travaillant avec Cabri-géomètre, nous avons de plus relevé une nouvelle catégorie de mises en relation entre spatio-graphique et géométrique dont certains travaux (Jones 1995, Hoelzl 1994 & 1995, Noss & Hoyles 1996) rendent compte. Les élèves combinent des invariants spatio-graphiques et des relations géométriques pour caractériser des objets géométriques. Ainsi dans Jones (1995), deux élèves britanniques caractérisent le centre 0 d'un cercle tangent en P à une droite D 1 et à une droite D2 comme l'intersection d'une perpendiculaire à Dl issue de P et d'une perpendiculaire à D2 qu'on fait bouger jusqu'à ce que 0 soit à égale distance de Dl et D2 (Fig.4). 15

19 Fig.4 Cette nouvelle catégorie de mises en relation nous semble importante car elle constitue probablement une évolution dans la recherche des élèves, un pont entre des constatations spatio-graphiques et des relations géométriques sur lequel l'enseignant peut s'appuyer. De la même façon que nous avons supposé que les invariants spatio-graphiques sont construits par les élèves, nous faisons l'hypothèse que les mises en relation entre spatiographique et géométrique se forgent au cours du temps chez les élèves tout au long de l'apprentissage de la géométrie. Nous pourrions montrer également que certaines situations rendues possibles par les logiciels de géométrie dynamique contribuent à leur construction. Colette Laborde EIAH, Laboratoire Leibniz 46 av Félix Viallet GRENOBLE Références Arsac G. (1989) La construction du concept de figure chez les élèves de 12 ans, Actes de la 13ème conférence Psycho/ogy of Mathematics Education (V oi.i, pp ) Paris : Ed. GR Didactique 46 rue St Jacques Paris Auge H. (1994) Géométrie comme modèle de l'espace donnant lieu à un enseignement de type déductif, Mémoire de DEA de Didactique des Disciplines Scientifiques, Université de Lyon 1 Chevallard Y. (1991) La transposition didactique du savoir savant au savoir enseigné, Grenoble : La Pensée Sauvage Editions Chevallard Y. (1991) Autour de l'enseignement de la géométrie, Petit x, 27, Clouzeau O. (1997) Variable rédactionnelle texte-dessin, Mémoire de DEA de Didactique des Disciplines Scientifiques, Université de Lyon 1 Duval R. (1988) Pour une approche cognitive des problèmes de géométrie en termes de congruence, Annales de didactique et de sciences cognitives, Université Louis Pasteur et!rem de Strasbourg, Vol1, Duval R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration, Educationa/ Studies in Mathematics, 22, Duval R. (1994) Les différents fonctionnements d'une figure dans une démarche géométrique, REPERES-IREMn 17, octobre 1994, Fishbein E. (1993) The theory of figurai concepts, Educational Studies in Mathematics, Vol.24, n 2,

20 Jones K. (1995) Intuition and geometrical problem solving, in Perspectives on the teaching of geometry for the 2lst century, C. Mammana (ed.), pp , University ofcatania, Italy Hoelzl, R. (1994} lm Zugmodus der Cabri-Geometrie: Interaktionsstudien und Analysen zum Mathematiklernen mit dem Computer, Deutscher Studien Verlag, Weinheim Hoelzl R. (1995) Between Drawing and Figure in Exploiting Mentallmagery with Computers in Mathematics Education, Sutherland R. and Mason J. (pp ) NATO ASI Series, Berlin, Heidelberg : Springer Verlag Laborde C. & Capponi B. (1994) Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques.14 (1) Laborde J.-M. & Straesser R. (1990) Cabri -géomètre : a microworld of geometry for guided discovery learning, Zentralblatt fuer Didaktik der Mathematik 5, Mariotti M.A. (1995) Images and Concepts in Geometrical Reasoning in Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, Sutherland R. and Mason J. (pp ) NATO ASI Series, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag Matos J.M. (1992) Cognitive Models in Geometry Learning in : Mathematical Problem Solving and New Information Technologies, J.P. Ponte, J.F. Matos, J.M. Matos, D. Fernandes (eds), pp , NATO ASI Series, Berlin- Heidelberg: Springer Verlag Minsky M. & Papert S. (1970) Draft of a proposai to ARPA for research on artificial intelligence at MIT; , Boston : MIT Noss R. & Hoyles C. (1996) Windaws on Mathematical Meanings- Learning Cultures and Computers, Dordrecht : Kluwer Academie Publishers Parzysz B. (1988} Knowing vs Seeing, Problems of the plane representation ofspace geometry figures, Educational Studies in Mathematics, 19.1, Pluvinage F. (1989) Aspects multidimensionnels du raisonnement géométrique, Annales de Didactique et de Sciences cognitives, 2, ULP et!rem de Strasbourg, 5-24 Rauscher J.C. (1993) L'hétérégonéité des professeurs face à des élèves hétérogènes. Le cas de l'enseignement de la géométrie au début du collège, Thèse de l'université des Sciences Humaines de Strasbourg Salin M.-H. & Berthelot R. (1994) Phénomènes liés à l'insertion de situations adidactiques dans l'enseignement élémentaire de la géométrie, Vingt ans de didactique des mathématiques en France, Artigue et al. (eds), (pp ) Grenoble: La Pensée Sauvage Edition Thompson P.W. (1985} Mathematical Microworld and Intelligent Computer Assisted Instruction. In: Kearsley G.E. (ed.) Artificial Intelligence and Instruction: Applications and Methods Reading MA : Addison Wesley Vergnaud G. Laborde C. (1994) L'apprentissage et l'enseignement des mathématiques In : Apprentissages et didactiques, où en est-on? (Vergnaud G. (ed.) (pp ), Paris: Hachette Education 17

21 BILAN DE LA FORMATION DIDACTIQUE EN MATHEMATIQUES Il m'a semblé intéressant que S. Greggia et T. Serrandour fassent part de leur expérience en tant que formatrices et responsables du stage de didactique quis 'est déroulé dans l'académie à St Brieuc en , à Brest en et qui a lieu à nouveau à St Brieuc en Je les avait invitées au colloque de Mai 1997 pour nous présenter ce stage car il me semblait qu'il méritait que 1 'on en parle. Cette présentation a donné lieu à un débat classique entre tenants purs et durs de la doctrine selon laquelle seuls les GRF permettent de se former et ceux qui pensent qu'un stage aussi long et fait dans des conditions dans lesquelles les partiéipants sont acteurs de leur formation permet de faire du bon travail. Elles ont bien voulu en plus de cette présentation faire ce texte pour le bulletin, je les en remercie. LES OBJECTIFS B.LAZAR Provoquer des échanges entre des collègues de lycées et collèges pour favoriser la continuité dans les apprentissages, en particulier sur les méthodes de travail, et limiter la rupture établie de fait par le cloisonnement des établissements. Chercher des moyens de rendre les élèves réellement actifs, pour qu'ils s'investissent personnellement dans la construction d'un savoir mieux compris donc réutilisable et se dégagent d'attitudes stéréotypées. Le but est de lutter contre l'accumulation de connaissances fragiles, superficielles qui donnent momentanément l'illusion de réussir. Se convaincre de la nécessité d'aider tous les élèves, mais surtout les plus faibles, à donner du sens à leurs acquisitions, à concrétiser ce qui peut apparaître purement formel. Pour cela, apprendre à s'imposer de laisser aux élèves le temps de douter, de se tromper, de savoir justifier ce qui légitime une action. Pour les réaliser, quelques axes de travail étaient prévus : les traiter. Réfléclùr sur le choix des activités et exercices réalisés en classe et la manière de Montrer l'importance du rôle formateur du devoir de recherche à la maison. Fixer des objectifs aux élèves sous fonne de listes de savoirs et savoir-faire (idée de contrat). Utiliser des technologies efficaces (rétroprojecteurs, ordinateurs). Faire apparaître la nécessité d'une réflexion approfondie sur l'évaluation. (être capable de repérer des compétences). 18

22 LES CONTENUS DES 12 SEANCES Les séances de travail (une journée à chaque fois) étaient séparées en général (sauf vacances scolaires) par une quinzaine de jours permettant ainsi aux enseignants de réfléchir, éventuellement de tester en classe des idées, des réflexions. Si au départ un certain nombre de pistes, d'axes avaient été proposés, à chaque séance et surtout au bout de quelques séances les membres du groupe venaient avec des questions, des idées, des propositions. Proposition de progression argumentée commune pour la classe de seconde. Présentation d'une séquence d'activités sur les vecteurs (à partir d'un pavage) (avec ses objectifs, son déroulement, une synthèse de. cours et des exercices pour l'évaluation) pour préciser le type de travail que l'on envisage de réaliser ensemble. Commentaires, critique et amélioration de cette activité. Sous quelle forme pourra-t-elle être utilisée dans chacun des deux cycles? Elaboration d'exercices pour les deux cycles avec leurs objectifs suivant l'utilisation envisagée. Choix des thèmes d'activités pour introduire la notion de fonction à la séance suivante. A partir des deux thèmes choisis à la séance précédente, essais de réalisation d'une activité pour introduire la notion de fonction, au collège et au lycée. Discussion (vive!.... mais fructueuse) sur le bien-fondé d'une activité introductrice riche. Comment mener cette activité (deux points de vue questionnaire très détaillé). question ouverte ou Mise au point, après discussion, de l'activité qui sera testée dans les classes avec beaucoup de détails sur la nùse en oeuvre. Choix du thème de travail des séances suivantes. Séancen 3 Equations et inéquations du prenùer degré : Pour les équations, à partir du polycopié de l'lrem de RENNES "vers les équations" (1989) Pour les inéquations, donner du sens aux règles de calcul par le lien avec les variations des fonctions affines. 19

23 La compréhension des écritures littérales, des expressions algébriques, de leur structure (montage et démontage, repérage des sommes et des produits parfois occultés par des conventions d'écriture). Le calcul algébrique. Recensement des erreurs les plus criantes, réflexion sur leurs causes probables et recherche de moyens pour les prévenir. Préparation de séquences d'apprentissage à tester avec l'idée d'habituer les élèves à réfléchir avant d'agir. Essayer de dégager les élèves de leur "logique du faire", les rendre acteurs et non exécutants. Elaboration d'exercices qui incitent à la réflexion avec parfois un côté ludique. Présentation d'une nouvelle activité très riche en géométrie (avec un 2ième pavage). Cette activité remet en oeuvre un grand nombre de notions rencontrées au collège (symétrie axiale, rotations, quadrilatères... ). Comment l'exploiter à la lumière de ce qui a été fait avec la séance n 1 sur les vecteurs? Catalogue d'exercices sur les rotations et les symétries axiales, toujours avec leurs objectifs et les différentes utilisations suivant les niveaux. Compte rendu des expérimentations sur les vecteurs et sur les fonctions. Conclusions. Les transformations pour démontrer : recueil d'exercices pour tous niveaux tirés des deux polycopiés IREM des groupes de recherche sur la liaison 3ième-2nde. La méthode d'abandon d'une contrainte comme méthode de recherche pour un problème de construction. La pratique du questionnement, chrunage arrière, chaînage mixte.' Le but est d'apprendre à nos élèves à résoudre des problèmes. La pratique du questionnement nous semble favoriser cet apprentissage : elle est différente du processus habituel qui consiste à partir des hypothèses, leur appliquer différents théorèmes pour modifier l'état des connaissances jusqu'au but recherché. 20

24 En réalité, si l'on rédige souvent ainsi, c'est rarement ainsi que l'on cherche. Dans la phase de recherche, on essaie plutôt de remplacer la conclusion à laquelle on veut aboutir par un problème plus simple que l'on saura résoudre. Cette même technique permet de traiter en classe des activités ouvertes (abordées sans questions intermédiaires) pour favoriser l'esprit de recherche. (Exemple : le cercle des 9 points pour la seconde ou la quatrième). En complément aux exercices de la séance n 5, des constructions au compas seulement et en particulier le problème de Napoléon (construire le centre d'un cercle au compas seul). Fixer des objectifs aux élèves exprimés en terme de savoirs et savoir-faire. Choix des thèmes en collège et en seconde sur lesquels portera la réflexion. Pour chaque thème, par groupes de 3 ou 4, écriture d'une liste de savoirs et savoirfaire aussi complète que possible sur transparents pour lecture en commun et discussion ou compléments. Les thèmes retenus : au collège : les pourcentages, l'espace, au lycée : les vecteurs, les fonctions (en général), les fonctions usuelles, les homothéties, 1' espace, le calcul algébrique. La rédaction : quels degrés de liberté? quelles exigences? A partir d'un exercice tiré du poly de l'irem de Rennes sur la rédaction, faire écrire, par groupes et sur transparents des rédactions pour engager la discussion et aboutir à un consensus. Les idées qui ont émergé : la démarche dès que la démonstration est longue, théorème instancié et non théorème copié comme dans le cours, présenter des formes variées, pas de stéréotypes (ex : donc et car... ), on ne rédige pas seulement en géométrie (phrases entre deux lignes de calcul), ne pas avoir d'exigences démesurées au début (en 4ème, par exemple), faire des rédactions courtes en évitant les redondances, penser à présenter. L'évaluation et en particulier le rôle du devoir à la maison. Faire réfléchir par groupes sur : évaluer quoi? pourquoi? pour qui? quand? comment? Remettre en cause le contrôle continu tel qu'il est souvent pratiqué (démultiplication d'épreuves définitives qu'on ne peut repasser pour progresser). 21

25 Privilégier l'évaluation formative en cours d'apprentissage. A partir d'une configuration, fabriquer divers sujets d'exercices suivant le type d'évaluation que l'on envisage. Séance n 11 La géométrie dans l'espace. Lister les objectifs (contenus et méthodes) de la classe de seconde pour information des collègues de collège et mettre en place un catalogue d'exercices permettant de les atteindre. Elaborer aussi une liste d'exercices pour le collège pour préparer le travail qui sera poursuivi au lycée. Les imagiciels du Ministère. Présentation des deux disquettes de Géospace. Quelle utilisation peut-on envisager au collège et au lycée? Fabrication d'activités sur Géoplan pour les deux cycles. Bilan de l'année. FONCTIONNEMENT DU GROUPE, PARTICIPATION, REINVESTISSEMENT Pour mémoire : 20 personnes inscrites (12 en lycée, 7 en collège, la dernière en collège mais avec une classe de seconde au lycée). Dans les faits, une personne n'est jamais venue et une autre a participé seulement aux trois premières séances (dans les deux cas, raison médicale). Sur les 18 personnes restantes, 15 étaient régulièrement présentes, les autres n'ont eu que des absences très rares et justifiées (autre convocations ou raison médicale). Si nous indiquons ces éléments c'est pour bien préciser l'intérêt des participants à ce groupe. Il est à noter que la deuxième séance a été très difficile et a nécessité des mises au point (déstabilisation très nette et rejet de nombreux stagiaires). Par la suite, les échanges ont été riches et intéressants avec une forte adhésion de beaucoup de participants. ' Beaucoup de travaux de groupes avec production de transparents pour une discussion collective ont permis une participation optimale. 22

26 Les activités, séquences et exercices élaborés en commun ont été testés en classe par beaucoup de stagiaires avec des comptes rendus d'expérimentation oraux. Les rares personnes qui ont peu réinvesti pendant l'année de stage se sentaient, en fin d'année, prêts pour la rentrée suivante et s'engageaient spontanément à nous tenir au courant de leurs essais. (Voir en complément le dernier paragraphe du bilan exprimé par les stagiaires). LES OUTILS ELABORES EN COMMUN (Liste non exhaustive qui ne traduit pas la richesse des discussions et l'évolution des conceptions du métier) Réalisation d'activités préparatoires riches et motivantes pour les élèves. Des éléments de réflexion pour en fabriquer d'autres. Fiches de savoirs et savoir-faire pour les points importants des programmes de 3ème et 2nde. Exercices non traditionnels pour favoriser la compréhension et l'apprentissage du calcul algébrique. A partir des exercices fournis par les manuels, réalisation d'activités de réinvestissement de la pratique du chaînage arrière. Fabrication d'activités pédagogiques sur GEOPLAN pour les deux cycles. Outils de réflexion didactique pour mieux déceler les difficultés de compréhension des élèves et leur apporter les aides efficaces. Outils pour une meilleure évaluation des compétences des élèves. n nous a semblé important d'ajouter à notre compte rendu le : BILAN FAIT PAR LES STAGIAIRES Les points positifs pour tous les stagiaires : Confronter les idées. Porter un regard différent sur les élèves. Modifier la manière de poser les exercices (exercices ouverts en classe, en devoir maison etc... ) Travailler sur les objectifs. Se poser plus de questions sur la clarté des consignes que l'on donne aux élèves. Travail sur la rédaction : différentes rédactions possibles etc... Evaluer différenunent. Réfléchir sur la progression. 23

27 En particulier, les professeurs de collège : Ont trouvé important de savoir quelles étaient les attentes d'un professeur de lycée. De travailler les mêmes ekercices ou activités à différents niveaux (évolution des méthodes, des rédactions etc... ). Plusieurs collègues ont testés des activités «sans texte» en classe. Les bilans sont positifs. Une réaction de quelques collègues à ce propos : «On s'aperçoit que les élèves ont plein d'idées, on reprend du plaisir dans sa classe et les élèves aussi». Un point négatif (en début d'année) signalé par une collègue: Début d'année difficile car on nous demande de construire des outils «à partir de rien». C'est déstabilisant. En conclusion : Le manque d'apport théorique sur les apprentissages a émergé pour certains collègues en cours d'année. Une collègue s'est dite prête à travailler dans un groupe de recherche. o Certains collègues souhaiteraient que de tels groupes ekistent à d'autres niveauk, par ekemple en première. Les stagiaires nous -ont demandé d' ~rgàniser une journée de suivi en 1996/1997 vers le mois de février pour continuer les échanges : outils testés cette année, évaluation. S. GREGGIA T. SERRANDOUR 24

28 LES EQUIPES DEPARTEMENTALES D'ANIMATION PEDAGOGIQUE 1 Sous la responsabilité du délégué départemental MAFPEN et coordonnée par un animateur qui assure la mise en oeuvre de son plan de travail, chaque EDAP est constituée des formateurs dont la mission est de répondre aux besoins des établissements. Elle est chargée du traitement des plans de formation d'établissement et de leur réalisation. A ce titre, elle assure une fonction de conseil pour l'élaboration de ces plans ou d'actions spécifiques. Elle met en oeuvre et anime des formations disciplinaires (évaluation, dispositifs et classes de consolidation, liaison inter-cycles... ) ou transversales (insertion, projet personnel de l'élève, prise en compte de l'hétérogénéité des élèves, mise en oeuvre de projets... ). LES MODALITES D'INTERVENTION Conseil en formation Aider, à partir de l'analyse de besoins, à l'élaboration d'un plan ou d'une action Résolution de problèmes simples Rencontre ponctuelle Suivi d'une action antérieure Information courte Formation en établissement après négociation avec l'équipe identification des contenus modalités de formation Mise à disposition de l'équipe pour : -aider à la formulation du (ou des) problème(s) Accompagnement d'équipe - guider leur résolution - diriger vers des apports théoriques - solliciter des intervenants 1 J'avais demandé à M. ROY ANT de présenter I'EDAP aux participants du colloque interne et de faire ce petit texte pour le bulletin, qu'il en soit remercié. (B. LAZAR) 25

29 CONCOURS D'AFFICHES A L'IREM L'IREM de Rennes a organisé au cours de l'année un concours d'affiches dont le thème quelque peu provocateur reprenait une vieille question que nous avons tous entendue au cours de notre carrière, que nous avons peut-être même osé poser quand nous étions en culottes courtes ou en jupes. Cette question fait partie du florilège de «brèves de comptoir» avec la phrase si souvent proférée lorsque nous nous présentons comme prof de maths : «ah ben, moi j'ai jamais rien compris au maths!» Le thème était donc : «Les Maths : à quoi ça sert? ii Bonne question, merci de l'avoir posée! Ce concours faisait partie d'une série de manifestations constituant une sorte d'inauguration des nouveaux locaux de l'irem, avec également une journée «présentation de recherches», le colloque interne, une journée «Portes Ouvertes» et des expositions dans ces locaux. En tant que mathématiciens, nous avions envie que les élèves parlent de mathématiques entre eux, avec éventuellement des professeurs d'autres disciplines (qui étaient invités à leur donner un coup de main), à la maison avec leurs parents. Nous souhaitions qu'ils prennent conscience de l'importance des mathématiques dans notre société et qu'en même temps ils réalisent que les mathématiques font partie de notre culture. Il y a là un vrai problème culturel : aujourd'hui une personne dite cultivée rougirait de reconnaître sa méconnaissance de Gide mais n'a pas la moindre honte à vous dire qu'elle n'a jamais rien compris à Thalès. Nous avions aussi envie de répondre d'une certaine façon aux attaques que certains lancent allègrement et sans justification d'aucune sorte contre les mathématiques. Les mathématiciens se gardent bien, eux de parler de géologie ou de physique... Cette idée d'affiches reprenait celle d'un concours antérieur, intitulé «A vos stats >i, concours d'une tout autre envergure puisqu'il se déroulait au niveau académique dans un premier temps puis à un niveau national, avec l'appui du Ministère de l'education Nationale et de la Fondation des Statistiques. Ce concours était destiné aux élèves de 1' Académie répartis en trois niveaux : 6èmc et s m des collèges, 4èm et 3èmo des collèges et des lycées professionnels, zndc et 1ère des lycées d'enseignement général et technologiques. 26

30 Nous avons reçus quelques cinq cent affiches venant de toute la Bretagne, mais une mention particulière doit être décernée au collège Chateaubriand de St Malo où toutes les classes ont participé et où le professeur d'arts plastiques s'est particulièrement investi en intégrant le concours dans son projet d'enseignement pour l'année. Dans d'autres établissements les professeurs d'arts plastiques ont été très souvent mis à contribution pour la partie graphique proprement dite et d'autres enseignants ont aidé les élèves à trouver des idées. catégories. Pour l'essentiel, les affiches étaient l'œuvre d'enfants des deux premières La troisième n'était pratiquement pas représentée, la raison étant que dans la plupart des établissements de second cycle il n'y a pas d'enseignement d'art plastique... ce que l'on peut regretter. Tenant compte de cette nouvelle donne nous avons été amenés à modifier la répartition des prix. Par ailleurs, la qualité de deux affiches qui sortaient réellement de l'ordinaire nous a conduit à créer un prix spécial du jury et enfin nous avons eu envie de récompenser certaines affiches par un prix de l'humour. 1 Un grand nombre d'entreprises (dont vous trouverez la liste plus loin) nous ont donné des prix et 1 '!REM peut les en remercier car sans eux, il n'aurait pas été possible de mener à bien ce concours. n faut décerner en particulier à Lego-France la palme d'or car ils ont offert pratiquement 5000 F de jeux, qui ont de façon amusante soulevé un problème : offre-ton des Lego à des filles? La réponse a été presque unanimement oui, mais la question a été posée! Le jury avait été constitué en choisissant de mettre ensemble des enseignants et des non-enseignants. Parmi les enseignants, des matheux et des non-matheux, parmi les nonmatheux des scientifiques et des artistes... La liste du jury vous convaincra que ces contraintes ont été respectées. Qu'attendait le jury? - une réponse à la question posée. Par exemple, la présence de diagranunes sur une affiche, ou bien un satellite, ou encore des scènes de la vie courante où les maths interviennent : la caisse enregistreuse du magasin, le terminal de carte bancaire, le code de la carte, la reconstitution après un traitement mathématique permettant d'obtenir des images scanographiques, etc... En fàit, la difficulté réside dans le fourmillement des interventions des mathématiques! n y a eu souvent d'assez bonnes illustrations mais trop "devoir de maths". - un côté esthétique indéniable : dessin, couleur, imaginaire,... et c'est souvent ce point qui a dominé. Les meilleures affiches ont été prises en photo par notre collègue J. J. Postee, numérisées et mises sur le serveur académique 2 où vous pouvez les co~sulter. 1 2 Ceci me conduit à donner un conseil à ceux d'entre vous qui auraient envie d'organiser un concours : ne dites pas à l'avance quels seront les prix, dites simplement qu'il y en aura... Se connecter à http : // - Rubrique Pédagogie 27

31 Liste des membres du jury du concours "Les maths: A quoi ça sert?" Monsieur Jean-Pierre ESCOFIER Maître de Conférences de Mathématiques- Université de Rennes 1 Président du Jury Mesdames Messieurs Fabienne BRY-CLARY Responsable de la Communication EDF-GDF -Rennes Chantal DARIDOR Professeur de Mathématiques - Lycée Jean Brito - Bain de Bretagne Sam DE BARROS Responsable de la Communication LEGO S.A. - Chartres Marie-Laure GUEUNE Professeur de Sciences de la Vie et de la Terre -Lycée Ile de France -Rennes Francoise LE BOZEC Professeur de Sciences Economiques et Sociales - Lycée E. Zola - Rennes Marie-Nicole LOUBOUTlN Conseillère Pédagogique Départemental d'arts Plastiques - Rennes Françoise MALLEDANT Professeur de Mathématiques - Collège J. Brel -Noyal si Vilaine Yves-Marie ANDRE Professeur d'arts Plastiques - Collège des Gayeulles - Rennes Olivier ANDRIEU Professeur d'histoire-géographie- Lycée Chateaubriand -Rennes Jean-Claude BAZIN Responsable de la communication - Crédit Agricole - Rennes Bernard BILLARD Professeur de Mathématiques - Lycée l'assomption - Re1mes Alain CARA YOL Professeur de TSA- Lycée Joliot Curie -Rennes Hubert GUEDON Professeur de Sciences de la Vie et de la Terre - Collège des Gayeulles -Rennes André GUILLEMOT Professeur de Mathématiques - Lycée E. Zola- Rennes Jean-Claude HERMANT Professeur de Teclmologie - Collège des Gayeulles - Rennes Boris LAZAR ' Maître de Conférences de Mathématiques- Université de Rennes 1 Directeur de I'IREM 28

32 Gérard LE GUELLEC Graphiste Rennes Jean-Yves LUCAS Professeur de Mathématiques - Collège Rochers Sévigné - Vitré André SAVARY Maitre de Conférences de Physique - Université de Rennes 1 Loïc SCHWARTZ Dessinateur satirique - Rennes DenisULLMANN Professeur d'arts Plastiques - LEP Louis Guilloux - Rennes Nfichel~LARD Mat"tre de Conférences de Mathématiques - Université de Rennes 1 Liste des Sponsors Merci à tous ceux qui nous ont permis d'offrir tks cadelmx aux lauréats du concours: BELIN BPO CASIO CITE DES SCIENCES CONSEIL GENERAL CREDIT AGRICOLE EDF HACHETIE LEGO FRANCE MAIRE DE RENNES CONSEIL REGIONAL PARC COB AC CORA 29

33 LISTE DES GAGNANTS CONCOURS«LES MATHS! A QUOI CA SERT?» PREMIER PRIX SPECIAL DU JURY POUPIOT Stéphane Troisième Collège Les Chalais - RENNES DEUXIEME PRIX SPECIAL DU JURY LE DELMA T Laetitia ROBERT Soazig JAGLIN Marie-Josée CATEGORIE 6"'1E.sEME!er prix 2ème prix MOULIN Charles RIOU-DURAND Yves 3ème prix ex aequo 5èmeprix 6ème prix 7ème prix MARTIN Caroline WEISS Sindy BELLEC Teddy CHARRUEL Freddy GLET Anthony BORGERS Guillaume PANZINI Giulia LE MASSON Cindy Sème prix THEAUD Emilie DELAUNAY Maëva GRUEL Claire Troisième Sixième Cinquième Sixième Cinquième Cinquième Cinquiè!pe Cinquième Sixième Collège des Livaudières- LOUDEAC Collège Chateaubriand - ST MALO Collège Noêl du Fail- GUICHEN Collège Chateaubriand - ST MALO Collège Chateaubriand - ST MALO Collège Noël du Fail - GUICHEN Collège Querpon- MAURE DE BRETAGNE Collège Thaiassa -ERQUY Collège Georges Brassens - LE RHEU 30

34 CATEGORIE 4EME_3EME!er prix ROCHEFORT Fabien 2èmeprix 3èmeprix 4èmeprix ROPERT Nadine PERON Solene COGUICAnne IŒMEUR Céline PICAUD Servanne STEV ANT Mickaël Troisième Quatrième Quatrième Quatrième Collège Chateaubriand - ST MALO Collège Jules Simon - LORIENT Collège Jeanne d'arc- GOURlN Collège des Livaudières - LOUDEAC CATEGORIE 3EME - 2NDE!er prix LAPORTE Laurianne 2ème prix ex aequo Seconde Lycée Freyssinet- SAINT- BRIEUC DRA OUI Edy Seconde Lycée Chaptal - SAINT- BRIEUC PESSELIER Gaël Seconde Lycée Chaptal - SAINT- BRIEUC CATEGORIE HUMOUR SUON Richard DELACOTTE Thomas - PRIGENT Fabien KERLEAUX Céline MARION Sandrine Cinquième Cinquième Cinquième Cinquième Collège Nol!! du Fail - GUICHEN Collège Noe! du Fail - GUICHEN Collège No!! du Fail- GUICHEN Collège Noe! du Fail - GUICHEN 31

35 L:IREM EN PEINE Au début de l'année 1997, Louis Le Strat nous quittait, brutalement. Tous ceux qui l'ont connu, ses amis, ont été très frappés de cette disparition. J'en fus. A l'heure actuelle, les souvenirs reviennent de ce collègue militant, passionné de pédagogie, s'investissant sans compter pour ses élèves et toujours disponible. Je me rappelle, pour ma part, le plaisir éprouvé à descendre à Lorient, tous les quinze jours, le vendredi après midi pour retrouver le groupe de recherche dont Louis était la cheville ouvrière, les heures de travail conviviales faites de débats animés et lui, qui nous accueillait dans son collège, s'appliquant avec sa bonhomie coutumière à nous faciliter la tâche..., le sens de la fête aussi car ces deux années furent ponctuées de découvertes de la gastronomie du pays de Lorient dont il était le guide averti. Je me souviens aussi de Louis Le Strat «débatteur obstiné», représentant de la base, comme il disait, au sein du groupe technique de Mathématiques ou dans les assemblées générales de /'/REM, défendant ses points de vue avec acharnement voire avec des coups de gueule qui disparaissaient aussi vite qu'ils étaient venus. Il avait souvent raison! Salut l'ami! Merci pour tout ce que tu nous as apporté. Tu nous manques. Gérard MACOMBE Genevièvre Mouraud nous a quittés il y un an déjà. Tous ceux qui l'ont connue regretteront sa totale disponibilité pour son travail d'enseignante. Travail qu'elle cherchait à rendre le plus efficace possible. Pour cela elle a toujours essayé de se former le mieux possible e11 fréquentant divers séminaires traitant de la didactique, en participant à divers groupes de travail, en lisant de nombreux articles et ouvrages, en ouvrant les portes de sa classe à diverses expérimentations. En plus de ses qualités d'enseignante, elle s'imposait des règles très strictes : - pour pallier à certains inconvénients que pouvaient apporter à certains élèves des expérimentations excellentes pour la plupart d'entre eux. pour que les élèves qui ne pouvaient bénéficier des activités fournies à d'autres n'en soient pas lésés. - pour mettre au point des activités originales avec les idées qu'elle avait pu dégager de divers groupes de travail. Dans ces groupes de travail, elle faisait preuve d'une activité remarquable. Elle nous montrait souvent des difficultés que nous ne soupçonnions même pas, elle y apportait des idées d'activités, des comptes rendus et des analyses des obstacles des élèves et des moyens plus sars d'évaluation. l. GJORGIUTTI 32

36 LA BffiLIOTHEQUE IREM-CCAFE ll y a un an, nous étions «dans les cartons >> pour transporter les livres de la bibliothèque. Cette opération «source d'angoisse» s'est déroulée dans les meilleures conditions possibles. Début 1997, nous constations avec désolation que tous nos lecteurs ne nous avaient «pas suivis >>. Les raisons : - Absence de fléchage du nouveau site. - Habitudes prises de faire un saut à la bibliothèque entre deux cours. C'est un fait, le nouveau site est excentré mais facile à trouver : un bâtiment << triste >> assez << laid >> au nord du campus. La bibliothèque se situe au premier étage : << solarium >> au printemps et à l'automne ; << glaciaire >> 1 'hiver... Ceci dit, la bibliothèque fonctionne et nous y sommes très bien. Petit à petit nos lecteurs ont retrouvé le chemin de la bibliothèque ; le premier semestre 1997 a été une période d'installation et de réflexion sur les changements, amélioration nécessaire et évaluation du travail à effectuer. Le point sur la situation à la rentrée 1997/1998 Analyse du fonds documentaire : Fonds alimenté conjointement par l'irem et le CCAFE qui se répartissent les domaines suivants : Mathématiques - Didactique des Mathématiques et autres disciplines scientifiques - Histoire des Sciences et Culture Scientifique - Sciences de l'education - Psychologie - Sciences de la Vie et de la Terre - Physique. De nouveaux domaines sont à développer : en SVT 1000 ouvrages déposés par la << prépa. >> CAPES - AGREGATION ont été recensés, 1/4 seulement correspond à la liste retenue pour le concours En Physique, 500 ouvrages ont été déposés en septembre. Les acquisitions de ces deux domaines sont financées conjointement par les << prépas >> et le CCAFE. Evaluation du travail à effectuer : Afin de permettre au lecteur d'aboutir à une recherche de référence rapide, complète, satisfaisante en utilisant le mic:ro ordinateur, il est nécessaire que tous les ouvrages soient saisis et indexés dans la base. On peut toujours faire son << marché >> en parcourant les étagères : en ce qui concerne les brochures des IREM impossible à classer par thème, reçues en grande quantité, il sera difficile d'aboutir au document souhaité. En résumé, nous devons traiter (saisie d'une notice descriptive du document + résumé+ mots clefs) : ouvrages Mathématiques ouvrages de Physique. - Le fonds SVT (pour lequel il reste les mots clefs à créer). 33

37 Par la suite, pour notre confort et celui des lecteurs, nous souhaiterions faire le prêt à l'aide d'un lecteur optique: l'équipement de tous les documents de codes à barres est à prévoir. Fréquentation de la bibliothèque : Pendant l'année universitaire précédente, environ 300 lecteurs ont fréquenté la bibliothèque, 400 livres étaient empruntés en moyenne par mois. A la rentrée 1997/1998 on peut remarquer une augmentation de l'activité de la bibliothèque : 400 prêts en 15 jours, 200 lecteurs se sont déjà inscrits ou ont renouvelé leur inscription. ' Il serait souhaitable pour une bonne rotation des documents, donc une satisfaction de tous, que les lecteurs respectent les délais de prêt. Nous aimerions éviter la cinquantaine de lettres de réclan1ations trimestrielles et la création d'un système de pénalités. ll serait souhaitable également de pouvoir ouvrir la bibliothèque tous les jours de 8H30 à 18H. Une personne à plein-temps plus une à mi-temps ne permettent pas de satisfaire cette demande. HORAIRES BIBLIOTHEQUE IREM-CCAFE JVr:u di Mcl crccli V en cl n.di 3 h JO 3 1 JO 3 h JO 17 h :Ill = Observations sur les catégories de livres utilisés : - Les livres de base nécessaires à la préparation des concours et les manuels scolaires (lycée) sont très empruntés. Ils sont en nombre insuffisant. - Les brochures IREM sont très utilisées par les groupes de recherche et formation et les étudiants suivant un module de didactique. - Par contre, les ouvrages d'histoire des Sciences, de Culture Scientifique, de Didactique, Sciences de l'education et Psychologie sont peu lus. Observations sur les catégories de lecteurs : Qui fréquente la bibliothèque : - Les enseignants en particulier ceux des groupes recherche et formation. - Les enseignants préparant les concours internes. - Les futurs enseignants préparant les concours CAPES - AGREGATION. - Les étudiants suivant un module de didactique. Nous regrettons l'absence des professeurs des écoles. 34

38 A PROPOS DES ABONNEMENTS Tous ceux qui désirent se procurer les parutions de l'irem peuvent Je faire: - soit en les commandant directement à l'irem: c'est Je cas des professeurs et parfois des établissements, - soit en s'abonnant: c'est Je cas d'un grand nombre de CDI, mais pas encore de tous! Dans le cas d'un établissement abonné, rappelons que le CDI reçoit toutes les parutions de niveau collège ou de niveau lycée suivant Je type de l'établissement et de plus chaque enseignant de mathématiques reçoit un exemplaire du bulletin. Par contre, dans les établissements non abonnés seul Je délégué IREM reçoit un exemplaire de ce bulletin mais Je CDI ne reçoit aucun document. Jusqu'à maintenant les établissements abonnés recevaient les brochures deux fois dans l'année : en Décembre et Juin. En 1996/1997, pour différentes raisons techniques (déménagement, congés de maladie) il n'a pas pu en être de même et il y aura une seule livraison qui arrivera dans les établissements en Décembre ou à la rentrée de Janvier. Ces problèmes techniques nous ont conduits à réfléchir sur ce système d'abonnements et à faire ces quelques remarques : - D'une part, il n'y a pas de vraie raison pour séparer les lycées des collèges, en effet, certains professeurs peuvent passer de l'un à l'autre, un travail sur l'histoire des mathématiques intéresse les uns et les autres, des GRF travaillent à la jonction troisième-seconde, etc... - D'autre part, les participants à un GRF qui dure en général deux ans, travaillent la troisième année à la rédaction de la brochure. En général, c'est-à-dire quand tout se passe bien cette brochure est prête pour la reprographie au cours de la quatrième année mais parfois trop tard pour être dans la livraison : ceci explique que nous ne pouvons pas toujours tenir exactement nos promesses. TI peut enfin se produire une année un déséquilibre entre Je nombre de GRF de lycées et de collèges, déséquilibre qui retentit sur la production des brochures et les abonnements. Pour ces différentes raisons l'irem a décidé de n'envoyer qu'une fois par an l'ensemble de ses productions à tous les établissements abonnés qui les recevront à la rentrée des classes. Nous espérons que nos abonnés seront satisfaits de ce nouveau système, mais nous sommes à 1' écoute de toutes leurs critiques. 35

39 MATHEMATIQUES SUR LE SERVEUR DE L'ACADEMIE DE RENNES Objectifs: - Faire connaître les différents partenaires potentiels des professeurs de mathématiques dans l'académie. - Faire connaître et promouvoir les travaux déjà réalisés dans différents cadres dans l'académie de Rennes Produire de nouvelles ressources pédagogiques à l'intention des enseignants, notamment pour accompagner l'évolution du système éducatif Organisation du travail de l'équipe chargée d'alimenter la rubrique «Mathématiques» : Travail coopératif d'un groupe de professeurs bénéficiant de décharges horaires accordées par le Rectorat. Certains de ces professeurs représentent aussi les partenaires naturels en mathématiques : IREM, MAFPEN, AP.MEP, IUFM, CNED, CRDP. Le Rectorat a accordé un accès à l'internet et une boîte à lettres aux collègues qui n'en disposaient pas, car mises à part quelques réunions à Rennes, l'essentiel du travail se fait à distance par courrier électronique et ficlùers attachés. Les axes de travail : Présenter les partenaires des enseignants de mathématiques : les directeurs des TREM de l'académie, les responsables des régionales de l' AP.MEP ont été contactés pour proposer une présentation sur le serveur. Alimenter une rubrique «Actualités» : en donnant des informations sur les colloques, animations, nouveautés... Promouvoir les ressources existantes : des documents papier de qualité ont déjà été produits et gagneraient à être plus largement connus. 36

40 C'est notamment le cas des brochures IREM, réalisées en groupes de recherche formation : dans l'académie de Rennes, ces groupes fonctionnent avec un consultant scientifique, le plus souvent un universitaire membre du Département de Mathématiques, (1/2 service de Maître de Conférence sur deux ans par groupe) et de l'irem, et cinq ou six professeurs de mathématiques bénéficiant de moyens significatifs de la MAFPEN (2HSA/profl sur deux ans) 1. TI ne s'agit pas de mettre en ligne le document mais d'informer sur son contenu. La formule qui nous a paru la plus adaptée est l'extraction, avec l'accord des partenaires qui ont produit ces documents, de «morceaux choisis» avec le souci de restituer un contexte et une démarche (ceux du GRF). La mise en ligne sur le serveur nécessite ensuite un réel travail d'organisation de ces extraits pour rendre interactif 1' accès à ces derniers. Produire de nouvelles ressources : * des exemples de séquences pédagogiques sur différents thèmes à l'intention des professeurs, de la classe de 6- au niveau BTS, * des exemples de séquences utilisant les nouvelles technologies, * des documents de réflexion, articles accompagnant les réformes du système éducatif: changements de programme, mises en place des parcours diversifiés. * des jeux mathématiques. Repérer des sites web intéressants pour les professeurs, pour les élèves et y donner éventuellement accès en créant des liens hypertexte y renvoyant. Conclusion : Si l'ouverture du serveur académique a d'ores et déjà favorisé le rassemblement des forces, il faut maintenant trouver le second souffle pour inscrire cet effort dans la durée avec le souci de rendre une image fidèle de la discipline dans l'académie. En effet, un serveur académique, comme tout site Internet, ne vaut que par l'intérêt qu'il suscite chez l'usager potentiel et que par l'existence d'un public, ce qui suppose de le faire «vivre» par des mises à jour régulières offiant des nouveautés. Adresse du serveur : http : //www. ac-rennes.fr Rubrique Pédagogie Eliane DEGUEN Inspection Pédagogique Régionale DERNIERE MINUTE L'IREM de Rennes a dorénavant son site propre sur Internet auquel vous pouvez accéder à l'adresse suivante : http : // 1 Ces groupes bénéficient également de l'importante infrastructure de l'université (reprographie, locaux) au travers de!'!rem. 37

41 ,.,_, Rennes, 23 et 24 Janvier 1998 Colloque organisé par le Laboratoire de Didactique des Mathématiques de l'université de Rennes 1 Comité d'organisation : Evelyne Barbin (/REM de Paris Sud), Raymond Duval (Université de Lille), Italo Giorgiutti (Université de Rennes 1), Jean Houdebine (Université de Rennes 1) et Co/elle Laborde (Université de Grenoble) Il s'agit, dans ce colloque, de partir du point de vue que les démonstrations sont des textes. Ceux-ci apparaissent d'ailleurs d'une grande diversité. Cette diversité n'est guère perçue par les enseignants ct n'a encore été que peu analysée. De nombreux travaux sur l'enseignement de la démonstration se sont centrés ces dernières années sur l'aspect raisonnement déductif ou résolution de problèmes ; l'objectif n'est pas d'ajouter une pierre à cet édifice déjà bien avancé. Il est plutôt d'approfondir une voie jusqu'ici négligée. En quoi cette manière de voir permet-elle de mieux comprendre les difficultés des élèves? Quelles conséquences peut-on entrevoir pour l'enseignement de la démonstration? Quelles sont les caractéristiques textuelles des démonstrations sur lesquelles les enseignants peuvent jouer suivant les objectifs qu'ils visent? Quel rôle joue la diversité des points de vue des enseignants et des élèves sur ce type de textes? L'étude portera sur des textes de démonstrations issus de contextes variés: -Des textes de mathématiciens: l'évolution ancienne ou récente de ces textes, leur diversité. -Des textes d'enseignants: des points de vue divers, des désaccords irréductibles. Quelles sont les raisons d'une telle situation? Quelles en sont les conséquences pour les élèves? -Des textes d'élèves: pour beaucoup d'entre eux, la production d'un texte écrit est un obstacle, alors qu'ils sont capables, en répondant à quelques questions, d'expliciter tous les éléments intervenant dans la solution d'un problème. S'agit-il d'une difficulté générale du passage du fonctionnement oral au fonctionnement écrit? Les struc~ures particulières des textes de démonstration jouent-elles un rôle dans ces difficultés? Quels moyens a-t-on pour analyser les productions des élèves? - Des textes dans les logiciels ; quelques logiciels d'aide à la démonstration commencent à faire une place à l'aspect textuel. Comment est-il introduit? Quels rôles peuvent jouer ces logiciels dans l'apprentissage? Quelles difficultés vont-ils permettre de surmonter? Pour aborder cette problèmatique, des points de vue différents sont utiles : des interventions d'historiens, de didacticiens, d'enseignants de mathématiques, de mathématiciens, de psychologues sont prévues dans ce colloque. Inscription et informations: Laboratoire de Didactique des Mathématiques, Université de Remtes 1- Campus de Beaulieu -Avenue du Général Leclerc Rennes Cedex Tel : , Fax :029928/638, Accès internet: [email protected] (Inscription gratuite ; les frais d'hébergement ct de transport des participants ne seront pas pris en charge par le colloque) 38

42 MtNISTERE DE l'<:oucatioh NATIONALE.::. ~' CNED?!!athématiques par thèmes La proportionnalité à travers des problèmes 1 THEMEETUDIE Calculer un pourcentage d'augmentation ou de dl-r.inution, calculer un taux d'intérêt, comparer des vitesses, comparer des densit~s ete... sont des exercices de calculs que nous sommes amenés à faire fréquemment dans la vie de tous les jours. Ces problèmes sont sc~\ ent liés à une meme notion mathématique appel~e "proponionnalité"; il s'agit là d'un \"aste domaine :t l'expérience montre qu'il n'est pas simple de le dominer complètement, Ce logiciel d'apprentissage permet d'acquérir davantage d'assurance dans l'ensemble des problèmes qui sont concernés par te concept mathiz:mique et il est destin~ à tous ceux qui veulent découvrir ce vaste champ d'activités ou asseoir dtvzntage les cor.~!issznces déjà acquises sur le sujet. Ce logiciel vous propose de nombreux problèjl'les el vous guidant sur un parcours adapt~ à \'OS compétences et en vous fournissant des outils, des commentaires et des explications. Il se présente comme une banque de problèrbes et non comme un cours sur la proponio:malit~. C'est en résolvant des problèmes vari~s que se fait l'apprentissage de ce concept de proponionnàlité. C'est aussi en utilisant différents modes de repr~semation que l'on améliore sa compréhension; le logiciel offre pocr cela trois possibilités de représenter. ces problèmes: la représentation en tableau, utilisu.t des opérateurs, la représentation en camembert, la représentation graphique dans un repère du plan. Les problèmes ont été soigneusement choisis pour qu'ils représentent la plus grande variét~ possible et il gère votre parcours pour que les tâches proposées ne soit pas trop éloignées des compétences que le système \'ous reconna!t à chaque moment de l'utilisation. ' PUBLIC COXCERNE Tout public d'entreprise ou individuel désirant doml,er les problèmes de proponionnalit~. Public scolaire de l'enseignement pr'.maire et sec on <!aire. Niveau requis: aucun niveau exigé pour aborder ce:te banque de problèmes. CO,NFIGUI/ATION RE~UJSE Ce logiciel se présente sous la forme d'un CD RO~I.ll s'agit d'une applicotion utilisable dans un environnement Windows 3.1 ou supérieur avec un compatible PC ;s6 SX. 11 est nécessaire de disposer de 1 S Mo sur le disque dur pour installer le cours ainsi que d'une mémoire vive de 8. Mo minimum pour une bonne exécution du logiciel. Prix : Licence individuelle Licence établissement Licence entreprise 200F 400 F : 600F (code: P7D016) (code: P7D017) (code: P7DOIS) Ct~iRE NATION~L o'enseigneii.ent J. Otsï~NCE INSTITUT DE RENNES 7, R E :; CLOS Couom!SCSO RE!S Cmx 9 Th F.x 99 ;a Tmvail du groupe de recherche fonnation IREM-CNED

43 ,-, ;-,.... ;' : MATHEMATIQUES EN CLASSE DE PREMIERE STT AAC INTEGRATION D'OUTILS DE CALCUL FORMEL ALGEBRE LINEAIRE, DU LYCEE A LA F AC L'ELEVE ACTEUR DE SA PROPRE CORRECTION De façon générale, qu'il s'agisse de groupes GRF, de groupes de secteur, de groupes EDAP, l'équipe du bulletin aimerait recevoir avant fin avril vos articles pour le bulletin qui arrivera dans les établissements en septembre. Pensez-y! 40

44 INTEGRATION D'OUTILS DE CALCUL FORMEL Nous travaillons depuis septembre 1996 sur l'utilisation au lycée d'outils informatiques pennettant de faire du calcul algébrique avec la possibilité d'associer des représentations graphiques. Nous avons choisi de travailler sur la classe de seconde, dans un souci de s'adresser à des élèves de niveau hétérogène et ne se destinant pas forcément à des études scientifiques. Quant au choix du logiciel à utiliser, il s'est porté sur DERIVE. Ce logiciel offre l'avantage de fonctionner sur tous types d'ordinateurs PC, d'être facile à utiliser et d'être modulable. Par ailleurs, il offre un lien possible avec la calculatrice TI-92 : le module principal de la TT-92 est en effet très proche de DERIVE. Si les recherches menées depuis quelques années ont montré qu'en utilisant de tels outils, les élèves peuvent avoir une activité mathématique plus ouverte, elles ont aussi montré que la préparation des séances avec ces outils n'est pas facile. Tl faut travailler en profondeur de nouvelles activités, en anticipant sur le comportement des élèves, et sur les réponses qu'ils peuvent obtenir du logiciel. C'est dans ce cadre que s'inscrit notre travail de recherche. Dans un premier temps, nous avons mis au point des activités isolées, pour étudier l'attitude des élèves vis à vis de DERIVE et les contraintes imposées par ce logiciel et avons bâti différents types d'activités: 0 des activités s'appuyant sur des connaissances antérieures pour construire de nouveaux savoirs. Nous avons, par exemple, conçu un travail portant sur l'alignement de points. ll a pour objectif de conduire l'élève à faire le lien entre la proportionnalité des coordonnées et la colinéarité des vecteurs. 0 des activités de résolution de problèmes complexes, que les élèves ne pourraient pas mener à bout sans l'aide calculatoire du logiciel: par exemple, recherche du volume maximal d'une boîte. 0 des activités de prolongement accessibles mais non exigibles à ce niveau : par exemple, intersection d'une courbe avec une famille de droites. Nous travaillons actuellement sur des activités plus longues, plus systématiques et couvrant une grande partie du programme de seconde. Le groupe: << lntégratinn d'outils de calcu/fnrmel» 43

45 ALGEBRE LINEAIRE, DU LYCEE A LA F AC Depuis la suppression de l'algèbre linéaire des progr:urimes du secondaire, la présentation de celle-ci est source de nombreux échecs en première année d'université. Y remédier (ou tout du moins tenter d'améliorer la situation présente!), suppose une collaboration étroite entre enseignants du secondaire et du supérieur ; c'est pourquoi ce groupe se compose de quatre enseignants du lycée, et trois de l'université. Nous nous sommes proposé un double objectif : mieux préparer les élèves de première et terminales à aborder les notions d'algèbre linéaire (tout en restant bien sûr dans les limites du programiile), et utiliser les connaissances du lycée pour dégager une présentation plus concrète de ces notions en première année d'université. En nous appuyant sur les travaux déjà effectués à l'irem de Rennes ("Les débuts de l'algèbre linéaire en DEUG A", par Bardy-Le Bellac-Le Roux-Mémin-Saby, 1993) et sur ceux présentés dans le livre "L'enseignement de 1 'algèbre linéaire en question", coordonnés par Jean-Luc Dorier (1997), nous avons dégagé les deux pistes suivantes: - Un travail sur les "prérequis" : connaissances et capacités que l'on suppose acquises à l'entrée à l'université, et que l'on utilise largement dans le cours d'algèbre linéaire, mais qui sont en fait peu abordées au lycée ; - La recherche dans les programmes du secondaire de "notions linéaires", et l'exploitation possible de celles-ci. Notre première année a été principalement consacrée au premier point. Nous avons élaboré des exercices sur les thèmes suivants : 1 - Logique et raisonnement * Raisonnement par condition nécessaire et suffisante : Exemple : résolution de x=~. * Vocabulaire des conditions nécessaires et suffisantes. Exemple: On considère l'énoncé: AB =cd =>AB= CD, (où A, B, C, D sont quatre points du plan) ; donner toutes les formulations possibles de celui-ci en utilisant les expressions : Si... alors ; Pour... il est nécessaire que ; Pour... il suffit que. 2 - Utilisation du signe L Exemple : Simplifier Sn = t ln( k + l). k l k 3 - Les ensembles Exemple : Soit F l'ensemble des fonctions de lr dans lr. On note I le sousensemble de F constitué des fonctions impaires, et P le sous-ensemble de F constitué des fonctions paires. (a) Dire pour chacune des fonctions suivantes si elle appartient à I ou à P ou à aucun des deux : fi(x) = x 2 1 +cos x,/2(x) =x+ sin x.fa(x) = ~+ x = 1 (b) Déterminer l'intersection dei et P. 44 ~ _-.-.

46 (c) A-t-oni u P = F? Justifier. (d) Soit fun élément de F. Etudier la parité des fonctions g eth définies par : g(x) =/(x) +/(-x), h(x) =/(x) -/(-x). En déduire que tout élément de Fest somme d'un élément de 1 et d'un élément de P. (e) Montrer que cette décomposition est unique. (f) Décomposer les fonctions suivantes : f(x) = ~x 2 + x + 1, g(x) = (x - 1) L'utilisation de paramètres. Exemple: Soit P(x) = x2 + 2(m - 1) x + m Résoudre, suivant les valeurs du réel m, l'équation P(x) =O. Les exercices proposés ont été pour la plupart testés en Terminale S et dans un groupe d'étudiants de première année en situation d'échec ; on a pu noter de nombreuses difficultés au premier abord, mais aussi une amélioration sensible après un travail spécifique sur chacun de ces thèmes. Nous travaillons cette année sur la seconde piste citée (que l'on retrouve déjà dans l'exercice proposé sur les ensembles), en cherchant en particulier une utilisation possible des connaissances de géométrie, et de celles sur les fonctions polynômes. Le groupe: "Algèbre linéaire, du lycée à la fac" 45

47 L'ELEVE ACTEUR DE SA PROPRE CORRECTION pénibles. En classe, les corrections d'exercices et de devoirs sont souvent ressenties comme C'est un moment difficile : - ennuyeux pour l'élève qui a réussi, il n'y apprend rien, - démoralisant pour celui qui a beaucoup de fautes, ( il ne les comprend pas toujours). - insatisfaisant pour l'enseignant. Comment donner de l'intérêt à une séance de corrections et y faire progresser chaque élève? Voilà la question à laquelle nous essaierons d'apporter quelques éléments de réponse. L'élève doit devenir : acteur de sa propre correction Pour cela, il doit : - prendre conscience de son erreur et du "pourquoi" de celle-ci - être capable d'analyser son erreur, - parvenir à faire correctement un exercice du même type. Notre premier impératif est de considérer les séances de corrections comme : une activité à part entière dans l'apprentissage d'une notion, aussi importante que le cours ou les séances d'exercices. Celle-ci permet de progresser et donne un aspect positif à l'erreur. 46

48 Nos activités se trouveront dans le polycopié rédigé par un groupe de recherche IREM (Institut de Recherche sur l'enseignement des Mathématiques), intitulé : "L'élève acteur de sa propre correction", à paraître dans quelques mois. Notre groupe a fait le choix de réfléchir sur la correction des devoirs faite par les élèves et non sur la correction des copies par le professeur.. Ces deux activités ne sont pas indépendantes : le choix d'un type de corrections influence les commentaires sur les copies et les erreurs rencontrées lors de la correction des copies peuvent amener à changer le type de corrections. Notre priorité a été de faire évoluer les élèves dans leur réflexion face à leurs propres erreurs. Une séance de correction collective, active et rapide, est faite en utilisant des types de corrections classiques. Ensuite, le "vrai travail de correction" de l'élève commence, pour cette tâche, nous leur avons proposé différents supports : - Premier support, expérimenté surtout en sème : la n grille d'erreurs n adaptée à chaque devoir. - Deuxième support, expérimenté en 4ème et 3ème: la "fiche bilan". En plus de ces supports, il nous est paru nécessaire, pour certains élèves, d'apporter en complément des "fiches d'aide", de natures différentes selon les difficultés. Liste des expérimentations du groupe de recherche : «CORRECTIONS EN MATHEMATIQUES» ( Les supports J ( La grille d'erreurs adaptée au devoir La fiche bilan ~ Avec la liste des erreurs identifiées (~ L es fi_ch_e_s_d_'_a_id_e J) En fonction des erreurs du devoir Fiches techniques sur une notion précise Fiches méthodologiques Les types de corrections J Recherche et explication des erreurs Orale "A trous avec ou sans rétroprojecteur Individuelle Avec rappel de cours Sur polycopié En binômes ou petits groupes La mémoire "outil de correction" 47

49 LES GRILLES D'ERREURS Pourquoi les grilles d'erreurs? On constate souvent une attitude passive de l'élève devant une erreur signalée sur sa copie. ll sait qu'il a faux mais il s'attache surtout à retenir le bon résultat. ll copie alors tout ou une partie de la correction, sans se poser de questions concernant la cause ou la gravité de son erreur. Aussi, pour plus d'efficacité, il est indispensable que l'élève explique clairement sa démarche et c'est à l'issue de cette explication que l'enseignant peut réellement l'aider à se corriger. Extrait d'une grille d'erreurs (de début d'année de 5) : Enoncé de l'exercice 2: Effectue les calculs suivants en donnant les résultats intermédiaires a= 18+3x6 b =(58-10) x 0,5 Grille d'erreur. c = 3x [45-(8+ 7)] d=79-7xll Ex: Mes erreurs J'explique mes erreurs no 2 J'ai mal respecté les règles sur les l'!i~~i_t~~-?.e~!!!!?!:~~ J'ai fait une erreur de calcul ou de.!'i~&'\1!~: ~-!!~ 0..~! }.!!.<.?.!!.'El:\!-~~.'~?.E!~-~ ~.~!?.~~-~ J'ai fait un autre tvoe d'erreur. Je corrige mes erreurs a= 18+3x6 b=(58-10)x0,5 c = 3x [45-(8+ 7)] d = 79-7x 11 a=..... b =..... c =..... d =..... a= 36 b= 24 c =..... d=2 C= 90 Remarque : Les deux tableaux ci-dessus sont placés face à face sur une feuille format A3, qui constitue pour l'élève une chemise, dans laquelle il peut rendre son devoir et sa correction lorsque celle-ci est terminée. 48

50 Quels objectifs? Les objectifs de cette méthode sont d'amener l'élève : 1 - à reconnaître son erreur et sa position précise, 2 - à comprendre son erreur en l'analysant, 3 - à formuler avec "ses mots" ce qu'il a mal ou pas appliqué, 4 - à se corriger enfin. Ce n'est pas une façon de corriger mais un outil, une trace écrite de la réflexion et de la correction de l'élève. Cette méthode valide ainsi le fait que la correction est une activité à part entière. Evolution et observations La partie "je corrige" de la grille d'erreurs devient de plus en plus succincte, voire vide, pour accentuer l'autonomie de l'élève. A un moment de l'année, on peut envisager que certains élèves soient toujours avec des grilles détaillées et d'autres avec des grilles succinctes. Pour les élèves en difficulté, qui ont toujours beaucoup de corrections, on peut cibler leur travail sur un ou deux exercices significatifs. La correction pratiquée sous cette forme devient naturellement pour l'élève une activité à part entière, dans laquelle tous les élèves trouvent un intérêt : - l'élève qui a réussi ne s'ennuie pas et va plus loin dans sa réflexion, le plus souvent en aidant un camarade. l'élève qui a fait des erreurs, les analyse, il se défait de son sentiment de culpabilité. ll prend conscience que, se corriger soi-même,lui permet de surmonter ses difficultés. LA FICHE BILAN Dans la mesure où les listes d'en eurs se recoupent dans les différentes grilles nous avons ressenti la nécessité pour les élèves et les enseignants de faire un bilan susceptible de montrer l'évolution des erreurs durant une année scolaire. D'où la mise au point d'une "fiche bilan" adaptée aux élèves de 4ème et de 3ème. Ceux-ci y adhèrent d'autant mieux qu'ils ont pratiqué les grilles d'erreurs en classe de sème. 49

51 Quels objectifs? Ce sont bien sûr les mêmes que ceux énoncés pour les grilles d'erreurs. Mais cette fiche peut éventuellement permettre à l'élève et à l'enseignant de visualiser l'évolution d'un type d'erreur et donc de savoir les points où les efforts doivent être accentués. Cette fiche donne plus d'autonomie aux élèves. C'est parce qu'elle nécessite plus de maturité, que cette fiche nous semble plus adaptée aux élèves de 4ème et de 3ème. Description de la fiche bilan Elle comporte une liste des types d'erreurs répertoriés pour une année scolaire. Ils sont classés en trois grandes parties : - la première donne les erreurs pouvant survenir à la fois en algèbre et en géométrie (codées AG), - la seconde donne les erreurs spécifiques à l'algèbre (codées A), - la troisième donne celles spécifiques à la géométrie (codées G). devoir. Ensuite apparaît un certain nombre de colonnes, chacune correspondant à un Extrait d'une fiche bilan : Cette fiche bilan reste dans les documents de l'élève, il y récapitule le nombre de ses erreurs, après avoir complété une grille conçue sur le modèle suivant. Dans cette grille l'élève doit analyser ses erreurs et en retrouver le code, les intitulés n'y figurant plus. N des Codes J'explique mes erreurs Je corrige mes erreurs exercices 50

52 LES FICHES D'AIDE L'enseignant constate souvent qu'un petit nombre d'élèves n'a pas assimilé correctement certaines notions récentes ou antérieures. Dans ce cas, il peut avoir deux comportements : - soit détailler la correction sur la copie des élèves concernés et passer sous silence cette difficulté, lors de la correction en classe, - soit en parler à l'ensemble de la classe avec le risque d'ennuyer certains et de finir par un simple dialogue avec un ou deux élèves. C'est dans l'objectif d'éviter cette situation souvent peu satisfaisante que nous avons pensé aux fiches d'aide. Les fiches d'aides doivent permettre à l'élève : - d'analyser et de comprendre son erreur. - de se corriger seul. Elles constitueront un outil lui permettant : - de réviser un sujet mal assimilé, - de combler ses lacunes, - de le guider dans sa réflexion, - de lui donner des modèles de résolution, - de travailler à son rythme. Elaborer une fiche d'aide, c'est un peu écrire noir sur blanc des conseils que nous donnons souvent en classe oralement, mais que certains élèves ont du mal à retenir. Ces fiches d'aide peuvent être regroupées en trois catégories : - les fiches d'aide techniques. - les fiches d'aide méthodologiques. - les fiches d'aide associées à un devoir. Plusieurs exemples figureront dans le polycopié à paraître prochainement. Le constat positifs Dans tous les cas, nous avons essayé de motiver les élèves et de leur permettre de mesurer leurs progrès. Ce travail a donné à l'erreur un statut plus positif, elle devient le point de départ d'un parcours intellectuel dans lequel l'élève effacera ses «mauvais apprentissages» pour accéder à la notion correcte.,. Nous nous sommes efforcé de donner à l'élève des outils qui lui permettent de s'auto-évaluer et de restituer ses connaissances dans des contextes différents. 51

53 UN MATHEMATICIEN AUX PRISES AVEC LE SIECLE Laurent Schwartz MATHEMATIQUES : (Récit) Jacques Roubaud INITIATION AUX TRAITEMENTS STATISTIQUES METHODES ET METHODOLOGIE Brigitte Escofier et Jérôme Pagès A plusieurs reprises dans les bulletins précédents, nous avons mis des présentations de livres de mathématiques ou écrits par des mathématiciens, ou plus généralement en rapport avec les sciences de l'éducation, la didactique. Ndus souhaitons continuer à le faire et pour cela nous vous invitons à nous faire partager vos lectures. 52

54 UN MATHEMATICIEN AUX PRISES AVEC LE SIECLE Par Laurent Schwartzt Ce livre est une autobiographie passionnante du premier mathématicien français ayant reçu (en 1950) la Médaille Fields. Laurent Schwartz y développe sa passion pour la recherche en mathématiques et l'enseignement tour à tour comme professeur à l'université et à l'ecole Polytechnique. Mais, comme ille dit<< j'ai eu bien d'autres activités, paifois au point de démolir ma recherche. J'ai consacré une grande partie de mon temps à lutter pour les opprimés, pour les droits de l'homme et les droits des peuples, d'abord comme trotskiste, puis en dehors de tout parti». La partie vraiment mathématique (surtout le chapitre << l'invention des distributions») est instructive mais fmalement très limitée, ce qui donne une indication de la richesse du contenu du livre, richesse qui ressort aussi de la lecture des titres des différents chapitres: - La révélation des Mathématiques (son enfance)- Normalien - Trotskiste - Chercheur dans la guerre - La guerre aux juifs - 1 'Invention des distributions - Militer, enseigner, chercher - Reconnaissance internationale (Médaille Fields) - La réforme de l'ecole Polytechnique- L'engagement algérien- Pour un Vietnam indépendant - La guerre afghane - Le Comité des Mathématiciens. On trouve dans ce livre, non seulement ses idées sur les sujets ci-dessus, sur sa passion des papillons (collection de 1900 espèces) mais aussi beauconp de notes intéressantes sur d'autres mathématiciens (J. Hadamard, son oncle, P. Levy, son beau-père, Grothendieck, Dieudonné, Glaeser,...), des détails parfois drôles (sur la vie normalienne ou sur l'étourderie de certains mathématiciens) ou instructifs comme le récit de ses << ratés >> à répétition dans les épreuves écrites (au baccalauréat2, au concours d'entrée à l'ecole Normale, à l'agrégation) toujours rattrapés par des oraux brillants. On trouve aussi des passages très sombres sur la 1 Editions Odile Jacob (520 pages)- Février

55 survie des juifs pendant la guerre ou sur l'enlèvement, en février 1962, de son fils et ses conséquences... On trouve enfin beaucoup d'idées sur les Mathématiques, leur beauté et aussi leur nature comme dans le passage suivant : «Je voudrais aussi intervenir dans la controverse entre Alain ConnesJ et Jean Pierre Changeux au sujet de la nature des Mathématiques. Alain Connes considère, et je suis totalement d'accord avec lui, que les mathématiques sont une réalité profonde, alors que Jean Pierre Changeux considère que, contrairement aux autres sciences, les Mathématiques sont une pure construction de /'imagination. Quelles sont les trouvailles qui sont des découvertes et celles qui sont des inventions?» n développe alors en donnant de nombreux exemples dans diverses sciences, et bien sûr en Mathématiques, de découvertes et d'inventions et note que les deux types de trouvailles peuvent s'entremêler pour terminer avec : << un livre récent de C. Allègre, La défaite de Platon, pousse plus loin que Jean-Pierre Changeux et déclare que les Mathématiques «ne sont pas vraiment une science» ; pas une science comme les autres - il veut dire «pas une science expérimentale» - d'accord mais pas «vraiment une science» c'est totalement absurde et n'est pas admissible...». En conclusion, un livre à lire absolument et qui apporte beaucoup à tous ceux qui enseignent les mathématiques. Michel VIALLARD 2 Autre Médaille Fields 3 0 sur 10 au problème pour être parti de la relation a'= b' + c'- 2bc sin A dans le triangle 1 Mais 39,5 sur 40 à l'oral. 54

56 MATHEMATIQUES: (Récit) Par Jacques Roubaud Le titre de ce livre retient 1' attention des enseignants de mathématiques que nous sommes, alors que le signe de ponctuation qui le suit, ouvert sur le livre, invite les littéraires au commentaire. Les publications de Jacques Roubaud, qui a été en particulier enseignant à la Faculté des Sciences de Rennes, place Pasteur, autour des années 1960, assurant les ID de TMP d'huguette Delavault, forment maintenant une longue liste. Beaucoup de textes poétiques, de textes en prose, d'essais. Toujours le même souci du nombre, de la contrainte littéraire : Rou baud a été profondément influencé par Raymond Queneau. Mathématique : est le troisième d'une série de six livres, ou branches, d'un long texte comportant des aspects biographiques, après le Grand incendie de Londres et la Boucle et avant d'autres volumes à paraître, peut-être sur Internet. Mathématique : est centré autour de la rencontre de Jacques Roubaud et de la mathématique et ce moment est également celui du point de départ des réformes de l'enseignement des mathématiques : cherchant sa voie, après des études littéraires, Jacques Roubaud vient suivre, en novembre 1954, dans l'amphithéâtre Hermite de l'institut Henri Poincaré (llip à Paris), le cours de calcul différentiel et intégral enseigné par Gustave Choquet. Certains d'entre nous ont travaillé un jour ou l'autre dans ces livres verts les premiers rudiments de topologie. A l'époque, l'introduction massive de ces notions du cours de Georges Valiron qui venait de partir à la retraite et qu'ils avaient écouté (mal forcément) l'année précédente. Ce changement radical avait une origine et un nom: Bourbaki. C'est là que Jacques Roubaud entend prononcer ce nom pour la première fois par un de ses condisciples, Pierre Lusson, qui deviendra son ami et enseignera lui aussi, mais peu de temps, à la Faculté de Rennes. De cette époque décisive, le livre de Jacques Roubaud construit peu à peu des fragments d'image où l'on voit apparaître Laurent Schwartz et bien d'autres ; la boucle des souvenirs nous conduira jusqu'à l'explosion de la première bombe atomique française en 1959 à Reggane. J'espère que ces quelques mots suffiront à vous attirer vers ce livre. Pour terminer, je signale un autre livre de Jacques Rou baud aux mêmes éditions : l'abominable tisonnier de John Mac Taggart Ellis Mac Taggart qui contient le récit de fragments de vie d'une trentaine de personnes avec un texte sur Hilbert très savoureux et un texte sur Brouwer très difficile. Jeim-Pierre ESCOFIER 55

57 INITIATION AUX TRAITEMENTS STATISTIQUES METHODES ET METHODOLOGIE Brigitte Escofier et Jérôme Pagès, Collection Didact statistique, Presses de l'université de Rennes 2 L'objectif de cet ouvrage est de présenter les outils statistiques de base. Les auteurs ont choisi de présenter les méthodes par le biais du traitement d'un fichier de données. Ces données sont les suivantes : chacun des élèves ayant passé les épreuves écrites du bac C en 1989 dans un même centre d'examens, est "décrit" par 20 notes, les notes au bac et aux trois trimestres dans les cinq matières de l'écrit du bac. Après avoir énoncé leurs objectifs, les auteurs traitent le fichier de données et l'ouvrage est en quelque sorte le compte-rendu du traitement statistique de données du début : vérification et nettoyage du fichier à la fin : synthèse de l'étude et conclusions. Ce "compterendu" est enrichi par la présentation claire des méthodes utilisées. Cette initiation à la statistique est extrêmement vivante, Je lecteur étant transformé en statisticien avec les mêmes interrogations qu'un praticien en face de données. L'originalité et le grand avantage de cet ouvrage est de conserver le même exemple suffisamment riche : 993 élèves et 20 notes par élève qui permet l'introduction de toutes les méthodes statistiques de base. L'ouvrage est divisé en trois parties : - Une première partie introduit les méthodes statistiques au fur et à mesure du traitement du fichier d'exemples. - La seconde partie est consacrée aux éléments (individus et/ou variables) remarquables ou/et aberrants. - Chacune des onze fiches techniques de la troisième partie est consacrée à un thème essentiel de l'analyse statistique d'un fichier. Cet ouvrage s'adresse à tout utilisateur de la statistique (statisticien ou étudiant) comme ouvrage de référence. Les enseignants y trouveront des exemples et des suggestions pour leur enseignement de la statistique. En conclusion, ce livre est un excellent ouvrage de base qu'on peut se procurer soit en librairie, soit directement auprès des Presses Universitaires de Rennes UHB Rennes 2 Campus de la Harpe, 2 rue du Doyen Denis-Leroy Rennes Cedex. Dans ce dernier cas, joindre un chèque de 95 F à l'ordre de l'agent Comptable de l'université Rennes 2. 56

58 Sommaire - Traitement d'un fichier de notes 1. Description des données étudiées 2. Objectifs de l'étude 3. Premières vérifications des données 4. Données manquantes ;,,1,, 5. Description d'un petit tableau de données : les quinze élèves avec bac incomplet 6. Etude d'une variable qualitative : répartition des élèves dans les lycées 7. Etude de variable quantitative : répartition des notes 8. Liaison entre deux variables quantitatives : les notes sont-elles liées entre elles? 9. Synthèse d'un ensemble de variables quantitatives 10. Caractérisation d'une sous-population; élèves avec données manquantes 11. Comparaison entre plusieurs sous-populations; les élèves d'un même lycée - Eléments remarquables et aberrants 1. Mise en évidence de valeurs remarquables et de valeurs aberrantes 2. Mise en évidence d'individus remarquables 3. Mise en évidence de variables remarquables - Fiches techniques 1. Construction du tableau de données, type de variable, codage 2. Données manquantes 3. Mesure de la dispersion d'une variable quantitative 4. Représentation simultanée de deux variables quantitatives 5. Liaison entre deux variables quantitatives 6. Liaison entre deux variables qualitatives 7. Comparaison entre deux moyennes 8. Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative 9. Distribution de variables quantitatives, observées ou aléatoires 1 0. Indicateur statistique et probabilité associée 11. Distribution d'une moyenne Index Bibliographie ISBN Prix 95F i 57