Calcul différentiel et intégral

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1 Statut provincial : 201-NYB pondération : bloc ministériel préalable : 201-NYA Calcul différentiel et intégral L objet et la place du cours dans le programme Le cours Calcul différentiel et intégral est le deuxième cours de mathématiques obligatoire du bloc ministériel du programme en Sciences de la nature. Il est présenté à l étudiant à la deuxième session, qu il soit du profil sciences pures et appliquées ou du profil Sciences de la santé et de la vie. Il s agit de la suite du cours Calcul différentiel de la première session. L étudiant devra utiliser ses apprentissages du premier cours de calcul tout en acquérant de nouvelles connaissances applicables à diverses situations interdisciplinaires. Le cours Calcul différentiel et intégral est un préalable à un troisième cours de calcul, optionnel, offert à la quatrième session, qu on recommande particulièrement aux étudiants se dirigeant vers les sciences pures et appliquées, notamment en génie. Dans le cours Calcul différentiel et intégral, l étudiant sera appelé à développer une compétence en résolution de problèmes en utilisant les primitives, les limites, les intégrales définies et les séries. Il aura l occasion de réinvestir ses apprentissages antérieurs tout en découvrant des méthodes de calcul et des stratégies de résolution de problèmes. Les objectifs généraux du cours 1. Les connaissances : l étudiant doit pouvoir 1.1 connaître, comprendre et savoir appliquer les notions du calcul infinitésimal : primitives, limites, intégrales définies et séries; 1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions mathématiques relatives au calcul différentiel et intégral; 1.3 connaître et savoir utiliser des stratégies de résolution de problèmes liés au calcul différentiel et intégral; 1.4 savoir situer le développement des concepts du calcul différentiel et intégral dans un contexte historique. 2. Les habiletés : l étudiant doit pouvoir 2.1 relier les concepts du calcul différentiel à ceux du calcul intégral; 2.2 développer son intuition, son sens de l observation des phénomènes infinitésimaux et prévoir, s il y a lieu, un résultat en faisant une estimation préalable; 2.3 donner une interprétation géométrique de diverses notions du calcul différentiel et intégral; 2.4 construire des modèles mathématiques correspondant à des situations données du calcul différentiel et intégral; 2.5 appliquer des stratégies générales de résolution de problèmes; 2.6 résoudre un problème en utilisant les techniques appropriées du calcul différentiel et intégral, rédiger une solution dans un français convenable, selon un déroulement logique, clair et complet tout en employant correctement le langage mathématique; 2.7 interpréter correctement les résultats obtenus et porter un jugement critique sur ces derniers; 2.8 relier les aspects numériques, symboliques et graphiques qui se présentent dans diverses situations du calcul différentiel et intégral; 2.9 lire de façon autonome les textes mathématiques proposés dans le cours; 2.10 établir, s il y a lieu, des liens entre les connaissances mathématiques et des notions relatives à d autres disciplines. 3. Les attitudes : ce cours doit amener l étudiant à 3.1 comprendre et améliorer son propre processus d apprentissage et se responsabiliser face à ce processus; Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-NYB

2 3.2 développer sa créativité et sa curiosité intellectuelle; 3.3 développer sa rigueur intellectuelle et son souci d être clair, précis, ordonné et systématique dans ses écrits et dans ses communications verbales; 3.4 comprendre l importance de développer une compétence en résolution de problèmes où la recherche de solutions est exigeante; 3.5 augmenter sa confiance dans ses capacités face aux activités mathématiques et se valoriser dans l effort; 3.6 développer sa capacité de collaborer avec autrui dans des équipes de travail tout en respectant les divers rythmes d apprentissage de ses pairs; 3.7 prendre conscience de l utilisation importante du calcul différentiel et intégral en sciences et de sa contribution particulière à la formation intellectuelle. Les objectifs spécifiques (le contenu) Remarques Les éléments marqués d une étoile sont des éléments d enrichissement qui ne seront pas évalués dans la partie commune de l examen récapitulatif et de synthèse du cours. Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours. Introduction Dérivée (révision) donner la définition de la dérivée donner l interprétation géométrique de la dérivée (5 périodes) énoncer et appliquer les formules de dérivation des fonctions algébriques, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses Continuité donner la définition de continuité sur un intervalle fermé étudier la continuité d une fonction sur un intervalle donné Théorème de Rolle énoncer le théorème de Rolle démontrer le théorème de Rolle (*) donner l interprétation géométrique du théorème de Rolle trouver les valeurs prévues par le théorème de Rolle (*) Théorème de la moyenne énoncer le théorème de la moyenne démontrer le théorème de la moyenne (*) donner l interprétation géométrique du théorème de la moyenne trouver les valeurs prévues par le théorème de la moyenne (*) utiliser le théorème de la moyenne pour démontrer l existence d une solution à une équation donnée (*) Primitives et équations différentielles (30 périodes) Différentielle donner la définition de la différentielle donner l interprétation géométrique de la différentielle énoncer les propriétés de la différentielle faire des approximations à l aide de la différentielle (*) Formules de base des primitives donner la définition de primitive énoncer les formules de base des primitives : celles qui proviennent directement des formules de dérivation des fonctions algébriques, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses celles de sécante, de cosécante, de tangente et de cotangente Collège de Maisonneuve 2 Mathématiques-NYB

3 Formules de base des primitives (suite) Équations différentielles Techniques d intégration effectuer une intégrale en choisissant la formule de base appropriée mathématiser une situation impliquant une équation différentielle reconnaître et résoudre une équation différentielle à variables séparables reconnaître et résoudre une équation différentielle linéaire du 1 er ordre (*) intégrer en appliquant les techniques d intégration suivantes : transformation par complétion du carré transformation par identités trigonométriques intégration par parties transformation par fractions partielles substitutions algébriques substitutions trigonométriques substitutions diverses choisir et appliquer une technique efficace pour effectuer une intégrale effectuer une intégrale plus complexe où il faut choisir et appliquer plusieurs techniques d intégration Limites et règle de L Hospital (5 périodes) Règle de l Hospital énoncer la règle de l Hospital et ses conditions d application interpréter géométriquement la règle de l Hospital (forme 0/0) (*) calculer des limites (forme non indéterminée), y compris des formes exponentielles à base variable reconnaître les formes indéterminées : 0/0 et / et lever ces indéterminations avec la règle de l Hospital ou avec d autres méthodes reconnaître les formes indéterminées : 0,, 1, 0 0 et 0 et savoir les transformer en vue d appliquer la règle de l Hospital ou d autres méthodes donner la définition du nombre e à l aide d une limite Suites et séries (10 périodes) Suites donner le terme général d une suite numérique calculer la limite d une suite (convergence, divergence) Notation écrire à l aide de la notation une somme de termes à comportement prévisible donner les termes d une somme écrite à l aide de la notation énoncer et appliquer les propriétés de la notation énoncer et appliquer les formules donnant la somme des n premiers entiers positifs et la somme des n premiers carrés positifs Séries donner la définition de la convergence ou de la divergence d une série calculer la somme d une série à l aide des sommes partielles énoncer et utiliser le critère de divergence étudier la convergence d une série géométrique et calculer sa somme appliquer le critère de d Alembert Séries de puissances reconnaître une série de puissances calculer l intervalle de convergence d une série de puissances (excluant l étude aux bornes) développer une fonction en série de puissances en l associant à une série géométrique (*) Collège de Maisonneuve 3 Mathématiques-NYB

4 Séries de puissances (suite) Intégrale définie Somme de Riemann et intégrale définie Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral développer une fonction en série de puissances en appliquant la formule de Taylor et la formule de MacLaurin calculer une somme de Riemann à l aide des formules de sommation donner la définition et la condition d existence de l intégrale définie évaluer une intégrale définie à l aide d une somme de Riemann donner les propriétés de l intégrale définie donner une représentation graphique de l intégrale définie énoncer le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral démontrer le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (*) calculer une intégrale définie à l aide du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral calculer une intégrale définie par changement de variable en effectuant un changement de bornes (10 périodes) Intégrale impropre calculer une intégrale définie dont au moins une des bornes n est pas un nombre réel calculer une intégrale définie dont l intégrande est discontinue pour une ou plusieurs valeurs du domaine d intégration calculer une intégrale définie dont au moins une des bornes n est pas un nombre réel et dont l intégrande est discontinue pour une ou plusieurs valeurs du domaine d intégration Applications de l intégrale définie (15 périodes) Aire calculer l aire d une région plane, bornée ou non, en utilisant un découpage vertical ou horizontal choisir le découpage le plus efficace pour résoudre un problème d aire Volume d un solide de révolution calculer le volume d un solide de révolution en utilisant la méthode des disques et la méthode des enveloppes cylindriques autant par découpage horizontal que vertical choisir le découpage le plus efficace pour calculer le volume d un solide de révolution Arc de courbe calculer la longueur d un arc de courbe en utilisant un découpage vertical ou horizontal (*) Centroïde calculer le centroïde d une figure géométrique plane (*) Séries de puissances développer une fonction en série de puissances par dérivation ou intégration d une série connue (*) calculer à l aide des séries, l intégrale définie d une fonction ne possédant pas de primitive élémentaire (*) Autres applications résoudre un problème relié à un des domaines suivants : cinématique, mécanique, économie, chimie (*) Collège de Maisonneuve 4 Mathématiques-NYB

5 Évaluation L évaluation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant : un minimum de 3 examens durant la session, excluant l examen final; un maximum de 30 points pour un examen; un maximum de 20 points pour d autres formes d évaluation; un examen final commun récapitulatif et de synthèse du cours d une durée de 2 heures valant 15 points. Collège de Maisonneuve 5 Mathématiques-NYB