NUMERATION ET RESOLUTION DE PROBLEMES

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1 Compte rendu de l animation pédagogique du NUMERATION ET RESOLUTION DE PROBLEMES D après les travaux de Roland Charnay et de l équipe ERMEL FRACTIONS ET DECIMAUX AU CYCLE 3 Objectif : découvrir et utiliser de nouveaux nombres avec les élèves de cycle 3 pour les aider à répondre à la question «à quoi servent ces nombres?». Compétences à construire par les élèves L'étude des fractions et des nombres décimaux pour eux-mêmes n'est pas un objectif de l'école élémentaire. Il s agit de donner les bases suffisantes pour la compréhension de la construction des nombres décimaux, élément fondamental du programme de ce cycle. Ce que disent les programmes : Horaires et programmes d enseignement de l école primaire, BO hors-série, n 3 du 19 juin Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d un entier et d une fraction inférieure à 1. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. Les programmes du cycle 3 précisent en ce qui concerne les fractions : «Fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d un entier et d une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur»

2 A quoi servent ces nombres? Ils permettent de traiter de façon plus satisfaisante des problèmes de partage, de mesure (longueur, masse, aire et volume), de repérage d un point sur une droite. Les fractions sont introduites en premier pour donner du sens aux nombres décimaux. Enjeux essentiels à mettre en évidence avec les élèves Les entiers sont insuffisants pour résoudre certains problèmes Les décimaux sont des nombres qui permettent de résoudre certains de ces problèmes Les règles de comparaison propres aux décimaux ne sont pas les mêmes que sur les entiers La notion de successeur n a pas de sens Entre deux décimaux on peut toujours en intercaler autant qu on veut Chaque chiffre de l écriture décimale a une signification précise par rapport à l unité en fonction de sa place dans l écriture Le sens de certaines opérations est à reconsidérer, notamment la multiplication et la division (tout quotient peut-être approché d aussi près que l on veut.) Difficultés des élèves par rapport aux fractions - penser qu une fraction représente deux entiers séparés, les croire indépendants - ne pas savoir lire ou écrire une fraction - problème en rapport avec l ordre et l égalité : Par exemple est vu comme différent de et de plus est considéré comme supérieur à n est pas reconnu comme un entier. Principales difficultés rencontrées par les élèves concernant les décimaux la comparaison : beaucoup d élèves comparent les parties décimales comme s il s agissait d entiers. 19 > 9 donc 19,19 > 19,9 la signification des chiffres dans l écriture à virgule les calculs sur les décimaux : prise en compte correcte de la virgule

3 Attention au vocabulaire utilisé! 12,75 Est énoncé «douze virgule soixante-quinze», ce qui laisse entendre que douze est séparé de soixante-quinze par une virgule, par conséquent le nombre 12,75 représenterait la juxtaposition de deux entiers ce qui est une représentation erronée. Il convient de prononcer ce nombre «douze virgule soixante quinze centièmes» ou «douze et soixante quinze centièmes» Que doivent savoir les élèves avant de commencer l étude des nombres décimaux? 1. Sur les fractions : connaître la notion de fraction, l écriture fractionnaire et le vocabulaire afférent (numérateur, dénominateur, demi, tiers, quart, dixième, centième, millième, etc..). savoir reconnaître des fractions égales et trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas des entiers naturels. savoir aussi décomposer une fraction en une somme d un nombre entier et d une fraction inférieure à Sur la droite graduée savoir ce qu est une graduation régulière (avec le choix d une unité) savoir placer un nombre entier et quelques fractions simples sur une droite graduée. Situations d enseignement des décimaux A. Utiliser les fractions pour partager un disque D d aire A en n parties égales (de même aire, superposables) : exprimer le résultat d un mesurage (aires) Matériel : (voir ci-dessous) plusieurs feuilles avec disque ; portions a1, a2, a3 ; crayon à papier, gomme, crayons de couleur PHASE 1 : «Rechercher pour chacune des portions la fraction du disque D correspondante». Réponses : a1 = ¼ de A a2 = ⅛ de A 1 a3 = («un sixième») de A 6

4 D a2 B. Une deuxième approche des fractions : la machine à partager ou guide-âne 3. Graduer la droite numérique a1 a3

5 PHASE 2 : Tracer et colorier une portion de disque dont l aire est égale à 1 sixième de l aire du disque D ⅝ de l aire du disque D ⅞ de l aire du disque D ⁸ ₈ de l aire du disque D PHASE 3 : Pour l entraînement, faire découvrir d autres fractions, par rapport à l aire d un disque (possibilité aussi dans un deuxième temps par rapport à l aire d un quadrillage). B. Une deuxième approche des fractions : la machine à partager ou guide-âne = Utiliser les fractions pour partager 1 segment de longueur L en N parties égales. But = exprimer le résultat d un mesurage (utilisation de la bande unité) Matériel : 1 guide-âne et 3 bandes transparentes de longueur L Longueur L

6 Consignes : A. «En n utilisant que le guide-âne, partage la bande en 3 parties égales, c est-à-dire de même longueur». B. Puis «En utilisant que le guide-âne, partage la bande en 4 parties égales, c est-à-dire de même longueur». C. Puis «En utilisant le guide-âne, représente sur la bande un segment de longueur : ⁶ ₇ de L ⁷ ₇ de L Prévoir la même activité mais avec des espacements différents entre les lignes (1 cm ; 0,5 cm ) du guide-âne. C. Graduer la droite numérique Introduire les fractions décimales

7 D autres fractions

8 Comment faire comprendre aux élèves qu on peut toujours trouver un nombre décimal à situer entre deux nombres décimaux quelconques? On peut toujours partager un intervalle, si petit soit-il, en dix parties égales et ce à l infini. Pour cela, utiliser une droite graduée et y adjoindre des grossissements à l infini, symbolisés par une loupe, pour permettre de «voir» en tout cas d imaginer ces partages en dix parties égales à l infini. LOUPE LOUPE

9 Comment faire comprendre aux élèves qu après 0,9 en comptant de 0,1 en 0,1 vient 1 et non pas 0,10? Il peut être utile de reprendre un travail semblable à celui qui a été fait sur les nombres entiers, avec des abaques et des pions. Nicolas Blanchet CPC EPS Ustaritz Pays basque