MECANIQUE I. 1. Cinématique

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1 MECANIQUE I La première approche de la mécanique se limitera à des notions simples ne faisant appel, pour leur description, qu'à des grandeurs scalaires. On débutera ainsi en présentant des éléments de cinématique, puis une introduction sur l'énergie et la puissance. La dynamique, qui s'appuie sur des grandeurs vectorielles, ne sera abordée que plus tard. 1. Cinématique La cinématique est la description géométrique du mouvement mais ne se préoccupe pas de ses causes. La cinématique à une dimension permet de traiter tous les problèmes dans lesquels le mouvement a lieu selon une ligne droite, qu'il s'agisse, par exemple, de voitures qui 'freinent ' ou de voitures qui 'accélèrent'. Afin de pouvoir décrire également le mouvement des carrousels ou des satellites en orbite autour des astres, on abordera la cinématique à deux dimensions. Les notions qui doivent être maîtrisées au cours de ce chapitre, sont les suivantes: - Position d'un mobile en fonction du temps - Vitesse d'un mobile en fonction du temps - Accélération d'un mobile en fonction du temps On remarquera qu'il s'agit de grandeur caractérisées par une norme et une direction (grandeurs vectorielles). 1.1 Cinématique à une dimension A. Position d'un objet et trajectoire Pour repérer la position d'un objet, on choisit une origine et on mesure la distance x de l'objet à cette origine. La position de l'objet variant en général au cours du temps, la donnée de x en fonction du temps t, c'est-à-dire x(t), représente la 'trajectoire' de l'objet. Position d'un objet: x(t) Unités: x se mesure en mètres [m]. Exemple 1: voiture se déplaçant à vitesse constante O x Exemple 2: voiture se déplaçant de plus en plus vite O x Exemple 3: voiture se déplaçant de moins en moins vite O x

2 Il est pratique de représenter graphiquement x en fonction de t. Exemples: Interprétation des graphiques ci-dessous: Cas 1: Cas 2: X (m) X (m) t (s) t (s) Cas 3: Cas 4: X (m) X (m) t (s) t (s) 2

3 B. Vitesse d'un objet La vitesse est définie comme étant la distance parcourue, divisée par le temps de parcours: distan ce vitesse = temps Plus précisément, soit x 1 la position du mobile au temps t 1 ; x 2 sa position au temps t 2. Nommons Δx=x 2 -x 1 et =t 2 -t 1. La vitesse s'exprime alors par: v = Δx Unité: [m/s] Notons la difficulté qui peut se présenter à ce stade et qui concerne le choix de l'élément de distance Δx! En effet, si la vitesse n'est pas constante, on ne peut prendre une distance Δx quelconque. Pour connaître la vitesse à un instant donné, il faut que Δx (et donc le temps de parcours correspondant ) soit aussi petit que possible. On distingue alors: a) v moy = Δx, vitesse moyenne entre les points x 1 et x 2 ou pendant l'intervalle de temps t 1 et t 2. b) v = Δx lim ite, vitesse instantanée, obtenue en choisissant des intervalles de temps (et d'espace) 0 aussi petits que possible. Vitesse d'un objet: v(t) Unités m/s Exemple: une voiture roule de Neuchâtel à Lausanne et effectue le parcours (80 km) en une heure. La vitesse moyenne est donc de 80 km/h, même si la vitesse instantanée de la voiture est de 120 km/h à la hauteur d'yverdon et de 40 km/h à l'entrée de l'autoroute. Remarques: Conversion d'unité: 1 km h = 1000 m 3600 s = 1 m 3,6 s ou 1 m/s = 3,6 km/h La vitesse d'un mobile ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière, c= m/s La vitesse est caractérisée non seulement par sa norme (20m/s; 90 km/h) mais aussi par sa direction. Mathématiquement, la vitesse est donc une grandeur vectorielle. Lorsqu'une vitesse change, elle peut changer en norme (une voiture roule de plus en plus vite sur une route droite; un autobus freine sur un bout rectiligne et s'arrête) mais elle peut aussi changer en direction. Exemple: le passager d'un carrousel peut se déplacer constamment à 40 km/h, cependant sa direction change continuellement. On dira que la vitesse du passager change. En physique, lorsqu'on dit "la vitesse d'un mobile est constante" on sous-entend que la vitesse est constante en norme et en direction. Sinon, il faut ajouter des précisions supplémentaires. 3

4 Lorsque la trajectoire est rectiligne, il est évident que la direction de la vitesse est constante. Un 'changement' de vitesse est alors équivalent à un changement de la norme de la vitesse. La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire C. Accélération Pour décrire et calculer une variation de vitesse, il faut introduire la notion d'accélération. En effet, on distingue la voiture A qui passe de 0 à 100 km/h en 15 s, de la voiture B qui passe de 0 à 100 km/h en 8 s, en disant que l'accélération de B est plus grande que l'accélération de A. Ainsi: Accélération = variation de vitesse int ervalle de temps Unités: m / s s = m s s = m s 2 = m s 2 Comme précédemment, il faut distinguer en principe a) a moy = Δv, l'accélération moyenne pendant le temps b) a = Δv lim ite, l'accélération instantanée en un temps donné. 0 Exemple: l'accélération de la pesanteur vaut g=9,81 m/s 2. Cela signifie que, lors d'une chute libre, la vitesse de la balle qui tombe, augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. Si on lâche la balle avec une vitesse initiale nulle, la vitesse est de 9,81 m/s après 1 s; de 19,62 m/s après 2 s; de 29,43m/s après 3 s, etc. Remarques. Nous nous contenterons, dans ce cours, de décrire des situations dans lesquelles l'accélération est constante. La distinction entre accélération moyenne et accélération instantanée n'a alors plus lieu d'être faite. L'accélération de la pesanteur sur la terre vaut g=9,81 m/s 2. Pour ressentir son effet, il suffit de s'embarquer sur un engin de foire dans lequel les passagers sont en chute libre. Ordres de grandeur: freinage sur route sèche: 4-5 m/s 2 freinage sur route mouillée: 3-4 m/s 2 accélération subie par un pilote d'essai: 4

5 On ressent les effets d'une accélération, non les effets d'une vitesse. Discuter, en termes de vitesse et d'accélération, ce qui se passe lorsqu'un train démarre tout doucement; lorsqu'une voiture freine ou accélère brusquement. Reprendre les exemples graphiques traités sous la rubrique 'position'. Discuter les diagrammes et les graphiques correspondant pour la vitesse (en fonction du temps) et l'accélération (en fonction du temps). En particulier, représentez a(t), v(t), x(t) pour une situation où la vitesse est constante. Pour une situation où l'accélération est constante. Tout comme la vitesse, une accélération est une grandeur vectorielle. 1.2 Mouvements particuliers à une dimension Mouvement rectiligne uniforme: MRU C'est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante, notée v 0. Les différentes grandeurs sont alors caractérisées comme suit. - Accélération: la vitesse ne changeant ni en norme, ni en direction. on a donc a=0 - Vitesse: elle est constante, c'est-à-dire, quelque soit le temps, v=v 0. - Position: si au temps t 1 =0, le mobile se trouve à la position x 0 =0, alors pour un temps t>0, on a x(t)=v 0. t. Exemples: 1) Esquisser les graphiques x(t), v(t), a(t) 2) Une voiture se déplace à 60 km/h. Distance parcourue en 20 s? Mouvement rectiligne uniformément accéléré: MRUA Dans ce cas, l'accélération est constante, on la note a. - Accélération a=const - Vitesse: si en t 1 =0, le mobile se trouve en x 1 =0 et possède à cet instant la vitesse v(0)=v 0, la vitesse s'exprime par: v(t) = a t + v 0 - Position: dans ces mêmes conditions, on obtient pour la position en fonction du temps: x(t) = 1 2 a t 2 + v 0 t + x 0 Exemples: 1) Esquisser les graphiques x(t), v(t), a(t) 2) L'accélération d'une voiture est de 0,3 m/s 2. Sa vitesse initiale est nulle. Vitesse après 25 s? Distance parcourue durant ce laps de temps? 3) Mêmes questions, mais la vitesse initiale est de 20 km/h. 5

6 Dessiner la vitesse et l'accélération de la balle lorsqu'elle occupe diverses positions pour les cas suivants: Cas 5:on laisse tomber une balle Cas 6: on lance une balle vers le haut. 1.3 Cinématique à deux dimensions La balle de tennis projetée par la raquette d'un joueur subit à la fois un déplacement vertical et un déplacement horizontal. Elle effectue en général une trajectoire parabolique, qui résulte du fait que selon l'axe horizontal il n'y a pas d'accélération, et que selon l'axe vertical la balle est soumise à l'accélération de la pesanteur. On a affaire ici à un mouvement à deux dimensions. * Que se passe-t-il pour un satellite en mouvement circulaire autour de la Terre? Sa vitesse change-t-elle en norme? En direction? * Que ressent le passager d'un carrousel? Peut-il dire, yeux fermés, s'il est immobile ou non? A. Mouvement uniformément accéléré: MUA. Une balle de ping-pong, une balle de fusil qui vient de quitter le canon de l'arme, suivent une trajectoire qui est un MRU horizontalement et un MRUA verticalement. Exemple: On vise horizontalement le centre d'une cible avec le canon d'un fusil et on tire. La cible se trouve à la distance L et la vitesse de la balle au sortir du canon vaut v 0. Calculer à quelle distance h du centre de la cible a lieu l'impact de la balle. 6

7 B. Mouvement circulaire uniforme: MCU. C'est le mouvement d'un corps qui se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon r à une vitesse v de norme constante. r La position du mobile peut être marquée sur le cercle en notant que la longueur l'arc parcourue est la même pour des intervalles de temps égaux. La période de révolution du mobile est le temps T mis pour effectuer un tour complet. Le vecteur vitesse en différents points de la trajectoire circulaire, est un vecteur tangent au cercle. L'accélération peut être déterminée intuitivement si l'on remarque que les effets ressentis dans un virage sont fonction du rayon de courbure de celui-ci et de la vitesse de la voiture. Des considérations de dimensions, permettent ensuite d'écrire: Accélération centripète: a n = v 2 /r Unités: m/s 2 Exemple: Considérons le mouvement de la Terre autour du Soleil. La distance Terre-Soleil est connue (D= 150 mio km). La période de la Terre également. Quelle est la norme de la vitesse de la Terre dans son mouvement autour du Soleil? Quelle est l'accélération de la Terre lors de ce mouvement? Que dire de la valeur du résultat? 7

8 2. Introduction à la dynamique 2.1 Masse et poids La masse d'un objet mesure sa quantité de matière. C'est la masse de l'objet qui oppose une inertie à tout changement de l'état de mouvement de l'objet. On la note m ou M; unité: [kg] La masse est, en principe, une grandeur qui est conservée. Ainsi, si votre masse est de m=60 kg sur Terre, elle vaudra 60 kg quel que soit l'endroit de la galaxie où vous cherchiez refuge. Le poids d'un objet est dû à l'attraction gravitationnelle exercée sur ce dernier par l'astre sur lequel il se trouve. On le note P; unité: le newton [N] Le poids dépend bien sûr de l'astre sur lequel on se trouve (il n'est pas le même sur Terre et sur la Lune) et de la distance objet-centre de l'astre. Dans ce qui suit, on se limitera aux situations dans lesquelles l'objet se trouve au voisinage de la surface de l'astre. Si l'on se trouve très éloigné de tout corps céleste, le poids est évidemment nul. Le poids est proportionnel à la masse m: P=m. g où g est l'accélération de la gravitation. Pour la Terre: g=9,81 m/s 2 ; pour la Lune: g=1,67 m/s 2. 8

9 2.2 Principe d'inertie Il a été énoncé par Galilée (1610) et stipule que tout corps conserve son état de mouvement en l'absence d'influence extérieure. Autrement dit: pour modifier l'état de mouvement d'un corps, il faut agir sur ce corps avec une force nette. Questions: - que va-t-il se passer pour la sonde spatiale Voyager une fois qu'elle aura quitté définitivement le système solaire? - on lance une balle sur une surface horizontale plane et on constate qu'elle s'arrête. Pourquoi? - vous vous êtes élancé avec votre vélo sur une route horizontale droite, à la vitesse de 30 km/h. Pourquoi devez-vous pédaler pour conserver votre vitesse? - On envisage de lancer un paquet survie au Lycée DDR depuis un avion survolant l'établissement. Discuter le moment auquel le paquet doit être largué. -Vous jouez à la balle dans un train. Si vous la lancez en l'air, retombera-t-elle sur vos genoux? - Trajet en bus, debout, baskets aux pieds. Le bus démarre, prend un virage en trombe, freine brutalement. Que se passe-t-il? Mêmes questions, mais le passager, debout, est en rollers... 9