ANNEXE 5 : Quelques notions de topologie

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1 ANNEXE 5 : Quelques notions de topologie 1. Généralités. Définition. Topologie. Soit X un ensemble quelconque. Une topologie est une partie F(X) de P(X) (i.e. une famille de sous-ensembles de X) vérifiant les conditions suivantes : i) l ensemble vide et X appartiennent à F(X) ii) si Y et Z appartiennent à F(X) alors leur intersection X Y appartient à F(X) iii) si on considère une famille de sous-ensembles de X appartenant à F(X) alors la réunion de tous ces sousensembles appartiennent encore à F(X)). Définition. Espace topologique. On dit que X est un espace topologique si on a défini sur X une topologie, autrement dit, si on a donné un ensemble F(X) de sous-ensembles de X vérifiant les trois propriétés i), ii), iii) ci-dessus. Il faut remarquer qu un espace topologique ne dépend pas que de X, mais de F(X), autrement dit à un même ensemble correspond une multiplicité d espaces topologiques. Définition. Ouvert, fermé. Un élément de la topologie (i.e. un sous-ensemble de X appartenant à F(X)) est appelé un ouvert de X. 84

2 Un sous-ensemble de X est dit fermé s il est le complémentaire d un ouvert de X i.e. G est un fermé de X signifie il existe A appartenant à F(X) tel que G soit formé des éléments de X n appartenant pas à A. En termes d ouverts, une topologie signifie i) l ensemble vide et X sont des ouverts ii) une intersection finie d ouverts est un ouvert iii) une réunion quelconque d ouverts est un ouvert. La notion de topologie peut paraître triviale. En fait, la troisième propriété cache une difficulté : la seule définition d une réunion non finie est loin d être évidente. Pour éviter ce problème, on va considérer le cas plus élémentaire des ensembles finis. La définition d une topologie devient alors symétrique, les deux dernières conditions signifiant que la réunion et l intersection de deux ouverts est un ouvert. Définition. Sous-ensemble dense. Soit X un espace topologique et Y un sous-ensemble de X. On dit que Y est dense dans X (ou est un sous-ensemble dense de X), si tout ouvert non vide de X contient au moins un point de Y i.e. aucun élément de F(X) n est disjoint avec Y. Définition. Fonction continue. Une fonction h définie d un espace topologique X dans un espace topologique Y est continue si l image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X i.e. pour tout V appartenant à F(Y) alors f -1 (V) appartient à F(X). Définition. Homéomorphisme. Une fonction bijective h définie d un espace topologique X dans un espace topologique Y est un homéomorphisme si elle est continue et si sa réciproque h -1 (application de Y dans X, cf. Annexe 5.4) est également continue. 85

3 2. Espace topologique fini. Une topologie sur un ensemble fini X est donc simplement un ensemble F(X) de sous-ensemble de X contenant l ensemble vide et X, tel que une réunion et intersection (nécessairement finies) d ouverts est un ouvert. Exemples. 1. Soit X = {0, 1}, G(X) = {, X} ; puisque X = et X = X, l ensemble G(X) vérifie les propriétés d une topologie et donc X est un espace topologique (pour G(X)). 2. Soit X = {0, 1}, H(X) = {, {0}, {1}, X} ; là encore, H(X) vérifie les trois propriétés d une topologie et X est un espace topologique (pour H(X)). 3. Soit toujours X = {0, 1}, I(X) = {, {0}, X} ; I(X) vérifie encore les propriétés d une topologie et X est un espace topologique (pour I(X)). Définition. Espace topologique séparé. Soit X un espace topologique de topologie F(X). On dit que X est séparé si pour tous éléments distincts x X et y X, il existe deux ouverts U et V d intersection vide avec x U et y V. Exemples. En reprenant les exemples précédents, le second exemple (X de topologie H(X)) est un espace topologique séparé, par contre dans les deux autres exemples, les espaces topologique (X de topologie G(X) et X de topologie I(X)) ne sont pas séparés. En effet, les éléments de X sont 0 et 1. Dans l exemple 2, {0} et {1} sont des ouverts (pour la topologie H(X)) disjoints contenant respectivement 0 et 1. Par contre, le seul ouvert de G(X) et de I(X) contenant 1 est X tout entier, et aucun sous-ensemble non vide de X (en 86

4 particulier aucun ouvert contenant 0) n est disjoint de X, d où X (muni de la topologie G(X) ou I(X)) n est pas séparé. Définition. Espace topologique connexe. Soit X un espace topologique de topologie F(X). On dit que X est connexe si X est réunion de deux ouverts, alors ces deux ouverts sont disjoints. Autrement dit, X n est pas connexe s il est réunion de deux ouverts d intersection vide. Exemples. En reprenant les exemples précédents i.e. X = {0, 1} de topologies respectivement G(X) = {, X}, H(X) = {, {0}, {1}, X} et I(X) = {, {0}, X}. L espace topologique X de topologie G(X) est connexe, puisque le seul ouvert non vide est X. De même, X muni de la topologie I(X) puisque les deux seuls ouverts non vides sont {0} et X et {0} est contenu dans X. Par contre X de topologie H(X) n est pas connexe. En effet, {0} et {1} sont des ouverts disjoints et leur réunion {0} {1} est égale à X. Comme on le voit, la propriété d être connexe ne dépend pas de X mais de la topologie qu on considère sur X. 3. Topologie usuelle sur l ensemble des réels. On rappelle que R l ensemble des réels (il est évidemment infini puisqu il contient l ensemble des entiers). Définition. Intervalle ouvert. Pour tout a, b R, l intervalle ouvert d extrémités a et b est noté ]a,b[ et est défini par : ]a,b[ = {x R ; a < x < b} On note aussi ]-,b[ = {x R ; x<b} et ]a,+ [ = {x R ; x>a}. Définition. Intervalle fermé. 87

5 Pour tout a, b R, l intervalle fermé d extrémités a et b est noté [a,b] et est défini par : [a,b] = {y R ; a y b } Comme on le voit, il n y a pas grande différence entre les deux définitions respectivement]a,b[ et [a,b]. Seuls a et b sont rajoutés au premier pour obtenir le second, alors que si a est différent de b, il y a une infinité de termes appartenant à un intervalle ouvert (et donc fermé). Toutefois pour la topologie la différence est énorme. Si l intervalle fermé [a,b] contient ses limites a et b, au contraire l intervalle ouvert ]a,b[ ne les contient pas, en ce sens c est un apeiron ou un infini (et c est exactement ainsi qu on les considère en topologie, le premier est fini et le second infini, bien que plus petit!). L ensemble de ces intervalles ouverts de R (y compris ceux de la forme ]-,b[ et ]a,+ [) n est pas une topologie ; en effet, une réunion de deux intervalles disjoints n est pas un intervalle. Toutefois il existe une unique topologie sur R en sorte qu ils appartiennent tous à cette topologie. C est l ensemble F(X) formé des réunions quelconques de ces intervalles ouverts. En particulier, les intervalles ouverts de R sont des ouverts pour cette topologie F(X) ; de même, les intervalles fermés [a,b] sont des fermés de R pour F(X), car complémentaire dans R de la réunion ]-,b[ ]a,+ [ qui est un ouvert de R (propriété iii) d une topologie). 4. Espace métrique et topologie. On formalise la notion intuitive de distance entre deux points, ce que l on peut mesurer en utilisant par exemple une règle. 88

6 Définition. Distance, espace métrique. Soit X un ensemble. Une distance sur X est une application d associant à deux éléments x, y de X un réel positif (la distance entre x et y notée d(x,y)), cette application vérifiant les propriétés suivantes : i) d(x,y) = 0 équivaut à x = y (i.e. la distance entre x et y est nulle si et seulement si x = y) ii) d(x,y) = d(y,x) (la distance de x à y est égale à celle entre y et x) iii) si z est un autre élément de x, on a : d(x,z) + d(z,y) d(x,y) (c est l inégalité triangulaire bien connu pour les points du plan). L ensemble X muni d une distance est appelé un espace métrique. Soit x un point de l espace métrique X. On appelle boule de centre x et de rayon r (noté B r (x)) le sous-ensemble des points de X dont la distance à x est strictement plus petite que r, autrement dit : B r (x) = {y X ; d(x,y) < r}. Exemple. 1. Soit X = R, alors l application définie pour tout x,y réels par d(x,y) = x - y est une distance sur R. C est la distance usuelle qu on définit sur R. 2. La distance habituelle sur le plan (i.e. R 2 ) est une distance, autrement dit R 2 muni de la distance usuelle est un espace métrique. Soit X un espace métrique de distance d. Pour tout x élément de X et pour tout ε réel, on considère les boules B ε (x) de centre x et de rayon ε. Définition. Topologie associée à une métrique. 89

7 L ensemble F(X) formé à partir des intersections des ensembles B ε (x) est une topologie sur X appelée la topologie associée à la distance d. Exemple. Soit l espace métrique R muni de la distance usuelle d(x,y) = x - y. Les ensembles B ε (x) = {y, x - y < ε} sont les intervalles ouverts de la forme ]x-ε, x+ε[. Les intersections d intervalles étant encore des intervalles, la topologie F(X) est formée des réunions d intervalles ouverts. C est la topologie usuelle de R. 5. Espace métrique compact. Soit X un espace métrique contenu dans R n. On dit que X est compact s il existe une boule B r (x) dans X en sorte tout point y de X appartient à cette boule i.e. X = B r (x). Par exemple l espace métrique R lui-même muni de la distance définie par les intervalles n est pas compact, puisque quel que soit x, r R, on a : B r (x) = ]x-r, x+r[ R. Par contre, si l on considère un intervalle fermé I de R i.e. I = [a,b] (avec 0 < a < b), alors I est évidemment un espace métrique, et il est compact. En effet, en posant r = 2(b-a), I est contenu dans la boule de centre a et de rayon r, puisque l on a : B r (a) = {y I, a - y < r} = I ]a-r, a+r[ = I ]a-2(b-a), a+2(b-a)[ = I ]3a-2b, 2b[ et B r (a) contient a (car : 3a-2b < a) et b, donc I tout entier. Pour plus de détail, le lecteur intéressé pourra se reporter au cours Mathématiques philosophiques : Topologie et 90

8 continuité téléchargeable sur internet à l adresse : 91