Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 1

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1 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 1 I) Expériences aléatoires et probabilités 1) Expériences aléatoires Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsque le hasard rend le résultat incertain. On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience. L'ensemble des issues possibles est appelé univers. Exemples : On lance un dé cubique On tire une carte dans un jeu de 32 On lance deux pièces de monaie Définition : Tout ensemble d'issues est appelé un événement. Un événement qui contient une seule issue est appelé un événement élémentaire. Un événement qui contient toutes les issues est un événement ce rtain. Un événement qui ne contient aucune issue est un événement impossible. B2 R1 B3 B1 R2 V1 Une expérience consiste à extraire au hasard une boule de l urne représentée ci-contre. En fonction de leur couleur (bleu, rouge, vert) et de leur numéro (1, 2, 3), ces boules sont désignées par B1, B2, B3, R1, R2, V1. Vocabulaire Exemples Univers Issue élémentaire certain impossible

2 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 2 Exercice 1 Pour chacune des deux expériences, déterminer l univers de cette expérience ainsi que le nombre d éléments qu il contient. 1) On lance deux dés cubiques, un rouge et un bleu. 2) On lance une pièce trois fois de suite. 2) Définir une probabilité Propriété : Loi des grands nombres La probabilité d'un événement est la "limite" de la fréquence de ses succès lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois. On lance un dé équilibré Définition : Etant donné un univers Ω, on dit que l'on définit une probabilité sur Ω lorsqu'on associe à tout événement élémentaire un nombre compris entre 0 et 1 de telle sorte que la somme de ces nombres soit égale à 1. La probabilité d'un événement est alors egale à la somme des probabilités de ces évenements élémentaires. On lance un dé équilibré Définir deux lois différentes sur cet univers. Exercice 2 : On considère une pièce truquée. «Face» apparait deux fois plus fréquemment que «Pile». Donner la loi de probabilité. Exercice 3 : On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6. On note alors le plus grand des deux numéros sortis. 1. Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser la situation. 2. Quel est l univers de toutes les issues possibles? 3. Établir la loi de probabilité de l expérience. Exercice 4 La porte d entrée d un immeuble est muni d un clavier de trois touches marquées par les lettres A,B et C. Le code qui déclenche l ouverture de la porte est formé d une série de deux lettres distinctes ou non. 1. Recopier et compléter l arbre suivant : 2. Déterminer le nombre de codes différents possibles. 3. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants. A : «Le code se termine par A». B : «Le code est formé de deux lettres différentes». C : «Le code comporte au moins une fois la lettre A».

3 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 3 II) Notations sur les ensembles B2 R1 B3 B1 R2 V1 Une expérience consiste à extraire au hasard une boule de l urne représentée ci-contre. En fonction de leur couleur (bleu, rouge, vert) et de leur numéro (1, 2, 3), ces boules sont désignées par B1, B2, B3, R1, R2, V1. Vocabulaire Définition Exemple C est l ensemble des Réunion de éventualités qui appartiennent à deux l un ou à l autre des événements événements Intersection de deux événements contraire Cardinal C est l ensemble des éventualités qui appartiennent à l un et à l autre des événements L événement contraire de A, noté A est l ensemble des éventualités qui n appartiennent pas à A. Le cardinal d un ensemble est le nombre d éléments qu il contient A : «extraire une boule bleue» ={ B1, B2, B3} E : «extraire une boule avec un numéro pair» = {B2, R2} A E ={ B1, B2, B3, R2} A : «extraire une boule bleue» ={ B1, B2, B3} E : «extraire une boule avec un numéro pair» = {B2, R2} A E ={B2} A : «extraire une boule bleue» ={ B1, B2, B3} A : «extraire une boule qui n est pas bleue» ={ R1, R2, V1} Card(A) = 3 Card (E) = 2 Card (Ω) = 6 et Card ( ) = 0 Parmi les 80 élèves qui étaient en terminale au Lycée des îles il y a 10 ans : 36 sont aujourd hui salariés, 39 sont chargés de famille et 15 sont salariés et chargés de familles. Considérons alors les événements A : «l élève est salarié» et B : «l élève est chargé de famille». Quelle est le nombre d élèves qui ne sont ni salariés ni chargés de famille de famille? Solution 1 : Avec un diagramme (dit «de Venn») A B Solution 2 : Avec un tableau ( dit «de Caroll») B B Total A A Total Propriété : Si A et B sont deux événements d'un univers Ω ( ) = ( ) + ( ) ( ) alors Card A B Card A Card B Card A B

4 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 4 Exercice 5 Une classe de 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans comprend 22 garçons dont 18 âgés de 17 ans et 3 âgés de 18 ans. D autre part, il y a 6 filles âgées de 18 ans et une seule âgée de 16 ans. Le professeur de Mathématiques interroge un élève. 1) Compléter le tableau : Garçons Filles Total 16 ans 17 ans 18 ans Total 2) On considère les événements suivants : A16 : «L élève a 16 ans» A17 : «L élève a 17 ans» A18 : «L élève a 18 ans» F : «L élève est une fille» G : «L élève est un garçon» a) Quel est l univers Ω de cette expérience? b) Compléter : F et G sont des événements F G = F G = A16 et C sont des événements A16 A17 A18 = c) Faire une phrase décrivant : A16 = A16 G = A16 G = 3) Déterminer le cardinal des événements suivants : Card (A17) = Card (G) = Card ( A16 ) = Card (A16 G ) = Card (A16 G ) = Card (A16 G ) Exercice 6 : Un club de loisirs culturels dispense des cours de langues. Les adhérents paient leur carte de club, et une cotisation supplémentaire, pour chaque langue à laquelle ils s inscrivent. Le trésorier a recueilli 73 adhésions, 42 cotisations pour l anglais et 25 pour l espagnol, 7 adhérents ont cotisé pour les deux langues. 1) Combien d adhérents ont cotisé en anglais ou en espagnol? 2) Combien d adhérents ont cotisé ni en anglais, ni en espagnol? III) Equiprobabilité Définition : Etant donné un univers Ω, on dit qu'une probabilité sur Ω est équiprobable si tout événement élémentaire a la même probabilité. 1 Dans ce cas, la probabilité d'un événement élémentaire est c ard Ω card B et la probabilité d'un événement B est alors egale à card Ω nombre de cas "favorables" On peut aussi calculer la probabilité d'un événement en faisant : nombre de cas possibles

5 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 5 B1 R1 B2 R2 B3 V1 Une expérience consiste à extraire au hasard une boule de l urne représentée ci-contre. En fonction de leur couleur (bleu, rouge, vert) et de leur numéro (1, 2, 3), ces boules sont désignées par B1, B2, B3, R1, R2, V1. Dans l expérience ci-dessus, les boules étant choisies au hasard, il y a équiprobabilité. La probabilité de chaque événement élémentaire est donc de P(A) = P(B1) + P(B2) + P(B3) = + + = = et P(E) = P(B2) + P(R2) = + = = Propriété : Si A et B sont deux événements d'un univers Ω ( ) = ( ) + ( ) ( ) alors p A B p A p B p A B Exercice 7 Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule de l urne, puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note le numéro de chacune des boules. 1) Modélisation a) Décrire cette situation à l aide d un arbre ou d un tableau. b) Définir une loi de probabilité associée à cette expérience. 2) Déterminer les probabilités des événements suivants : M : «Les boules portent le même numéro» D : «Aucune des boules ne porte le numéro 2» Q : «Au moins une boule porte le numéro 4» T : «Les deux boules portent un numéro inférieur ou égal à 3» 3) Faire une phrase décrivant D T et D T puis déterminer leurs probabilités. 4) Faire une phrase décrivant D Q et D Q puis déterminer leurs probabilités. Exercice 8 On reprend l exercice précédent mais cette fois-ci, on considère que les tirages se font avec remise. Exercice 9 : Une population de 100 individus compte 55 femmes et 45 hommes. 60 % des femmes et 40 % des hommes pratiquent une activité sportive. 1) Quelle est la probabilité qu une femme ne pratique pas d activité sportive? 2) Quelle est la probabilité qu une personne pratique une activité sportive? 1 3

6 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 6 Exercice 10 : A l occasion d un sondage, une enquête portant sur 300 auditeurs d une station radio a montré que : 200 de ses auditeurs apprécient les jeux radiophoniques 180 apprécient la musique rock 60 n apprécient ni les jeux radiophoniques, ni la musique rock. Quelle est la probabilité qu un auditeur 1) apprécie les jeux radiophoniques et n aiment pas le rock. 2) soit amateur de rock et n apprécie pas les jeux radiophoniques? 3) soit amateur à la fois de rock et de jeux radiophoniques? Exercice 11 : Au loto, on coche 6 numéros (à choisir parmi 49). Quelle est la probabilité de gagner? Exercice 12 Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. On considère les événements suivants : C : «Tirer un cœur» F : «Tirer une figure» R : «Tirer un roi» p C p F p R p C F et p C F Déterminer ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice 13 : On tire au hasard un domino dans un jeu de dominos (qui contient 28 pièces). Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : A : «Le domino tiré est le double-six» B : «Le domino tiré est un double» C : «La somme des points marquée sur le domino tiré est inférieure à 4» Exercice 14 : Un dé cubique possède une face noire, deux faces blanches et trois faces rouges. On lance le dé une fois et on regarde la couleur de la face supérieure. 1) Proposer un univers 2) Définir une loi de probabilité associée à cet univers. Exercice 15 On dispose d un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Une étude statistique conduit à l estimation suivante : Les faces 1 à 5 ont la même fréquence d apparition La fréquence du 6 est de 0,3 On lance ce dé. 1) Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience. Cette loi est-elle équirépartie? 2) On considère les événements D : «Obtenir un numéro pair» Q : «Obtenir un numéro différent de 4» a) Déterminer les probabilités des événements D, Q et D b) Faire une phrase décrivant chacun des événements D Q et D Q puis calculer leur probabilité.

7 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 7 IV) Echantillonnage, adéquation à une loi Il est parfois impossible ou trop couteux de recueillir des données sur l ensemble d une population. On étudie alors un échantillon de cette population à l aide d un sondage. 1) Modélisation de la situation Vocabulaire et notations : Lorsqu'on étudie qu'une partie de la population, on dit qu'on étudie un échantillon. Le nombre d'indivius formant l'échantillon est appelé la taille de l'échantillon. On note et p la fréquence du caractère étudié dans la population entière p ' la fréquence du caractère étudié dans l'échantillon. Théorème : ( Stabilisation des fréquences) Si la taille de l'échantillon est assez grande, p ' est très proche de p. 2) Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance ( tuation au seuil 0.95) Théorème : Intervalle de fluc Conditions d'applications: La taille de l'échantillon doit être supérieure à 25 La fréquence p doit appartenir à 0 [.2 ; 0. 8] 1 1 Dans ces conditions, dans plus de 95% des cas, la fréquence p ' appartient à l'intervalle p ; p + n n Remarque : Plus la taille n de l échantillon est grande, plus l amplitude de l intervalle de confiance est réduite. On sait que dans la population française, la fréquence p des filles est de 0.5. On réalise un sondage au lycée. Voici les fréquences p obtenues en fonction de la taille de l échantillon sondé : Remarque, ce théorème est réversible car si p ' p ; p + alors p p ' ; p ' + n n n n ( ) Théorème : Intervalle de confiance Conditions d'applications: La taille de l'échantillon doit être supérieure à 25 La fréquence p ' doit appartenir à 0.2 [ ; 0. 8] 1 1 Dans ces conditions, dans plus de 95% des cas, la fréquence p appartient à l'intervalle p ' ; p ' + n n

8 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 8 Application 1 : Aide à la décision On souhaite savoir si une entreprise exerce une discrimination à l embauche vis-à-vis du personnel féminin. S il n y a pas de discrimination, la proportion de femmes dans cette entreprise devrait-être égale à celle des femmes dans la population active soit environ ) En utilisant l intervalle de fluctuation au seuil 0.95, déterminer si une entreprise embauchant 1183 femmes sur 2540 salariés exerce une discrimination à l égard des femmes. 2) Quel doit-être le nombre minimal de femmes dans cette entreprise pour que la proportion de femmes appartienne à l intervalle de fluctuation? Application 2 : Interpréter les résultats d un sondage Lors du second tour des élections présidentielles, un candidat souhaite connaître les intensions de vote des français en sa faveur. Un premier sondage sur 250 personnes interrogées donne une intention de vote de 54 %. Un second sondage sur 1900 personnes interrogées donne une intention de 53%. Quel sondage permet d affirmer que le candidat a de grandes chances d être élu? Dans ce cas, on ne connait pas la proportion p de français ayant l intention de voter pour le candidat. On va donc utiliser l intervalle de confiance. Exercice 16 On lance deux dés cubiques équilibrés, l un rouge et l autre bleu. 1) A l aide d un tableau, définir la probabilité associée à cette expérience aléatoire Somme Pobabilité 2) A l aide d un tableur, on a simulé fois de lancer des deux dés et calculé la somme correspondante. On obtient la répartition des fréquences suivante : Somme Fréquence 2 2,96 3 5,52 4 8, , , , , , , , ,82 a) Calculer les probabilités de «Obtenir une somme inférieure à 5» et «Obtenir une somme paire» b) Déterminer l intervalle de fluctuation au seuil 95% pour chacun des événements présédents. c) Conclure.

9 Seconde Chapitre 5 «Probabilités» Page 9 Exercice 17 Exercice 75 page 201 de leur livre