Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 1 LA PARABOLE - FONCTION QUADRATIQUE

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1 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 1 LA PARABOLE - FONCTION QUADRATIQUE La parabole écrite sous deux formes Forme générale : f(x) = ax 2 + bx + c Forme canonique : f(x) = a(x h) 2 + k Les paramètres de la forme canonique a : h : k : Passage de la forme canonique à la forme générale Stratégie : Développer le polynôme. Exemple 1 : Écrire la fonction f(x) = 2(x 2)2 + 5 sous la forme f(x) = ax 2 + bx + c.

2 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 2 Passage de la forme générale à la forme canonique Stratégie : Utiliser la méthode de complétion du carré. Étape 1 : Mise en évidence du a (coefficient du x 2 ) : a(x 2 + px + q); ( p ) 2 Étape 2 : Ajouter et soustraire la constante pour obtenir un trinôme carré parfait; 2 Étape 3 : Réorganiser les termes pour obtenir une forme canonique. Exemple 2 : Écrire la fonction f(x) = 2x2 + 4x 1 sous la forme canonique. Caractéristiques de la parabole Domaine : Orientation : (a) (b) (a) (b)

3 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 3 Sommet : Forme Canonique : Forme générale : Ordonnée à l origine : Abscisse à l origine (zéro, racine) : Formule quadratique : b 2 4ac > 0 : b 2 4ac = 0 : b 2 4ac < 0 : Exemple 3 : Résoudre l équation 2x 2 2x 4 = 0 par factorisation

4 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 4 Exemple 4 : Résoudre l équation 4x 2 + 4x 3 = 0 avec la formule quadratique Exemple 5 : Résoudre l équation 4x 2 4x + 1 = 0 avec la formule quadratique

5 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 5 Exemple 6 : Résoudre l équation 2x 2 x 2 = 0 avec la formule quadratique Axe de symétrie : Sommet minimum : Sommet maximum : Image a > 0 : Forme Canonique : Forme générale : Image a < 0 : Forme Canonique : Forme générale : Croissance et décroissance : a > 0 : a < 0 :

6 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 6 EXERCICES Question 1 : Trouver les zéros de chacune des fonctions ci-dessous avec la factorisation. a) f(x) = x 2 + 7x + 12 b) f(x) = 9 4x 2 c) f(x) = 3x 2 + 5x d) f(x) = x Question 2 : Trouver les zéros de chacune des fonctions ci-dessous avec la formule quadratique. a) f(x) = 3x 2 + 2x 6 b) f(x) = 6x 2 17x + 12 c) f(x) = x d) f(x) = 9x 2 6x + 1 Question 3 : Trouver l équation de l axe de symétrie de la parabole représentant chacune des fonctions suivantes. a) f(x) = 2x 2 + 5x 3 b) f(x) = x 2 2x c) f(x) = 5x d) f(x) = 4(x 1) 2 Question 4 : Trouver les coordonnées du sommet de la parabole représentant les fonctions ci-dessous et déterminer l image de la fonction. a) f(x) = 2x 2 x + 3 b) f(x) = 4x 2 c) f(x) = 5x 2 2x d) f(x) = x 2 + x + 1 Question 5 : Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de chacune des fonctions suivantes. a) f(x) = x 2 + 3x 10 b) f(x) = 2x 2 x + 7 c) f(x) = 6(x 2) 2 d) f(x) = 3x 2 5 Question 6 : Exprimer chacune des fonctions ci-dessous sous la forme générale. a) f(x) = (x + 4) 2 b) f(x) = (x 1) 2 5 c) f(x) = (x 2) 2 3 d) f(x) = 2(x + 1) Question 7 : Exprimer chacune des fonctions ci-dessous sous la forme canonique et donner les coordonnées du sommet de la parabole. a) f(x) = x 2 + 4x 1 b) f(x) = 3x x + 6 c) f(x) = 5x x 7 d) f(x) = 2x 2 + 7x

7 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 7 Question 8 : Trouver la règle de correspondance des fonctions quadratiques qui possèdent les caractéristiques suivantes. a) a = 2 et le seul zéro est 5; b) Les zéros sont 2 et 3 et la parabole passe par le point (1, 8); c) Un des zéros est 1 et le sommet de la parabole est le point (2, 27); d) Les points d intersection avec les axes sont (0, 42), (2, 0) et (7, 0); e) Le sommet de la parabole est situé au point (4, 7) et f( 5) = 0. Question 9 : Un ouvrier travaillant sur le toit d un édifice fait malencontreusement glisser son marteau qu il avait déposé à ses côtés. La distance verticale (en mètres) parcourue par le marteau est donnée, t secondes après le début de la chute, par la fonction d(t) = 5t 2 + 3t. a) Si le marteau touche le sol après 2 secondes, quelle est la hauteur de l édifice? b) Combien de temps le marteau mettra-t-il pour parcourir 2, 75m? Question 10 : Un congélateur défectueux n arrive pas à maintenir la température constante. On y place un pot d eau dont on mesure la température à intervalles réguliers. On constate que la température de l eau ou de la glace (en degrés Celsius) est donnée, t heures après que le récipient ait été déposé au congélateur, par la fonction f(t) = 2t 2 14t + 20, où t [0, 6]. a) Quelle est la température de l eau au moment où on place le récipient au congélateur? b) Combien de temps l eau met-elle à se transformer en glace? c) Après combien de temps la glace commence-t-elle à fondre? d) Quelle est la température minimale atteinte par la glace? Combien de temps après que le pot d eau ait été placé au congélateur la glace atteint-elle cette température minimale? Question 11 : Le propriétaire de la boutique Les 100 culottes estime que son profit mensuel P sur la vente d une certaine marque de jeans varie en fonction du prix de vente x (en dollars), selon la fonction P(x) = x x a) Quel doit être le prix minimum s il ne veut pas subir de pertes? b) Quel prix maximum peut-il demander sans que ses profits soient nuls? c) Quel est le prix de vente le plus favorable au marchand? Quel sera alors son profit mensuel? d) Quelle serait la perte mensuelle du marchand s il décidait, dans un moment de folie, de donner ses jeans?

8 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 8 Question 12 : Le musée Bozart exposait du 1er janvier au 1er mai les oeuvres du célèbre peintre Adé Syné. Pendant toute la durée de l exposition, on a constaté qu une fonction quadratique N(m) = am 2 + bm + c, où m représente le nombre de mois écoulés depuis l ouverture, pouvait décrire le nombre N de visiteurs. a) Trouver la règle de correspondance de cette fonction, sachant que le jour de l ouverture, 750 invités spéciaux ont pu admirer les oeuvres de Syné. De plus, c est le 1er février qu on a enregistré le plus grand nombre de visiteurs, soit 800. b) Calculer le nombre de visiteurs le dernier jour de l exposition. Question 13 : Le profit mensuel p(n) réalisé par un fabriquant de jouets sur la vente de n poupées Poil de carotte est donné (en dollars) par une fonction quadratique. Il doit vendre au moins 200 poupées par mois pour que son entreprise réalise un profit. Le profit maximal atteint 2400$ lorsqu il vend 300 poupées. Au-delà de ce nombre, son profit diminue, car il engage des dépenses supplémentaires (heures supplémentaires à salaire majoré pour les employés, chauffage et électricité sur une plus longue période, etc.). a) Utiliser la symétrie de la parabole pour trouver le nombre maximal de poupées qu il peut vendre avant que ses profits tombent à zéro. b) Trouver la règle de correspondance de la fonction. Question 14 : Une nouvelle compagnie de téléphone a recruté des clients après une campagne publicitaire. À partir de ce moment, on a calculé que le nombre de clients variait selon une fonction quadratique, en fonction du nombre de mois écoulés depuis la campagne publicitaire. Le nombre de clients a atteint un maximum de 735 après trois mois. Toutefois, déçus par les services reçus, les clients retournent progressivement à leur ancienne compagnie. On prévoit que, si la tendance se maintient, il ne restera plus aucun abonné dix mois après l ouverture. a) Trouver la règle de correspondance de la fonction. b) Dans cette situation, quel est le domaine de la fonction? c) Quel était le nombre d abonnés quatre mois après l ouverture? d) Combien de mois se sont-ils écoulés depuis l ouverture s il ne reste que 360 clients? e) Combien y avait-il de clients à l ouverture de la compagnie? Question 15 : Un marchand peut augmenter ses profits en haussant ses prix, mais il court le risque de faire fuir les clients si les prix sont trop élevés. Le propriétaire d une boutique de chaussures a constaté que son profit mensuel sur la vente d une certaine marque d espadrilles varie selon une fonction quadratique, en fonction du prix de vente d une paire d espadrilles. Chaque paire lui coûte 30$ et ses clients ne les achètent pas si le prix atteint 60$. Il a calculé que son profit maximal possible est de 450$ par mois.

9 Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8 9 a) Dans cette situation, quel est le domaine de la fonction? b) Trouver la règle de correspondance de la fonction qui décrit cette situation. c) Quel est le profit mensuel du marchand s il vend les espadrilles 55$ la paire? d) Au mois de juillet, son profit a été de 400$. Quel était le prix de vente des espadrilles? e) Quel est le prix de vente le plus avantageux pour le marchand? Question 16 : Dans un mur de 2,5m de hauteur sur 4m de largeur, on pratique deux ouvertures carrées de x mètres de côté afin d y poser des fenêtres. a) Donner la règle de correspondance de la fonction qui exprime l aire de la partie pleine du mur en fonction du côté d un carré. b) Si chaque ouverture mesure 1,5m de côté, quelle est l aire de la partie pleine du mur? c) Quelle devrait être la mesure du côté de chaque carré pour que l aire de la partie pleine du mur soit égale à l aire totale des deux ouvertures? 1a) x 1 = 3 et x 2 = 4 1b) x 1 = 3 2 et x 2 = 3 2 1c) x 1 = 5 3 et x 2 = 0 1d) La fonction n a pas de zéro 2a) La fonction n a pas de zéro 2b) x 1 = 4 3 et x 2 = 3 2 2c) La fonction n a pas de zéro 2d) x 1 = x 2 = 1 3 3a) x = 5 4 3b) x = 1 3c) x = 0 3d) x = 1 SOLUTIONS ( 1 4a) S = 4 ; 23 ) 8 [ [ 23 Ima(f) = 8 ; + 4b) S = (0; 0) Ima(f) = [0; + [ ( 4c) S = 1 5 ; 1 ) 5 ] Ima(f) = ; 1 ] 5 ( 1 4d) S = 2 ; 5 ) 4 ] Ima(f) = ; 5 ] 4 ] 5a) ց : ; 3 ] 2 ր : [ 32 [, +

10 Mathématiques appliquées à la construction - Cours b) ր : ց : ] ; 1 ] 4 [ 14 [, + 9b) 0,5 secondes 10a) 20 C 10b) 2 heures 5c) ց : ] ; 2] ր : [2, + [ 5d) ց : ] ; 0] ր : [0, + [ 6a) f(x) = x 2 + 8x b) f(x) = x 2 2x 4 6c) f(x) = x 2 4x + 1 6d) f(x) = 2x 2 + 4x + 6 7a) f(x) = (x + 2) 2 5 S = ( 2; 5) ( 7b) f(x) = 3 x + 5 ) ( S = 5 ) 2 ; c) f(x) = 5(x 1) 2 2 S = (1; 2) ( 7d) f(x) = 2 x + 7 ) ( S = 7 ) 4 ; a) f(x) = 2x 2 20x 50 8b) f(x) = 2x 2 + 2x c) f(x) = 3x 2 12x 15 8d) f(x) = 3x 2 27x e) f(x) = 7 81 x x a) 26 m 10c) 5 heures 10d) 4, 5 C après 3,5 heures 11a) 25$ 11b) 39, 99$ 11c) 32, 50$; 56, 25$ 11d) 1000$ 12a) f(m) = 50m m b) 350 visiteurs 13a) 399 poupées 13b) p(n) = 6 25 (n 300) a) f(x) = 15x x b) [0, 10] 14c) d) 8 14e) 600 clients 15a) [30, 60] 15b) f(x) = 2x x c) 250$ 15d) 40$ ou 50$ 15e) 250$ 16a) A(x) = 10 2x 2 16b) 5, 5 m 2 16c) environ 5 m