INF1130 SESSION H07 EXAMEN INTRA dimanche 11 mars 2007

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1 1 INF1130 SESSION H07 EXAMEN INTRA dimanche 11 mars 2007 Nom: Code permanent: Groupe10 (T. Walsh) ou Groupe 30 (A. Friedmann) Répondre directement sur ce questionnaire. Vérifier que ce document comporte six questions réparties sur sept pages incluant la page de garde. Donner vos solutions aux rectos des pages. Si vous êtes obligé d'écrire une partie d'une réponse sur un verso, alors l indiquer clairement. Toute documentation personnelle est permise mais aucune calculatrice. Aucun téléphone cellulaire ne doit être en jeu. Si une question ne demande pas de justification, alors vous n avez pas à en fournir. Cependant, si votre réponse est fausse, votre raisonnement peut valoir des points partiels. Question Note Sur Total 100

2 2 Question 1 sur la logique (20 points). L'opérateur logique p q est défini comme ( p q) (ni p ni q, c'est-à-dire non p et non q). Partie a (4 points). Faire la table de vérité pour l'expression ( p) ( p p). Partie b (8 points). Faire la table de vérité pour l'expression (p q) [( p p) (q q) ]. Partie c (6 points). Écrire une expression qui est logiquement équivalente à p q et qui utilise seulement l'opérateur.

3 3 Question 2 sur la logique quantifiée (12 points). Supposons que U, l'univers du discours, est l'ensemble des êtres humains. Vous avez à votre disposition les prédicats suivants: F(x): x est une femme; H(y): y est un homme; A(x,y): x aime y. Pour chacun des énoncés suivants, l'exprimer comme une proposition quantifiée et exprimer sa négation comme une proposition quantifiée et en langage naturel. Seulement les prédicats peuvent être précédés par le symbole de négation. Par exemple, la proposition x( L(x) P(x) ) est de bonne forme, tandis que les propositions x( L(x) P(x) ) et x L(x) P(x) ( ) ne le sont pas. Partie a (6 points). Il y a une femme qui n'aime aucun homme qui l'aime. Partie b (6 points). Chacun des hommes aime toutes les femmes qui l'aiment.

4 4 Question 3 sur les ensembles (20 points). Parmi 150 étudiants, 109 étudient au moins un des langages suivants: Java, C et Prolog, 45 étudient Java, 61 étudient C, 53 étudient Prolog, 18 étudient Java et C, 15 étudient Java et Prolog, 23 étudient C et Prolog. Partie a (8 points). Combien d'étudiants étudient tous ces trois langages? Partie b (6 points). Combien d'étudiants n'étudient ni Prolog ni C? Partie c (6 points). Combien d'étudiants étudient soit C mais pas Java, soit Java mais pas C?

5 5 Question 4 sur les fonctions (20 points). Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est injective, si elle est surjective et si elle est bijective. Justifier vos réponses. Partie a (5 points). f : Z Z Z définie par f(i,j) = i. Partie b (5 points). g: Z Z Z définie par g(n) = (n,2n). Partie c (5 points). f og. Partie d (5 points). g of.

6 6 Question 5 sur le comportement asymptotique des fonctions (20 points). Partie a (10 points). Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'estimé grand O le plus précis et le plus simple possible. f 1 (n) = n. f 2 (n) = n. f 3 (n) = 4 log 2 n. f 4 (n) = (n + log n) 4 n. f 5 (n) = 2 n n 10. Partie b (10 points). On dit que la fonction f croit moins rapidement que la fonction g si f est dans O(g) et g n'est pas dans O(f). On dit que les fonctions f et g croissent à la même vitesse si f est dans O(g) et g est dans O(f). Ordonner les fonctions f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 de gauche à droite selon leur taux de croissance (grand O). Si des fonctions croissent à la même vitesse, insérer leurs numéros sur la même ligne horizontale dessinée ci-dessous. Numéro de la fonction qui croit le moins rapidement Numéro de la fonction qui croit le plus rapidement

7 7 Question 6 (10 points) sur les méthodes de preuve. Pour chacune des déductions suivantes, dire si elle est valide ou non et justifier votre réponse. Partie a (4 points). Proposition 1: Si je ne m'entraîne pas, alors je ne gagnerai pas la partie. Proposition 2: Je m'entraîne. Conclusion: Donc je gagnerai la partie. Partie b (6 points). Proposition 1: Si je travaille, alors je ne peux pas étudier. Proposition 2: J'étudie ou je vais réussir l'examen (ou inclusif). Proposition 3: Je travaille. Conclusion: Donc je vais réussir l'examen.