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1 Question 1 Les diagrammes de quartiles ci-dessous montrent les distributions des vitesses maximales (en miles par heure) atteintes par des Montagnes russes aux États-Unis, classées selon si la piste est fabriquée en bois ou en acier. (a) Quelle proportion des montagnes russes de chaque type ont atteint une vitesse maximale d'au moins 60 miles par heur (mph). Expliquez comment votre conclusion est indiquée par les diagrammes de quartiles. Le diagramme pour Steel montre que le 2 e quartile pour les montagnes russes en acier est égale à 60 mph, ce qui indique (selon la définition de ce quartile) que 50% de ces types de montagnes russes ont atteint une vitesse maximale d au moins 60 mph. Le diagramme pour Wooden montre que 60 mph correspond au 3 e quartile, ce qui indique (selon la définition de ce quartile) que 25% de ces types de montagnes russes ont atteint une vitesse maximale d au moins 60 mph. (b) Quel type de montagne russe a une proportion plus élevée de vitesses maximales supérieures à 50 mph? Ou est-ce que les deux types sont pareils, ou est-ce impossible de savoir à partir des diagrammes de quartiles? Expliquez comment votre conclusion est indiquée, ou pourquoi vous ne pouvez pas savoir, à partir des diagrammes de quartiles. Les deux sont pareils. Les deux diagrammes ont les mêmes 1 e quartile (50 mph), ce qui indique (par définition du 1 e quartile) que 75% des deux types de montagne russe ont atteint une vitesse maximale d au moins 50 mph. (c) Quel type de montagne russe a une proportion plus élevée de vitesses maximales inférieures à 55 mph? Ou est-ce que les deux types sont pareils, ou est-ce impossible de savoir à partir des diagrammes de quartiles? Expliquez comment votre conclusion est indiquée, ou pourquoi vous ne pouvez pas savoir, à partir des diagrammes de quartiles. 1

2 Le diagramme pour Wooden indique que 50% des montagnes russes en bois ont atteint une vitesse maximale égale ou inférieure à 53 mph (approximativement), car ceci est la valeur de la médiane. Donc on peut déduire qu au moins 50% des ces montagnes russes ont atteint une vitesse maximale inférieure à 55 mph. Par contre, le diagramme pour Steel indique que 25% des montagnes russes en acier ont atteint une vitesse maximale entre 50 mph et 60 mph (le deuxième quart de données), mais on ne peut pas savoir à partir du diagramme de quelle façon ce pourcentage de données est réparti à l intérieure de cet intervalle. Donc on ne peut pas dire lequel des deux types ont une proportion plus élevée de vitesses max inférieures à 55 mph. (d) Est-il possible de dire quel type de montagne russe a plus de variabilité dans des vitesses maximales? Si oui, indique lequel est la plus variable et justifier votre conclusion en termes des diagrammes de quartiles. Autrement, expliquez pourquoi c est impossible de savoir à partir des diagrammes. En comparant l étendue des quarts correspondants pour les deux diagrammes (ce qui est définie comme étant la longueur de ces quarts, et qui fournie une mesure fondamentale de la variabilité de chaque quart), nous voyons que l'étendue pour Steel est supérieure à celle pour Wooden dans chaque cas. Ceci indique sans équivoque que les montagnes russes en acier ont plus de variabilité dans des vitesses maximales. (e) Quel type de montagne russe est plus répandue, ou y a t-il un nombre égal des deux types, ou est-ce impossible de savoir à partir des diagrammes? Expliquez comment votre conclusion est indiquée, ou pourquoi vous ne pouvez pas savoir, à partir des diagrammes de quartiles. C est impossible de savoir à partir des diagrammes de quartiles, car ils montrent seulement des proportions et non pas le nombre total de cas. 2

3 Question 3 Voici un tableau de données que vous avez utilisé dans une activité en cours (le scénario des espérances de vie au Botswana). Ce scénario servira pour une exploration de l effet des valeurs aberrantes sur chacune des trois mesures de dispersion précisées dans le tableau ci-dessous. Vous allez organiser ces effets dans le tableau. Afin de calculer la valeur des deux premières mesures de dispersion, nous devons d abord placer les données en ordre croissant : 46,5; 48,9; 49,0; 50,6; 52,5; 56,6; 62,7; 63,0; 63,5 Étendue : x "# x "# = 63,5 46,5 = 17 années Médiane : égale à la cinquième donnée = 52,5 années 1 e quartile (Q1): moyenne de la deuxième et la troisième donnée = (48,9+49,0)/2 = 48,95 années 3 e quartile (Q3) : moyenne de la septième et la huitième donnée = (62,7+63,0)/2 = 62,85 années Étendue interquartile : Q3 Q1 = 62,85 48,95 = 13,9 années Moyenne : μ = = "#, 54,8 années Écart type : = "#," 40,98 6,40 années 3

4 a) Supposez que l espérance de vie en 1987 a été incorrectement enregistrée comme 83,5 années au lieu de 63,5 années. Quel est l effet de ceci sur l étendue, sur l étendue interquartile, et sur l écart type? En prenant compte de la définition de l étendue et du fait qu on augment la valeur maximale des données par 20 années, l étendue sera augmentée par la même quantité : elle aura une valeur égale à 83,5-46,5 = 37 années. L étendue interquartile est définie uniquement en termes de Q1 et Q3, donc toutes modifications à la valeur maximale n auront aucun effet sur cette mesure. Vu que la définition de l écart-type implique la racine carrée d une proportion de la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne, on prévoit que cette modification aura l effet d augmenter la valeur de cette mesure. En fait, sa nouvelle valeur sera : = ","," ",","... ","," ","," = 1071, ,91 années. b) Supposez que l espérance de vie en 1987 a été incorrectement enregistrée comme 635 années au lieu de 63,5 années. Quel est l effet de cela sur chacune des trois mesures de dispersion. En utilisant des arguments analogues et des calculs identiques impliquant la nouvelle valeur maximale égale à 835 années, on obtient la nouvelle valeur de chaque mesure spécifiée dans la troisième colonne du tableau ci-dessous. Données originales Avec une grande valeur aberrante (83,5) Avec une valeur aberrante énorme (635) 1. L étendue ,5 2. L étendue 13,9 13,9 13,9 interquartile 3. L écart-type 6,40 10,91 193,85 c) Résumez les résultats de votre exploration. Classer ces trois mesures de dispersion en fonction de leur sensibilité/résistance aux valeurs aberrantes. Lesquelles de ces mesures de dispersion sont résistantes aux valeurs aberrantes et lesquelles ne sont pas? Expliquez comment vous décidez. Les raisonnements impliqués dans les arguments et les calcules précisés dans les réponses à la partie a) et la partie b) indiquent que la mesure la plus résistante aux valeurs aberrantes est l étendue interquartile (ce qui est entièrement résistante), suivi par l écart-type, et ensuite par l étendue. On peut argumenter que l étendue est plus sensible que l écart-type (aux valeurs 4

5 aberrantes) en raison du fait qu elle dépende uniquement sur les valeurs extrêmes, tandis que cela n est pas le cas pour l écart-type. De plus, même si la nouvelle composante dans la somme impliquée dans l écart-type est au carré [(μ x "# ) 2 ], l augmentation qui résulte est diluée par les opérations combinées de la division par n et la prise de la racine carrée. Question 4 Voici le diagramme à points pour les espérances de vie (moyennes) au Botswana. La ligne verticale représente la moyenne de ces données, µ = 54,8. a) Sur ce graphique, dessinez la représentation géométrique du carré de l'écart par rapport à la moyenne pour chacune des valeurs de données. b) Expliquez ce qui signifie un de ces éléments arbitraire en termes de ce qu il mesure à propos de cette ensemble de données (c.-à-d. donnez une interprétation de ce que cela mesure dans le contexte des données). Écrivez l'expression algébrique générale qui correspond à l'une de ces éléments (arbitraire). Un de ces éléments correspond au carré de la différence entre l espérance de vie moyenne d une certaine année au Botswana (exprimée en années) et l espérance de vie moyenne globale au Botswana (exprimée en années). Cet élément est donc exprimé en années 2, ce qui correspond à l aire (la surface) du carré représenté géométriquement. Par exemple, prenons le point dans le graphique qui correspond à l année Le carré correspondant nous informe que le carré de la différence entre l espérance de vie moyenne en 2002 au Botswana (46,5 années) et l espérance de vie moyenne globale au Botswana (54,8 années) est de 68,89 années 2 ((46,8-54,8) 2 années 2 ). 5

6 Pour calculer la valeur d un de ces éléments on utilise l expression algébrique générale x μ, ou x i représente une des données (c est l espérance de vie moyenne d une année particulière au Botswana) et où μ représente la moyenne de ces données, c est-à-dire l espérance de vie moyenne globale au Botswana. c) Expliquez ce qui signifie la somme des ces éléments (en partie b) en fonction de ce qu elle mesure à propos de cette ensemble de données. Écrivez l'expression algébrique générale qui correspond à cette somme. La somme de ces éléments correspond à la somme des carrés de la différence entre l espérance de vie moyenne de chaque année au Botswana (exprimée en années) et l espérance de vie moyenne globale au Botswana (exprimée en années). Géométriquement, c est la somme des surfaces de ces carrés. Cette somme est donc exprimée en années 2. Cela représente, en quelque sorte, la différence au carré totale d espérance de vie de toutes les années étudiées avec l espérance de vie moyenne globale au Botswana. L expression algébrique générale qui correspond à cette somme est x μ, où x i représente chacune des données (des espérances de vie moyenne associée à chacune des années au Botswana), où μ correspond à la moyenne de ces données (l espérance de vie moyenne globale au Botswana) et où n correspond aux nombres total de données, ce qui est égale à 9. d) Expliquez ce qui signifie la moyenne de ces éléments en fonction de ce que cela mesure à propos de cet ensemble de données. Quelle est l unité de mesure de cette quantité? Écrivez l'expression algébrique générale qui correspond à cette moyenne. La moyenne de ces éléments correspond au carré de la différence entre l espérance de vie moyenne d une année au Botswana (exprimée en années) et l espérance de vie moyenne globale au Botswana (exprimée en années) si chacune des espérances de vie moyenne d une année au Botswana avait la même différence (au carré) avec l espérance de vie moyenne globale au Botswana et si la somme obtenue en c) demeurait la même. Autrement dit, cela correspond au carré de la différence entre l espérance de vie moyenne d une année au Botswana (exprimée en années) et l espérance de vie moyenne globale au Botswana (exprimée en années) si toutes ces différences au carré étaient égales et si leur somme (en c) resterait inchangée. Puisqu on effectue la moyenne d éléments exprimés en années 2, l unité de mesure de cette quantité est également l année 2. L expression algébrique générale qui correspond à cette moyenne est représente chacune des espérances de vie moyenne associée à chacune des années au, où x i 6

7 Botswana, où μ correspond à la moyenne de ces années, c est-à-dire à l espérance de vie moyenne globale au Botswana, et où n correspond au nombre d années étudiées qui est ici égal à 9. e) Supposons que l'écart-type de cet ensemble de données (considéré comme une population de valeurs) est égal à 6,40 : quelle est l'unité de mesure qui corresponde à cette valeur? L unité de mesure de cette valeur est des années, puisqu on l obtient en effectuant la racine carrée de la moyenne abordée en d), qui était exprimée en années 2. 7