Exercices : THERMODYNAMIQUE

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1 Révision de ère année Exercices : THERMODYNAMIQUE Les deux principes de la thermodynamique TH08: détente d' un gaz parfait a) Donner l'expression de l'énergie interne U pour une mole de gaz parfait en fonction de R et γ (on prendra U=0 pour T=0) b) On réalise l'expérience suivante (cf schéma) : La transformation est isolée thermiquement, le piston est libre de se déplacer ; on ouvre le robinet Calculer la pression P à l'état final ; le travail W reçu par le gaz ; la variation d'énergie interne U et les variations relatives (T -T 0 )/T 0 et (V -V 0 )/V 0 en fonction de R, γ et du rapport P /P 0 P 0,V 0 T 0, mol air P a TH0 : expérience de Clément et Désormes L'expérience décrite ici a permis de déterminer le rapport γ des chaleurs massiques à pression et volume constants de l'air, considéré comme un gaz parfait On dispose d'un ballon de grand volume V, contenant de l'air sous la pression atmosphérique P 0 et à la température T 0 Le ballon est fermé par un bouchon muni de trois tubes : l'un est relié à une poire par l'intermédiaire d'un robinet R ; le deuxième est ouvert à l'atmosphère par l'intermédiaire d'un robinet R ; le troisième est relié à un manomètre à eau colorée de masse volumique ρ Initialement les deux robinets sont ouverts On ferme le robinet R et on crée une surpression à l'aide de la poire On ferme le robinet R et on attend que l'équilibre s'établisse On observe alors une R R surpression égale à p = ρgh << P 0, par rapport à la pression atmosphérique (h est la dénivellation du liquide manométrique entre les deux branches) On ouvre alors le robinet R : la surpression disparaît On referme aussitôt le robinet R, le gaz subit alors une détente adiabatique réversible Au cours de cette transformation, la quantité de matière de gaz a diminué de dn; cependant, le ballon étant de grand volume, nous considérerons que dn <<n quantité de matière initialement présente dans le ballon De plus, la pression est revenue à P 0 tandis que la température a pris la valeur T 0 - t (avec t << T 0 ) On laisse le gaz se réchauffer à volume constant jusqu'à établissement de l'équilibre thermique Lorsque la température est revenue à T 0, on constate une nouvelle surpression dans le fluide de p' = ρgh' << P 0 dans le ballon - Représenter l'évolution de l'expérience dans le diagramme de Watt P = f(v) - On mesure h =,8 cm et h' = 6 cm Calculer le rapport γ des capacités thermiques massiques à pression et volume constants de l'air Poire Ballon de grand volume V, contenant de l'air TH03 : Calorimétrie Un calorimètre a une valeur en eau totale (calorimètre proprement dit + accessoire + eau qui y est contenue) µ = 500 g Sa température initiale est de θ = 5 C On appelle c e la capacité thermique massique de l'eau à pression constante On dispose par ailleurs d'un liquide de capacité thermique massique à pression constante c l = 0,5 c e et de température initiale θ = 85 C Calculer la température finale du calorimètre et la variation d entropie de l univers dans les deux cas suivants : a) on ajoute m = 00 g du liquide précédent b) On y fait circuler dans un serpentin (inclus dans les accessoires du calorimètre) m = 00 g du liquide précédent avec un débit D = gs - On supposera, en outre, que le serpentin est suffisamment long pour qu'à chaque instant, le liquide ressorte à la température θ du calorimètre Conclusions h TH030: calcul de quantité de chaleur On considère un gaz parfait monoatomique subissant une transformation réversible, qui en diagramme de Clapeyron correspond à une droite allant de (P 0,V 0 ) à (3P 0,3V 0 ) Calculer la quantité de chaleur reçue par le gaz TH04 : Compressions d un gaz parfait On considère un dispositif expérimental constitué d'un cylindre vertical de section S fermé aux deux extrémités, dont les parois sont adiabatiques et indéformables L'ensemble du dispositif est positionné dans une ambiance à température constante T atm Un piston adiabatique, de masse µ, mobile à l'intérieur du cylindre avec des frottements négligeables, sépare (du fait de la force de pesanteur) le cylindre en deux compartiments A et B Le compartiment du bas, noté B, contient une masse m de gaz parfait dans l'état () définit par la pression p, le volume V et la température T = Tamb On note R la constante des gaz parfaits, γ le rapport des capacités thermiques du gaz et M g sa masse molaire Le compartiment du haut, noté A, est parfaitement vide On note g l'intensité du champ de pesanteur A l'aide d'un système que l'on peut commander à distance, on rajoute progressivement, sur le dessus du piston, de petites masses, de sorte que la transformation subie par le gaz peut être considérée comme réversible La transformation se termine lorsque la somme des masses rajoutées vaut M ; le gaz est alors dans un nouvel état d'équilibre que l'on note (), défini par la pression p, le volume V et la température T ) Exprimer W, l'énergie reçue sous forme de travail par le gaz au cours de cette transformation ) En pratique, les parois ne sont pas parfaitement adiabatiques, et on note une évolution très lente de la température du gaz après que ce dernier ait atteint l'état d'équilibre () (Remarque : cela ne contredit par le fait que l'on ait pu dans la question précédente supposer les parois adiabatiques sur des durées de temps courtes devant le temps caractéristique du transfert thermique) Le gaz atteint un nouvel état d'équilibre, que l'on note (3), défini par la pression p 3, le volume V et la température T 3 Déterminer les caractéristiques de ce nouvel état On note S et S 3, respectivement, l'entropie du gaz dans les états d'équilibre () et (3) 3) On note W 3 et Q 3, respectivement, l'énergie reçue sous forme de travail et de chaleur au cours de la transformation qui fait passer le gaz de l'état () à l'état (3) On note U et U 3,, respectivement, l'énergie interne du gaz dans les états d'équilibre () et (3) Déterminer W 3 et Q 3 4) On imagine maintenant une autre transformation à partir de l'état d'équilibre () La masse M est, cette fois, déposée d'un seul coup sur le piston On considère de nouveau toutes les parois parfaitement adiabatiques Cette manœuvre fait évoluer, de façon irréversible, le gaz de l'état () à l'état (4) défini par la pression p le volume V 4 et la température T 4 Exprimer la température T 4 4 5) Exprimer S 4 la variation d'entropie du gaz entre l'état (4) et l'état () Les machines thermiques Thermodynamique révision ère année page /9 Thermodynamique révision ère année page /9

2 TH046 : Cycle Beau de Rochas En ce qui concerne les échanges énergétiques, le cycle du moteur à quatre temps peut être ramené théoriquement au cycle suivant : - Une compression quasi statique AB de V 0, T A, à V 0 /a, T B, - Un échauffement isochore BC au cours duquel le gaz reçoit la quantité de chaleur Q Il atteint en C la température T C 3- Une détente quasi statique CD jusqu'au volume V 0 (la température est alors T D ) 4- Un refroidissement isochore DA au cours duquel le gaz perd la quantité de chaleur Q 4) Déterminer la variation d'énergie U = U A - U C 5) Que vaut la quantité de chaleur Q BC? 6) Déterminer la fonction de cette machine thermique THERMO 067 : Cycle de Stirling compression isotherme à T f de V à V ; chauffage isochore à V de T f à T c ; détente isotherme à T c de V à V ; refroidissement isochore à V l de T c à T f Le gaz supposé parfait est diatomique γ = 7/5 et R = 8, 34JK -l mol - Les évolutions sont considérées réversibles ) Dans le diagramme T, s, donner l'équation des isochores Par quelle transformation se déduisent-elles les unes des autres? )Tracer le cycle de Stirling Que représente l'aire du cycle? 3) Tracer sur le même diagramme le cycle de Carnot (deux isothermes et deux isentropiques) 4) Montrer que le cycle de Stirling est moteur et montrer que les rendements des deux cycles sont égaux Etude du corps pur sous plusieurs phases Déterminer le rendement du cycle, en fonction de a et du rapport γ supposé constant Un fluide subit réversiblement le cycle représenté ci-contre a) Donner le sens de parcours du cycle pour que ce soit un moteur thermique b) Déterminer le rendement en fonction de T et T c) Comparer avec un cycle de Carnot, commenter TH058: principe d'un réfrigérateur On considère un réfrigérateur fonctionnant entre deux sources de températures t l =50 C et t = 5 C, selon un cycle de Carnot réversible durant d=0 s La puissance consommée par le frigo est P=40 W a) Définir les quantités de chaleur q l et q et les comparer Peut-on refroidir une pièce en ouvrant la porte d'un frigo? b) Calculer q ainsi que la masse de glace formée par unité de temps On donne la chaleur latente massique de solidification de l'eau à -5 C: l s =34,5 kj/kg TH059: moteur thermique à air Le moteur thermique à air fonctionne selon le cycle réversible suivant : - compression adiabatique de A à A - échauffement isobare de A à A 3 - détente adiabatique de A 3 à A 4 - refroidissement isobare de A 4 à A On donne p = atm ; p =8 atm ; T =400 K ; T 3 =00 K ; γ=7/5 ; masse volumique de l'air ρ=, g/l a) Représenter le cycle en coordonnées de Clapeyron et dans le diagramme entropique b) Calculer le rendement c) Calculer la variation d'entropie S de chaque transformation pour kg d'air THERMO 066 : Cycle rectangulaire Une machine thermique suit un cycle réversible "rectangulaire" ABCDA décrit dans le sens trigonométrique dans le diagramme P = f (V) On donne V A = V D =, 4L ; Vc = V B = 44, 8L ; P B = P C = 5,00atm ; P A = P B =, 00atm Le gaz parfait est monoatomique et on étudie une mole ) Tracer le cycle dans le diagramme P = f(v) ) Calculer la température aux différents points 3) Calculer la quantité de chaleur Q cédée au gaz durant la totalité du cycle Thermodynamique révision ère année page 3/9 TH060: moteur thermique avec changement d état Un moteur thermique fonctionne de façon réversible entre deux sources dont les températures T c et ( f < c ) T T peuvent évoluer au cours du temps à cause des échanges thermiques avec la machine La source froide est constituée par une masse M = 00 kg Thermodynamique révision ère année page 4/9 T f d'eau en totalité à l'état de glace fondante à la température T 0 = 73 K La source chaude est constituée par une masse M d'eau liquide à la température f T C0 = 373 K On donne : Capacité thermique massique de l'eau liquide C = 4,8 kj kg K, Chaleur latente massique de fusion de la glace à la température T 0 = 73 K : L = 335,6 kj kg - Déduire d'un bilan entropique effectué sur la machine, la température T C de la source chaude lorsque la totalité de la glace de la source froide a fondu - Calculer numériquement dans ce cas, le travail total W fourni par le moteur 3- Le moteur s'arrête de fonctionner lorsque les deux sources sont à la même température T 0 Calculer numériquement T 0 4- Calculer le travail total W fourni par le moteur depuis le début de son fonctionnement jusqu'à ce qu'il s'arrête 5- Calculer le rendement thermique global η du moteur 6- Calculer le rendement thermique η 0 du moteur si l'on avait maintenu constantes les températures initiales de chacune des deux sources TH: titres massiques en vapeur et échauffement isochore Un cylindre indilatable, bon conducteur thermique, de capacité thermique négligeable a une longueur totale de L = m et une section s de m Une paroi mobile, repérée par sa coordonnée y (telle que 0 y L ) le divise en deux compartiments A et B (tels que L A =y et L B =L-y) A et B étant initialement vides, on introduit m A = 80 g d'eau (M e =8 gmol - ) dans A et m B =800g d'eau dans B On appelle x=m v /m le titre de vapeur ) Le cylindre est dans le thermostat à t=00 C f

3 a) y est fixée à 0,5 m Déterminer dans chaque compartiment l'état physique de l'eau Calculer avec précision x B En déduire la force F s'exerçant sur le piston Données: P S(00 C) = bar; la vapeur d'eau est assimilable à un GP; R=8,3 JK - mol - ; masse volumique de l'eau liquide ρ l =0 3 kgm -3 peu dépendante de T b) Si y varie de 0 à m, tracer la courbe F(y) On pourra montrer que : - dans le compartiment B on a pour tout y, un mélange liquide-vapeur ; - dans le compartiment A, on a un mélange liquide vapeur pour y y avec y à déterminer ) On fixe définitivement y=0,5 m, et on porte brusquement le cylindre dans un autre thermostat à t'=50 C, puis on attend l'équilibre On donne P S(50 C) = 5 bar a) Déterminer le nouveau titre x' B On note u le volume massique; représenter dans un diagramme (P,u) la transformation effectuée dans le compartiment B b) Calculer la chaleur totale reçue par le système dans la transformation Données : chaleur latente massique de vaporisation de l'eau : L v(50 C) =090 kj/kg ; L v(00 C) =40 kj/kg ; capacité thermique isochore de la vapeur d'eau : c Vgaz =,46 kjkg - K - ; capacité thermique du liquide saturant c =4,8 kjkg - K - c) Calculer la variation d'entropie du système ainsi que celle de la source Conclure TH3: passage glace-eau On prend un récipient isolé thermiquement, sous une pression de atmosphère, on y met m l =0 g de glace à t l = -8 C et m =l00 g d'eau liquide à t =5 C A 0 C et sous atm, la chaleur latente de fusion de la glace vaut L=340 J/g, la chaleur massiq0ue de l'eau liquide est c l =4, Jg - K -l et la chaleur massique de la glace est c s =, Jg - K -l a) Calculer la température finale dans le récipient b) Calculer la variation d'entropie de la glace, de l'eau et de l'ensemble TH3 : Formation des cumulus «de beau temps» Les données fournies par un ballon-sonde permettent de déterminer l'humidité relative de l'air et sa teneur en eau afin de prévoir la formation des nuages Le tableau ci-après est un extrait des données envoyées par un ballonsonde à une station météo au cours de la traversée de la troposphère (qui s'étend du sol à environ 0 km d'altitude) et rassemble les mesures de pression, de température, de température de rosée et d'humidité relative en fonction de l'altitude : Altitude Pression (hpa) Température Température Humidité (m) ( C) de rosée ( C) relative (%) , 5, ,8 3, ,7? ,4 0, , 3, , ,, , -, , -6, ,9-0, ,9-6, ,6-30, ,9-4, , -57, L'humidité relative de l'air est définie à partir du rapport de la pression partielle de vapeur d'eau contenue dans l'air sur la pression de vapeur saturante de l'eau à la température T considérée Elle est donnée en pourcentage (%) par la relation : Pvap h rel =00 P s (T ) où P vap est la pression partielle de vapeur d'eau dans l'air et P s (T) la pression de vapeur saturante de l'eau à la température T La température de rosée T rosée est la température à laquelle la vapeur d'eau contenue dans un échantillon d'air se liquéfie, à pression totale et à quantité de vapeur d'eau dans l'échantillon fixées On donne les masses molaires de l'air sec et de l'eau M airsec = kgmol - et M ea u =8 0-3 kgmol - a) Pour l'eau, dans le domaine de températures considérées ici, on peut utiliser, avec une très bonne approximation, la formule de Rankine liant P s à T par : 50 ln( P s ) = A T où P s s'exprime en bar et T en degrés K Déterminer la valeur numérique du paramètre A b) Sous quelle condition peut-on considérer que l'équilibre liquide-vapeur est réalisable dans tout le domaine de température étudié? c) Tracer l'allure de P s en fonction de T pour l'eau en précisant l'état physique stable de l'eau dans chaque domaine envisagé Que représente la courbe obtenue? En assimilant l'air sec à un gaz parfait et sachant que pour l'eau le point critique est donné par Pc =, 0 6 Pa et Tc = 647,3 K, justifier que la masse d'air peut être assimilée à un gaz parfait d) Que se passe-t-il lorsque l'humidité relative atteint 00 %? On suppose qu'une masse unitaire d'air chaud initialement au voisinage du sol s'élève suffisamment rapidement pour qu'elle n'ait pas le temps de se «thermaliser» avec l'air environnant Expliquer qualitativement qu'il existe une altitude à partir de laquelle un nuage se forme On cherche à déterminer l'humidité de l'air à partir de la mesure de la température de rosée afin de prévoir l'éventuelle formation d'un nuage On considère comme système un échantillon d'air à la température T contenant de la vapeur d'eau d'humidité relative inférieure à 00% a) Placer le point M représentatif du système sur le diagramme tracé au c Comment obtenir la température de rosée de l'air dans l'échantillon Exprimer alors la pression partielle de vapeur d'eau comme une fonction de la température de rosée b) Calculer l'humidité relative de l'air au niveau du sol dont l'altitude sera prise à la côte de z =68 m et pour z = 7580 m Comparer le résultat au relevé effectué par le ballon-sonde et conclure sur la validité de la formule de Rankine dans le domaine de température envisagée c) Calculer l'humidité relative de l'air aux différentes altitudes suivantes : 886 m ; 77 m; 388 m ; 9 m et 946 m En déduire l'altitude à laquelle des nuages ont le plus de chance de se former 3 On définit le rapport de mélange η comme le rapport de la masse de vapeur d'eau contenue dans un échantillon d'air de volume donné sur la masse d'un air sec contenu dans le même volume Il s'exprime usuellement en g de vapeur d'eau par kg d'air sec (gkg - ) a) Évaluer le rapport de mélange de l'air au voisinage du sol à partir des données proposées b) En montagne, en été, sous l'effet de mouvements convectifs forcés par gradient thermique et de la forte évaporation sur les versants exposés sud, la masse d'air humide s'élève, le long des pentes, à rapport de mélange constant en subissant une détente adiabatique On observe alors souvent, dans l'aprèsmidi, le développement de «cumulus de beau temps» accrochés le long des pentes à une altitude quasi-constante à l'échelle du versant, dite niveau de condensation par ascendance notée ici z c L'émagramme donné en annexe reporte sur un diagramme altitudetempérature (ou pression-température) les lignes iso-rapport de mélange et le gradient adiabatique de l'air sec (les autres courbes présentées ne sont pas utiles ici) En déduire une estimation du niveau de condensation par ascendance de la masse d'air initialement au niveau du sol dont le rapport de mélange a été calculé au a) Thermodynamique révision ère année page 5/9 Thermodynamique révision ère année page 6/9

4 THERMO 6 : Vaporisation d'un liquide dans le vide On place une ampoule contenant m = 0, kg d'eau liquide dans une enceinte indéformable de volume V maintenue au contact d'un thermostat à la température T 0 = 373K Initialement, l'enceinte est vide et l'eau dans l'ampoule est à la température T 0 est sous une pression initiale P 0 égale à la pression de vapeur saturante p s (T 0 ) = l bar On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait de masse molaire M = 8g/mol On donne l'enthalpie de vaporisation de l'eau L v =, 30 3 kj/kg à la température T 0 On néglige le volume massique de l'eau liquide devant le volume massique de la vapeur d'eau On donne R = 8, 3JK -l mol- ) Montrer qu'il existe une valeur V c du volume pour laquelle dans l'état final l'eau soit à la température T 0 et à la pression de vapeur saturante p s (T 0 ), avec un titre en vapeur x v = Calculer pour l'évolution correspondante, le transfert thermique Q algébriquement reçu par l'eau, la variation d'entropie de l'eau, la variation d'entropie du thermostat et celle de l'univers Commenter ) On suppose que le volume V est inférieur à la valeur V, déterminée plus haut Déterminer l'état final en fonction du rapport V/V c 3) On suppose que le volume V est supérieur à la valeur V c Déterminer l'état final THERMO 8 : Complexe Piscine-Patinoire On dispose de deux bassins d'eau de masses m i et m /5 On désire transformer le premier en piscine chauffée et le second en patinoire à l'aide d'une pompe à chaleur Données : Enthalpie massique de fusion de la glace sous une atmosphère L f = 334kJkg -, capacité thermique massique de l'eau liquide c l = 4,8kJK -l k g ' capacité thermique de la glace c g =,l kjk - l k g - l Les évolutions seront supposées réversibles ) Représenter le système et les échanges énergétiques en indiquant leur signe ) Initialement T l = T = 78K, T baisse de 5 C Déterminer la température finale T l ainsi que le travail par unité de masse w à fournir (Indication Envisager une faible variation des températures sur un cycle) 3) Dans une seconde étape, l'eau du second bassin passe à l'état de glace Déterminer les nouvelles valeurs finales T et w' Dans une troisième étape, la température de la glace est abaissée de 5 C Déterminer les nouvelles valeurs finales T et w" Annexe : TH3 : Formation des cumulus «de beau temps» Thermodynamique révision ère année page 7/9 Thermodynamique page 8/9

5 Thermodynamique des fluides en régime permanent d écoulement TH04 :Puissance électrique cédée par un barrage Une machine hydraulique placée sous un barrage détend l'eau prélevée au fond du lac à la pression P e avec un débit massique D m pour la laisser sortir à la même altitude et à la même température à la pression atmosphérique P S = P 0 On ne se préoccupe pas du détail de son fonctionnement, mais on suppose qu'elle est idéale, réversible et calorifugée Calculer la puissance électrique P elec cédée au réseau par un alternateur extérieur de rendement r = 0,9 couplé à cette machine Application numérique : D m =000 kg/s, P e =0 bar TH05 :Ecoulement de l eau d un torrent Un torrent dévale la montagne sur un dénivelé de 000 m, et du fait des frottements internes (viscosité et frottement contre les rochers), sa vitesse reste pratiquement constante Pour simplifier, la descente de l'eau étant rapide, on suppose son évolution adiabatique ; il n'y a donc dans ce modèle aucune chaleur échangée avec le sol ou avec l'air extérieur a) Appliquer à ce cas le premier principe des systèmes ouverts en régime permanent, et en déduire l'augmentation de température de l'eau au cours de la descente Application numérique avec une capacité calorifique de l'eau : c p = 4 kjkg - K - b) Comparer ce résultat avec la différence de température de l'air entre le haut et le bas de la montagne (le gradient de température habituel est de l'ordre de 60-3 K/m) et conclure TH06 :Echangeur de chaleur On considère un échangeur de chaleur isolé de l'extérieur à deux entrées et deux sorties fonctionnant avec deux liquides identiques de capacité calorifique constante c p Le premier fluide entre en e et sort en s Il a un débit massique D m Le second fluide entre en e' et sort en s', avec un débit D' m a) En appliquant le premier principe des systèmes ouverts à un système qui sera précisé, donner une relation entre les débits massiques, les températures d'entrée T e et T e et les températures de sortie T s et T s b) Comment serait modifiée cette relation s'il existait des pertes de chaleur des fluides vers l'extérieur correspondant à une puissance thermique P perte? c) Ici, P perte = 0 L'échange thermique est supposé parfait entre les deux liquides (la surface et le temps de contact sont très longs) Quelle relation supplémentaire peut-on en déduire? Application numérique dans ce cas : T e = 80 C, T e = 0 C, D m = kg/s, D m = 8 kg/s, calculer T s et T s TH08 :Tuyère calorifugée Une tuyère éjecte des gaz à vitesse c élevée, ceux-ci entrant avec une vitesse négligeable Les notations sont précisées sur le schéma On donne : T e = 600 K, P e = 5 bar, T s = 550 K, P s = bar, c p =,0 kjkg - K -, r = 90 Jkg - K - TH0 : Détente d une vapeur d eau dans une turbine adiabatique Une turbine adiabatique, conçue pour travailler sans liquide, détend une vapeur d'eau sèche issue d'un surchauffeur à la température T e = 380 C et à la pression P e =0 bar jusqu'à la pression P s = bar On donne un extrait du diagramme (T,s) de l'eau pure (voir annexe) Les isobares sont représentées en trait plein, les isenthalpes sont représentées en larges pointillé, et les isotitres du mélange diphasé sont représentées en pointillé alterné a) Que représente la courbe en gras? b) Représenter le point e représentant la vapeur à l'entrée La vapeur est-elle sèche ou saturante? c) La détente est réversible α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b correspondant à l'état de sortie β) La vapeur en sortie est-elle sèche? Quelle est sa température de sortie T s? Quel est le travail indiqué de détente w i? Jusqu'à quelle pression pourrait-on détendre isentropiquement la vapeur sans faire apparaître de liquide? γ) Tracer le point d'intersection a de l'isenthalpe h = h e et de l'isobare P = P s Donner l'expression de la variation h b h e en la calculant sur le chemin isobare (ab) En déduire une représentation graphique sous forme d'une aire A du travail indiqué w i En évaluant cette aire par linéarisation, retrouver la valeur numérique de w i d) La détente est maintenant irréversible Les pressions d'entrée et de sortie sont identiques à celles de la partie précédente, mais la température de sortie réelle est mesurée à : T S ' =50 C α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b' correspondant à l'état de sortie Mesurer l'entropie créée massique β) La vapeur en sortie est-elle sèche? Quel est le travail indiqué de détente w i '? Commenter le résultat, définir et calculer le rendement isentropique de la turbine γ) En procédant de la même manière que dans la question c), interpréter w i ' par une aire A' (à préciser) et donner une interprétation du rendement isentropique TH3 : Compresseurs adiabatique et isotherme - Intercooler Un gaz parfait, de constante massique r = R/M, et de rapport des chaleurs massiques γ est comprimé par une machine idéale réversible d'une pression d'entrée P e à une pression de sortie P s La température d'entrée est T e Dans ces conditions, le travail de compression massique est le travail de transvasement massique dont on rappellera l'expression a) Le compresseur est isotherme Calculer le travail de compression massique w iso en fonction de r, T e, et x = P s /P e b) Le compresseur est adiabatique Calculer le travail de compression massique w ad en fonction des mêmes grandeurs et de γ c) Calculer la différence w ad - w iso et montrer qu'elle est toujours positive Conclure d) Il n'est pas envisageable en pratique de construire un compresseur isotherme, les échanges de chaleur étant trop lents Pour minimiser le travail à fournir pour comprimer le gaz, on peut par contre imaginer de faire une compression refroidie, modélisée par une compression en trois étapes (système intercooler effectivement utilisé) : première étape de compression adiabatique de P e,t e à une pression intermédiaire P i deuxième étape de refroidissement isobare pour ramener le gaz à la température T e - troisième étape de compression adiabatique de P i,t e à la pression finale P s Calculer dans cette procédure le travail de compression massique total à fournir au fluide Montrer qu'il existe une pression intermédiaire optimale P i0 pour minimiser le travail de compression total e) Représenter les trois procédures de compression envisagées (isotherme, adiabatique, intercooler) sur un diagramme de Clapeyron (P,v) et conclure graphiquement a) En précisant les hypothèses, calculer la vitesse c d'éjection des gaz b) La détente est-elle adiabatique réversible? c) Calculer l'entropie massique créée (entropie créée par unité de masse de fluide traversant la tuyère) Thermodynamique page 9/9 TH7 : Récupération de puissance mécanique et de chaleur : cogénération De la vapeur d'eau surchauffée sort d'une chaudière de centrale thermique avec un débit massique D m = 85 kg/s à P = 50 bar et T = 360 C On souhaite en extraire le maximum d'énergie sous forme de travail, et avec moins d'intérêt, sous forme de chaleur On donne le diagramme (T,s) de l'eau pure (voir annexe) Les valeurs numériques entre deux courbes données seront extrapolées linéairement si nécessaire a) Représenter sur le diagramme le point correspondant à la vapeur au point () b) On détend la vapeur dans une turbine adiabatique idéale jusqu'à la pression atmosphérique P = P 0 Représenter le point () correspondant à la sortie de la turbine et trouver la température de sortie T, la fraction massique de vapeur en ce point, et la puissance mécanique P méca fournie par la turbine Thermodynamique page 0/9

6 Expliquer comment il serait possible d'extraire encore plus de puissance mécanique On n'envisage pas ce cas dans la suite Quelles sont les causes pratiques qui interdisent d'obtenir l'intégralité de cette puissance? c) On mesure en réalité une fraction massique de vapeur en sortie de x' = 0,95 En déduire l'entropie massique créée dans la vapeur et la puissance mécanique extraite On portera le point (') correspondant sur le diagramme d) Voyez-vous des pistes qui permettraient d'améliorer cette installation en pratique? e) Comment pourrait-on simplement récupérer de la chaleur pour une installation de chauffage à 90 C à partir de la vapeur dans cet état (')? En admettant que l'échange de chaleur avec ce circuit est possible assez rapidement tant que la température ne chute pas en dessous de 00 C, porter l'état (3) de sortie du fluide sur le diagramme, préciser son état physique, et calculer la puissance thermique P thermique ainsi récupérée Quel est le débit volumique de sortie de fluide? f) Donner finalement la puissance totale P tot (mécanique et thermique) récupérée dans cette installation de cogénération et le coefficient de cogénération : P méca /P tot g) Déterminer le rendement de l'installation et le comparer à celui du cycle réversible fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes D'où provient cet écart? h) Quel débit massique de fluide est nécessaire pour obtenir une puissance convertie par l'alternateur de 00 kw? TH3 :Etude du cycle de production du froid d'une climatisation auto Les véhicules équipés de la climatisation en série occupent une place de plus en plus importante sur le marché automobile : en 005, cet équipement a été présent sur près de 90 % des véhicules neufs en France Le fluide frigorigène subissant le cycle est de l hydrofluorocarbone HFC connu sous le code R34a On admet qu il se conduit à l état gazeux comme un gaz parfait de caractéristique massique c p adiabatique γ = =, c v = et d exposant r 85 Jkg K TH0 : Turbomachine avec changement d'état On considère une installation comportant une chaudière C, une turbine T, un condenseur C' et une pompe A (3) Compresseur () Motoventilateur (4) Condenseur (5) Réservoir déshydrateur Détendeur () (6) Evaporateur Air pulsé dans l habitacle Le fluide utilisé est l'eau il décrit les cycles suivants : - La pompe alimentaire amène le liquide saturant, pris à la sortie du condenseur (état F), jusqu'à la pression p de la chaudière Cette opération est pratiquement adiabatique et on peut considérer qu'à la sortie de la pompe le fluide est liquide (état G) pratiquement à la température T du condenseur - L'eau est alors injectée dans la chaudière où elle se vaporise de façon isobare (p ) À la sortie de la chaudière, la vapeur est saturante sèche à T (état D) - Elle subit ensuite une détente adiabatique et réversible dans une turbine T (partie active du cycle) A la sortie de la turbine, le fluide est à la température T et à la pression p du condenseur (point E) où il achève de se liquéfier de façon isobare (point F) Données : T = 53 K, T = 93 K Enthalpie de vaporisation à 53 K :L v = 74 kjkg - Pression de vapeur saturante à 53 K : p = 39,7 0 5 Pa Pression de vapeur saturante à 93 K : p = 300 Pa Enthalpie massique du liquide saturant à 93 K : h L = 84 kjkg - Enthalpie massique de la vapeur saturante sèche à 93 K : h V = 538 kjkg - Chaleur massique du liquide c liq : 4 80 kjkg - K - Volume massique du liquide u liq : 0-3 m 3 kg - a) Quelle est l'enthalpie massique de vaporisation du fluide à 93 K? b) Tracer les différents état du cycle dans le diagramme entropique c) Déterminer le titre en vapeur du fluide à la sortie de la turbine d) Déterminer l'enthalpie massique au point E e) Au point D, l'enthalpie massique vaut 800 kjkg -, quel est le travail massique fourni par la turbine à l'alternateur? f) Justifier que le travail massique mis en jeu dans la pompe est négligeable devant celui fourni par la turbine Thermodynamique page /9 Le cycle théorique du R34a est le suivant : En (), dans l évaporateur, le fluide frigorigène est entièrement à l état de vapeur saturante : p θ = 5,0 C, h Thermodynamique page /9 = 3,5 bar, = 400 kjkg Il subit alors un échauffement isobare en sortie de l évaporateur jusqu à l entrée du compresseur caractérisé par l état () : p = 3,5 bar, h = 45 kjkg, θ La vapeur surchauffée basse pression est alors comprimée par le compresseur de 3,5 bar à 0 bar (état (3) ) Sa température est alors θ 3 La compression est supposée adiabatique réversible Entre (3) et (4), la vapeur surchauffée haute pression est refoulée dans le condenseur où elle cède à l air extérieur une quantité de chaleur sous pression constante Le fluide frigorigène se condense alors entièrement (état (4) ) En sortie du condenseur, le fluide liquéfié se sous-refroidit et traverse un réservoir déshydrateur, toujours à pression constante L état (5) caractérise ce sous refroidissement Entre (5) et (6), le fluide est acheminé dans un détendeur où il subit une détente isenthalpique ; sa pression passe alors de 0 bar à 3,5 bar Le fluide se vaporise alors partiellement L état (6) est caractérisé par les données suivantes : titre massique en vapeur 0 % ; température θ 6 = 5,0 C ; pression p 6 = 3,5 bar Enfin, il pénètre dans l évaporateur et absorbe en s évaporant une certaine quantité de chaleur provenant de l air pulsé en direction de l habitacle L air arrive rafraîchi dans l habitacle Dans tout le problème, le débit massique du R34a a pour valeur : q m = 0,3 kgs

7 A - Caractéristique du R34a Montrer que la capacité thermique massique à pression constante est : c p = 0,79 kjkg K B - Etude du cycle du fluide frigorigène c p du fluide frigorigène R34a Placer, sur le diagramme enthalpique (voir annexe), les 6 points correspondant aux différents états du cycle du fluide frigorigène Tracer le cycle en précisant le sens du parcours En utilisant le diagramme enthalpique, indiquer la valeur de la température θ de surchauffe du fluide basse pression Pour la suite du problème, on prendra θ = 0 C ANNEXES : Diagrammes 3 La compression de l état () à l état (3) est supposée adiabatique réversible (isentropique) a) En utilisant le cycle tracé à la question précédente, vérifier que la température θ 3 de fin de compression isentropique est : θ 3 55 C b) Relever, sur le diagramme, le travail massique de transvasement que doit fournir le compresseur par kilogramme de fluide lors de sa compression adiabatique c) En déduire la puissance P que doit fournir le compresseur au fluide caloporteur 4 Préciser les différentes transformations subies par le fluide frigorigène, entre la sortie du compresseur (état (3) ) et l amont du détendeur (état (5)) Mesurer à l aide du diagramme la quantité de chaleur q C échangée par kilogramme de fluide entre ces deux états Préciser et interpréter le signe de q C 5 Déterminer la quantité de chaleur q f échangée avec l air pulsé vers l habitacle par kilogramme de fluide au niveau de l évaporateur (entre les états (6) et () ) Préciser et interpréter le signe de q f 6 En déduire la puissance frigorifique P produite par la climatisation automobile C - Efficacité de l installation Définir puis calculer le coefficient de performance de l installation TH0 : Détente d une vapeur d eau dans une turbine adiabatique Thermodynamique page 3/9 TH7 : Récupération de puissance mécanique et de chaleur : cogénération Thermodynamique page 4/9

8 Transferts thermique - Conduction thermique TH305 : Double vitrage On ne considère que des régimes permanents, indépendants du temps L'intérieur d'une pièce est séparé de l'extérieur par une paroi vitrée de surface S, orthogonale à l'axe (Ox), et dont le verre a une conductivité thermique λ Ses faces interne et externe sont respectivement aux températures T i et T e avec T e < T i ) La paroi est une vitre simple d'épaisseur e Évaluer le flux thermique Φ sortant de la pièce à travers cette paroi en fonction de λ, S, e, T i et T e Calculer la résistance thermique R th de la paroi vitrée ) La paroi est un ensemble de deux vitres de même épaisseur e, séparées par une épaisseur e' d'air, de conductivité thermique λ' On ne tient compte que de la conduction a) Évaluer le flux thermique Φ sortant de la pièce, puis le rapport Φ /Φ b) AN: T e =70K, T i =9 K, e'=e=3 mm, λ=, Wm - K -, λ'=0,05 Wm - K - Calculer Φ /Φ et les températures T et T des faces en regard des deux vitres Représenter graphiquement les variations de la température en fonction de x dans le double vitrage 3) En plus de la conduction étudiée ci-dessus, on doit tenir compte des échanges thermiques superficiels entre le verre et l'air Une surface de verre d'aire S, à la température T s échange avec l'air, à la température T f, le flux thermique : Φ =hs(t s T f ) avec h>0 a) Quelle valeur implicite donnait-on précédemment à h lorsqu'on confondait T s et T f? b) Montrer que ces échanges superficiels introduisent une résistance thermique R th Donner l'expression de R th c) Dans les questions ) et ) les températures de l'air à l'intérieur et à l'extérieur de la pièce sont T i et T e Soit h e le coefficient d'échange entre le verre et l'air extérieur et h i celui relatif aux autres contacts verre-air Les flux Φ et Φ des questions ) et ) deviennent respectivement Φ et Φ Exprimer Φ et Φ en fonction de T i, T e, h i, h e, et des paramètres e, λ, λ' et S AN: h i =0 Wm - K - et h i =4 Wm - K - Calculer Φ /Φ Conclusion? TH30 : conduction de la chaleur dans une plaque On considère une plaque métallique de largeur d qui est plongée dans un fluide dont la température est maintenue à T f On appelle θ =T-T f l'écart de température, ρ la masse volumique de la plaque, c sa chaleur massique et λ sa conductivité thermique On posera a=λ/(ρc) la diffusivité thermique et on notera j Q le vecteur densité de courant de chaleur a) Donner les variables dont dépend θ et déterminer l'équation différentielle qu'il vérifie b) On suppose que θ peut se mettre sous la forme : θ(x,t)=f(x)g(t) Quelles sont les équations vérifiées par f et g? Trouver l'allure générale de g(t), puis de f(x) Si à t=0, θ(x,0)=θ cos(πx/(d)), déterminer complètement θ(x, t) T f T f y -d O d TH3 : Conducteur thermique parcouru par un courant I Un conducteur cylindrique de rayon a et de longueur b, de conductivité thermique K, est parcouru par un courant I a) Faire un bilan de puissance b) En déduire T(r) en appelant T 0 la température extérieure TH3 :Etude du cycle de production du froid d'une climatisation auto Thermodynamique page 5/9 TH3 : flux de chaleur dans un fil de cuivre Un fil de cuivre de rayon a et de longueur L est relié en x=0 à une plaque de température T e et plongé dans un fluide de température T 0 On note q(x) le flux de chaleur par conduction par unité de temps à l'abscisse x dans le fil On se place en régime permanent dq a) Montrer que = π ah( T( x) T0 ) et préciser la signification physique du coefficient h dx b) Etablir T(x) pour un fil de longueur L infinie c) Même chose pour L finie, en notant T f la température en x=l d) Calculer q(x) dans les deux cas e) Définir et déterminer la résistance d'entrée du fil dans les deux cas Thermodynamique page 6/9

9 TH30 : Fil électrique On considère un conducteur cylindrique (électrique et thermique) d axe Ox, de longueur L, de section droite d aire S, de surface latérale d aire Σ Le conducteur est supposé homogène et isotrope µ, c et λ désignant respectivement la masse volumique, la chaleur massique et la conductivité thermique supposées constantes ; λ est la résistivité ) La surface latérale du cylindre est calorifugée par une paroi adiabatique Les extrémités du conducteur sont maintenues aux températures T et T constantes Le conducteur est traversé par un courant d intensité I constante (dans le sens des x croissants) Le régime étant supposé stationnaire, écrire l équation qui régit le champ de température T(x) ηi En déduire l expression de T(x) On posera : A = λ S Etudier les variations de j th avec x Commenter ) Le conducteur n est plus calorifugé sur sa paroi latérale mais on calorifuge les extrémités (en x = 0 et x = L) Les transports conducto-convectifs sont caractérisés par le coefficient h, le milieu ambiant étant à la température uniforme et constante T a - Montrer que le bilan énergétique local se traduit par l équation : T T I Σ µ cs = λs + η h( T Ta ) t x S L - Calculer l expression de T(x) en régime permanent TH35 : Géothermie La terre est assimilée à une sphère homogène de rayon R = 6400 km de conductivité thermique λ indépendante de la température On suppose que l origine de l énergie libérée à l intérieur du globe terrestre est une désintégration radioactive de certaines roches qui libère une puissance volumique p répartie uniformément à l intérieur du globe On observe que, au voisinage de la surface terrestre, la température s accroît de degré quand on s enfonce de 3 m On posera a = -(dr/dθ) =3mK - a) En prenant comme origine la température de surface, calculer la température à la distance r du centre de la terre b) Quel serait dans ce modèle (très simpliste) la température au centre de la Terre? TH 33 : Ailette d un radiateur Un moteur (ou une carte mère d ordinateur) dégage une puissance thermique Φ qui doit être évacuée pour que la température de fonctionnement ne dépasse pas un maximum T max ; dans ce but on utilise un radiateur, modélisé par une ailette unique, c est-à-dire une plaque parallélépipédique collée par sa face x = 0 au moteur de température T 0 < T max Cette plaque de conductivité thermique λ est en contact par ses autres faces avec l atmosphère de température T a On étudie le régime stationnaire On suppose, en guise de première approche, que la température ne dépend que de x et que T(0) = T 0 A la surface du metal se forme une mince couche limite d air où la température varie rapidement de T(x) à la température ambiante T a ; pour alléger l étude, on modélise le phénomène par une discontinuité de température et l on admet qu une surface élémentaire d aire ds à l interface métal/air transfère un flux thermique h ds (T(x) - T a ) où h est un coefficient constant Voir la figure ci-dessous qui précise les dimensions de l ailette : ) Faire un bilan énergétique pour une tranche de plaque entre les abscisses x et x + dx et en déduire une équation différentielle vérifiée par T(x) )On suppose a grand devant l de sorte qu on puisse considérer l ailette comme infinie et imposer T( ) = T a Etablir l expression de T(x) En pratique comment un industriel choisit-il a? 3) Calculer le flux thermique total Φ evacué par l ailette en fonction des constantes du problème En l absence d ailette justifer que le flux serait ϕ = h b c (T 0 - T a ) Exprimer l efficacité de l ailette définie par η = Φ/ϕ Conclure sur la forme à donner à l ailette TH38 : TH36 : Echangeur thermique On s intéresse au transfert thermique entre un fluide chaud F et un fluide froid F, les fluides se déplaçant dans le même sens (échangeur co-courant) Ce transfert s effectuant à travers une plaque conductrice d épaisseur e, de largeur L (perpendiculairement au plan de la figure), d aire de contact S sur chaque face On pourra poser L la longueur de la plaque Le matériau constituant la plaque a une conductivité thermique λ qu on supposera constante F et F sont un même fluide, de l eau, de chaleur massique c et ont un même débit massique D m Les coefficients conductoconductifs sur chacune des parois de la plaque ont une même valeur h 0 On note T ce, T fe, respectivement les températures d entrée de F (fluide chaud) et de F (fluide froid) et de même T cs, T fs leur température de sortie a) Montrer qu en régime stationnaire le flux thermique infinitésimale traversant la section de longueur dx s écrit : dφ = KL[T c (x) T f (x)]dx où T c (x)et T f (x) sont respectivement les températures des fluides chaud et froid à l abscisse x et K un coefficient que l on exprimera en fonction de e, λ et h 0 b) En déduire les équations différentielles auxquelles obéissent les températures T c (x) et T f (x) c) Déterminer T c (x) et T f (x) d) Calculer le flux thermique échangé entre les fluides sur la longueur totale de l échangeur hs e) On donne :T ce = 473 K, T fe = 33K, T cs = 43K Calculer T fs,- ainsi que le rapport D c m Thermodynamique page 7/9 Thermodynamique page 8/9

10 Thermodynamique page 9/9

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