TD Thermodynamique n o 6 Les machines thermiques

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1 Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I TD Thermodynamique n o 6 Les machines thermiques Exercice 1 - Diagramme de Raveau. On considère une machine ditherme fonctionnant entre une source chaude de température T c avec laquelle elle échange au cours d un cycle le transfert thermique Q c et une source froide de température T f avec laquelle elle échange au cours d un cycle le transfert thermique Q f. On cherche à représenter les différents cycles possibles dans un diagramme plan portant Q f en abscisse et Q c en ordonnée. 1. Montrer que le plan (Q f, Q c ) est séparé par une droite dont on établira l équation en deux demi-plans dont l un correspond à des cycles impossibles. 2. Montrer que le demi-plan des cycles possibles peut être partagé en deux régions, l une correspondant aux cycles moteurs, l autre aux cycles récepteurs. 3. Montrer que dans la région des cycles récepteurs, seule une partie présente un intérêt. Préciser le type de machine thermique correspondant. Exercice 2 - Le cœur : une pompe. La circulation du sang dans l organisme est assurée par le cœur, qui joue le rôle de pompe. Le cycle cardiaque, représenté par un diagramme de Watt (P, V ) concerne le ventricule gauche du cœur, principale partie active du cœur du point de vue mécanique ; ce cycle est représenté sur la figure ci-contre, qui décrit l évolution de la pression et du volume du sang circulant dans ce ventricule : V A = V B = 150 cm 3 V C = V D = 90 cm 3 P A P 0 = P D P 0 = 10 mmhg P C P 0 = 120 mmhg P B P 0 = 80 mmhg P C B D B A V où P 0 = 760 mmhg = 1, Pa. On admettra que l on peut considérer le cycle comme étant décrit de manière réversible. 1. Préciser, en justifiant rapidement la réponse dans quel sens le cycle est décrit. Interpréter chaque étape. La pression P 0 joue-t-elle un rôle dans le raisonnement. 2. Déterminer littéralement, en fonction de V A, V D, P A, P B, P C le travail reçu par le cœur au cours de chaque cycle. 3. Déterminer numériquement le travail reçu par le cœur au cours de chaque cycle. 4. Pour un cœur décrivant 70 cycles par minute, quelle est la puissance reçue par le cœur? ( ) PB + P C 3. Réponse : W 1 cycle = (V A V D ) P A 2 S. Bénet 1

2 Exercice 3 - Le moteur à explosion interne : cycle Diesel (1896). Le moteur de Rudolf Diesel est un moteur à combustion interne. Il fonctionne par auto-allumage du gazole que l on injecte dans l air préalablement comprimé sous pression élevée, cette forte compression porte le combustible à une température supérieure à son point d inflammabilité. La différence fondamentale avec le moteur à essence est qu il ne possède pas de bougie, aucun dispositif d allumage n est nécessaire car l inflammation est spontanée. Il est ainsi possible d atteindre des taux de compression très importants, ce qui permet d améliorer considérablement les rendements moteurs. Les données numériques sont toutes regroupées à la fin du problème. Le fonctionnement du moteur est schématisé sur un diagramme de Watt (P, V ) où P est la pression du gaz contenu dans le volume V de la chambre du cylindre. P injection du combustible B inflammation du mélange C détente adiabatique réserversible compression de l air seul I admission de l air D A V Les étapes successives du cycle sont les suivantes : I A : admission de l air seul ; V A V I permet d avoir un fort taux de compression ; A B : compression adiabatique réversible de l air seul, sa température augmente ; B C : en B se produit l injection du gazole pulvérisé en fines gouttelettes. La température est élevée, le mélange s enflamme spontanément et se détend à pression constante ; C D : le mélange continue à se détendre, cette fois-ci de façon adiabatique réversible ; D E : refroidissement isochore du mélange ; D E : évacuation du mélange brûlé vers l extérieur. Tout se passe comme si le système fermé, constitué de n moles de gaz se comportant comme un gaz parfait diatomique de rapport γ = 7/5, décrivait indéfiniment le cycle ABCDA appelé cycle Diesel. On donne le tableau suivant : P en Pa 1, T en K A B C D V en m 3 2, , , , Calculer le nombre n de moles de gaz constituant le système. 2. Établir la relation liant la température T et le volume V du système subissant une transformation adiabatique réversible. Quel est le nom de cette loi? Rappeler les deux autres relations portant le même nom. 3. Pour chaque état d équilibre thermodynamique, exprimer puis calculer numériquement la pression, le volume et la température du système. Résumer les résultats obtenus en complétant le tableau précédent. 4. Établir la relation de Mayer. En déduire les expressions des capacités thermiques à volume constant C V et à pression constante C P en fonction de n, R et γ. S. Bénet 2/5

3 5. Rappeler l énoncé usuel du premier principe de la thermodynamique pour une transformation finie entre deux états d équilibres thermodynamiques subie par un système fermé. 6. Le système ne recevant pas de travail autre que celui des forces de pression, démontrer la relation entre la variation d enthalpie du système et le transfert thermique dans le cas particulier de transformations isobares. 7. Pour chaque transformation, exprimer puis calculer numériquement les travaux des forces de pression et les transferts thermiques algébriquement reçus par le système. Résumer les résultats obtenus en complétant le tableau qui suit : A B B C C D D A Q en kj Q A B = Q B C = Q C D = Q D A = W en kj W A B = W B C = W C D = W D A = 8. En déduire le travail W cycle algébriquement reçu par le gaz au cours d un cycle complet. 9. Sur quelle branche du cycle le fluide reçoit-il un transfert thermique? 10. Définir l efficacité e du moteur à explosion interne et calculer sa valeur. 11. On cherche à déterminer sur quels paramètres il est possible de jouer pour améliorer l efficacité du moteur. Montrer que l efficacité à explosion interne s écrit : e = γ a γ b γ a 1 b 1 en introduisant les rapports volumétriques a = V A V B et b = V A V C 12. Établir l efficacité e C d un moteur de Carnot fonctionnant entre deux sources de températures égales à T A et T C. 13. Comparer l efficacité e du moteur à explosion interne à l efficacité e C d un moteur de Carnot. Commenter. Données numériques : constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J K 1 mol 1 Exercice 4 - Étude d un réfrigérateur à gaz. Pour une utilisation en l absence de circuit de fourniture d électricité (camping, caravane,... ), on peut utiliser un réfrigérateur à gaz (butane). Celui-ci ne contient aucune pièce mécanique mobile. Le butane brûle et chauffe un évaporateur à la température de 127 C. Celui-ci contient une solution d ammoniac dans l eau. A chaud l ammoniac est peu soluble dans l eau et les vapeurs d ammoniac montent, suivent une canalisation et subissent plus loin une condensation au contact avec l intérieur (froid) du réfrigérateur. En régime permanent, on atteint ainsi une température à l intérieur du réfrigérateur égale à 8 C. Pour compléter le cycle de fonctionnement, il faut redissoudre l ammoniac dans l eau. Condenseur Source froide T f Evaporateur Absorbeur Source chaude T c Atmosphère T atm A froid, l ammoniac est assez soluble dans l eau ; la redissolution se fera donc à basse température, dans l absorbeur, situé derrière le réfrigérateur, en contact thermique avec l atmosphère, à la température ambiante (27 C). On suppose le fonctionnement idéal (réversible). 1. Calculer l efficacité de Carnot du réfrigérateur. 2. Comparer à un réfrigérateur à compresseur (ditherme) classique. Commenter le résultat obtenu. S. Bénet 3/5

4 1. Réponse : e C = T f T c T c T atm T atm T f pour le réfrigérateur à gaz Exercice 5 - Centrale nucléaire. Une centrale nucléaire fournit une puissance P = MW. Elle fonctionne entre une source chaude de température T c = 700 K et une source froide constituée de l eau d un fleuve dont la température est T f = 300 K. On recheche l élévation de température de l eau qui sert au refroidissement avant d être rejetée dans le fleuve. Cette eau a un débit massique D m = kg s 1. Le rendement de la centrale est égale à 60 % du rendement théorique maximal prévu par le théorème de Carnot. Le transfert thermique reçu par la seconde de la source chaude est noté Q c et Q f est le transfert thermique reçu par seconde de la source froide. 1. Préciser les signes de Q c et Q f. 2. Définir le rendement η de la centrale en fonction de P et Q c, puis en fonction de P et Q f. 3. Énoncer le théorème de Carnot. Donner l expression de Q f, le transfert thermique reçu par seconde de la source froide en fonction de P, T f et T c. 4. En déduire l élévation de température du fleuve. Donnée numérique : capacité thermique massique de l eau : c = 4, 18 J g 1 K 1 Exercice 6 - Source à température variable. Cycle pompe à chaleur. Une pompe à chaleur dont le fonctionnement est supposé réversible reçoit un transfert thermique de deux sources : l une est l eau d un lac dont la température est T 0 = 280 K, l autre est une masse d eau M = 10 3 kg thermiquement isolée dont la température initiale est T i = 293 K. Donnée numérique : capacité thermique massique de l eau : c = 4, 19 J g 1 K 1 Calculer lorsque la masse M d eau a atteint la température finale T f = 333 K : 1. le transfert thermique entre la pompe à chaleur et l eau de la réserve puis le transfert thermique entre la pompe à chaleur et l eau du lac ; 2. le travail à fournir à la pompe ; 3. la variation d entropie de la source froide ; 4. l efficacité de la pompe à chaleur. 1. Réponse : Q froid = McT 0 ln ( Tf T i ) et Q chaud = Mc(T f T i ) Exercice 7 - Turbine à gaz. Un autre type de machine thermique est la turbine à gaz. Son principe est l utilisation de la détente de gaz chaud très rapide. Ici le fluide thermique n occupe pas une chambre unique mais traverse divers organes au cours de son évolution. Les turbines à gaz équipent les avions, les turbitrains... L air est assimilé à un gaz parfait de rpport des capacités thermiques γ constant. Le schéma simplifié du moteur à turbine est présenté ci dessous : S. Bénet 4/5

5 Les étapes successives du cycle décrit par l air sont les suivantes : Dans l état A, l air est pris dans les conditions atmosphériques : P A, T A. Il entre dans le compresseur. A B : compression isentropique de l air seul pour ressortir dans l état B (P B = ap A, T B ) ; B C : l air frais est admis dans la chambre de combustion où le carburant est injecté et s enflamme, le fluide est porté à des températures très élevées de façon isobare sans apport de travail. Nous supposerons que sa composition n est pas modifiée. Il ressort dans l état C à la température T C ; C D : le gaz subit dans la turbine une détente isentropique pour revenir à la pression initiale P A et à la température T D dans l état D. La détente dans la turbine est utilisée en partie pour fournir l énergie mécanique nécessaire à l entraînement de la rotation de l arbre commun compresseur-turbine, le reste de l énergie disponible est transmis sous forme d énérgie cinétique au jet propulsif. D A : une isobare ferme fictivement le cycle. Le gaz chaud qui s échappe est supposé subir un refroidissement sans apport de travail au contact d une source froide (l air atmosphérique) et est à nouveau admis dans la machine. Les énergies cinétiques du gaz et des variations d altitudes sont supposées négligealbes dans les états A, B, C et D. Le régime dans l ensemble du dispositif est stationnaire et le débit massique est D m. 1. Tracer le cycle du fluide : en coordonnées de Clapeyron (P, volume massique v) en coordonnées entropiques (T, entropie massique s) 2. Exprimer le rendement η du moteur en fonction des températures T A, T B, T C et T D puis en fonction de γ et du taux de compression a S. Bénet 5/5