Equilibre des solides thermoélastiques dans l hypothèse des petites perturbations

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1 Equilibre des solides thermoélastiques dans l hypothèse des petites perturbations

2 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

3 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

4 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

5 Thermoélasticité linéarisée en petites déformations contexte des déformations thermoélastiques infinitésimales T T 0 E 1, 1 T 0 les grandes rotations sont autorisées! potentiel thermoélastique quadratique ρ 0 ψ 0 (E, T ) = ρ 0 (T T 0 )ŝ 0 + Π 0 : E 1 ρ 0 C ε (T T 0 ) 2 2 T 0 lois d état linéaires (affines) (T T 0 )P : E E : Λ : E Π = ρ 0 ψ 0 E = Π 0 + Λ : E P (T T 0 ) ψ 0 ρ 0 s 0 = ρ 0 T = ρ 0ŝ 0 + ρ 0C ε (T T 0 ) + P : E T 0 Loi de comportement thermoélastique linéarisée 5/64

6 Thermoélasticité linéarisée en petites déformations contexte des déformations thermoélastiques infinitésimales E 1, lois d état linéaires (affines) T T 0 T 0 1 Π = ρ 0 ψ 0 E = Π 0 + Λ : E P (T T 0 ) ψ 0 ρ 0 s 0 = ρ 0 T = ρ 0ŝ 0 + ρ 0C ε (T T 0 ) + P T : E 0 Λ tenseur des modules d élasticité C ε chaleur massique à déformation constante α = Λ 1 : P tenseur des dilatations thermiques Π 0 état de contrainte initial au point X déformations d origine thermique E th = (T T 0 )α Π = Π 0 + Λ : (E E th ) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 6/64

7 Tenseur des modules d élasticité rigidités élastiques d un corps matériel Λ ijkl := Π ij E kl Λ (E, T ) := Π E (E, T ) = Λ ijkl (E, T ) e i e j e k e l tenseur euclidien d ordre 4 symétries mineures du tenseur des modules résultant de la symétrie des tenseurs Π et E Λ ijkl = Λ ijlk = Λ jikl symétries majeures du tenseur des modules résultant de l existence du potentiel d élasticité 2 ( ) ψ 0 ψ0 Λ ijkl = ρ 0 = ρ 0 = Π kl = Λ klij E kl E ij E ij E ij tenseur des souplesses E kl E = E th + S : (Π Π 0 ), S = Λ 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée 7/64

8 Thermoélasticité linéarisée en petites déformations cas des matériaux isotropes Π = α 0 (I E, T )1 + α 1 (I E, T )E + α 2 (I E, T )E 2 I E symbolise les invariants principaux de E Loi de comportement thermoélastique linéarisée 8/64

9 Thermoélasticité linéarisée en petites déformations cas des matériaux isotropes Π = α 0 (I E, T )1 + α 1 (I E, T )E + α 2 (I E, T )E 2 I E symbolise les invariants principaux de E Π = Π λ(trace E )1 + 2µE P(T T 0 )1 λ, µ coefficients de Lamé (MPa) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 9/64

10 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

11 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations le contexte des transformations infinitésimales H = Grad u = F 1 = ε + ω H 1, T T 0 1 T 0 ε 1, ω 1 les grandes rotations ne sont pas autorisées! E ij = 1 2 ( u i X j + u j X i + u k X i u k X j ) E ε Loi de comportement thermoélastique linéarisée 11/64

12 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations le contexte des transformations infinitésimales H = Grad u = F 1 = ε + ω H 1, T T 0 1 T 0 ε 1, ω 1 les grandes rotations ne sont pas autorisées! E ij = 1 2 ( u i X j + u j X i + u k X i u k X j ) E ε solides thermoélastiques linéaires Π = Π 0 + Λ : ε (T T 0 )P Π = Π 0 + Λ : (ε ε th ), ε th = (T T 0 )α Loi de comportement thermoélastique linéarisée 12/64

13 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations retour sur le tenseur des contraintes de Cauchy σ = ρ ρ 0 F.Π.F T = ρ ρ 0 (1 + H ).(Π 0 + Λ : (ε ε th )).(1 + H T ) linéarisation en ne gardant que les termes d ordre 1 en H Loi de comportement thermoélastique linéarisée 13/64

14 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des déformations infinitésimales σ = ρ ρ 0 F.Π.F T = ρ ρ 0 (1 + H ).(Π 0 + Λ : (ε ε th )).(1 + H T ) linéarisation en ne gardant que les termes d ordre 1 en H σ = Λ : (ε ε th ) + Π 0 (trace ε )Π 0 + H.Π 0 + Π 0.H T Loi de comportement thermoélastique linéarisée 14/64

15 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des déformations infinitésimales σ = ρ ρ 0 F.Π.F T = ρ ρ 0 (1 + H ).(Π 0 + Λ : (ε ε th )).(1 + H T ) linéarisation en ne gardant que les termes d ordre 1 en H σ = Λ : (ε ε th ) + Π 0 (trace ε )Π 0 + H.Π 0 + Π 0.H T en pratique, on a Π 0 Λ, σ 0 µ 10 3 σ = Λ : (ε ε th ) + Π 0 + ω.π 0 Π 0.ω Loi de comportement thermoélastique linéarisée 15/64

16 Thermoélasticité linéarisée en petites transformations relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des déformations infinitésimales σ = ρ ρ 0 F.Π.F T = ρ ρ 0 (1 + H ).(Π 0 + Λ : (ε ε th )).(1 + H T ) linéarisation en ne gardant que les termes d ordre 1 en H σ = Λ : (ε ε th ) + Π 0 (trace ε )Π 0 + H.Π 0 + Π 0.H T en pratique, on a Π 0 Λ, σ 0 µ 10 3 σ = Λ : (ε ε th ) + Π 0 + ω.π 0 Π 0.ω linéarisation autour d un état naturel Π 0 = 0 σ = Λ : (ε ε th ) linéarisation autour d un état quasi naturel ω.π 0 Λ : ε σ = Π 0 + Λ : (ε ε th ) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 16/64

17 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

18 Solide thermoélastique isotrope linéaire dans l état quasi naturel décomposition de la déformation totale ε = ε e + ε th avec ε th = α(t T 0 ) 1 loi de comportement thermoélastique linéaire isotrope (état quasi naturel) σ = σ λ(trace ε e ) 1 + 2µ ε e σ = σ λ(trace ε ) 1 + 2µ ε 3κα(T T 0 )1 avec module de compressibilité κ = 3λ + 2µ 3 Loi de comportement thermoélastique linéarisée 18/64

19 2 Module de cisaillement µ 2 cisaillement simple u 1 = γ 2 X 2 u 2 = γ 2 X [H 1 ] = u 3 = 0 acier : µ = MPa, PU : µ = 400 MPa 1 z 0 γ/2 0 γ/ σ 12 = 2µ ε 12 = µ γ 1 = [ε ], [σ ] = aluminium : µ = MPa 0 σ 12 0 σ Loi de comportement thermoélastique linéarisée 19/64

20 Module de compressibilité κ 2 2 dilatation pure 1 1 u = A X, H = ε = A1, σ = 3κε trace σ = 3κ trace ε acier : κ = MPa, aluminium : κ = MPa PU : κ = 1700 MPa, eau : κ = 2000 MPa Loi de comportement thermoélastique linéarisée 20/64

21 Les valeurs propres du tenseur des modules d élasticité Λ est un endomorphisme sur les tenseurs d ordre 2 symétriques. Il est symétrique (auto adjoint). On peut le voir aussi comme une forme bilinéaire symétrique : σ : ε = ε : Λ : ε = ε : Λ : ε les valeurs propres du tenseur des modules d élasticité isotrope linéarisée Λ iso sont 3κ d ordre 1 2µ d ordre 5 Λ iso : ε sph = 3κε sph Λ iso : ε dev = 2µε dev stabilité locale du milieu élastique autour de l état naturel : le tenseur des modules est défini positif κ > 0, µ > 0 (i.e. l état naturel est observable) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 21/64

22 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

23 Inversion de la loi de thermoélasticité linéaire isotrope trace et déviateur = trace ε e = 1 3κ trace σ, ε e = trace ε e 3 σ = λ(trace ε e )1 + 2µεe (ε e ) dev = 1 dev 2µ σ 1 + (ε e ) dev = trace σ 9κ 1 + σ dev 2µ relations d élasticité linéaire isotrope (état naturel) ε e = 1 + ν E σ ν E (trace σ) 1 E module de Young (MPa), ν coefficient de Poisson Loi de comportement thermoélastique linéarisée 23/64

24 Inversion de la loi de thermoélasticité linéaire isotrope trace et déviateur = trace ε e = 1 3κ trace σ, ε e = trace ε e 3 σ = λ(trace ε e )1 + 2µεe (ε e ) dev = 1 dev 2µ σ 1 + (ε e ) dev = trace σ 9κ 1 + σ dev 2µ relations d élasticité linéaire isotrope (état naturel) ε e = 1 + ν E σ ν E (trace σ) 1 E module de Young (MPa), ν coefficient de Poisson µ = E 2(1 + ν), ν E = λ 2µ(3λ + 2µ) λ + 2µ 3λ + 2µ E ν =, E = µ3λ, κ = = 2(λ + µ) λ + µ 3 3(1 2ν) stabilité élastique E > 0, 1 < ν < 0.5 Loi de comportement thermoélastique linéarisée 24/64

25 Traction simple en élasticité linéaire isotrope 1 y 1 y x 2 [σ ] = σ ν σ 0 0 E [ε ] = 0 ν σ 0 E σ 0 0 E Loi de comportement thermoélastique linéarisée 25/64

26 acier : E = MPa, ν = 0.3 aluminium : E = MPa, ν = 0.33, PU E = 2000 MPa, ν = 0.4 en général 0 < ν < 0.5 matériaux cellulaires ν 0 Loi de comportement thermoélastique linéarisée 26/64

27 Mate riaux auxe tiques coefficient de Poisson ne gatif (1987)! Loi de comportement thermoe lastique line arise e 27/64

28 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

29 Notation de Voigt représentation matricielle de l algèbre des tenseurs d ordre 2 symétriques matrice des rigidités σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 = C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 = 2ε 23 γ 31 = 2ε 31 γ 12 = 2ε 12 le nombre de composantes indépendantes dépend du groupe des symétries matérielles du milieu considéré cas triclinique : 21 coefficients indépendants Loi de comportement thermoélastique linéarisée 29/64

30 Notation de Voigt représentation matricielle de l algèbre des tenseurs d ordre 2 symétriques matrice des rigidités σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 = C 11 C 12 C C 16 C 12 C 22 C C 26 C 13 C 23 C C C 44 C C 45 C 55 0 C 16 C 26 C C 66 ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 = 2ε 23 γ 31 = 2ε 31 γ 12 = 2ε 12 le nombre de composantes indépendantes dépend du groupe des symétries matérielles du milieu considéré cas monoclinique : 13 coefficients indépendants Loi de comportement thermoélastique linéarisée 30/64

31 Notation de Voigt représentation matricielle de l algèbre des tenseurs d ordre 2 symétriques matrice des rigidités σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 = C 11 C 12 C C 12 C 22 C C 13 C 23 C C C C 66 ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 = 2ε 23 γ 31 = 2ε 31 γ 12 = 2ε 12 le nombre de composantes indépendantes dépend du groupe des symétries matérielles du milieu considéré cas orthotrope : 9 coefficients indépendants Loi de comportement thermoélastique linéarisée 31/64

32 Notation de Voigt représentation matricielle de l algèbre des tenseurs d ordre 2 symétriques matrice des rigidités σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 = C 11 C 12 C C 12 C 11 C C 12 C 12 C C C C 44 ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 = 2ε 23 γ 31 = 2ε 31 γ 12 = 2ε 12 le nombre de composantes indépendantes dépend du groupe des symétries matérielles du milieu considéré cas isotrope : 2 coefficients C 11 = λ + 2µ, C 12 = λ, C 44 = µ Loi de comportement thermoélastique linéarisée 32/64

33 Isotropie transverse matériaux composites nids d abeille (fibre 100 µm) (taille de cellule 1 cm) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 33/64

34 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

35 Equation de la chaleur équation de la chaleur en thermoélasticité linéaire ρ 0 T 0 ṡ + div q = 0 ρ 0 s = ρ 0 s 0 + ρ 0C ε (T T 0 ) + 3ακ(trace ε T ) 0 conduction thermique linéarisée q = k T ρ 0 C ε Ṫ + 3καT 0 (trace ε ) } {{ } k T = ρr couplage thermomécanique régime permanent T = 0 régime homogène (adiabatique) ρ 0 C ε Ṫ + 3καT 0 (trace ε ) = 0 traction simple : quand on tire, le matériau se refroidit! T T 0 = EαT 0 ρ 0 C ε ε 33 échauffements importants dans le cas de comportements non linéaires (viscoplasticité) Loi de comportement thermoélastique linéarisée 35/64

36 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

37 Problème d équilibre d un solide thermoélastique sollicitations (champ T (x ) donné) efforts volumiques ρf (x ), x t u efforts surfaciques t = σ.n = t d (x ), x td u d déplacements imposés t td u = u d, x u t d équation de champ div σ + ρf = 0, x t loi de comportement élastique σ (x ) = F 0 (F (X ), T (X )) Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 37/64

38 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

39 L hypothèse des petites perturbations (HPP) les hypothèses présidant à la linéarisation du problème d équilibre sont : contexte infinitésimal : petite déformation+petite rotation Grad u h 1 variations limitées de température état initial naturel Π 0 = 0 dans le cas d un état initial quasi naturel, les résultats sont valides en remplaçant σ par σ σ 0 solide thermoélastique homogène (et isotrope dans la suite, par commodité). Si le milieu est homogène par morceaux, il faudra écrire des conditions d interface Elles constituent le cadre HPP. Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 39/64

40 Problème d équilibre thermoélastique linéarisé sollicitations (champ T (X ) donné) efforts surfaciques t = σ.n = t d (X ), X td u déplacements imposés u d u = u d, X u 0 td équation de champ t d Div σ (X )+ρ 0 f (X ) = 0, X 0 loi de comportement élastique (état naturel) σ (X ) = Λ : (ε (T T 0 )α ) in fine, tout se passe dans les équations comme si X et x coïncidaient. Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 40/64

41 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

42 Problème d équilibre thermoélastique linéarisé le problème aux limites posé consiste à chercher les champs (u, σ ) sur 0 tels que ε = 1 2 (grad u + (grad u )T ), X 0 compatibilité (P) Div σ + ρ 0 f = 0, X 0 σ = Λ : (ε (T T 0 )α ), X 0 u i = ui d, X i u t i = σ ij N j = ti d, X i td équilibre loi de comportement conditions aux limites conditions aux limites : en chaque point du bord, il faut donner 3 informations (déplacement ou effort) selon trois directions orthogonales Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 42/64

43 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

44 Schéma de résolution par la méthode des déplacements déplacement 2 T u u ε u déformations ε Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 44/64

45 Schéma de résolution par la méthode des déplacements déplacement 2 T u u ε u déformations ε σ λ traceε 1 2µε loi de comportement contraintes σ Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 45/64

46 Schéma de résolution par la méthode des déplacements déplacement 2 T u u ε u déformations ε σ λ traceε 1 2µε loi de comportement équilibre divσ ρ f 0 σ n t Navier contraintes σ Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 46/64

47 Schéma de résolution par la méthode des contraintes équilibre divσ ρ f 0 σ n t contraintes σ Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 47/64

48 Schéma de résolution par la méthode des contraintes équilibre divσ ρ f 0 σ n t déformations ε ε 1 σ ν ν trace E E σ 1 loi de comportement contraintes σ Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 48/64

49 Schéma de résolution par la méthode des contraintes déplacement u équilibre divσ ρ f 0 σ n t compatibilité déformations ε ε 1 σ ν ν trace E E σ 1 loi de comportement contraintes σ Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 49/64

50 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

51 la question de l unicité Théorème des travaux virtuels dans le cas statique (en l absence de discontinuité) Le champ de contraintes σ sur un corps matériel soumis aux conditions f, t d et u d vérifie les équations d équilibre div σ + ρf = 0 en tout point si et seulement si, on a σ : ε dv = ρf.u dv + t d.u ds+ (σ.n ).u d ds td u pour tout champ u tel que u = u d sur u. Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 51/64

52 la question de l unicité Théorème des travaux virtuels dans le cas statique (en l absence de discontinuité) Le champ de contraintes σ sur un corps matériel soumis aux conditions f, t d et u d vérifie les équations d équilibre div σ + ρf = 0 en tout point si et seulement si, on a σ : ε dv = ρf.u dv + t d.u ds+ (σ.n ).u d ds td u pour tout champ u tel que u = u d sur u. Soient maintenant (σ A, ε A ) et (σ B, ε B ) deux solutions sur du problème aux limites σ A : ε A dv = ρf.u A dv + t d.u A ds+ (σ A.n ).u d ds td u Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 52/64

53 la question de l unicité Théorème des travaux virtuels dans le cas statique (en l absence de discontinuité) Le champ de contraintes σ sur un corps matériel soumis aux conditions f, t d et u d vérifie les équations d équilibre div σ + ρf = 0 en tout point si et seulement si, on a σ : ε dv = ρf.u dv + t d.u ds+ (σ.n ).u d ds td u pour tout champ u tel que u = u d sur u. Soient maintenant (σ A, ε A ) et (σ B, ε B ) deux solutions sur du problème aux limites σ A : ε A dv = ρf.u A dv + t d.u A ds+ (σ A.n ).u d ds td u σ A : ε B dv = ρf.u B dv + t d.u B ds+ (σ A.n ).u d ds td u Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 53/64

54 la question de l unicité σ A : ε A dv = σ A : ε B dv = ρf.u A dv + t d.u A ds+ (σ A.n ).u d ds td u ρf.u B dv + t d.u B ds+ (σ A.n ).u d ds td u Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 54/64

55 la question de l unicité σ A : ε A dv = σ A : ε B dv = σ A : ε dv = ρf.u A dv + t d.u A ds+ (σ A.n ).u d ds td u ρf.u B dv + t d.u B ds+ td (σ A.n ).u d ds u ρf. u dv + t d. u ds td u = u A u B, ε = ε A ε B Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 55/64

56 la question de l unicité σ A : ε dv = σ B : ε dv = ρf. u dv + t d. u ds td ρf. u dv + t d. u ds td Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 56/64

57 la question de l unicité σ A : ε dv = σ B : ε dv = ρf. u dv + t d. u ds td ρf. u dv + t d. u ds td σ : ε dv = 0 σ = σ A σ B Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 57/64

58 la question de l unicité loi de comportement σ : ε dv = 0 σ A = Λ : ε A, σ B = Λ : ε B d où ε : Λ : ε dv = 0 une condition suffisante d unicité : Λ défini positif Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 58/64

59 Existence et unicité Problème aux limites de Dirichlet u (X ) = u d (X ), X 0 l existence et l unicité sont assurées le problème est bien posé Problème aux limites de Neumann t = σ.n = t d, X 0 l existence est assurée ainsi que l unicité à un mouvement de corps rigide près (mais rotation infinitésimale) Conditions aux limites mixtes i u, i td Conditions aux limites non linéaires (contact) Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 59/64

60 Théorème de superposition Le problème (P) ainsi posé est linéaire. On entend par là que si (u A, σ A ) est une solution du problème (P) pour les données (f A, ui da, ti da ); et si (u B, σ B ) est une solution du problème (P) pour les données (f B, ui db, ti db ); alors, pour tous les réels λ A et λ B, (λ A u A + λ B u B, λ A σ A + λ B σ B ) est une solution du problème (P) pour les données (λ A f A + λ B f B, λ A ui da + λ B ui db, λ A ti da + λ B ti db ). Cette propriété est parfois appelée principe de superposition. Elle permet de calculer l état de contrainte et de déformation d un solide pour plusieurs chargement successifs. C est tout à fait licite à condition toutefois de veiller à chaque étape à la validité du cadre HPP (transformation infinitésimale et états successifs quasi naturels). Pour l appliquer, il faut que les domaines i u et i d soient identiques pour les deux chargements A et B. Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 60/64

61 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

62 la question de la stabilité flambage localisation Warning! Le cadre HPP a un domaine de validité limité. Pour déterminer ce domaine, il faut en sortir! Lorsque l unicité de la solution est perdue, certaines solutions peuvent être instables. Exemple : état de compression homogène dans une barre élancée (flambage d Euler) Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé 62/64

63 Plan 1 Loi de comportement thermoélastique linéarisée Cas des déformations infinitésimales Cas des transformations infinitésimales Solides thermoélastiques linéaires isotropes Module de Young et coefficient de Poisson Anisotropie Couplage thermoélastique 2 Le problème aux limites d équilibre thermoélastique linéarisé Linéarisation des équations d équilibre Formulation du problème aux limites Schémas de résolution Existence et unicité Stabilité 3 Bilan

64 Bilan déplacement 2 T u u ε u compatibilité déformations ε ε 1 σ ν ν E E traceσ 1 σ λ traceε 1 2µε loi de comportement équilibre divσ ρ f 0 σ n t Navier contraintes σ Bilan 64/64