L' L' L~~ 13. Décembre 1997

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1 IREU de RENNES ( L' L' L~~ 13 ~1 13 Décembre 1997 j

2 SOMMAIRE MOT DU DIRECTEUR LA CRISE DE JUIN LE COLLOQUE INTERNE LA MULTIPLICITE DES CONTRATS DANS L'USAGE DES FIGURES EN GEOMETRIE... 9 BILAN FORMATION DIDACTIQUE MATHEMATIQUES EDAP CONCOURS D'AFFICHES A L'IREM LA BIBLIOTHEQUE DE L'IREM-CCAFE A PROPOS DES ABONNEMENTS... : MATHEMATIQUES SUR LE SERVEUR DE L'ACADEMIE DE RENNES PRODUIRE ET LIRE DES TEXTES DE DEMONSTRATIONS... 38

3 LA VIE DES GROUPES MATHEMATIQUES EN CLASSE DE PREMIERE STT AAC INTEGRATION D'OUTILS DE CALCUL FORMEL ALGEBRE LINEAIRE, DU LYCEE A LA FAC L'ELEVE ACTEUR DE SA PROPRE CORRECTION NOTES DE LECTURE UN MATHEMATICIEN AUX PRISES AVEC LE SIECLE MATHEMATIQUES : (Récit) INITIATION AUX TRAITEMENTS STATISTIQUES METHODES ET METHODOLOGIE... 56

4 MOT DU DIRECTEUR L'année 1997 qui se tennine efqui sera finie quand vous recevrez ce bulletin a été une année importante et difficile pour l'irem Importante, car elle a vu notre arrivée dans de nouveaux locaux, que certains d'entre_ vous ont pu visiter lors de la journée" portes ouvertes" qui a fait suite au colloque interne. Difficile car un déménagement est toujours source de dysfonctionnements ponctuels, certes, mais néanmoins gênants lors du réaménagement. D'autant plus difficile que nous avons mis en chantier des manifestations à l'occasion de ce déménagement: - journées IREM à Rennes, - colloque interne à Rennes, - concours d'affiches, et qu'il a fallu assurer tout ce travail en plus du travail habituel. D'autant plus difficile qu'une fois dans de nouveaux locaux plus modernes, cette modernité impose des questions et des choix! Par exemple, le renouvellement, l'amélioration du potentiel informatique, la mise en réseau, etc... L'année a été aussi une année délicate pour le réseau de_s IREM qui a connu une grave crise, qui semble à court terme réglée, mais dont on reparlera sans doute dans les mois qui viennent. Cette année a été aussi, pour nous à l'irem de Rennes, une année malheureusement attristée par la disparition brutale de nos amis Louis LE STRA T et Geneviève MOURAUD, qui ont longtemps participé à la vie de l'irem. BorisLAZAR 1

5 La crise de Juin 1997.Au cours des vingt cinq dernières années (et même un peu plus... ) d'existence des IREM, celles-ci ont connu quelques situations critiques, depuis la grande réduction de leurs crédits et la réaction qui s'ensuivit en 1976, jusqu'au trouble dû à la création des MAFPEN. Depuis 1994/1995 le Ministère s'est attaqué peu ou prou à une des bases du réseau des IREM : les commissions Inter IREM, en décidant de ne plus reconnal'tre leur existence et donc de ne plus leur verser de subvention (lisa, HSE et frais de déplacements). Etait-ce une attaque voulue ou plus simplement parce que le Ministère avait décidé de fonctionner de façon différente et de mettre en place des Thèmes? Ceux-ci recouvraient plus ou moins les projets des commissions mais souvent en compliquant la vie de tout le monde, par exemple en étant liés à deux commissions. Dans un premier temps les CII 1 et l' ADIREM 2 ont fait le gros dos et ont pensé qu'au moyen de quelques complications comptables la situation antérieure pourrait perdurer. Ce ne fut pas aussi simple que prévu, en particulier parce que le MEN voulait des preuves que le travail avançait en fonction des thèmes proposés, pour donner les subventions promises. S'opposaient ainsi deux logiques : - l'une, celle de chercheurs qui savent qu'ils sont capables de fournir un certain travail parce qu'ils l'ont toujours fait, - les IREM sont en effet connus sur le plan aussi bien national qu'international pour la qualité de leurs travaux, leur capacité d'innovation, - qui savent aussi que c'est perdre son temps que de faire des rapports d'étape de type administratif. - l'autre, celle d'un trésorier payeur qui veut bien payer mais qui a peur de se faire «avorr»... L'argument des!rem était le suivant : "Nous comprenons fort bien que nous devons rendre des comptes à ceux qui donnent les moyens, mais chaque fois que nous avons eu une commande nous y avons répondu parce que nous avions pu travailler dans l'esprit de liberté qui était le notre. C'est là votre meilleure garantie. Par contre, si vous nous perturbez avec des contrôles tatillons et a priori, à terme nous serons improductifs. N'oubliez pas non plus que les gens qui travaillent dans ces commissions le font par goût et non pour gagner une demie HSA ou même une HSA (une heure de colle leur rapporterait bien plus, par exemple... )". questions. Les ADIREM des derniers mois se sont pour l'essentiel déroulées autour de ces 1 Commission Inter!REM. 2 Assemblée des Directeurs d'irem 2

6 A ces premiers débats s'est rajouté au cours de l'année 1996/1997 une autre menace : la subvention donnée par le Ministère par Je canal de la DGES 3, passerait par celui des DLC 4 ce qui n'est pas un simple changement de sigle mais bien plus : en effet, les IREM ont toujours considéré que leur mission de recherche, le «R» de GRF 5, en font des établissements universitaires et à ce titre qu'ils doivent traiter avec la DGES et non avec la DLC. Enfin, l'année s'est terminée avec la lettre de A. Boissinot, Directeur des Lycées et Collèges du MEN, aux chefs de MAFPEN, datée du 2 Juin lettre dans laquelle il affirmait, on ne peut plus clairement, deux choses : - l'argent de la DLC ne doit pas servir aux travaux de recherche des IREM et dans cette perspective c'est une remise en cause du fonctionnement des GRF, - la non reconnaissance du label IREM pour les formateurs ce qui va là encore à l'opposé des idées que les IREM développent depuis des années. Après différentes rencontres au Ministère, et avec l'aide du collectif de défense des IREM remis au goût du jour pour la circonstance nous avons obtenu une convention qui nous permet de fonctionner. pour l'instant et à court terme, mais nul ne sait ce que l'avenir nous réserve d'autant que le Ministère a l'intention de remettre à plat tout ce qui concerne la formation continue. Cette intention largement médiatisée, parfois de façon provocatrice (ah! les stages de poterie...) a déjà eu un premier résultat, en tout cas en ce qui concerne 1 'IREM de Rennes : moins de candidats aux stages courts et la première Journée IREM qui devait se tenir à Redon n'aura pas lieu faute d'un nombre suffisant de participants. En effet, se sont conjugués deux effets penùcieux : - les enseignants sachant qu'ils ne pourront se faire remplacer demandent moins que par le passé des autorisations d'absence, - les chefs d'établissement sont devenus plus réticents qu'autrefois, c'est tout au moins 1' analyse que nous en faisons ici. S~ pour notre part, nous pelj$ons qu'il est peut-être temps de faire un bilan de la formation continue des enseignants, avec une mise à plat des relations entre IREM-MAFPEN IUFM-Université, il nous paraît important d'affirmer quelques principes: - Si pour découvrir une nouvelle calculatrice ou un nouveau logiciel on peut envisager une formation de type traditionnelle c'est-à-dire un animateur et des auditeurs et ceci sur un temps plus ou moins long, dès lors qu'il s'agit de réfléchir sur un sujet ou sur une pratique cela devient notoirement insuffisant et la seul solution un tant soit peu raisonnable est le groupe de recherche formation où l'on peut effectivement se former en faisant une vraie recherche, ou éventuellement le stage de longue durée dans lequel les participants ont une activité de type GRF. 3 Direction Générale des Enseignements Supérieurs. 4 Direction des Lycées et Collèges. 5 Groupe de Recherche Fonnation. 6 la date vous évoque peut être quelque chose... 3

7 - A côté de ces GRF, il existe des stages courts dont le seul intérêt est de faire connaître des travaux, des résultats et surtout des façons de se former, et enfin des journées de présentation de plusieurs travaux de 1 'IREM. Dans notre esprit ces dispositifs ont pour but de mieux faire connaître les actions de formation. Rappelons pour finir que le droit sur le temps de travail à la formation est un droit des travailleurs et des enseignants, qui sont des travailleurs comme des autres. APPEL DU COLLECTIF«DEFENSE DES IREM» Cet appel a été envoyé en Juin 1997 à tous les IREM. La Direction des Lycées et Collèges (DLC) programme la mort des IREM sous couvert de nouvelles modalités de démarche contractuelle. Comme l'a confirmé une entrevue récente entre l'ad!rem et les représentants de la DLC, le Directeur de la DLC s'oppose à l'attribution aux!rem par les MAFPEN des moyens nécessaires pour que les professeurs des lycées et collèges puissent travailler au sein des groupes de recherche!rem; nationalement, les commissions inter-irem ne sont plus reconnues et disparaissent, les moyens restent accordés individuellement sur des thèmes proposés par la DLC et revus tous les deux ans. Le refus d'une formation continue appuyée à une recherche pédagogique, l'opposition à une forme de travail qui rassemble des enseignants de différents ordres d'enseignement sont ainsi brutalement et clairement signifiés. Nous tenons à sauvegarder l'outil de travail original que sont les IREM : - Parce que la recherche qui y est menée, s'appuyant à la fois sur une réflexion théorique et sur des pratiques enseignantes, permet une réflexion à long terme sur l'enseignement des mathématiques et les relations des mathématiques avec les autres disciplines scientifiques mais aussi avec la philosophie, l'histoire ou les sciences humaines. - Parce que cette recherche sans cesse confrontée au réel, nourrit et dynamise une formation continue apte à penser et intégrer les changements imposés par la société. - Parce que le travail en commun, à partir de leurs compétences et au delà de tout rapport hiérarchique, de professeurs de l'enseignement secondaire et d'universitaires, est essentiel pour la recherche sur l'enseignement. - Parce que la structure nationale en réseau permet d'aborder globalement la plus grande partie des questions posées par l'enseignement des mathématiques. ' 4

8 L'histoire de ces dernières années a montré que les retombées du travail accompli par les IREM profitent à un grand nombre d'enseignants et à l'école tout entière< en particulier c'est parce que les!rem mènent dans les commissions une recherche suivie qu'ils peuvent répondre à des commandes du Ministère de l'education Nationale. Alors que de nombreux enseignants étrangers ont mis ou voudraient mettre en place une telle structure de travail dans leur pays, est-il raisonnable de remettre en cause l'existence des IREM? Ne vaudrait-il pas mieux étendre ce type d'institution à d'autres disciplines? Le Collectif demande que soient reconsidérées les décisions du Directeur de la DLC et que soit sauvegardée la structure de travail des IREM, il appelle à s'associer à cette demande. Diffuser et faites signer cet appel. Renvoyez l'appel à: Collectif«Défense des!rem»!rem de Lille USTL Villeneuve d' Ascq Cedex Fax: Voici quelques p1-opos récents de notre Ministre en réponse à une question de Madame C GENISSON Députée du Pas-de-Calais : [... ] La direction des lycées et collèges n'est pas institutionnellement en charge du financement de la recherche en mathématiques effectuée par les!rem. Ceux-ci ont en effet un statut universitaire et disposent de ressources qui leur sont affectées par la direction générale des enseignements supérieurs et, dans le cadre de leur autonomie, par les universités auxquelles ils sont rattachés. [... ] [...] J'ai cependant demandé à mes services d'examiner la situation des!rem en vue de bien identifier leurs missions, et de les articuler plus rationnellement avec les missions générales des universités en matière de recherche, notamment avec celles dorénavant confiées, depuis leur création, aux instituts universitaires de formation des maîtres, qui participent également à la recherche en éducation. [...] 5 '

9 LE COLLOQUE INTERNE 1997 Ce colloque a lieu en général dans un site choisi en dehors de Rennes car le fait de tous se retrouver dans un même lieu pendant deux jours et demi, y compris les soirées permet souvent de discuter, d'échanger, de mieux travailler en quelque sorte... Et pourtant cette année exceptionnellement nous avons décidé, et ce au colloque de St Malo en 1996, de le faire les 8 et 9 Mai dans les nouveaux locaux de l'irem, pour fëter notre installation et de le prolonger par une Journée«Portes Ouvertes» le Samedi 10 Mai. Il est vrai que ce colloque a été moins convivial que d'autres mais de l'avis général il s'est bien déroulé. " La journée «Portes Ouvertes» était destinée à faire connaître à tous nos collègues professeurs de mathématiques 1 'IREM et ce qu'on y fait : groupes de recherche, brochures, stages courts, universités d'été... Elle a comporté : - des démonstrations de logiciels, - des présentations des travaux de plusieurs groupes de recherche, - un débat sur les parcours différenciés, - - une conférence de Colette Laborde. Elle a aussi permis à un grand nombre de personnes de visiter la bibliothèque de l'irem et d'acheter des brochures. " Un grand nombre d'enseignants, y compris des staguures de l'rufm, étaient présents malgré un long week-end, donné il est vrai un peu tardivement... et ont permis de faire de cette journée une réussite. Il faut aussi remercier le travail des délégués IREM grâce à qui l'information peut arriver dans les lycées. " La matinée était consacrée : - d'une part, à la découverte de logiciels conçus pour l'enseignement des mathématiques (aides à la démonstration, constructions de courbes, calcul formel, banque de problèmes... ) et présentés par des professeurs travaillant à l'lrem, au S.TA du Rectorat, avec le laboratoire de didactique de l'irmar ou de l'apmep, - d'autre part, à la présentation de quelques groupes de recherche des dernières années par des membres de ces groupes. 6

10 ll faut dire honnêtement que les logiciels ont eu plus de succès... " Enfin, les enseignants présents ont pu regarder deux expositions : - une proposée par J.P. Escofier, «Les mathématiques à l'époque révolutionaire». l'autre présentant des travaux d'élèves de Vitré (merci à F. Pautret de nous l'avoir confiée) sur«l'histoire des mathématiciens». Nous avons eu les honneurs de la presse... Beaulieu: des nouveau?' locaux pour I'I.R.E.M..: A Beaulieu, I'I.R.E.M~ (Institut universitaire de recherche sur l'enseignement des mathématiques) s'est vu attribuer cette année de nouveaux locaux : un des bâtiments neufs de Be8ulleu Nord. Ce lut l'occasion pour lui dè: redorer son image ~t celle des', mathématiques en général qui auraient tendance. à fair&. l'objet 111 d'attaquee non Justifiées,., selon Boris Lazar, le- p résldent. Les I.R.E.M. ont été créés il y a vingt-cinq ans, dans le vent de philosophie de -. mal 68.., à une époque -Qù' les maths modernes avalent toutes les peines à s'lnsé-- rer. daos l'er;tse!qnement AujoUr- d'hui, les vingt-cinq lnstlluts en France poursuivent leur objectif : des formations cotitlnues d'ensej.. gnants par le.~lais de travaux de recherche. ' Ainsi, à Rennes, -plusieurs équipes do recherche; encadrées. par des: enseignants du secon- da!re et.du supérieur, rassemblent près de soixante personnes.. Cette conception de l'enselgn.,. ment par I'I.R.E.M. semble po"er ses fruits et celui-cl jouit mainte- nant d'une notoriété cèrtalne lors des cong'rès - internationaux de : maths, tous les quatre ans. Maf.. gré tout, explique B. Lazar,, en France, l'enseignement dea mothi eoultre. d'attequel Des gens, peut être qualifiés dana Jeure domaines male sana com.. pétence dens celui dea matha, se permettent de lee Juger: c'est. une réaction à un lmpérlallome, dea maths qui n'est pa1 de notro ressort mali de celui d'autre disciplinee qui s'en servent comme un moyen. de sélectl_on. La tâche est rude : Il s'agit pour B. Lazar et ses collègues de redynamlser l'!mage des maths et de montrer qu'enes so111 vivantes. Pour ce faire, Ils ont organisé un concours d'affiches pour les collégiens et lycéens (mercredi 7 mal, vingt prix ont été décernés aux meilleurs des quatre cent cin- quante participants) ainsi qu'une journée portes ouvertes dans les nouveaux locaux samedi dernier : les professeurs de l'académie.se Démonstrations de logiciels ei d'enseigneïnènt A ltî]oumée porte' ouvertes.... /.. i ~.,., sont retrouvés au\out db diverses : métrle-- et Importante démonstra.. manifestations (séances de pré-. Uon de loglplels destinés à l'en-. senfation des derniers travaux de selqnem~nts).: recherche, Conférence de Cçlette Laborde, professeur à Grenoble, sur l'usage des figures en géo-- 7

11 Liste des logiciels DOMINO (J.Juw) DEFI (!. GJORGIUITI) PROPORTIONNALITE (o. ooisnard, 1. HOUDEBINE. J.M LE LAOUENAN) MENTHONIEZ (o. PY) SMAO GRAPHIX GEOPLAN CALQUES GEOMETRIQUES ATELIERS DE GEOMETRIE MULTIMEDIA (Cescinqlogicielsootitéprtscotiopar D. BO!SNARD du STA, Service Technique d'appui du Redoratquitestetous les logiciels de mathématiques mais aussi d'autres disciplines et qui par aillam a praé à l'irem du matériel pour oettejoumée). PREMIERS PAS (A.S!MON,ÂNICOLAS,C.BOULARD) BANQUE DE PROBLEMES (R. BEU.OEIL) MODELES MATHEMATIQUES POUR WORD (A. GUILLEMoT) DERIVE (J.B.LAGRANGE, A. LEGROS) CABRI (Y. LEGER) 8

12 LA MULTIPLICITE DES CONTRATS DANS L'USAGE DES FIGURES EN GEOMETRIE Voici le texte de la conférence que Colette LABORDE a faite à Rennes lors de /ajournée«portes ouvertes 11. A côté de notions mathématiques qui font l'objet de définitions explicites dans l'enseignement figurent de nombreux outils de l'activité mathématique, qui ne sont guère objets d'études. Les figures géométriques relèvent de cette catégorie de notions qualifiées de paramathématiques par Chevallard (1991). Les attentes de l'enseignement relativement à ces outils sont le plus souvent implicites et variables suivant les niveaux scolaires. Cet exposé a pour objectif d'analyser le rôle que peuvent jouer les figures dans la résolution des problèmes de géométrie, de montrer la variabilité du contrat didactique relatif à leur usage suivant le type de tâche proposé et débouche sur la situation nouvelle créée par les environnements informatiques de géométrie dynamique. L La distinction entre théorique et spatio-graphique On considère la géométrie comme un corps de connaissances théoriques, même si elle a pu se développer partiellement sous la pression d'exigences du monde réel. On distingue les objets et relations géométriques qui sont de nature théorique, de leurs extériorisations dans des systèmes de signifiants divers. On s'intéresse en particulier aux réalités spatio-graphiques (dessins produits par la trace du plomb sur le papier, d'un bâton sur le sable, d'électrons sur l'écran de l'ordinateur) qui représentent ces objets théoriques. En tant que réalités de l'espace sensible, elles donnent à voir des relations spatiales. Les objets et relations de la géométrie sollicitent de la part de l'individu des connaissances et contrôles théoriques tandis que les réalités spatio-graphiques sollicitent d'abord une appréhension et des contrôles perceptifs (parfois aidés d'instruments). Ce n'est que lors d'un processus d'interprétation en termes de géométrie, qu'elles appellent des connaissances théoriques. L'existence de ces deux modes de connaissances et de contrôles a été exprimée dans plusieurs recherches, sous des noms parfois différents : dessin/figure (Parzysz 1988, Arsac 1989, Laborde & Capponi 1994), figura! concept (Fishbein 1993, Mariotti 1995), problématique pratique!problématique théorique (Salin et Berthelot 1994). Duval (1988, 1994), Matos (1992) et Salin & Berthelot (op.cit.) ont montré que!'.appréhension perceptive peut s'ériger en obstacle à une interprétation géométrique. En particulier, des dessins prototypiques et les traitements associés (Matos 1992, p.1 09) se sont installés. Pluvinage (1989) et Rauscher (1993) ont proposé l'expression géométrie de traitement pour désigner les traitements de dessins contrôlés par des connaissances géométriques dans l'enseignement de la géométrie au collège. Reprenant la notion d'invariant utilisée par Vergnaud (1994), nous considérons que les élèves ont à construire non seulement des invariants géométriques mais aussi spatiaux et surtout construire des liens entre ces deux types d'invariants. Ce sont ces liens qui permettent la mobilité nécessaire entre le théorique (les savoirs géométriques) et spatiographique (le dessin) dans les processus de résolution d'un problème géométrique. 9

13 L'enseignement se doit de favoriser la construction de ces liens, en particulier l'apprentissage de l'identification de configurations spatiales en lien avec leur interprétation géométrique. Or, l'enseignement secondaire n'ignore pas les dessins en géométrie - les activités de tracé, de dessins, de lectùre sont présentes dans les manuels de collège, mais reposant sur des attentes différentes sur ce que l'élève est en droit de faire. IL Les dessins en géométrie dans les manuels de collège Une première enquête réalisée sur cinq manuels de troisième 1 par Clouzeau (1997) met clairement en évidence que l'interprétation géométrique de dessins fait partie des compétences exigées des élèves de collège. Clouzeau a systématiquement relevé les exercices de calcul de longueur manquante mettant en jeu le théorème de Thalès dans ces cinq manuels. na pu constater que toutes les hypothèses n'étaient données verbalement que dans moins de la moitié des exercices. Plus précisément, 142 exercices nécessitent que l'élève tire des données du problème, du dessin qui accompagne le dessin alors que 116 exercices les explicitent toutes dans l'énoncé verbal. Une étude plus fine des données que l'élève doit tirer du dessin pour pouvoir résoudre l'exercice, montre que ce dernier est en droit de lire sur le dessin: -l'appartenance d'un point à une droite, une demi-droite, un segment ou un cercle, -l'existence de l'intersection de 2 objets géométriques (droites, segments, cercles), -l'ordre des points sur une droite ou un segment, -le caractère non croisé d'un polygone, - la perpendicularité si elle est codée, -l'égalité de lon~eurs si elle est codée. Prenons le cas de l'appartenance à un objet géométrique. L'élève est en droit de la lire sur un dessin lorsqu'elle fait partie des données du problème. n n'est plus en droit de la lire lorsqu'elle fait partie des résultats à démontrer. On retrouve dans l'usage des dessins la distinction proposée par Duval (1991) entre le caractère de vérité d'une proposition (souvent vraie lorsqu'on peut la lire sur le dessin) et son statut opératoire (hypothèse ou conclusion). L'usage assigné au dessin dans l'enseignement semble donc varier suivant la tâche à réaliser, lecture de données du problème ou démonstration par exemple. L'examen des différentes catégories d'exercices de géométrie au collège et des commentaires sur leur résolution que peuvent faire certains de leurs auteurs confirme cette impression. On peut ainsi distinguer trois types de problèmes suivant le rôle du dessin : - les problèmes de reproduction de dessins fournis avec parfois des données verbales supplémentaires (ils ont cours surtout en 6ème et Sème) ; un dessin est donné en entrée de la tâche, il en est demandé un autre en sortie (Pluvinagé 1989 & Rauscher 1993); 1 Il s'agit des manuels: Mathématiques 3ème Delord R, Terracher P.H., Vinrich G., Hachette Education 1 Maths 3ème Corrieu L., Desnoyer D., Marchand D., Sogemond S., et Verdier P., Delagrave 1 Pythagore 3ème Bonnefond G., Daviaud D. et Revranche B., Hatier 1 Math 3ème Depresle P., Jauffret P., Marcelle! F., Mazaud P. et Pène N., Belin 1 Math 3ème IREM de Strasbourg, Bourdenet G., Marchand N., Mollet-Petit F., Pluvinage F. et Richeton J.P., Istra. 10

14 - les problèmes de construction qui consistent à demander la construction (en général à la règle et au compas) d'un dessin satisfaisant à un ensemble de conditions ; des données verbales sont founùes en entrée, un dessin est à donner en sortie par les élèves ; - les problèmes de démonstration dans lesquels on a à établir des propriétés géométriques à partir d'un ensemble donné de propriétés. Le dessin n'est qu'un élément auxiliaire du problème. Examinons les attentes implicites de l'enseignement au niveau du collège dans ces trois types de problèmes : * Dans les problèmes de reproduction à l'identique ou en plus grand, ou de construction en vraie grandeur (surtout fréquents en 6ème ), l'élève est en droit de tirer certaines informations visuelles du dessin donné à reproduire ; ainsi, il est en général permis (sans que ce soit explicité) de conclure à l'alignement de trois points ou à l'intersection de trois droites, à l'appartenance d'un point à une droite ou à un segment, au seul vu du dessin. Certains exercices demandent en plus de reconnaître visuellement des quarts de cercle ou des demicercles. Toutes les informations visuelles ne sont pas à prendre et c'est bien en cela que 1' on peut conclure qu'un certain contrat est en vigueur. illustrons le à l'aide de l'exercice 47 (p.45) du manuel "Cinq sur cinq" de la classe de 6ème (Hachette, 1994). Le dessin ci-dessous (Fig.!) y est fourni avec la consigne "Refaire, en plus grand, le dessin suivant". Fig.! Une première sorte d'implicite concerne l'agrandissement. ll s'agit très probablement d'une augmentation de t~e qui concerne les distances et non les angles (implicite jugé décodable par les élèves de par la connaissance supposée qu'ils ont de l'agrandissement de plans ou de cartes) mais cet agrandissement n'est probablement pas à l'échelle (sinon on l'aurait indiqué dans l'énoncé, le "en plus grand" formule de la langue courante délivre du même coup les élèves d'une obligation de précision). La mesure des distances confirme cette interprétation. Les mesures des segments OC, OA, OB, et OD ne s'expriment pas en nombres entiers de centimètres. Là encore une règle implicite joue. Si les auteurs avaient voulu la prise en considération des mesures, ils les auraient choisies s'exprimant en nombres "ronds" pour faciliter les calculs. Une deuxième sorte d'implicite est relative au choix des informations prises sur le dessin à respecter dans la reproduction. Certainement les alignements de 0, C et D, de 0, A et B, l'intersection en 0 de dl, d2 et d3, la position de d2 interne à l'un des angles aigus formé par d 1 et d2, l'ordre des points 0, C et D. Mais la taille respective des angles formés par les droites n'est probablement pas à respecter de façon précise. ll suffit que 1' angle d20d3 soit environ de taille proche de dl0d2 et que dl0d3 soit un angle nettement aigu. 11

15 * Les problèmes de construction sont des classiques, surtout lorsqu'ils relèvent de la catégorie règle et compas : certains usages des instruments y sont permis, d'autres non. Ainsi la construction d'une tangente à un cercle passant par un point donné extérieur au cercle ne peut se faire par pivotement de la règle autour du point. On ne peut de même trouver le centre d'un cercle en essayant plusieurs positions avec le compas de façon à tracer un cercle coïncidant avec le cercle donné. Le tâtonnement ou encore la stratégie essai-erreur validée par un contrôle perceptif est illicite. Comme le dit Chevallard (1991), seule est véritablement enjeu la constructibilité de l'objet géométrique et non sa représentation effective. Le licite connaît aussi des variations. Suivant les exercices, on admettra ou l'on interdira le report par règle graduée de mesures. * Dans les problèmes de démonstration, si l'on se réfère aux seuls termes de l'énoncé et si ce dernier ne fait pas mention de dessin, l'élève serait tout fait en droit de fournir une justification de la propriété à établir sans fournir de dessin. Mais parce que le dessin est un élément d'appui de l'élaboration de la preuve, il est implicitement demandé aux élèves d'accompagner la rédaction de la preuve d'un dessin. Le rôle de ce dessin dans l'élaboration de la preuve est d'ailleurs réglementé comme l'expriment certains manuels actuels : "Attention! Certaines impression sont parfois mauvaises. L'utilisation des instruments permet seulement de se faire une idée de certaines propriétés d'une figure. Cela s'appelle/aire une conjecture ("il semble que", "on dirait que"). Quand on affirme un résultat, il faut toujours le prouver en utilisant une ou plusieurs propriétés étudiées en classe. On dit aussi montrer ou démontrer ou justifier." (Delord, Terracher et Vmrich ; 4ème, 1992, Collège Hachette, p.l38). Le dessin n'est qu'un pourvoyeur d'impressions visuelles susceptibles de donner des idées de propriétés géométriques mais contrairement aux problèmes de reproduction, il n'est pas permis de les prendre pour vérifiées par l'objet géométrique dont le dessin est une représentation. Seuls les faits théoriques et de plus vus en classe, sont à utiliser dans une chaîne de déductions. Le contrat paraît clair, il l'est un peu moins si l'on approfondit tant soit peu la question Les propriétés d'ordre, de régionnement, dans certains cas d'intersection, peuvent être en général admises directement de la constatation visuelle sur le dessin (Augé 1994) et non à justifier. Le même manuel de 6ème (p.l31) donne ainsi un exemple d'exercice résolu de la démonstration de l'alignement de trois points (Fig.2). I Fig.2 12

16 Citons le in extenso. "On considère la figure ci-contre, dans laquelle les trois triangles EFG, FGH, et FHI sont équilatéraux. Prouver que les points E, F et I sont alignés. EFG = GFH = HFI = 60 (voir dans la marge) angle EFI = angle EFG +angle GFH + angle HFI. angle EFI = 60 x 3 = 180 L'angle EFI est donc plat: on en déduit que les points E, F et I sont alignés." En marge il est indiqué que dans un triangle équilatéral, chaque angle est égal à 60. La démonstration fournie fait appel, sans le prouver, aux positions respectives dans le plan des droites FE, FG, FH et FI pour conclure à l'égalité: EFI = EFG + GFH + HFI. ll est aussi intéressant de constater que le même manuel de 6ème (cité plus haut) qui admettait que 1' alignement de trois points soit tiré du dessin pour les problèmes de reproduction, ne le permet plus dès qu'il s'agit d'un problème de démonstration. Les exigences diffèrent suivant les deux types de problème. Lorsqu 'un exercice fait appel à plusieurs des tâches citées précédemment peuvent alors coexister un ou plusieurs contrats différents. Les exercices du Brevet des Collèges en fournissent souvent des exemples dans la mesure où ils visent à évaluer les divers apprentissages réalisés par les élèves au collège. Exemple: Construire un rectangle ABCD de centre 0, tel que AB= 4,8 cm et BC = 3,6 cm. Placer le point M milieu du côté [BC]. Prouver que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires. A, , 0----JIN B D c Fig.3 Le point M milieu du côté BC peut être placé sur le dessin sans mettre en jeu un procédé géométrique à 1' aide de tracés de cercles mais tout simplement en utilisant une règle graduée et en reportant la longueur 1,8 cm. En revanche la perpendicularité de OMet BC ne peut être montrée en mesurant les longueurs OM et OB et en vérifiant que OB 2 = OM 2 +BM 2 On attend des élèves qu'ils utilisent la propriété du point de concours des diagonales d'un parallélogramme et celle de la droite des milieux d'un triangle soit pour la réciproque du théorème de Pythagore, soit pour le parallélisme de OM à BC. ll est à noter au passage que les mesures données dans le problème contribuent à renforcer le recours aux mesures : puisqu'elles sont données, elles doivent être utilisées. Elles ouvrent la porte à une lecture directe des mesures de OM et OB sur le dessin qui doit être fait «en vraie grandeud>. 13

17 Une solution sans recours aux mesures fondée sur la propriété de la droite des milieux est pourtant possible. ID. Les environnements informatiques de géométrie dynamique L'apparition du nouveau type de dessin rendu possible par les logiciels de géométrie dynamique renouvellent complètement la situation, en ce qu'ils intègrent des aspects théoriques et des aspects spatio-graphiques dans leur comportement, offrant ainsi une réification de l'interaction entre théorie et dessin mentionnée au début de cet exposé. Un logiciel de géométrie dynamique comme Cabri-géomètre (Laborde & Straesser 1990) permet de créer des réalités spatio-graphiques d'objets géométriques à l'aide de commandes exprimées en termes de primitives géométriques (droite perpendiculaire à, médiatrice de, milieu de,... ). Ces dessins à l'écran de l'ordinateur peuvent être saisis par l'un de leurs éléments que l'on déplace à l'aide de la souris, le dessin se déforme alors en conservant les propriétés géométriques qui ont servi à le construire et celles qui en découlent dans une géométrie grosso modo euclidienne. On pourrait comparer ces réalités que sont les Cabri-dessins aux objets physiques du monde réel, en déclarant de façon rapide qu'ils résistent aux manipulations de l'individu en suivant des lois de la géométrie. Ces logiciels entrent dans la catégorie des micro-mondes: il s'agit d'offrir une réalité matérielle incarnant une théorie mais une réalité épurée de tous les bruits parasites de l'authentique réel (Minsky-Papert 1970, Thompson 1985). IV. Observations d'élèves Des élèves travaillant par binômes à la résolution de problèmes de géométrie avec le logiciel Cabri-Géomètre ont été observés et leurs échanges verbaux retranscrits. Nous avons ensuite dans la mesure du possible segmenté les protocoles ainsi obtenus en unités de façon à identifier les unités du cours desquelles : - les élèves travaillent au niveau du dessin, effectuant des actions de tracé, de déplacement d'objets, - les élèves travaillent au niveau théorique, - et les unités dans lesquelles ils établissent un lien entre théorique et spatiographique. Evidemment, l'attribution d'une unité à l'une des catégories précédentes n'est pas toujours aisée, certains termes de la langue pouvant aussi bien rendre compte des aspects spatiaux que géométriques, la géométrie ayant justement pour origine la mod.élisation de l'espace. Mais les passages du théorique au spatio-graphique ont surtout été l'objet d'analyse, car nous pensions à priori que l'environnement logiciel devait les favoriser. Dans ces allers et retours entre géométrique (ou théorique) et spatio-graphique lors de la recherche de la solution à un problème, les élèves travaillent à trois niveaux : au niveau spatio-graphique, dans lequel ils repèrent des invariants spatiographiques. Citons en quelques uns : la localisation d'un objet par rapport à un autre: à l'intérieur ou à l'extérieur, l'ordre de points alignés, la proximité, l'intersection,... ' 14

18 les formes : circulaire, carrée, 1' alignement, la tangence, la symétrie,... les comcidences d'objets, 1' estimation de longueurs, de tailles. Soulignons que ces invariants spatio-graphiques ne sont pas spontanés chez les élèves et sont le résultat d'un apprentissage. Ainsi, les premières formes reconnues par les élèves sont circulaires et carrées, mais plus tard après un apprentissage de la géométrie, les élèves savent reconnaître la forme d'une ellipse, ou d'une parabole. L'apprentissage de ces invariants se fait donc en interaction avec l'apprentissage de la géométrie : au niveau théorique, dans lequel les élèves ont recours à des définitions, théorèmes qu'ils utilisent dans des implications, - dans la mise en relation entre spatio-graphique et théorique. De l'observation d'élèves résolvant un problème de géométrie, nous avons dégagé plusieurs modalités sous lesquelles peut s'effectuer cette mise en relation : interprétation géométrique immédiate d'un invariant spatio-graphique, raison géométrique donnée à l'existence d'un invariant spatio-graphique repéré, prédiction sur le spatio-graphique issue de connaissances géométriques : si l'on dessine un cercle de rayon OM, il devrait toucher la droite Den M parce que D est perpendiculaire à OM. expérimentation sur le dessin fondée sur des connaissances géométriques : si ce quadrilatère est un carré, ses diagonales devraient être perpendiculaires. «Vérifions sur le dessin si elles le sont, elles ne le sont pas donc le quadrilatère considéré n'est pas un carré». L'observation d'élèves travaillant dans l'environnement informatique Cabrigéomètre nous a montré que les mises en relation entre spatio-graphique et théorique avaient aussi lieu, peut-être même de façon plus importante qu'en papier crayon. En effet, les fonctionnalités de l'environnement Cabri-géomètre permettent davantage d'expérimentations sur le dessin à 1' écran de 1' ordinateur : on peut déplacer un élément du dessin et observer les modifications du dessin, on peut mesurer, on peut vérifier certaines relations géométriques entre objets. Donnons un exemple: on conjecture que deux droites D et D'sécantes en A sont perpendiculaires, on peut tracer une perpendiculaire D" à D' par A et vérifier visuellement si D" et D' restent en comcidence lors du déplacement d'un des objets du dessin. Les expérimentations sont donc non seulement potentiellement plus nombreuses mais de nature différentes puisque le comportement du dessin est contrôlé par une théorie géométrique. Cette dernière caractéristique nous semble fondamentale pour 1' apprentissage : elle permet la confrontation des attentes de l'élève à ce qu'il observe sur l'écran qui a lieu de façon indépendante de sa volonté ; 1' ordinateur est alors susceptible d'opposer un démenti à ce que l'élève supposait. De la contradiction naît un déséquilibre cognitif, dont on sait qu'il peut être moteur pour l'évolution des connaissances. Dans ces observations d'élèves travaillant avec Cabri-géomètre, nous avons de plus relevé une nouvelle catégorie de mises en relation entre spatio-graphique et géométrique dont certains travaux (Jones 1995, Hoelzl 1994 & 1995, Noss & Hoyles 1996) rendent compte. Les élèves combinent des invariants spatio-graphiques et des relations géométriques pour caractériser des objets géométriques. Ainsi dans Jones (1995), deux élèves britanniques caractérisent le centre 0 d'un cercle tangent en P à une droite D 1 et à une droite D2 comme l'intersection d'une perpendiculaire à Dl issue de P et d'une perpendiculaire à D2 qu'on fait bouger jusqu'à ce que 0 soit à égale distance de Dl et D2 (Fig.4). 15

19 Fig.4 Cette nouvelle catégorie de mises en relation nous semble importante car elle constitue probablement une évolution dans la recherche des élèves, un pont entre des constatations spatio-graphiques et des relations géométriques sur lequel l'enseignant peut s'appuyer. De la même façon que nous avons supposé que les invariants spatio-graphiques sont construits par les élèves, nous faisons l'hypothèse que les mises en relation entre spatiographique et géométrique se forgent au cours du temps chez les élèves tout au long de l'apprentissage de la géométrie. Nous pourrions montrer également que certaines situations rendues possibles par les logiciels de géométrie dynamique contribuent à leur construction. Colette Laborde EIAH, Laboratoire Leibniz 46 av Félix Viallet GRENOBLE Références Arsac G. (1989) La construction du concept de figure chez les élèves de 12 ans, Actes de la 13ème conférence Psycho/ogy of Mathematics Education (V oi.i, pp ) Paris : Ed. GR Didactique 46 rue St Jacques Paris Auge H. (1994) Géométrie comme modèle de l'espace donnant lieu à un enseignement de type déductif, Mémoire de DEA de Didactique des Disciplines Scientifiques, Université de Lyon 1 Chevallard Y. (1991) La transposition didactique du savoir savant au savoir enseigné, Grenoble : La Pensée Sauvage Editions Chevallard Y. (1991) Autour de l'enseignement de la géométrie, Petit x, 27, Clouzeau O. (1997) Variable rédactionnelle texte-dessin, Mémoire de DEA de Didactique des Disciplines Scientifiques, Université de Lyon 1 Duval R. (1988) Pour une approche cognitive des problèmes de géométrie en termes de congruence, Annales de didactique et de sciences cognitives, Université Louis Pasteur et!rem de Strasbourg, Vol1, Duval R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration, Educationa/ Studies in Mathematics, 22, Duval R. (1994) Les différents fonctionnements d'une figure dans une démarche géométrique, REPERES-IREMn 17, octobre 1994, Fishbein E. (1993) The theory of figurai concepts, Educational Studies in Mathematics, Vol.24, n 2,

20 Jones K. (1995) Intuition and geometrical problem solving, in Perspectives on the teaching of geometry for the 2lst century, C. Mammana (ed.), pp , University ofcatania, Italy Hoelzl, R. (1994} lm Zugmodus der Cabri-Geometrie: Interaktionsstudien und Analysen zum Mathematiklernen mit dem Computer, Deutscher Studien Verlag, Weinheim Hoelzl R. (1995) Between Drawing and Figure in Exploiting Mentallmagery with Computers in Mathematics Education, Sutherland R. and Mason J. (pp ) NATO ASI Series, Berlin, Heidelberg : Springer Verlag Laborde C. & Capponi B. (1994) Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques.14 (1) Laborde J.-M. & Straesser R. (1990) Cabri -géomètre : a microworld of geometry for guided discovery learning, Zentralblatt fuer Didaktik der Mathematik 5, Mariotti M.A. (1995) Images and Concepts in Geometrical Reasoning in Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, Sutherland R. and Mason J. (pp ) NATO ASI Series, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag Matos J.M. (1992) Cognitive Models in Geometry Learning in : Mathematical Problem Solving and New Information Technologies, J.P. Ponte, J.F. Matos, J.M. Matos, D. Fernandes (eds), pp , NATO ASI Series, Berlin- Heidelberg: Springer Verlag Minsky M. & Papert S. (1970) Draft of a proposai to ARPA for research on artificial intelligence at MIT; , Boston : MIT Noss R. & Hoyles C. (1996) Windaws on Mathematical Meanings- Learning Cultures and Computers, Dordrecht : Kluwer Academie Publishers Parzysz B. (1988} Knowing vs Seeing, Problems of the plane representation ofspace geometry figures, Educational Studies in Mathematics, 19.1, Pluvinage F. (1989) Aspects multidimensionnels du raisonnement géométrique, Annales de Didactique et de Sciences cognitives, 2, ULP et!rem de Strasbourg, 5-24 Rauscher J.C. (1993) L'hétérégonéité des professeurs face à des élèves hétérogènes. Le cas de l'enseignement de la géométrie au début du collège, Thèse de l'université des Sciences Humaines de Strasbourg Salin M.-H. & Berthelot R. (1994) Phénomènes liés à l'insertion de situations adidactiques dans l'enseignement élémentaire de la géométrie, Vingt ans de didactique des mathématiques en France, Artigue et al. (eds), (pp ) Grenoble: La Pensée Sauvage Edition Thompson P.W. (1985} Mathematical Microworld and Intelligent Computer Assisted Instruction. In: Kearsley G.E. (ed.) Artificial Intelligence and Instruction: Applications and Methods Reading MA : Addison Wesley Vergnaud G. Laborde C. (1994) L'apprentissage et l'enseignement des mathématiques In : Apprentissages et didactiques, où en est-on? (Vergnaud G. (ed.) (pp ), Paris: Hachette Education 17

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