INTRODUCTION A LA CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS

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1 INTRODUCTION A LA CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS - POSITION DU PROBLEME Le chapitre précédent à permis de définir le comportement d un système asservi à partir de 3 caractéristiques majeures: la rapidité (aptitude à atteindre en sortie une réponse continûment comprise, par exemple, entre 95% et 05% de la réponse finale) la stabilité (aptitude à atteindre en sortie une réponse bornée pour une entrée bornée) la précision (aptitude à atteindre en sortie une réponse correspondant à celle attendue). À ces trois caractéristiques, on peut en ajouter une quatrième : l amortissement, aptitude à atteindre une réponse finale sans dépassement «excessif» de celle-ci lors de la phase transitoire (dépassant n excédant pas 20 à 30 % de la réponse finale) Chaque système asservi se voit imposé pour chacune de ses caractéristiques des performances définies par le cahier des charges. Mais les composants mis en œuvre par la chaîne d énergie et la chaîne d informations ne permettent pas de les atteindre toutes. De plus, ces quatre caractéristiques sont en général compatibles ou antagonistes deux à deux. compatibilité AMORTISSEMENT STABILITE antagonisme RAPIDITE PRECISION Ainsi, l augmentation du gain de la FTBO permet d accroître la précision et la rapidité. Mais l augmentation du gain entraîne une translation du lieu de transfert (en Black, par exemple) vers le haut et donc vers le point critique. D où un risque d instabilité. Afin d assurer un bon compromis entre les différentes performances, on introduit dans la chaîne d information un composant appelé «correcteur». Situé après le comparateur, il permet de générer le signal de commande. P(p) E(p) Adaptateur Correcteur Pré Actionneur Actionneur Processus S(p) Capteur 2- QUELQUES PRINCIPES DE LA CORRECTION À partir du schéma précédent, on peut construire le schéma-bloc suivant d un système asservi : P(p) E(p) C(p) F(p) F2(p) S(p) : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page sur 8

2 er principe : On sait que l effet de la perturbation (dans le cas où elle serait assimilable à un échelon) peut être annulé si la chaîne de commande comporte une intégration en amont de celle-ci. Donc si F(p) n en comporte pas, alors C(p) en comportera au moins une. 2 ème principe : La rapidité du système dépend très souvent d une constante de temps dite «dominante». Présente dans le FTBO sous la forme d un terme en, elle induit la rapidité en boucle T dom fermée. Le correcteur pourra compenser cette constante de temps en présentant à l opposé un terme en ( T dom p). 3 ème principe : En annulant la perturbation, la FTBF du système s écrit : C( p).f( p).f2( p) C( p).f( p) FTBF( p) = = C( p).f( p).f2( p) C( p).f( p) H( p) F( p)f2( p) H( p) ( ) La fonction H( p) attendue étant connue, on peut donc en déduire l expression du correcteur. En général, on choisit pour H( p) une fonction du 2 ème ordre d amortissement assez élevé d où l expression de C(p) : C( p) = pour éviter les dépassements abusifs ξ 0,7, de pulsation propre aussi élevée que possible (bande passante large donc temps de réponse meilleur) et de gain statique égal à afin d assurer un écart de position nul en régime permanent. 4 ème principe : Le correcteur doit être physiquement réalisable. 3- DIFFERENTS TYPES DE CORRECTEURS 3- Différentes actions de corrections - l action proportionnelle (P): le correcteur sera de la forme C( p) = K P (...). K P permet de modifier le gain de la FTBO et donc d avoir une incidence sur la précision Ce type de correcteur va rendre le système plus précis mais moins stable - l action intégrale (I): le correcteur sera de la forme C( p) = ( T I p... ). La présence d une intégration permet d obtenir une bonne précision statique, mais il introduit un déphasage de - 9 et risque donc de rendre le système instable. - l action dérivée (D): le correcteur sera de la forme C( p) = ( T D p) (...).La constante de temps permet de compenser une constante dominante et donc d accroître la rapidité, mais aussi de réduire les risques d instabilité. Hormis l action proportionnelle qui peut être utilisée seule, les deux autres sont associées, séparément où ensemble à une action proportionnelle. On distinguera ainsi : - les correcteurs de type proportionnel : P - les correcteurs de type proportionnel-intégral: P-I - les correcteurs de type proportionnel -dérivé: P-D - les correcteurs de type proportionnel-intégral-dérivé : P-I-D. 3-2 Correcteur de type proportionnel : P. :. est un gain réglable. Le gain permet de régler la précision mais aussi la stabilité du système. : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 2 sur 8

3 3-3 Correcteur de type proportionnel-intégral : P-I.. - est un gain réglable. - est la constante de temps d intégration, également réglable. La fonction de transfert du correcteur peut encore se mettre sous la forme suivante : = ( p T p i ). Le premier terme devient le gain global de l action proportionnelle. Le deuxième correspond à l introduction d une intégrale en vue d une action sur la précision et la neutralisation de l effet d une perturbation. Le troisième permet de corriger les risques d instabilité par apport de phase. 3-4 Correcteur de type proportionnel-dérivé : P-D. ( T d p). - est un gain réglable. T d p - T d est la constante de temps de dérivation, également réglable. Le gain permet de régler la précision mais aussi la stabilité du système. La constante de temps T d permet de compenser une constante de temps dominante, mais aussi d assurer la stabilité par apport de phase. 3-5 Correcteur de type proportionnel-intégral-dérivé : P-I-D. Structure en série : p p T d p ( T d p). Structure en parallèle : La fonction de transfert de ce correcteur est : p T p d. p Structure mixte: T d p p T d p : p T p d. : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 3 sur 8

4 4- RÉGLAGE D UN CORRECTEUR PROPORTIONNEL Utilisation d un correcteur proportionnel en réglage de stabilité FTBO corrigée =2,82 On considère un système dont la FTBO donne le lieu de transfert suivant. On constate que le système est stable avant correction avec une marge de gain de 5dB et une marge de phase supérieure à 45. Cependant, le cahier des charges autorise une marge de gain de 6dB. On peut donc donner à une valeur supérieure à. Un réglage limite consiste donc à translater la courbe de gain de 9dB, soit =2,82. MG BONC = 5 db c c MG BOC = 6 db FTBO non corrigée = MP ou M RÉGLAGE D UN CORRECTEUR PROPORTIONNEL-INTEGRAL Diagramme de Bode Soit un correcteur de type proportionnel-intégral.. Elle peut encore se mettre sous la forme suivante : = ( p T p i ). L allure du diagramme de Bode d un tel correcteur est donnée ci-contre. Une modification de la valeur de Ti se traduit par une translation horizontale des courbes de gain et de phase, ainsi qu une translation verticale pour la courbe de gain. Une modification de Kp entraîne une translation verticale de la courbe de gain. 20log -45 Exemple de réglage On considère un système perturbé dont la -9 FTBO est de la forme H BONC ( p) = K BONC p( T p)( T 2 p). E(p) - C(p) F(p) P(p) F2(p) S(p) : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 4 sur 8

5 L intégration placée après la perturbation ne permet pas d obtenir un système précis. On décide donc d utiliser un correcteur = ( p T p i ). Le diagramme du Bode de la FTBO non corrigée est le suivant. T T 2 MG Dans l exemple présent, le système est stable avant correction. Les marges de phase et de gain sont suffisantes. Mais le choix des variables du correcteur peut rendre le système instable. En effet, dans les basses pulsations, le correcteur apporte un déphasage supplémentaire de M Mauvais choix de la constante : Si la constante de temps est trop faible (et donc / trop grande), alors la phase de la FTBO corrigée sera toujours inférieure à 8. Le système sera alors devenu instable. T T 2-45 Phase du correcteur -9-8 Phase de la FTBO non corrigée Phase de la FTBO corrigée -27 La phase de la FTBO est toujours inférieure à 8: le système est devenu instable! Choix pertinent de la constante : Si la constante de temps est plus grande que les deux constantes T et T 2, alors on préserve pour la phase de la FTBO corrigée une gamme de pulsations où elle sera supérieure à 8. Le système pourra alors rester stable si par ailleurs on choisit convenablement la valeur de. : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 5 sur 8

6 T T 2-45 Phase du correcteur -9-8 Phase de la FTBO non corrigée Phase de la FTBO corrigée -27 Il existe une gamme de pulsations pour laquelle la phase de la FTBO corrigée est supérieure à 8. Le système peut rester stable. Le choix de donnera une gamme plus ou moins importante de pulsations où la phase sera supérieure à 8. Plus sera grande par rapport à la constante de temps T, dite «dominante», plus la gamme sera étendue, mais aussi, plus l extremum de phase sera éloigné de 8. C est la marge de phase imposée par le cahier des charges du système qui permettra le choix le plus adéquat. Choix de la valeur de La valeur de étant choisie, on peut avoir deux pulsations A et B pour lesquelles la phase correspond à (8-M ). Il suffit alors de choisir afin que l une d entre elles ait un gain nul. A B 20log T T 2 Marge de phase imposée par le CdC : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 6 sur 8

7 6- RÉGLAGE D UN CORRECTEUR PROPORTIONNEL-DERIVE Diagramme de Bode Soit un correcteur de type proportionnel-dérivé. T d p ( ). L allure du diagramme de Bode d un tel correcteur est donnée ci-contre. Une modification de la valeur de T d se traduit par une translation horizontale des courbes de gain et de phase, ainsi qu une translation verticale pour la courbe de gain. Une modification de entraîne une translation verticale de la courbe de gain. Correcteur réel Un tel correcteur est physiquement irréalisable. On utilise en réalité des correcteurs dont la ( T fonction de transfert est de la forme suivante : d p) T d 2 p 20log( ) 9 45 ( ), T d >>> T d 2. T d T d 20log( ) 9 T d T d2 45 T d En choisissant pour T d2 une valeur très petite, on se garde une gamme de pulsations importante pour laquelle le correcteur apportera une phase positive (jusqu à 9). Exemple de réglage On considère un système perturbé dont la FTBO est de la forme K H BONC ( p) = BONC p( T p)( T 2 p). T d2 T T 2 MG E(p) - C(p) F(p) P(p) F2(p) S(p) L intégration placée avant la perturbation permet d obtenir un système précis. Par contre la stabilité n est pas assurée Le diagramme du Bode de la FTBO non corrigée est donné ci-dessous. Dans l exemple M : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 7 sur 8

8 présent, le système est instable avant correction. Les marges de phase et de gain sont négatives. ( T d p) On décide donc d utiliser un correcteur T d 2 p ( ). Les constantes de temps sont choisies afin de «caler» la gamme de pulsation où le correcteur apporte une phase positive, avant et après les pulsations /T et /T 2. On règle ensuite la valeur de afin d avoir des valeurs de marges de phase et de gain Diagramme de Bode du système corrigé Td T Td 2 T 2 MG -9-8 M Réponse à un échelon pour différents types de correcteurs Réponses indicielles de l'asservissement (en boucle fermée) non corrigé puis corrigé par correcteur P.I Sans correction l'erreur de position est très importante car pour assurer un bon amortissement le gain de boucle est faible (ici seulement 2 unités donc erreur de 33%). Grâce à l'action intégrale la réponse de l'asservissement corrigé présente une erreur de position nulle. Par contre le temps de montée est plus grand Réponses indicielles de l'asservissement (en boucle fermée) non corrigé puis corrigé par correcteur P.D : C33_0_Correcteursv2.doc- Créé le 2/0/200 0:26 Mis à jour le Page 8 sur 8