La fête des mathématiques 2016

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1 La fête des mathématiques 2016 La date : le mardi 16 février 2016 Note : lors de sa réunion d automne 2014, GAMA a décidé que les fêtes des mathématiques au Nouveau-Brunswick francophone auraient lieu le 3 e mardi de février à chaque année. Le thème : les années bissextiles 2016 est une année bissextile. Plusieurs jolis problèmes numériques peuvent porter sur le calendrier ou plus simplement sur le nombre 2016 lui-même. Nous vous en soumettons quelques-uns pour aiguiser votre curiosité. Par ailleurs il est important de noter que les thèmes suggérés par GAMA ne sont que ça : des suggestions. L important est de consacrer une journée ou davantage aux mathématiques, l important est de célébrer la fête des mathématiques. Vos idées sont aussi bonnes que les nôtres, allez-y et célébrez les mathématiques. Voici un lien qui conduit à de l information sur les années bissextiles (Merci à Jacques Lurette du district francophone NE qui m a transmis ce lien qu il avait obtenu d une enseignante de son district). L explication des années bissextiles et leur histoire y sont très bien présentées. Mais les chiffres ne sont pas exacts, il est préférable d utiliser ceux présentés dans ce document. Nous suggérons des problèmes dans les pages suivantes. Nous fournirons la réponse à ces problèmes avant la fin janvier

2 Quelques suggestions pour la fête des mathématiques 2016 : Sujet 1 : Le calendrier julien et le calendrier grégorien Le calendrier julien comprenait une année bissextile à tous les quatre ans. Ce calendrier a été instauré en 46 avant Jésus Christ par Jules César en remplacement de l ancien calendrier romain. Ainsi, dans le calendrier julien, l année moyenne dure 365 jours et un quart ou encore 365,25 jours (soit 365 jours et 6 heures). Il y a 100 années bissextiles à tous les 400 ans. Dans les pays catholiques le calendrier julien a été remplacé par le calendrier grégorien en Le calendrier grégorien, instauré en 1582 par le pape Grégoire XIII, est plus précis que le calendrier julien. En commençant avec les pays catholiques en 1582, puis par après avec les pays protestants d Europe, ce calendrier va peu à peu se répandre au monde entier. L Union soviétique a été un des derniers pays à l adopter en À toutes fins pratiques aujourd hui, pour les besoins civils, c est un calendrier universel. Certains calendriers plus anciens existent toujours et sont utilisés pour des motifs religieux ou culturels. Dans le calendrier grégorien, il y a une année bissextile tous les quatre ans, sauf les années dont le chiffre se divise par 100 mais pas par 400 (ainsi 2000 était bissextile car 2000 se divise par 400, mais 1900 ne l était pas et 2100 ne le sera pas non plus car ces deux chiffres se divisent par 100 mais pas par 400). Il y a donc 97 années bissextiles à tous les 400 ans dans ce calendrier. Ainsi, dans le calendrier grégorien, l année moyenne mesure 365 jours et 97/400 jours, ou encore 365,2425 jours (soit 365 jours 5 heures 49 minutes et 12 secondes) En réalité, l année solaire moyenne dure 365,24219 jours (soit environ 365 jours 5 heures 48 minutes et 45 secondes, actuellement, ce chiffre varie lentement au fil du temps, les journées rallongent).

3 Avec le calendrier julien, l erreur sur la durée d un jour est de 11 minutes et 15 secondes (675 secondes). Il y a une erreur d un jour à tous les 128 ans environ. Avec le calendrier grégorien l erreur est un peu plus de 27 secondes par jour. Il y a une erreur d un jour à tous les 3225 ans environ. On voit la précision plus grande du calendrier grégorien. Le calendrier a changé car certaines fêtes religieuses ont des dates qui dépendent du calendrier. Pâques par exemple est toujours le premier dimanche qui suit la première pleine lune du printemps. Or avec le calendrier julien, la date de l équinoxe de printemps en 1582 était autour du 11 mars. On a donc décidé de corriger l erreur en retranchant 10 jours au calendrier (pour faire revenir l équinoxe de printemps autour du 21 mars). Le changement de date a eu lieu dans la plupart des pays catholiques le 15 octobre Ce jour était le lendemain du 4 octobre Les jours du 5 au 14 octobre 1582 ont tout simplement été effacés (et tant pis pour ceux pour qui l anniversaire tombait à une de ces dates). Changements entre calendrier julien et grégorien Calendrier julien : une année bissextile à tous les 4 ans, les années qui se divisent par 4. durée moyenne de l année julienne : 365,25 jours soit 365 jours et 6 heures Calendrier grégorien : une année bissextile à tous les quatre ans, les années qui se divisent par quatre, sauf les années qui se divisent par 100 mais pas par 400. (depuis 1582, les années 1600 et 2000 ont été bissextiles mais pas 1700, 1800 et 1900 et 2100 ne le sera pas non plus) les 10 jours du 5 octobre 1582 au 14 octobre 1582 n existent pas, ils ont été effacés du calendrier. durée moyenne de l année grégorienne : 365,2425 jours soit 365 jours, 5 heures 49 minutes et 12 secondes. Année solaire réelle : L année solaire dure 365,24219 jours. soit 365 jours 5 heures 48 minutes et 12 secondes

4 Question 1 : Le 16 février 2016 du calendrier grégorien serait à quelle date dans le calendrier julien? Question 2 : Votre anniversaire en 2016 serait à quelle date dans le calendrier julien? Question 3 : Le grand savant Isaac Newton est né le jour de Noël 1642 en Angleterre, un pays qui utilisait encore le calendrier julien. Quelle aurait été sa date de naissance en France, un pays qui utilisait le calendrier grégorien? Selon vous, doit-on dire qu il est né en 1642 ou en 1643? Question 4 : Pourquoi selon vous les russes fêtent-ils la révolution d octobre le 7 novembre? Vous savez que cette révolution a eu lieu 25 octobre 1917 alors que la Russie était toujours sous le calendrier Julien. Question 5 : Si le premier jour de l hiver en 46 avant jésus Christ était le 21 décembre, en quelle année, dans un pays qui aurait toujours utilisé le calendrier julien, le premier jour de l hiver tomberait-il le 21 novembre? Question 6 : Si on modifiait le calendrier grégorien, qui a un peu trop d années sabbatiques, en gardant les mêmes années sabbatiques sauf les années dont le nombre se divise par 4000 qui ne seraient plus sabbatiques dans le nouveau calendrier. a) Combien d années sabbatiques y aurait-il dans une période de 4000 ans? b) Quelle serait la durée moyenne du jour dans ce nouveau calendrier? c) Combien d années faudrait-il pour qu il y une erreur d une journée complète dans le nouveau calendrier? Question 7 : Le calendrier persan mis au point par Omar Al-Khayyâm au 11 e siècle est beaucoup plus précis que le calendrier grégorien. Il est encore utilisé aujourd hui en Iran et en Afghanistan. Il a un système d années bissextiles plus compliqué que le calendrier grégorien, il suffit de retenir qu il y a 683 années bissextiles à tous les 2820 ans. a) Quelle est la durée moyenne du jour dans le calendrier persan? b) Combien d années faudrait-il pour qu il y une erreur d une journée complète dans le calendrier persan?

5 Sujet 2 : jouer avec les nombres, et en particulier avec le nombre 2016 Les nombres triangulaires sont les nombres qui sont la somme de tous les premiers entiers jusqu à un certain nombre. Le premier nombre triangulaire est 1 Le second nombre triangulaire est 3 = Le troisième nombre triangulaire est 6 = Le dixième nombre triangulaire est 55 = Par ailleurs, il n est pas trop difficile de faire certains calculs qui sont en apparence impossible à faire. Par exemple pour calculer le dernier chiffre de il suffit d observer le dernier chiffre des premières puissances de 3 et de constater une répétition régulière. Ainsi, on a 3 1 = 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81, 3 5 = 243, 3 6 =729, 3 7 =2187, 3 8 =6561 Les derniers chiffres des premières puissances sont : puissance dernier chiffre On voit bien que ça se répète et qu à tous les multiples de 4 (4 e puissance, 8 e puissance, 12 e puissance, ) le dernier chiffre sera un 1. Puisque 1000 est un multiple de 4, le dernier chiffre de sera aussi un 1. Question 1 : Faites la liste des 10 premiers nombres triangulaires. Question 2 : Avec la liste de la question 1, vérifiez que le n ième nombre triangulaire est égal à n2 + n. Par exemple, on sait que le 3 e nombre triangulaire est 6 et que 6 = Faites la vérification pour les autres nombres triangulaires jusqu au 10 e. Question 3 : Montrez que 2016 est le 63 e nombre triangulaire. Autrement dit 2016 = est la somme des 63 premiers entiers positifs!

6 Question 4 : Quelle était la précédente année avant 2016 à être représentée par un nombre triangulaire? Étiez-vous nés? Question 5 : Quelle sera la prochaine année après 2016 qui sera représentée par un nombre triangulaire? Croyez-vous que vous serez toujours en vie? Question 6 : Quel est le dernier chiffre de ? Question 7 : Quel est le dernier chiffre de ? Question 8 : Quel est le dernier chiffre de ? Question 9 : Quels sont les deux derniers chiffres de Question 10 : Quels sont les trois derniers chiffres de ? Question 11 : Décomposez 2016 en facteurs premiers et dites combien 2016 possède de diviseurs distincts. Question 12 : 2016 = 4 x 7 x 8 x 9. C est donc le produit de trois nombres entiers positifs successifs (7, 8 et 9) est le produit d autres triplets de trois nombres entiers successifs, pouvez-vous tous les trouver?

7 Quelques exercices plus faciles 1. Si nous sommes le 16 février 2016, quelle date sera-t-il dans exactement 30 jours? (donnez le jour et le mois) 2. Quelle date était-il exactement 30 jours après le 16 février 2015? 3. Est-ce que vous avez la même réponse aux deux premières questions? Pourquoi? 4. Séparez l année en 4 trimestres, (janvier à mars, avril à juin, juillet à septembre et octobre à décembre). Combien y a-t-il de jours dans chaque trimestre? Les trimestres ont-ils le même nombre de jours à chaque année? 5. Dans notre calendrier, l an 1 correspond à la date de naissance de Jésus Christ. Il n y a pas d an 0. Un siècle se termine lorsque 100 ans se sont écoulés. Nous sommes au 21 e siècle. Quel était le premier jour du 21 e siècle? Quel sera le dernier jour du 21 e siècle? 6. Trouvez une stratégie pour calculer la somme des 63 premiers nombres Une seule des phrases suivantes est fausse, laquelle? 2016 = = = Un nombre palindrome est un nombre qui se lit de la même manière à l endroit ou à l envers. Par exemple 2442 est un nombre palindrome, mais pas a) Quelle est la prochaine année, après 2016, dont le nombre est un palindrome? b) Écrivez 3 palindromes de 5 chiffres?