Ecole d été - Cargèse. Représentation des signaux. Plan. Formule de Parseval. Représentation de Fourier. Qu est-ce que le Traitement du signal?

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1 Qu est-ce que le Traitement du signal? But du Traitement du signal: Extraire un maximum d informations utiles sur un signal perturbé par le bruit Ecole d été - Cargèse Traitement du Signal pour la parole G. Richard Plan Signal et Transformée de Fourier Transformée de Fourier Échantillonnage Transformée en Z Transformée de Fourier Discrète (TFD) Représentation des signaux Qu est-ce qu un signal? Application à la parole Spectrogramme (effets de la fenêtre d analyse) Notions de filtrage Convolutions Fonction de transfert Filtre du second ordre Applications à la parole Modèle source-filtre Modèle autorégressif, filtrage inverse Paramétrisation pour la reconnaissance vocale (MFCC) Détection de voisement, estimation de la fréquence fondamentale Signal déterministe: Signal aléatoire Représentation de Fourier Formule de Parseval On peut montrer que : Séries de Fourier Tout signal périodique x(t) de période T peut être décomposé sous la forme d une série de Fourier : Interprétation: La puissance d un signal est égale à la somme des puissances élémentaires de chacune de ses composantes. Composante = signal «sinusoidal»

2 Représentation de Fourier (temps continu) Propriétés Soit x(t) appartenant à Fourier existe et appartient à, la transformée de Parseval Spectre (ou densité spectrale d énergie): Échantillonnage: Formule de Poisson Reconstruction 2 situations: Interprétation: Echantillonnage périodisation du spectre Échantillonnage d un signal à bande illimitée Transformée en Z / TFDT Nécessité de filtrer le signal analogique pour obtenir un signal à bande limitée avant échantillonnage La transformée en Z d un signal x(n) est donnée par: avec La Transformée de Fourier à Temps Discrêt (TFTD) est donnée par: est périodique de période 1

3 Résumé de quelques propriétés Transformée de Fourier Discrète (TFD) Linéarité Symétrie hermitienne Par définition, la TFTD est une fonction périodique de période 1. En pratique, nous prenons N échantillons, et on discrétise l intervalle de fréquences [0-1] en L valeurs telles que: Convolution On obtient: Décalage fréquentiel Décalage temporel (retard) La TFD est alors définie par les formules directe et inverse: Relation TZ <-> TFD Spectre d une somme de 10 sinusoïdes x n X k Cela correspond à un échantillonnage de la transformée en z en N points régulièrement espacés autour du cercle unité π Exemple: Spectre d un segment de /i/ Description du signal de parole Description fréquentielle Utilisation de Transformée de Fourier Utilisation du spectrogramme

4 Paramétrisation: paramètres spectraux Paramétrisation spectrale: analyse d un signal audio (d après Laroche) Spectrogramme x n X k Spectrogramme Spectrogramme des voyelles / a e i o u/ Effet du fenêtrage Effet de la fenêtre carrée Utilisation d autres fenêtres La fenêtre de Hamming La fenêtre de Hanning..

5 Comparaison de 2 fenêtres Effet de la longueur de la fenêtre Taille de la fenêtre pour un spectrogramme Importance de la taille de la fenêtre d analyse Notions de filtrage Système linéaire invariant dans le temps ' ) $' ) &'()!"" #$#!!% Filtrage: convolution Filtrage: convolution &'()

6 Filtrage Filtrage: transformée en Z Equation récurrente entrée/sortie La transformée en Z de X(z) d une séquence x(n) est donnée par: Filtres récursifs causaux (RII) Fonction de transfert du filtre: Filtrage: transformée en Z (2) Filtrage: Réponse en fréquence Fonction de transfert H(Z) : Réponse en fréquence: sont les zéros de H(z) sont les pôles de H(z) +,%" Filtrage: Réponse en fréquence Filtrage Interprétation géométrique Filtre du second ordre *

7 Filtre du second ordre Filtrage Représentation dans le plan Z Gain en fréquence Autre exemple Filtrage Filtre de préaccentuation Modèle source-filtre enveloppe spectrale, source +0! +0 " /'() s n F x n.'() Modèle autorégressif de la parole Modèle autorégressif de la parole (2) Soit le modèle Autorégressif (AR): En divisant par N et en remarquant que l autocorrélation est symétrique, on obtient: En multipliant par, on obtient: En refaisant la même opération en multipliant par on obtient un ensemble d équations: Puis en prenant l espérance mathématique, on obtient: -

8 Modèle autorégressif de la parole (3) Modèle autorégressif de la parole (4) Qui peut être ré-écrit: L équation de récurrence correspond au filtrage du processus (bruit) par le filtre &'() Résiduel Ou encore: La solution est donnée par Filtre inverse Où la fonction de transfert du filtre est donnée par: Retour au modèle de production Paramétrisation pour la reconnaissance vocale En inversant le système précédent: Source &'() Filtre tout pôles Signal de parole Réalisée par un module de traitement du signal (souvent appelé «Front End») Réalise une analyse spectrale du signal généralement effectuée suivant une des méthodes ci-dessous: Par banc de filtres (typiquement 10 à 30 bandes fréquentielles) Par FFT (cas particulier) Approche cepstrale Prédiction linéaire (LPC) Paramétrisation Echelle Mel Méthodes par bancs de filtres Ont été beaucoup utilisées Remplacées actuellement par des méthodes plus spécifiques Méthodes à base de la transformée de Fourier Existence d algorithmes rapides La FFT peut représenter la première étape d une analyse spectrale qui sera ensuite ré-échantillonnée suivant une nouvelle échelle fréquentielle (Echelle Logarithmique, Echelle Bark, Echelle Mel) Correspond à une approximation de la sensation psychologique de hauteur d un son (Tonie) Existence de formules analytiques: 3 paramétrisations couramment utilisées: Les paramètres MFCC Les paramètres LPCC Les paramètres PLP Exemples: Gamme mel Gamme Hertz

9 Filtre en échelle Mel Filtrage Mel (d après Rabiner93) Représentation cepstrale Intérêt Modèle source filtre de la parole! Energie dans chaque bande Représentation cepstrale(d après Furui2001) Représentation cepstrale Exemples: de Spectres à court terme (gauche) et de cepstre c(τ) (droite) Séparation de la contribution du conduit vocal et de la source par liftrage τ est homogène à un temps et est appelé quéfrence Représentation cepstrale Contribution de la source Représentation cepstrale Contribution du conduit vocal Contribution du conduit vocal (hypothèse: filtre causal, stable, minimum de phase) Développement en série 1

10 Représentation cepstrale Exemples de liftres (d après Calliope89) Paramétrisation MFCC «Mel-Frequency Cepstral Coefficients» C est probablement la paramétrisation la plus répandue dans les systèmes actuels Paramétrisation MFCC Lissage cepstral Calcul des coefficients MFCC Estimation de l enveloppe par le cepstre: Calcul du cepstre réel C n, puis lifrage basses quéfrences Reconstruction de l enveloppe spectrale d amplitude E =FFT(C n ) Une implémentation classique: 13 Coefficients (sans C 0 ) Filtres Mels espaces de 150 Mel (largeur de bandes 300 Mels) Utilisation des dérivées premières et secondes Soit des vecteurs de 39 paramètres acoustiques Les paramètres PLP (d après Hermansky90) Comparaison PLP MFCC (Hönig et al 05) PLP = Perceptual Linear Prediction Schéma général 2

11 Détection de voisement et estimation de la fréquence fondamentale Le signal de parole possède une composante périodique (lorsque le signal est voisé) Détection de voisement et estimation de la fréquence fondamentale Il existe de nombreuses méthodes qui peuvent être grossièrement scindées en: Les méthodes temporelles Les méthodes spectrales Les méthodes cepstrales Une méthode temporelle Détection de voisement par autocorrélation Utilisation de l autocorrélation Voisé si > seuil (par exemple seuil = 0.4) Conclusion Importance du traitement du signal pour l analyse des signaux de parole De nombreux autres outils existent Débruitage Estimation des trajectoires des formants Séparation de sources.