INTERFERENCES LUMINEUSES

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1 CH O2 : Interférences lumineuses 16 C H A P I T R E 2 INTERFERENCES LUMINEUSES 1. LE PHENOMENE D INTERFERENCES 1.1. Formule fondamentale des interférences à 2 ondes Dans de nombreux dispositifs, une source primitive S donnera deux sources dérivées S 1 et S 2 corrélées, émettant en phase deux ondes lumineuses, supposées pour l instant parfaitement monochromatiques et ponctuelles. Ces ondes vont parvenir en un point M quelconque de l'espace déphasées l'une par rapport à l'autre du fait d'un terme de propagation différent. I = I 1 + I I 1 I 2 cosφ(m) On peut alors placer un écran en en endroit quelconque de l espace ( mais susceptible d être atteint par des rayons issus des 2 sources ) et y observer la répartition d intensité, non uniforme à priori du fait du phénomène d interférences : on dit que les interférences sont non localisées, et qu on visualise sur l écran une figure d interférences. Ainsi il pourra exister des points d'intensité maximale et des points d'intensité minimale. Si le terme d'interférences de l'intensité peut prendre ses valeurs extrêmes, on a : I M = I 1 + I I 1 I 2 I m = I 1 + I 2-2 I 1 I 2 On définit alors le contraste C ( ou la visibilité ) du phénomène par la formule : C = I M - I m I M +I m

2 CH O2 : Interférences lumineuses D'après sa définition, le contraste est un nombre sans dimensions toujours compris entre 0 et Avec les valeurs ci-dessus, on obtient : C = 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 Il apparaît alors que si l'une des intensités propres est très grande devant l'autre ( par exemple I 1 I 2 >> I 1 ), C 2 I 2 est alors très faible : on a un mauvais contraste, le phénomène est peut visible... Au contraire, si I 1 = I 2, C =1, le phénomène a un contraste maximal... On peut donc retenir qu'un phénomène d'interférences à deux ondes est d'autant plus contrasté que les intensités propres (donc les amplitudes) des deux ondes sont proches. Rq.1 La définition du contraste est très générale et s'appliquera dans des formules d'interférences plus complexes que celle définie jusqu'à présent. Rq.2 De même, le principe général du phénomène d'interférences s'étend à un nombre d'ondes plus élevé. Nous en verrons des exemples importants dans la suite du cours Différence de marche - ordre d interférences Revenons à présent sur le calcul du déphasage φ(m) : considérons le cas simple où les rayons peuvent se propager en ligne droite des sources au point M d observation : M r 1 S 1 r 2 S 2 Les deux amplitudes des ondes reçues en M s'écrivent en fait : a 1 (M) = a 0 e j(ωt - kr 1 ) et a 2 (M) = a 0 e j(ωt - kr 2 ) en supposant les deux ondes de même amplitude et avec k = nω c = 2πn λ 0 en appelant λ 0 la longueur d'onde de la lumière émise dans le vide. En prenant l'onde issue de S 1 comme origine des phases, l'onde issue de S 2 présente donc un retard de phase φ = k (r 2 - r 1 ) = 2π λ 0 n(r 2 - r 1 ) = 2π λ (r 2 - r 1 )

3 CH O2 : Interférences lumineuses 18 Le terme n(r 2 - r 1 ) représente la différence des chemins optiques S 2 M et S 1 M. On l'appelle différence de marche δ entre les rayons S 1 M et S 2 M. Ce résultat est en fait tout à fait général : la différence de phase entre les deux ondes s'écrit : φ = 2π([S 2M] - [S 1 M]) λ 0 = 2πδ λ 0 Rq.1 L'indice du milieu dans lequel se propagent les rayons est inclus dans la différence de marche et la longueur d'onde qui intervient dans la formule ci-dessus est la longueur d'onde de l'onde dans le vide, caractéristique de sa fréquence. On peut très bien imaginer par ailleurs que les deux rayons, ou une partie de ceux-ci, ne se propagent pas dans le même milieu, ce dont on tiendra compte dans le calcul des chemins optiques. p Rq.2 Le déphasage calculé ici ne provient que de la différence de marche des rayons issus de S 1 et S 2 jusqu'au point M. Cependant, dans certaines configurations, il faudra lui ajouter un déphasage supplémentaire de valeur π dû à un phénomène physique subi par l'un des deux rayons, comme la réflexion sur un milieu plus réfringent ou le passage par un foyer... Il suffit alors de reprendre dans ce cas la formule générale des interférences à deux ondes qui devient ici : I = 2I 0 ( 1 + cosφ ) = 2I 0 ( 1 + cos ( 2πδ λ 0 ) ) I 0 représente l'intensité uniforme qu'on obtient sur l'écran en occultant l'une des deux sources. I() 4I 0 " 2" p. Rq. Il y a périodicité de l intensité vis à vis de la phase φ: ceci n implique nullement une périodicité identique sur l écran. Il faudrait pour cela que cette phase soit elle-même une fonction linéaire d une variable de position. Cette linéarité sera vérifiée dans certains cas, mais dans d autres non.( voir paragraphe 1.3 ) Les points de même intensité forment sur la figure d interférences des courbes appelées franges d interférences. Aux points d intensité la plus faible (ici nulle) correspondent les franges sombres, aux points d intensité la plus forte, les franges brillantes. Le phénomène est en outre ici caractérisé par un contraste parfait égal à 1. On définit l ordre d interférence en un point M de la figure d interférence comme le rapport p(m) = (M) "

4 CH O2 : Interférences lumineuses 19 Aux franges brillantes correspond un ordre d interférences Aux franges sombres correspond un ordre d interférences 1.3. Franges d interférences données par deux sources ponctuelles corrélées Sans nous soucier pour l instant de leur réalisation pratique, considérons deux sources ponctuelles corrélées S 1 et S 2, dont les amplitudes ont même module : elles créent dans tout l espace un phénomène d interférences ( interférences délocalisées) caractérisé, en un point M quelconque, par l intensité : I = 2I 0 ( 1 + cosφ ) Pour visualiser ce phénomène, on peut disposer un écran plan sur lequel on observera une figure d interférences. Nous allons préciser dans ce paragraphe l allure particulière de cette figure selon deux placements remarquables de l écran : - Écran 1 placé orthogonalement à l axe des sources - Écran 2 placé parallèlement à l axe des sources O 2 $ ECRAN 2 * ECRAN 1 O 1 S 1 S

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6 CH O2 : Interférences lumineuses 21 Afin de mieux préciser encore l allure des figures d interférences, nous pouvons effectuer un calcul analytique de la différence de marche δ dans les deux cas, en supposant le milieu d indice n = 1 : Εcran 1 : M a r S 1 S 2 D S 1 M S 2 M = δ = (D+ a 2 )2 + r 2 - (D- a 2 )2 + r 2 Si l on ajoute l hypothèse D >>r, a, réalisée en pratique, en effectuant un D.L. à l ordre le plus faible en r, l expression devient : δ D( [ a D + r2 D 2 + a2 4D 2 ] [a D + r2 D 2 + a2 4D 2 ] 2 ) - D( [- a D + r2 D 2 + a2 4D 2 ] [- a D + r2 D 2 + a2 4D 2 ] 2 ) δ a - ar2 2D 2 a ( 1 - r2 2D 2 ) δ δ(0) ( 1 - r2 2D 2 ) δ est une fonction décroissante de r 2, l ordre d interférences maximum est obtenu au centre, en r = 0. Sa valeur est à priori quelconque ( c est à dire dépendante de la distance a des sources ). L intensité est donc quelconque au centre, le premier anneau brillant étant obtenu pour la première valeur entière de δ, soit en fait E(δ(0)), où E(x) désigne la partie entière de x... La dépendance de δ en r 2 vis à vis du rayon des anneaux montre enfin que ceux-ci ne sont pas équidistants, mais de plus en plus resserrés. En effet, si r k désigne le rayon de l anneau d ordre d interférences k, le rayon de l anneau suivant correspondra à k - 1,et on aura : δ κ δ(0) ( 1 - r 2 k 2D 2 ) = kλ δ κ 1 δ(0) ( 1 - r 2 k - 1 2D 2 ) = (k - 1)λ D où r k r k2 = 2λD2 δ(0) = cste => r k -1 - r k = augmentent... cste r k -1 + r k qui décroît quand les rayons des anneaux

7 CH O2 : Interférences lumineuses 22 Écran 2 : S 1 a S 2 D x M(x, y) y S 2 M S 1 M = δ = (x+ a 2 )2 + y 2 + D 2 - (x- a 2 )2 + y 2 + D 2 Avec la même hypothèse D >> x, y, a : δ D(1 + ax 2D 2 + x2 + y 2 + a 2 2D 2 ) - D(1 - ax 2D 2 + x2 + y 2 + a 2 2D 2 ) δ ax D δ ne dépend que de x : on retrouve des franges rectilignes, orthogonales à l axe des sources. La dépendance en x est en outre linéaire : on passe d un extremum d intensité au suivant en faisant varier δ de λ, donc x de λd a. La distance i = λd a, appelée interfrange, est indépendante de x : les franges sont donc équidistantes. A.N. pour D = 1 m, a = 0,5 mm et λ = 500 nm on a i = Enfin, δ est une fonction croissante de x, avec δ(0) = 0. le centre de la figure d interférences, en l absence de toute autre différence de marche supplémentaire, correspond à une frange brillante, pour laquelle l ordre d interférences est p(0) = 0. A partir de cette frange centrale, de part et d autre, les franges brillantes successives sont en quelque sorte numérotées par les ordres 1, 2, 3 ou - 1, - 2,

8 CH O2 : Interférences lumineuses 23 Franges d interférences en anneaux Franges d interférences rectilignes

9 CH O2 : Interférences lumineuses REALISATION PRATIQUE DE FIGURES D INTERFERENCES 2.1. Trous d Young Description - Trous d'young à distance finie C'est le dispositif le plus simple : S 1 et S 2 sont deux trous percés dans un plan P et on observe le système d'interférences dans un plan parallèle à P. Ces trous se comportent comme des sources secondaires qui réémettent deux faisceaux lumineux : ce phénomène, appelé diffraction sera expliqué dans le chapitre suivant. On observe le phénomène dans un plan parallèle à l axe des sources. On a directement S 1 S 2 = a et S'O' = D. Les chemins optiques SS 1 et SS 2 sont égaux. En appliquant le calcul de δ précédemment évoqué on a directement : δ n ax D - Trous d'young en lumière parallèle Dans le précédent dispositif, on place l'écran à distance finie et les rayons qui interfèrent sont donc non parallèles. On peut aussi imaginer éclairer les trous d Young en lumière parallèle et observer la figure d'interférence à l'infini. Montage pratique :

10 CH O2 : Interférences lumineuses 25 Détermination de la différence de marche : En comparant ce dispositif à celui des trous d'young à distance finie, on remarque que, dans l'expression de δ, il faut substituer la distance focale f' entre la lentille et l'écran à la distance D du plan des trous à l'écran... L intérêt d un tel montage est grand et sera vu dans le prochain chapitre Utilisation de fentes Reprenons le dispositif des trous d Young à distance finie et remplaçons la source ponctuelle et les trous par trois fentes fines parfaitement parallèles :

11 CH O2 : Interférences lumineuses 26 S S 1 a S 2 M x D Cet ensemble peut être décomposé en un très grand nombre de triplets du type (S, S 1, S 2 ) incohérents entre eux : on doit donc ajouter les intensités dues a chaque triplet, c est à dire superposer les figures d interférences de chacun sur l écran. Cependant le calcul précédent de la différence de marche nous montre que celle-ci reste la même pour tous les triplets puisqu elle ne dépende que de x, a, D qui sont identiques. tous les systèmes de franges des différentes figures se superposent alors parfaitement, c est à dire sans décalage : nous obtenons donc une figure identique à celle donnée par des sources ponctuelles, de contraste parfait C = 1, mais beaucoup plus lumineuse... Nous pouvons noter également le parallélisme des fentes et des franges obtenues. Il est en revanche essentiel que les trois fentes soient parfaitement parallèles, sinon on aurait un glissement des différents systèmes de franges perpendiculairement au franges, ce qui conduirait à un brouillage ( perte de contraste) de la figure résultante. Dans le dispositif en lumière parallèle, le même raisonnement conduit à remplacer les trous par des fentes. Cependant, les lentilles donnent toujours de la fente S une image géométrique sur l écran, de sorte que si on incline cette fente par rapport aux fentes d Young, on observe le système de franges s incliner également et non se brouiller comme dans le cas précédent : le parallélisme fente source - fentes d Young n est plus ici essentiel Interféromètre de Michelson Voir TP-Cours

12 CH O2 : Interférences lumineuses COHERENCE PARTIELLE : VISIBILITE Dans l expérience précédemment décrite des fentes d Young, la fente source était supposée infiniment mince, et purement monochromatique. Une source réelle aura une largeur l faible, mais non nulle, et contiendra toutes les longueurs d onde situées dans un intervalle Δλ faible autour d une longueur d onde moyenne λ 0. Nous allons tout d abord étudier à quelles conditions ces défauts peuvent être négligés, puis chercherons à corriger le calcul de l intensité dans le cas contraire Cohérence temporelle Longueur de cohérence temporelle (voir aussi chapitre précédent) En un point M de l écran d observation, on doit ajouter les intensités correspondant à toutes les longueurs d onde dans l intervalle Δλ. Pour les deux longueurs d'onde extrêmes de l'intervalle le déphasage en M sera Δφ = 2πδ(Μ)Δ( 1 λ 0 ) 2πδ(Μ) Δλ λ 2 0. Or, la formule des interférences à 2 ondes montre qu en termes de déphasage φ, la périodicité du phénomène est 2π. Si la variation de déphasage Δφ en M, pour les deux longueurs d onde extrêmes, est petite devant 2π, le phénomène sera très peu perturbé par la non-monochromaticité de la source. La condition recherchée s écrit donc : Δφ << 2π => δ(μ) << λ2 0 Δλ => p(m) << λ 0 Δλ Dans l expérience des fentes d Young, p(m) représente aussi le «numéro» de la frange considérée, la frange centrale étant affectée de l ordre 0.Si on prend l exemple de la raie rouge du cadmium, pour laquelle est de l ordre de , on voit donc que le phénomène commencerait à se brouiller à partir de la ème frange ce qui va bien au-delà du nombre de franges observables... N en tirons pas la conclusion hâtive que le défaut de cohérence temporelle est toujours négligeable et inobservable. Dans des interféromètres plus élaborés, comme l interféromètre de Michelson, on peut atteindre de grandes différence de marche pour lesquelles les problèmes de cohérence temporelle deviennent effectifs... Nous pouvons également écrire sous une autre forme la condition énoncée ci-dessus. En effet, nous avons vu que la largeur de raie est liée à la durée des trains d onde par une relation du type : τδν = 1 Or Δν = Δ( c λ 0 ) c Δλ λ 2 0 => λ2 0 Δλ cτ La grandeur λ2 0 Δλ représente donc également la longueur (spatiale) d un train d onde dans le vide : on l appelle longueur de cohérence temporelle L t. La perte de cohérence temporelle est donc négligeable quand la différence de marche au point considéré est petite devant la longueur de cohérence temporelle:

13 CH O2 : Interférences lumineuses 28 si δ(m) << L t = cτ = λ 2 0 Δλ, on peut négliger le défaut de cohérence temporelle 3.2. Visibilité associée à un défaut de cohérence temporelle Une source lumineuse réelle n est jamais parfaitement monochromatique. La répartition énergétique de l onde entre les différentes longueurs d onde est donnée par la fonction F(λ) appelée di densité spectrale de la source telle que : F(λ 0 ) = où di est l intensité de la source pour les d longueurs d onde comprises entre λ 0 et λ 0 + dλ. L intensité totale de la source est donc donnée par : I T = F (")d". Nous désirons corriger l expression de l intensité obtenue dans le cas d une lumière parfaitement monochromatique, intensité donnée par : I = 2I 0 (1 + cos 2πδ λ 0 ) Cas d un doublet (lampe au sodium) La lampe au sodium a un spectre possédant deux raies centrées à λ 1 = 589 nm et à λ 2 = 589,6 nm, très proche de λ 1 (doublet). Nous allons supposer pour simplifier les calculs, que ces deux raies sont infiniment fines, de même intensité, et poser λ 2 = λ 1 +Δλ avec Δλ<<λ 1. La lampe au sodium peut être imaginée comme la superposition de deux sources parfaitement monochromatiques, l une émettant à λ 1 et l autre à λ 2, et donc incohérentes entre elles. En un point M de l espace, l intensité lumineuse, après un dispositif interférométrique, sera donc égale à la somme des intensités dues à «chacune» des sources. % On trouve après calculs I = I 0 (1 + cos "#$ ( % ' 2" ( 2 & $ *.cos ' * 1 ) & ) ) On voit donc réapparaître la formule classique d'interférences à 2 ondes mais corrigée par la % présence d un facteur appelé facteur de visibilité V(δ) = cos "#$ ( ' 2 & $ *. La première annulation de 1 ) V(δ) a lieu pour = " 2 1 2#" >> λ 1. C est donc un terme qui varie beaucoup plus lentement que le terme classique d interférences. $

14 CH O2 : Interférences lumineuses 29 La dénomination de V pour ce facteur correctif s explique aisément : en effet, au voisinage d un point M quelconque du champ d interférences, V varie peu si bien qu aux alentours de ce point, on a : I max = 2I 0 ( 1 + V(δ) ) et I min = 2I 0 ( 1 - V(δ) ) => C = V Le facteur de visibilité s interprète donc comme un contraste «local» de la figure d interférences. Cas d une raie de profil idéalisé : Le modèle simpliste (utilisé pour la simplicité des calculs) d une raie de largeur δλ est donné par un profil spectral rectangulaire de densité spectrale constante A pour λ compris entre λ 0 et λ 0 +Δλ, et de densité spectrale nulle ailleurs. Décomposons la raie large [λ 0, λ 0 + Δλ] en raies élémentaires fines (au sens spectral) de largeur dλ. La contribution de la raie "élémentaire" dλ à l'intensité totale est, en tenant compte du phénomènes d interférences : di = di 0 (1 + cos 2πδ λ ) = 2A (1 + cos 2πδ λ ) dλ où A est une constante. Effectuons alors le changement de variables σ = 1 λ ( cette grandeur est appelée nombre d onde ). En nombre d'onde, la raie a une largeur Δσ telle que : Δσ = - Δλ λ 0 2 ( par dérivation et passage aux accroissements finis). D'où : di = - 2 A σ 2 (1 + cos 2πδσ) dσ - 2 A σ 0 2 (1 + cos 2πδσ) dσ = -Β (1 + cos 2πδσ) dσ I = " # $0 $ 0 + %$ & ' (1 + cos2()$) d$ Soit : I = - B( Δσ + 1 πδ sin πδδσ cos 2πδσ 0 ) = - BΔσ ( 1 + sinπδδσ πδδσ cos 2πδσ 0 ), ou encore, en explicitant la valeur de Δσ et en posant 2I 0 = BΔλ λ 0 2 = AΔλ : I = 2I 0 ( 1 + sinc πδδσ cos 2πδσ 0 ) = 2I 0 ( 1 + V(δ) cos 2πδ λ 0 ) Le facteur de visibilité V(δ) est ici sinc πδδσ

15 CH O2 : Interférences lumineuses 30 On a brouillage de la figure d interférence (correspondant à un contraste nul) pour la première annulation de V, les réapparitions suivantes correspondant à des franges très peu contrastées et on tend vers un brouillage définitif pour des très grandes différences de marche. Au premier brouillage, = " 2 0 #" ce qui correspond à un ordre d'interférence : p = λ 0 Δλ. Rappelons que cela signifie que c est après avoir fait défiler ces p franges que la figure d interférences sea brouillée. Remarque : lien avec la longueur de cohérence temporelle. c l*= cτ = " = # 2 0 : on retrouve bien le fait que pour δ >> l*, la source ne peut plus être # considérée comme cohérente et que le phénomène d interférence disparaît. Spectres et interférogrammes associés : Il s avère que le facteur de visibilité des figures d interférences est proportionnel à la transformée de Fourier du spectre de la source. Ceci est à la base de la détermination rapide de spectres par transformée de Fourier : à l aide d un interféromètre tel que le Michelson, on peut, en faisant varier rapidement la différence de marche (par translation du miroir «chariotable») enregistrer un interférogramme et remonter ainsi, via le facteur de visibilité, au spectre de la source

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17 CH O2 : Interférences lumineuses Visibilité associée à un défaut de cohérence spatiale Largeur de cohérence spatiale Cherchons à présent à évaluer le défaut de cohérence spatiale dû à l étendue des sources. Toujours dans le souci d une simplification des calculs, nous nous plaçons dans le cas de deux sources corrélées ponctuelles, mais obtenues à partir d une source étendue : ce sera le cas avec des trous d Young éclairés par une source non parfaitement ponctuelle. Nous supposons enfin que la source S possède une étendue transversale ΔS : S 1 S 1 S' u S u 1 " a S # S u 2 d S 2 d S 2 Une fois encore nous devons ajouter les intensités dues à chaque source ponctuelle composante de la source primaire et éclairant les sources S 1 et S 2. Nous allons évaluer, en un même point M d observation, le Δδ associé aux deux sources ponctuelles placées aux extrémités de la source S. D après les calculs précédents, le défaut dû à l étendue de S pourra être négligé si Δδ << λ 0. Cette variation de la différence de marche en M n est due qu à la variation avant les sources S 1 et S 2, c est à dire : Δ( [SS 2 ] - [SS 1 ] ) = n Δ( SS 2 - SS 1 ) si tout se passe dans un milieu homogène d indice n. Or, nous pouvons écrire : SS 2 - SS 1 = colinéaires à SS 2 et SS 1. SS 2.u 2 " SS 1.u 1 où u 1 et u 2 sont des vecteurs unitaires Si l étendue de S reste petite, nous pouvons utiliser le calcul différentiel : Δ( SS 2 - SS 1 ) d( SS 2 - SS 1 ) = d( SS 2.u 2 " SS 1.u 1 ) = d( SS 2 ). u 2 - d( SS 1 ). u 1 + SS 2.d u 2 - SS 1.d u 1 Les deux dernier termes sont nuls car SS 1.d u 1 = SS j Enfin d( SS 1 ) = S'S 1 " SS 1 = S S = "#S. Il reste : u 1.d u 1 = 0 puisque u 1 est unitaire...

18 CH O2 : Interférences lumineuses 33 Δδ = n ( u 1 - u 2 ). "S Nous retrouvons alors un précédent résultat : si "Sest orthogonale à ( u 1 - u 2 ), la variation Δδ est nulle et il n y a aucune perte de cohérence par extension spatiale de la source. Dans le cas des trous d Young, c est ce qui se passe si on étend la source ponctuelle perpendiculairement à l axe S 1 S 2 ( donc au plan ( u 1 - u 2 ). On passe alors à une fente S infiniment mince. En revanche, à un élargissement de la fente S est associé un "S dans le plan ( u 1 - u 2 ). Le Δδ n est plus nul. Il pourra cependant être négligé si Δδ << λ 0. Dans le cas des fentes d Young : ( u 1 - u 2 ) = 2 sin α 2 u α u a d u. La condition s écrit alors : Δδ = n ( u 1 - u 2 ) "S = n a d ΔS = naθ << λ 0 θ étant l angle sous lequel est vue la source étendue du plan des sources corrélées. On définit alors L s la largeur de cohérence spatiale de la source par : L s = λ θ qui dépend de son étendue et de la longueur d onde dans le milieu. D où : si la distance S 1 S 2 << L s = λ θ, on peut négliger le défaut de cohérence spatiale Effet d une translation de la source Comme pour le calcul de la largeur de cohérence spatiale, nous raisonnerons sur le dispositif le plus simple, celui des fentes d'young et cherchons tout d'abord à déterminer la modification du système de franges quand on translate la fente source, toujours supposée infiniment mince, parallèlement à l'axe x, d'une grandeur X. La différence de marche n'est plus alors seulement S 2 M - S 1 M mais est augmentée de la grandeur SS 2 - SS

19 X CH O2 : Interférences lumineuses 34 x S 1 ECRAN M(x) S O S 2 d D Si le déplacement X est petit devant d, le calcul de la différence de marche supplémentaire est identique à celui déjà effectué, et en supposant le système placé dans le vide, on obtient : δ = a ( x D + X d ) En tout point x d'observation, la différence de marche est augmentée d'une valeur identique : on assiste donc à un déplacement d'ensemble du système de franges. En particulier, la frange centrale, d'ordre 0, primitivement en x = 0, se retrouve en : x = - X D d Le système de franges se déplace dans le sens opposé au déplacement de la fente source. Intensité donnée par deux sources ponctuelles indépendantes placées devant un interféromètre Supposons deux fentes sources S et S, placées symétriquement à des abscisses X 0 et X 0 de part et d autre de l axe des fentes d Young. Chaque fente source donnera sa propre figure d interférence, d intensité : et % I S = 2I 0 ' 1+ cos 2"a & # $ ( $ * = 2I 0 1+ cos 2"a $ x ) # D + X '' 0 & & )) % % d (( % I S = 2I 0 ' 1+ cos 2"a & # $' ( % * = 2I 0 1+ cos 2"a % x ) # D $ X (( 0 ' ' ** & & d )) Les deux sources S et S étant indépendantes, l intensité sur l écran sera la somme des intensités dues à chacune d entre elles, soit : I = I S + I S = $ $ 4I 0 & 1+ cos& 2"a % % # X 0 d ' $ ).cos& 2"a ( % # x '' $ $ )) = 4I 0 & 1+ V.cos& 2"a D (( % % # x '' )) D ((

20 CH O2 : Interférences lumineuses 35 On retrouve une formule d interférences mais dont le contraste n est plus égal à 1 : il vaut $ V = cos 2"a X ' & 0 ). Contrairement au cas de la cohérence temporelle, ce contraste est indépendant de % # d ( x. Représentation de I(x). Ce contraste s annule périodiquement. La première annulation est obtenue pour a = "d 4X 0. Remarque : Nous aurions pu obtenir ce résultat sans déterminer entièrement l expression de l intensité. En effet : les deux sources indépendantes donnent une figure d interférences simplement décalées (l interfrange est le même pour les deux). Lorsque ce décalage est égal à la moitié de l interfrange (c est à dire qu une frange brillante donnée par S se superposera à une frange sombre donnée par S ), on aura brouillage. Cela correspond à : D 2.X 0 d = i 2 = "D 2a "d soit encore à : a =. On retrouve la valeur précédente. 4X 0 Intensité donnée par une source de largeur ΔS placées devant un interféromètre Supposons à présent que la fente source S, centrée sur l'axe, ait une largeur ΔS. Nous pouvons la décomposer en fentes élémentaires minces, de largeur dx, situées à des abscisses X comprises entre - ΔS 2 et + ΔS 2. Chaque fente élémentaire contribuera à l'intensité par le terme : di = di 0 (1 + cos 2πδ λ ) = A ( 1 + cos 2πa λ ( x D + X d )) dx " I = # %S - 2 %S $ - 2 2'na x & (1 + cos ( ( D X d ) ) dx

21 Soit : I = A ΔS ( l + λd ΔSπa sin πaδs λd 2πax cos λd ) = 2I 0 ( 1 + sinc πaδs λd CH O2 : Interférences lumineuses 36 cos 2πax λd ) en posant 2I 0 = A ΔS. Ce qui est encore de la forme : I = 2I 0 ( 1 + sinc πaδs λd cos 2πax λd ) = 2I 0 ( 1 + V cos 2πax λd ) Cependant, ici, le facteur de visibilité ne dépend plus de δ, c'est une constante dépendant du paramètre ΔS, c'est à dire de la largeur de la fente source. Le contraste des franges est en tout point égal à V et ce terme s'annule pour la première fois lorsque : ΔS = λd a = i d D où i est l'interfrange c est à dire aussi lorsque a = λd ΔS = L S largeur de cohérence de la source... Quand, partant d'une fente source très fine, on l'élargit progressivement, on voit donc les franges perdre leur contraste, se brouiller totalement, puis réapparaître avec un très mauvais contraste. Pour une valeur de V comprise entre 0 et 1, la courbe de variation de I en fonction de x a l'allure : I(x) I 0 (1 + V) I 0 I 0 (1 - V) 0 D/a 2 0 D/a x Numériquement, prenons a = 1 mm, d = 50 cm, λ 0 = 500 nm. La largeur de la fente source donnant un brouillage des franges est : ΔS = 0,25 mm Le problème de la cohérence spatiale est dans ce cas très critique puisqu il nous impose des largeurs de fente source très faibles, donc des phénomènes peu lumineux

22 CH O2 : Interférences lumineuses PHENOMENES D INTERFERENCES EN LUMIERE BLANCHE 4.1. Phénomène observé Les phénomènes d'interférences en lumière blanche correspondent à la superposition des systèmes d'interférences donnés par toutes les longueurs d'onde du visible, entre 400 et 750 nm. Dans un dispositif tel que celui des fentes d Young, tous ces systèmes ont même centre, donnant ainsi une frange centrale brillante «parfaitement» blanche. Puis ils se décalent progressivement les uns par rapport aux autres, les franges "bleues" ayant l'interfrange le plus faible et les franges "rouges" le plus grand. Nous pouvons considérer le visible comme une raie très large de Δλ 0 = 350 nm autour de λ 0 = 575 nm. L ordre d interférences limite correspondant à la longueur de cohérence est donné par : p = λ 0 Δλ 2 On n observera donc en pratique que très peu de franges, pour lesquelles les systèmes ne sont pas trop décalés : les franges brillantes seront blanches mais irisées sur les bords du fait du décalage des systèmes... Chaque longueur d onde, on l a vu, contribue à l intensité totale par le terme : di = A (1 + cos 2πδ λ ) dλ Pour mieux comprendre le phénomène, on peut, en un point M donné, c est à dire à δ fixée, étudier la fonction di dλ en fonction de λ, dans le domaine des longueurs d onde du visible. Pour δ très faible, cette fonction, appelée densité spectrale d intensité, varie peu : di/d " nm 750 nm bleu jaune rouge Toutes les longueurs d onde sont à peu près également «présentes» Quand δ augmente, on voit par exemple disparaître le jaune : on aura en ce point une couleur

23 violette. di/d CH O2 : Interférences lumineuses 38 " faible 400 nm 750 nm bleu jaune rouge Puis très rapidement la densité spectrale prend la forme : di/d " plus élevée 400 nm 750 nm bleu jaune rouge Les longueurs d ondes donnant une intensité maximale sont suffisamment réparties dans le spectre du visible pour qu on ait l'impression d'une intensité uniforme blanche. Cette zone est appelée blanc d'ordre supérieur car il ne s'agit pas d'une «vraie» lumière blanche contenant toutes les longueurs d'onde du visible Spectres cannelés En effet, en un point de δ donnée, toutes les longueurs d'ondes telles que : δ = (m )λ 0 donnent en ce point une intensité nulle : on dit qu'elles sont éteintes. Si, à l'aide d'un spectromètre, on analyse en ce point le blanc d'ordre supérieur on obtiendra un spectre continu barré de bandes noires équidistantes correspondant aux longueurs d'ondes éteintes : ce spectre est appelé spectre cannelé. Le nombre de cannelures observé est d autant plus grand que δ est élevée. Il tend vers 0 quand δ tend vers 0, ce qui peut constitue rune bonne détermination expérimentale du point de différence de marche nulle. Par exemple, pour x = 1 cm dans le dispositif des fentes d Young, et avec D = 1m et a = 1 mm, δ = ax D = 10-3 cm