Chap.9 : Fluctuation d échantillonnage et simulation

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Chap.9 : Fluctuation d échantillonnage et simulation"

Christelle Ruel
il y a 7 ans
Total affichages :

1 Chap.9 : Fluctuation d échantillonnage et simulation I) Fluctuation d échantillonnage. Définition1: Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut décrire les résultats possibles a priori, sans être capable de déterminer à l'avance celui qui se produira. Définition: Un résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé issue. Définition3: On appelle échantillon d'une expérience aléatoire un ensemble de résultats obtenus par la répétition de cette expérience. Le nombre de résultats est la taille de l'échantillon. Exemple 1 : On lance un dé numéroté de 1 à 6, bien équilibré, et on repère le chiffre qui apparaît sur la face supérieure. On répète ce lancer deux fois 100 fois et on obtient deux échantillons A et B de taille 100. L expérience aléatoire est la lecture du chiffre obtenu. Les issues sont 1,,3,4,5 et 6. Définition4 : simuler une expérience aléatoire, c est choisir un modèle mathématique pour celle-ci. Exemple : La naissance d un enfant est assimilée à une expérience aléatoire ayant deux résultats possibles : fille ou garçon. On considère que les chances d avoir une fille ou un garçon sont égales : - on peut choisir par exemple de simuler la répartition des sexes en utilisant un dé non pipé - un résultat pair est assimilé par exemple à une fille et un résultat impair à un garçon Exemple 3 : Le facteur distribue le courrier du lundi au samedi. Le jour de réception d un colis est assimilé à une expérience aléatoire ayant six résultats possibles. On considère que la chance de recevoir le colis est la même chaque jour. - on peut choisir par exemple de simuler le jour de réception par un lancer de dé à six faces - le chiffre obtenu est assimilé au jour de la semaine correspondant. Expérience à la maison: Lancer d'une pièce. Sur une pièce de monnaie, on appelle «Pile» la face commune à tout les pays de la zone euro et «Face» l autre. Pile Face Effectuer séries de 10 lancers d'une pièce de monnaie et compléter les tableaux suivants : 1/5

2 Série1 (1 ère série de 10 lancers) Série (ème série de 10 lancers) Ces tableaux sont appelés des tableaux de distribution de fréquences. Quelles remarques que vous inspirent les résultats de cette expérience. Correspondent-ils à ce que l'on pouvait prévoir? Travail en classe: Rassemblons les résultats obtenus séparément par chacun dans un seul tableau : Série (1 ère série de. lancers) II Simulation. 1 ) A l aide de la calculatrice. a) Liste de nombres aléatoires réels compris entre 0 et 1. La calculatrice a une fonction qui lui permet d afficher un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 : la fonction random (hasard) Menu RUN Taper OPTN Sélectionner PROB Choisir RAN# Taper sur EXE Taper MATH Sélectionner PRB Choisir 5 :NbrAléat (ou rand) Taper sur ENTER Pour faire afficher un nouveau nombre aléatoire, il suffit d appuyer à nouveau sur Exe ou Enter /5

3 Pour obtenir une liste de 100 nombres aléatoires tous compris entre O et 1 stockés dans la liste 1 : Seq(rand#,X,1,100,1) List1 Pour cela : OPTN LIST Seq PROB RAN#,X,1,100,1) List1 Suite(NbrAléat,X,1,100,1) sto L1 Suite s obtient en tapant : nde STATS OPS 5: Suite (ou Seq) Pour visualiser la liste : Entrer dans le menu List STAT Enter b) Liste de nombres entiers aléatoires réels compris entre 1 et 6. Pour obtenir un entier compris entre 1 et 6, nous pouvons utiliser la fonction «partie entière» de la calculatrice qui permet d afficher la partie entière d un nombre : OPTN NUM INT MATH NUM 5 :ent( (ou int) Casio :Int(6 Ran#+1) : ent(6 NbrAléat+1) Comment obtenir une liste de 100 nombres entiers aléatoires tous compris entre 1 et 6? Seq(int(rand# 6)+1,X,1,100,1) List1 Suite(ent(6 NbrAléat+1),X,1,100,1) sto L1 c) Analyse de la liste ainsi obtenue. Comment compter par exemple le nombre de 1? List1=1 List Puis : Sum(list) On obtient ainsi le nombre de 1 L1 1 sto L Le symbole «=» s obtient en tapant nde puis Math. On obtient pour chaque rang de L un 1 si le rang correspondant de L 1 contient 1, 0 sinon. Pour obtenir le nombre de 1 : taper nd Quit puis Somme( L ) «Somme» s obtient en tapant : nde Stats - Math 3/5

4 ) A l aide d'un tableur. a) Liste de nombres entiers aléatoires réels compris entre 1 et 6. Pour obtenir un entier aléatoire compris entre 1 et 6, il suffit de taper dans une cellule l instruction suivante : =alea.entre.bornes(1 ;6) Pour obtenir 100 nombres aléatoires compris entre 1 et 6, il suffit de recopier l instruction depuis la cellule A 1 jusqu à la cellule A 100. Pour obtenir une nouvelle série de 100 nombres aléatoires, on tape sur la touche F9. b) Analyse de la liste ainsi obtenue. Dans le tableau obtenu, il possible d obtenir par exemple le nombre de «1» en tapant dans la cellule E6 l instruction : =nb.si(a1 :A100 ; «=1») De même on peut faire afficher le nombre de,3,4,5 et 6 dans les cellules F6,G6,H6,I6 et J6. 3 ) Application : On lance un dé à quatre faces dont les faces sont numérotées de 1 à 4 puis on lit le chiffre de la face supérieure. 1 ) Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? ) A votre avis, chacune de ces issues a-t-elle les mêmes chances de se réaliser? 3 ) Comment estimer la «chance» d obtenir 4? Nous allons simuler des lancers de dé avec des échantillons de tailles différentes. Remplir le tableau suivant pour N lancers : Nombre de lancers N Nbre de 4 obtenus 500 en % 1 1 ( ) N 1 1 ( ) N f 4/5

5 Remarques : Théorème de l intervalle de fluctuation : soit un échantillon de taille N. On étudie un caractère dont la proportion dans la population est p. Soit f la fréquence obtenue de ce caractère dans l échantillon de taille N. Si p 0,;0,8 et si N 5, alors dans 95% des cas au moins, f appartient à l intervalle 1 1 p ; p N N. Théorème de l intervalle de confiance : soit un échantillon de taille N. On étudie un caractère dont la proportion dans la population est p. Soit f la fréquence obtenue de ce caractère dans l échantillon de taille N. Si f 0,;0,8 et si N 5, alors dans 95% des cas au moins, p appartient à l intervalle 1 1 f ; f N N. Applications : A. On souhaite savoir si une entreprise exerce une discrimination à l embauche vis-à-vis du personnel féminin. S il n y a pas de discrimination, la proportion de femmes devrait être représentative de la proportion de femmes dans la population active. On admet que la proportion de femmes dans la population active est 0,5. 1 ) Déterminer si une entreprise contenant 1183 femmes sur 540 salariés exerce une discrimination à l égard des femmes. ) Quel doit être le nombre minimal de femmes dans cette entreprise pour que la proprtion de femmes appartiennent à l intervalle de fluctuation? B. Lors du second tour des élections présidentielles, un candidat souhaite connaître les intentions de vote des français en sa faveur. Un premier sondage sur 50 personnes interrogées donne une intention de vote de 54 %. Un second sondage sur 1900 personnes interrogées donne une intention de vote de 53%. Quel est le sondage qui est le plus favorable au candidat? 5/5

Documents pareils

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès