STATISTIQUES. 1 Tableaux Tableaux à double entrée d effectifs Tableaux des fréquences... 2

Transcription

1 STATISTIQUES Table des matières 1 Tableaux 1.1 Tableaux à double entrée d effectifs Tableaux des fréquences Deux diagrammes pour caractères quantitatifs.1 Diagramme tige et feuilles Histogrammes Propriété d une série statistique La médiane Les quantiles La boîte à moustaches La moyenne Calcul de la moyenne à partir des moyennes de sous-populations L écart type

2 1 Tableaux 1.1 Tableaux à double entrée d effectifs Un tableau à double entrée est un moyen pratique pour pésenter les effectifs d une population en vue d étudier simultanément deux caractères de cette population. Exemple : Une enquête réalisée auprès de 4500 personnes sur leur groupe sanguin permet d obtenir le tableau suivant : Groupe Rhésus A B AB O Total Positif Négatif Total Tableaux des fréquences Un tableau de fréquences permet de comparer deux populations selon un caractère. Exemple : on compare parmi les deux populations rhésus du tableau précédent les fréquences de chaque groupe. Groupe Rhésus A B AB O Total Positif 0,445 0,080 0,031 0,444 1 Négatif 0,419 0,080 0,07 0,475 1 Deux diagrammes pour caractères quantitatifs.1 Diagramme tige et feuilles Chaque nombre est décomposé en deux parties : une partie principale, la tige et une feuille. On range sur une même colonne (appelée TIGE) tous les nombres ayant la même partie principale. La partie principale est inscrite une seule fois en début de ligne, les feuilles sont inscrites au fur et à mesure du dépouillement. Exemple : l ensemble des tailles, en cm, des élèves d une classe de terminale statistiques 1ère STS Page Francis Rignanese

3 . Histogrammes Effectifs Taille en cm Propriété d une série statistique Deux exemples Exemple 1 : étude d un caractère discret Les notes des élèves d une classe sur un devoir sont réparties comme l indique le tableau ci-dessous Notes x i Total n Effectifs n i Fréquences f i 0,11 0,3 0,4 0,06 0,11 0,09 1 Exemple : étude d un caractère continu Les tailles des élèves d une classe sont réparties comme l indique le tableau ci-dessous Taille en m [1,5; 1,6[ [1,6; 1,7[ [1,7,; 1,8[ [1,8; 1,9[ [1,9; [ Total n Effectifs n i Fréquences f i 0,14 0,46 0,6 0,09 0, La médiane La médiane d une série, notée Me, est le réel qui partage en deux parties de même effectif les valeurs ordonnées de la série. Pratiquement on ordonne les N valeurs de la série. Si N est impair, La médiane est la valeur de rang N +1. Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang N et N +1. Exemple 1 (N impair) : 6;6;6;6;8;8;8;8;8;8;8;8;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;13;13;15;15;15;15;18;18;18 +1 = 18, 18 ième valeur, Me = 1 statistiques 1ère STS Page 3 Francis Rignanese

4 Lycée Marie Curie Un autre exemple (N pair) : 5;6;6;8;8;11;15;15 Exemple : N = 8, N = 4, les valeurs de rang 4 et 5 sont 8 et 8, Me = 8+8 = 8 La moitié de l effectif est 17,5. Il y a 5 élèves dont la taille est située dans l intervalle [1,5;1,6[. Il faut donc choisir 1,5 élèves dans la classe [1,6;1,7[. En utilisant la proportionnalité, la taille médiane est 1,6+ 0,1 1,5 = 1, Les quantiles Le premier quartile Q 1, est la plus petite valeur de la série statistique telle que au moins 5% des valeurs prises sont inférieures ou égales à Q 1 Le troisième quartile Q 3, est la plus petite valeur de la série statistique telle que au moins 75% des valeurs prises sont inférieures ou égales à Q 1 Q 3 Q 1 est l écart interquartile. Il contient environ 50% de l effectif. Plus cet écart est petit est plus la dispersion de la série est faible. Le premierdéciled 1,est lapluspetite valeurde lasériestatistiquetelle queaumoins10%desvaleursprisessontinférieures ou égales à D 1 Les déciles D 1, D,...,D 9, sont neuf valeurs de la série qui partage la liste ordonnée en dix listes ayant sensiblement le même effectif. Exemple de est 8,75, donc la 9 ième valeur dans l ordre croissant est le premier quartile Q 1 = de est 6,5, donc la 7 ième valeur dans l ordre croissant est le troisième quartile Q 3 = 13 Ecart interquartile : Q 3 Q 1 = de est 3,5, donc la 4 ième valeur dans l ordre croissant est le premier décile D 1 = de est 31,5, donc la 3 ième valeur dans l ordre croissant est le neuvième décile D 9 = 15 Exemple Q 1 = 1,6+4 0,1 16 = 1,63 Q 3 = 1,7+6 0,1 9 = 1,77 Ecart interquartile : Q 3 Q 1 = 0,14 D 1 = 1,5+4 0,1 5 = 1, La boîte à moustaches Exemple Mini=D 1 Q 1 Me Q 3 D 9 Max statistiques 1ère STS Page 4 Francis Rignanese

5 Calculatrice : MENU, STAT, List1 List , CALC, 1VAR 3.4 La moyenne La moyenne est un indice de position. C est la même valeur qu obtiendrait chaque individu d une population. La moyenne d une série statistique notée x peut être calculée : en utilisant les effectifs : x = n 1x 1 +n x +...n k x k n avec n 1 +n +...n k = n. en utilisant les fréquences : x = f 1 x 1 +f x +...f k x k avec f 1 +f +...f k = 1. Exemple 1 : x = = 11,3 x = 6 0,11+8 0,3+1 0,4+13 0, , ,09 = 11,3 Exemple : x = 5 1, ,65+9 1,75+3 1,85+ 1,95 = 1,70 x = 0,14 1,55+0,46 1,65+0,6 1,75+0,09 1,85+0,06 1,95 = 1, Calcul de la moyenne à partir des moyennes de sous-populations On considère dans l exemple 1 la sous population des élèves ayant obtenus une note inférieure ou égale à 13 et celle des élèves ayant obtenus une note supérieure ou égale à 15. La moyenne de la première sous population est : x 1 = = 10,1 8 La moyenne de la deuxième sous population est : x = = 16,3 7 Pour calculer la moyenne de la population on envisage 8 élèves ayant eu une note égale à 10,1 puis 7 élèves ayant eu une note égale à 16,3. D où x = 8 10,1+7 16,3 3.6 L écart type = 11,3. Si un élève A a obtenu à deux devoirs 9 et 11 et un élève B, 1 et 19, ces deux élèves ont la même moyenne égale à 10. Mais cette moyenne ne suffit pas pour rendre compte de la dispersion des notes obtenues autour de la moyenne. Pour mesurer cette dispersion on calcul une valeur appelée écart type. On calcule la variance V A = (10 9) +(10 11) = 1. L écart type est la racine carrée de la variance : σ A = V = 1 = 1. V B = (10 1) +(10 19) = 16 = 81, σ B = 81 = 9 Cas général. Exemple 1 : σ = V, V = n 1(x x 1 ) +n (x x ) +...n k (x x k ) n avec n 1 +n +...n k = n V = 4(11,3 6) +8(11,3 8) +14(11,3 1) +(11,3 13) +4(11,3 15) +3(11,3 18) σ = V = 11,47 = 3,39 = 11,47 statistiques 1ère STS Page 5 Francis Rignanese