La mathématique des drapeaux

Transcription

1 Congrès SBPMef Mardi 25 Août 2015

2 Introduction Lors d un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle!

5 Introduction Lors d un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien : oui, car un carré est un rectangle!

6 Contexte Lors d une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire... L heure d activités mathématiques en 1C... Le thème du Congrès : les mathématiques européennes... Le projet était né!

10 Drapeaux à lignes Consigne donnée aux élèves : «Dessine le drapeau d un de ces pays : Espagne, Lettonie, Estonie, Lituanie». (Drapeaux à lignes horizontales) Les élèves ont accès à Internet.

11 Drapeaux à lignes Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs... Aucun d entre eux ne s est arrêté à l information de type «3 : 5», c est-à-dire le rapport entre le guidant soit la largeur du drapeau et le battant soit la longueur du drapeau.

12 Drapeaux à lignes Nouvelle consigne : Dessine le drapeau de l Espagne, la Lettonie, l Estonie ou la Lituanie (sans les armoiries) le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm) en respectant les rapports de chaque drapeau

13 Drapeaux à lignes :Espagne En 1981, le drapeau espagnol reprend son ancien dessin, divisé en trois bandes horizontales rouge, jaune, rouge. La bande jaune, aussi haute que les deux rouges réunies, porte les armoiries d Espagne du côté du hissant.

14 Drapeaux à lignes : Espagne CADRE (2 : 3) Proposition des élèves : l = 20 cm et L = 30 cm OU l = 18 cm et L = 27 cm Et entre les deux? l = 19 cm et L = 19+9,5 = 28, 5 cm Et si l = 19,5 cm? L = 19,5+9,75 = 29,25 cm Dimensions gardées : l = 19 cm et L = 28,5 cm

15 Drapeaux à lignes : Espagne TRACÉS INTÉRIEURS Comment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4? Solutions proposées : par pliage par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm Comment mesurer 4,75 cm? Constructions successives de deux médiatrices

16 Drapeaux à lignes :Lettonie La couleur rouge du drapeau de la Lettonie est d un ton sombre particulier, qui est connu sous le nom de «rouge letton» dans le monde entier. Les couleurs du drapeau sont disposées dans les proportions suivantes : 2 : 1 : 2 (les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deux fois plus larges que la bande blanche du milieu), et la corrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de 1 : 2.

17 Drapeaux à lignes : Lettonie CADRE (1 : 2) Proposition des élèves : l = 14,5 cm et L = 29 cm TRACÉS INTÉRIEURS Comprendre que 2 : 1 : 2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et 2/5 de la largeur. Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales... Diviser un segment par Thalès

18 Drapeaux à lignes : Estonie Quel est le rapport l/l? Le drapeau national de l Estonie est composé de trois bandes horizontales égales : de haut en bas, bleu, noir et blanc. La taille normale du drapeau est de cm.

19 Drapeaux à lignes : Estonie CADRE Besoin de passer par la proportionnalité l ? L La longueur de 33 cm n est pas acceptable. La recherche de K, coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeur correspondant à une longueur de 29 cm, soit 18, Les mesures gardées sont : l = 18,5 cm et L = 29 cm

20 Drapeaux à lignes : Estonie TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d une diagonale (1) Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales, commençons par partager la diagonale d un rectangle en 3 parts égales. BN vaut la moitié de ND donc le tiers de BD. A M // // N B D C

21 Drapeaux à lignes : Estonie Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm... A E B A E H B I F F G D C D C

22 Trisection d un segment Trisection d un segment (2) B // A

23 Trisection d un segment B // // // D // // // A C

24 Trisection d un segment B // // // D // // // C E A

25 Trisection d un segment B // // // D // // O // C E A

26 Trisection d un segment B // // // D // // O // C E A Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCA et OEB ainsi qu une configuration de Thalès. On peut déduire que OA = OC = AC = 1 OB OE BE 2

27 Trisection d un segment Trisection d un segment (3) Le centre de gravité d un triangle (médianes) partage chaque médiane en deux segments de rapport 1 2 Trace un segment [AB], segment que l on va trisecter. Place un point O n appartenant pas à [AB]. Construis C, image de A par la symétrie de centre O. Construis D, image de C par la symétrie de centre B. Trace le triangle ACD. [AB] est la médiane relative au segment [CD]. Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L intersection de ces médianes est le centre de gravité du triangle ACD.

28 A B

29 Trisection d un segment A O C M B D BM MA = 1 2

30 Si les drapeaux n ont pas tous le même rapport l/l, comment font-ils alors pour obtenir ceci...? Rapports rencontrés 1 : 1 1 : 2 2 : 3 3 : 5 7 : 11 8 : : 37 5 : 8 11 : : 15 (Belgique) Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,625 0,6111 0,8666 Drapeau du Salvador 189 : 335! (0, )

31 Le Secrétariat Général du Conseil de l Union Européenne m informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siège principal du Conseil de l UE et du Secrétariat général du Conseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis que les drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traduction du Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent 2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception...néanmoins, lorsqu il est aligné avec d autres drapeaux, sa superficie ne peut jamais dépasser celle des autres drapeaux. Un fameux «problème» de non-proportionnalité!

32 Drapeaux à croix Dans un deuxième temps, j invite les élèves à dessiner un drapeau comportant une croix, à partir de documents que je leur fournis.

33 Drapeaux à croix : Danemark Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pour dessiner la croix de ce drapeau...

34 Drapeaux à croix : Norvège Le drapeau de la Norvège est rouge, avec une croix bleue bordée de blanc s étendant jusqu aux limites du drapeau. Le centre de la croix est décalé vers la hampe du drapeau, de telle sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue que les trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l effet d optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de la croix la plus agitée par le vent. Proportion 8 : 11 Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont : En largeur et de gauche à droite, de En hauteur et de haut en bas, de

35 Drapeaux à croix : Suède Les dimensions et la position de la croix sont données par la loi suédoise. La barre verticale doit être placée entre les 5/16 e et les 7/16 e de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doit être placée entre les 4/10 e et les 6/10 e de la hauteur du drapeau. Proportion 5 : 8

36 Drapeaux à croix : Finlande

37 Drapeaux à croix : Suisse La forme du drapeau suisse, habituellement carrée, n est pas prescrite par la loi mais fait partie de la tradition. Par contre, sa couleur est définie précisément depuis le 1 e janvier 2007 : rouge Pantone 485, soit 100% de magenta et 100% de jaune. Les dimensions de la croix sont également définies : un décret datant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent être d égale longueur et un sixième plus longs que larges. «Le modèle contenu dans l annexe à la présente loi est déterminant pour la forme, la couleur et les proportions». https ://

38 Drapeaux à croix : Suisse Le rapport entre la longueur «du bras horizontal de la croix» et la largeur du drapeau est de 5 : 8, ce qui correspond approximativement aux proportions du rectangle d or. Le drapeau comporte 4 axes de symétrie.

39 Drapeaux à croix : Suisse

40 Drapeaux à croix : La Grèce Observe...puis dessine... Proportion 2 : 3

41 Drapeaux à 5 croix : Géorgie Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georges et quatre croix dites «croix de la Grappe» ou croix de la Sainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l Église orthodoxe de Géorgie). Programme de construction Trace un rectangle de 16 cm sur 24 cm Construis une croix de 4 cm de large, partageant le rectangle en quatre petits rectangles égaux

42 Drapeaux à 5 croix : Géorgie Dans chaque petit rectangle Construis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dont les côtés sont parallèles à ceux du rectangle Note A,B,C et D les sommets du plus petit carré sur pointe comportant ce carré À partir du sommet A, trace deux arcs de cercle à l intérieur du carré, le premier de rayon 13 cm et le second de 5 cm. Fais de même à partir des sommets B, C et D. Efface les deux carrés

43 Drapeaux à 5 croix : Géorgie A D B C

44 Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georges du drapeau anglais et la croix de saint André du drapeau écossais. Après l Union de 1801, ce drapeau fut augmenté de la croix de saint Patrick pour représenter l Irlande.

45 Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix Proportion 1 : 2 Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à la largeur du drapeau? Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à la largeur du drapeau? Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges et la croix de saint André. Pour partager la croix de saint André en six fines bandes obliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès.

46 Drapeaux à blason : Le Portugal Rapport 2 : 3

47 Drapeaux à blason : Le Portugal

48 Drapeau à blason : Croatie

49 Drapeau à blason : Croatie Commencer par dessiner le blason. Prends ta feuille A4 dans le sens «paysage» Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachant que AB = 5,5 cm et BC = 3,6 cm. Le point A est placé dans le coin supérieur gauche et les autres points notés dans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuille Place le point O à même distance des points C et D, et à 3,3 cm de la droite AB, à l intérieur du rectangle ABCD Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C et D ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCD Construis la droite perpendiculaire à CD passant par O. Elle coupe l arc de cercle au point P. Partage le côté AB en 5 parts égales et note les points respectivement E, F, G et H Partage le côté BC en 3 parts égales et note les points I et J

50 Drapeaux à blason : Croatie À partir des points E, F, G et H, trace les droites parallèles à AD À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, le premier passant par A, le deuxième par E, le troisième par F, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixième par B. Note les extrémités de ces segments respectivement A, E, F, G, H et B. Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l un de centre A et l autre de centre E : note S le point d intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A S] et [E S] Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l un de centre E et l autre de centre F : note T le point d intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E T] et [F T]

51 Drapeaux à blason : Croatie Fais de même entre les paires de points F et G, G et H, H et B Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Y les extrémités de ce nouveau segment Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blason est centré dans le drapeau Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu il est constitué de trois bandes horizontales d égale distance et que son rapport l/l est 1 : 2

52 Drapeau «soleil» : République de Macédoine Rapport 1 : 2

53 Drapeau à une étoile : la Turquie Ce drapeau est consisté d une lune décroissante et d une étoile à cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fond rouge. Proportion 2 : 3 Dimensions proposées : 16 cm/24 cm

54 Drapeau à une étoile : la Turquie Le calcul des mesures s effectue par groupe, en fonction des dimensions choisies pour le drapeau.

55 Drapeaux à triangle : la Tchèquie Dessiner l intérieur du drapeau en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée.

56 Drapeaux non-européens Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d Or... Le drapeau du Togo (proportion 1 : 1, 618)

57 Drapeaux non-européens Drapeau comportant trois losanges, en forme de V Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dans les Caraïbes)

58 Drapeaux non-européens Drapeau en éventail, non symétrique Drapeau des Seychelles

59 Drapeaux non-européens Comparaison des angles // //

60 Drapeaux non-européens Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus haut que large. Drapeau du Népal

61 Mon drapeau Merci pour votre écoute et votre participation! Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle, secrétaire général de la Société française de vexillologie.

62 Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau _ de _ l estonie http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau _ de _ la _ lituanie https ://fr.wikipedia.org/wiki/croix_ scandinave http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htm http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Finlande http ://tavmjong.free.fr/inkscape/manual/html_ fr/ashortexample.html

63 Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Norvege http :// kooperation/mp/organisation_ von_besuchen.parsysrelated downloadlist downloadfile (annexe page 49) https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Grece https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Georgie https ://fr.wikipedia.org/wiki/croix_ de_ la_grappe https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ du_ Royaume-Uni http :// http :// drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer) https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Macedonie

64 Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Turquie https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ la_ Republique_ Tcheque https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ du_ Togo https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ de_ Saint-Vincent-et-les-Grenadines https ://fr.wikipedia.org/wiki/drapeau_ des_ Seychelles http ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/ledrapeau-du-nepal html (version officielle : http :// https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/flag_of_p http :// Le Secrétariat Général du Conseil de l Union Européenne