Numération et codages

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1 Numération et codages Ce document est destiné à présenter les principaux codages utilisés en informatique et en électronique numérique. Car si nous autres humains comptons en décimal (base 10 : 0, 1, 2, 8, 9), les ordinateurs et autres circuits électroniques ne connaissent que le binaire (0, 1) ; de plus, ils manipulent des mots binaires au format fini, c est-à-dire composés d un nombre de bits figé. Ce document expose principalement la façon dont seront représentés par un ordinateur des nombres tels que 2003, -164 (entiers), ou 6, (réels). Table des matières I. Introduction 2 A. Nombres et codes 2 B. Qu est-ce qu un code? 2 C. Qu est-ce qu un nombre? 2 D. Contenu de ce document 2 II. Systèmes de numération des entiers 4 A. Les différentes bases numériques pour exprimer les entiers naturels 4 1. La base décimale (base 10) 4 2. Généralisation à une base quelconque B 4 3. Le code Binaire Naturel (base 2) 4 4. La base hexadécimale (base 16) 6 B. Conversion d un entier naturel de la base 10 vers une autre base 7 C. Codes binaires pour les entiers signés (nombres relatifs) 7 1. Rappel : complément à Comment gérer le signe d un nombre relatif? 8 3. Le code «Signe valeur absolue» (non utilisé en pratique) 8 4. Le code «Complément à deux» (utilisé presque partout) 8 5. Arithmétique binaire en complément à Le code Binaire décalé (utilisé parfois) 12 III. Codage des nombres réels («flottants») Codage «en virgule fixe» d un réel inférieur à Nombres «à virgule flottante» 14 B. Normalisation 15 Normalisation des réels en base Codage IEEE simple précision sur 32 bits Codage IEEE double précision sur 64 bits codage précision étendue 80 bits 16 IV. Autres codes binaires 17 A. Code BCD 17 B. Code de Gray 18 V. Conclusion 19 VI. Annexes Multiplication binaire Arithmétique des nombres flottants 23 IUT Cachan - GEii1 1 JSR, rév.ap

2 I. Introduction A. Nombres et codes Nous manipulons tous les jours des nombres et des codes. Par exemple, les quantités sont exprimées avec des nombres et la monnaie est une occasion fréquente de manipuler des nombres. Par contre, le code secret d une carte bancaire est fait de chiffres, mais ce n est pas un nombre : c est un code. Un numéro de téléphone est aussi un code (pas un nombre), ainsi que le numéro de sécurité sociale. Dans tous ces exemples, les chiffres sont à la base de l expression des nombres ou des codes. Nous acceptons assez naturellement l usage des chiffres pour exprimer des choses de nature finalement assez différentes (des nombres ou des codes). Les chiffres utilisés sont ceux de la base dix (0,1, 2, 8,9). Dans les ordinateurs, et plus particulièrement en électronique numérique, il se passe la même chose ; on utilise les chiffres pour représenter des nombres et des codes ; la seule différence est qu il s agit des chiffres de la base deux (0 et 1). B. Qu est-ce qu un code? Pour la carte bancaire, c est un groupement de quatre chiffres (de la base dix). Pour le numéro de téléphone, c est un groupement de dix chiffres. Pour le numéro de sécurité sociale, on dispose de 13 chiffres. Les chiffres composant le code sont ordonnés. Le nombre de chiffres est constant. Mais attention, n importe quel groupement de quatre chiffres ne donne pas un code valide pour une carte bancaire. Le code est fabriqué en respectant une technique particulière. Par exemple, le numéro de S.S. est composé de plusieurs codes ou nombres ayant une signification particulière : code du sexe, année et mois de naissance, codes du département et du lieu de naissance, numéro d ordre de naissance. De même, les deux premiers chiffres d un numéro de téléphone correspondent à la zone géographique du correspondant ou au service. On peut donc conclure que le code est une représentation signifiant quelque chose. Un code est la représentation d une signification La relation entre le code et le sens qui lui est attribué est l affaire d une convention. Quand on connaît la convention de codage, il est possible de procéder à un décodage ou plus simplement vérifier au moins si le code est valide. On sait par exemple que le numéro de téléphone n est pas valide (les deux premiers chiffres 14 ne correspondent à aucun code de zone ou de service valide). En électronique numérique, on utilise beaucoup de codes. Chaque système, chaque constructeur (de composant ou de matériel), chaque organisme de normalisation, etc. invente un ou plusieurs codages. La seule chose à retenir, c est qu il faut avoir en sa possession les conventions de codage. Par exemple, pour comprendre le langage de programmation d un microprocesseur, il faut avoir à sa disposition le manuel décrivant le jeu des instructions de ce composant. C. Qu est-ce qu un nombre? Un nombre représente une valeur. Notre culture est telle que la manipulation des nombres est quasi naturelle. Un nombre est la représentation d une valeur La valeur est représentée au moyen de chiffres écrits de façon ordonnée. La différence par rapport au code est que chaque chiffre composant le nombre est porteur d une valeur. Par exemple, le nombre 421 est composé du chiffre 4 qui représente la valeur 400, du chiffre 2 qui représente la valeur 20 et du chiffre 1 qui représente la valeur 1. La convention qui permet d attribuer une valeur à un chiffre s appelle la pondération. Le 4 est pondéré par la valeur 100, le 2 par la valeur 10 et le 1 par la valeur 1. Les valeurs de pondération sont les puissances entières positives successives d un nombre de base (ici 10). Les nombres sont formés à l aide d un code pondéré Une même valeur peut être exprimée de différentes façons selon la base de pondération utilisée. On note (421) 10 une valeur exprimée en base 10. La même valeur exprimée en base 3 s écrit (120121) 3. Il s agit bien de la même valeur. Si vous avez 421 dans votre porte-monnaie, vous avez (421) 10 euros, bien sûr. Vous ne serez pas plus riche (malgré de trompeuses apparences) si vous décidez de compter en base 3 ; certes vous compterez (120121) 3, mais attention, il ne s agit pas de cent vingt mille cent vingt et un euros... il faut plutôt dire «un deux un zéro deux un» euros en base 3. D. Contenu de ce document Le présent document est principalement centré sur les codes numériques utilisés en informatique (microprocesseurs, ) et en électronique numérique (convertisseurs, compteurs, afficheurs la liste est très longue). Il commence par présenter les différentes bases numériques qui permettent de coder les entiers naturels, ainsi que les moyens de passer d une base à l autre. On se limite aux bases utiles en électronique et en informatique : base 10, base 2 et base 16. On aborde IUT Cachan - GEii1 2 JSR, rév.ap

3 ensuite les codes qui permettent de coder les entiers signés. Puis sont présentés les techniques de codage des réels (représentation normalisée). Enfin, le document aborde des codes ayant des propriétés particulières ; les codes BCD et de Gray.Le cours se termine par un bref aperçu des calculs arithmétiques dans les machines binaires (en annexe). IUT Cachan - GEii1 3 JSR, rév.ap

4 II. Systèmes de numération des entiers Un système de numération est muni d une base et de règles de composition des nombres. Voici quelques rappels de ces notions. A. Les différentes bases numériques pour exprimer les entiers naturels 1. La base décimale (base 10) bases. C est la base de référence, car il suffit d analyser comment nous gérons la base dix pour en déduire les autres Un nombre est composé de chiffres (digit). Un chiffre est un symbole extrait d un ensemble ordonné : la base dix. base dix = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } Par exemple, N=1989 est l écriture d un nombre en base 10, qui sous-entend la décomposition suivante : N 10 = 1989 = 1x x x De façon plus générale, les chiffres qui composent le nombre N dans la base 10 sont les coefficients a i de la décomposition de N en somme de puissances de 10 (forme polynomiale) : i=m N = Σ a 10 i M IN 10 i=0 i On peut constater que : le rang i d un coefficient a i est l exposant de la puissance de dix qui lui est associée. Dans l exemple avec N=1989, a 3 = 1 car 1000=1 x le chiffre de rang 0, c est-à-dire le plus à droite, est appelé le chiffre (digit) de plus faible poids (LSD : Least Significant Digit). Le chiffre le plus à gauche est le chiffre de plus fort poids (MSD : Most Significant Digit). 2. Généralisation à une base quelconque B Soit la base B formée de : base B = {0, 1,..., B-1} avec B IN Tout nombre entier naturel N peut s exprimer en base B avec n chiffres ordonnés, sous la forme : N B = ( ) a n-1... a 1 a 0 B Cela signifie que le nombre N se décompose en somme de puissances de B (forme polynomiale), sous la forme : N B = i=n-1 Σ i=0 a i B i a i base B, n IN et n>0 3. Le code Binaire Naturel (base 2) Aussi appelé «binaire pur». base 2 = { 0,1 } Une remarque pour commencer : le code binaire naturel est utilisé partout dans les ordinateurs. Mais attention, l électronicien ou l informaticien préfère la base 16 (ou hexadécimale) à la base 2 : on peut dire que la base 16 est «presque équivalente», car on passe très facilement de la base 16 à la base 2 et réciproquement (c est dû au fait que 16 est une puissance de 2). Ce sera donc la base 16 qu il faudra manipuler, de préférence à la base 2. Reprenons notre code binaire naturel, avec un exemple : N 2 = ( ) 2. Que vaut ce nombre en décimal? IUT Cachan - GEii1 4 JSR, rév.ap

5 Les chiffres 0 et 1 sont ordonnés de gauche à droite, du MSD au LSD. Le développement de la forme polynomiale associée fournit la valeur décimale du nombre écrit en binaire : N = = Remarques : la taille d un nombre binaire (le nombre de chiffres qui le composent) est 3 à 4 fois plus grande qu en décimal. D où l intérêt de la base hexadécimale, beaucoup plus compacte que la base binaire et qui s en déduit facilement. on va tellement utiliser le binaire qu il faut connaître, au moins, les 10 premières puissances de 2, et savoir retrouver très vite le code des 8 premiers entiers: décimal binaire naturel dans le format 4 bits Vocabulaire : Les valeurs remarquables à connaître : 2 10 = 1024 se note k. Exemple : 1 ko (kilo octet) vaut 1024 octets = se note M (mega) = se note G (giga). un chiffre binaire est appelé bit ("binary digit" en anglais) ; en français, "élément binaire" (eb), très peu utilisé. le bit le plus à gauche est appelé le bit de poids fort ou MSB (Most Significant Bit) ; le bit le plus à droite est le bit de poids faible ou LSB. un nombre binaire est souvent appelé "mot binaire" car on le trouve dans un format fixe. le format d un mot binaire est sa taille en nombre de bits. Pour un format de n bits, les nombres exprimables appartiennent à l intervalle [0, 2 n -1], ce qui fait 2 n valeurs différentes. La valeur qui suit le plus grand nombre exprimable dans le format n bits est 2 n. On peut avoir n importe quel format, mais certains sont des classiques et possèdent même un nom : En français En anglais Nombre de valeurs différentes possibles 4 bits quartet digit 16 8 bits octet byte bits demi mot half word k 32 bits mot word G 64 bits mot long long word Cette notion de format est très importante, car elle est associée à la taille réelle (physique) des mots binaires que la machine manipule. C est d ailleurs le format qui est la caractéristique utilisée pour classer les microprocesseurs. Remarques sur le comptage binaire naturel : le format étant fixé (p bits par exemple), un nombre N issu d un comptage, exprimé en binaire naturel, évolue selon N modulo 2 p. Cela signifie qu il repasse à 0 après être arrivé à 2 p -1. IUT Cachan - GEii1 5 JSR, rév.ap

6 la séquence des nombres en binaire naturel possède une propriété utile pour sa composition : en observant la colonne la plus à droite (le LSB, ou rang 0), on voit qu il y a une alternance de 0 et de 1 ; au rang 1, on trouve une alternance de deux 0 puis de deux 1 ; ainsi de suite : au rang k, il y a une alternance de 2 k symboles 0 et de 2 k symboles 1. on note aussi que d une ligne de la séquence à la suivante, c est lorsque le bit de rang i passe de la valeur 1 à la valeur 0 que le bit de rang i+1 change d état. 4. La base hexadécimale (base 16) Ce sera la base la plus utilisée par la suite. On peut considérer que c est une variante «compacte» du binaire! C est pourquoi les valeurs seront presque toujours exprimées en hexadécimal (en abrégé, hexa), même si le contexte parle de code binaire. Cette interchangeabilité entre binaire et hexa vient du fait que 16 est une puissance de 2. base 16 = hexadécimal = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} décimal hexa binaire A B C D E F 1111 Tout nombre N peut s exprimer en base hexadécimale avec n chiffres ordonnés, sous la forme : a n 1... a a = 0x a n-1 a 1 a 0 N 16 = ( 1 0 ) 16 Cette écriture signifie que le nombre N se décompose en somme de puissances de 16, sous la forme : N 16 = i=n-1 Σ i=0 a i 16 i a i base 16, n IN et n>0 En langage C (cette écriture tend à s imposer partout), les nombres hexadécimaux s écrivent avec le préfixe 0x. Par exemple, (1E7A) 16 s écrit 0x1E7A. (1E7A) 16 sera parfois noté 1E7Ah (h ou H pour Hexadécimal) ; on doit prononcer un e sept a. On revient à la valeur décimale en utilisant la décomposition en somme de puissances de 16 ; il suffit de bien traduire en décimal les symboles A à F. Ainsi : 0x1E7A = 1E7Ah = 1 x x x x 16 0 = Passage Hexa <-> Binaire : Sur le tableau ci-dessus, on voit qu un symbole hexadécimal correspond à 4 bits en binaire. La technique est alors évidente : on partage en «tranches de 4 bits» le mot binaire et on traduit chaque tranche en son équivalent hexadécimal (attention! en commençant par le bit de poids le plus faible, à droite ; il faut parfois rajouter des 0 à gauche). Par exemple : ( ) = = 2 0x5C8671 Inversement, on traduit chaque symbole hexadécimal en binaire sur 4 bits: 53B0h = = ( ) 2 IUT Cachan - GEii1 6 JSR, rév.ap

7 Intérêt de l hexadécimal par rapport au binaire naturel: la réduction par 4 du nombre de symboles pour exprimer les nombres binaires (code hexa 4 fois plus compact). les formats des nombres binaires dans les machines étant des multiples de quatre, on peut toujours utiliser l hexadécimal. le format d un symbole hexa (4 bits) est aussi celui qui est nécessaire pour exprimer les chiffres décimaux. Nous avons parcouru rapidement les trois bases entières dont nous ferons l usage. A présent, ce sont les procédés de conversion que nous devons aborder. Encore une fois, l hexadécimal aura une place de choix. B. Conversion d un entier naturel de la base 10 vers une autre base Pour convertir l écriture d un nombre entier naturel de la base 10 en une autre base B, on procède par divisions entières successives par B. Le reste de chaque division fournit un des coefficients a i recherchés, le quotient sert à la division entière suivante. Prenons comme exemple le nombre décimal N=167957, à traduire en hexadécimal et en binaire. On procède à une série de divisions par 16 ; tous calculs faits, il vient : = x est le coefficient a 0 (LSD) Ainsi : = 656 x est le coefficient a = 41 x = 2 x = 0 x est le coefficient a 4 (les coefficients suivants sont tous nuls) N = (167957) 10 = (29015) = 0x Pour obtenir N en binaire, il suffit de faire la conversion (facile) hexadécimal->binaire : chaque digit hexadécimal est converti en un groupe de quatre bits, d où : (29015) = ( ) 16 2 N = (167957) = ( ) 10 2 Remarque : Cette technique de division entière marche aussi avec la base 2 pour obtenir directement le code binaire de N. Ce n est pas conseillé (car plus long!) : il est toujours préférable de passer par l hexadécimal, et de traduire ensuite (si nécessaire!) en binaire. A l usage, on se rend compte qu on utilise très peu l écriture binaire, car elle est lourde et peut facilement être remplacée par l hexadécimal. Dans les langages de programmation tel que le C, la représentation des nombres en binaire n existe pas : l hexadécimal et le décimal sont les seules bases disponibles. C. Codes binaires pour les entiers signés (nombres relatifs) Tous les nombres vus jusqu à présent étaient des entiers naturels, donc positifs ou nuls. Voyons maintenant comment coder les nombres entiers signés, qui peuvent être négatifs, positifs ou nuls. 1. Rappel : complément à 1 Le complément à un d un bit a est le bit qu il faut ajouter à a pour obtenir 1. Il vaut 1 si a vaut 0, et 0 si a vaut 1. On remarque que a et son complément à 1 sont toujours différents l un de l autre ; on dit aussi qu ils sont l inverse l un de l autre (mais ce n est pas très heureux par rapport à la notion mathématique de l inverse d un nombre). Pour former le complément à 1 d un mot binaire, on applique la règle sur chaque bit du mot. IUT Cachan - GEii1 7 JSR, rév.ap

8 2. Comment gérer le signe d un nombre relatif? Nous avons vu le code binaire naturel avec lequel on peut représenter les nombres entiers de l ensemble IN. Pour faire du calcul arithmétique, il faut pouvoir représenter les nombres relatifs. D une manière générale, on considère que le signe d un nombre est une information binaire : Le signe positif est attribué aux nombres positifs ou nuls Le signe négatif est attribué aux nombres strictement négatifs Avec ces conventions, il est possible de représenter le signe à l aide d un bit, qui sera placé à gauche du nombre. Selon le codage utilisé, la valeur attribuée au bit de signe positif (0 ou 1) change. On retient trois modes d expression des nombres entiers en binaire signé dans un format donné : signe valeur absolue, complément à deux et binaire décalé. Le code «complément à deux» est de loin le plus utilisé. 3. Le code «Signe valeur absolue» (non utilisé en pratique) Le nombre binaire représenté avec cette convention est formé de deux parties. Le bit le plus à gauche est le bit de signe ; à droite, on trouve la valeur absolue du nombre. Bien sûr, le plus logique est que le signe des nombres positifs ou nuls soit codé par un bit de signe à 0 ; ainsi on conserve x = x si x > 0. Exemple avec un nombre codé sur huit bits : on trouve un bit de signe et la valeur absolue sur sept bits : (+57) = ( ) 10 signe valeur absolue (-57) = ( ) 10 signe valeur absolue Ce type de représentation des nombres relatifs est rarement employé, car il conduit à des complications matérielles pour la réalisation et l arithmétique. Mais on retrouve ce principe dans le codage des nombres réels à virgule flottante. 4. Le code «Complément à deux» (utilisé presque partout) Le code complément à deux (code C2) est LA solution pour représenter les nombres entiers relatifs. Il est utilisé dans tous les microprocesseurs pour coder les entiers signés (en langage C, pour les types long int, short int). a) Règles de codage Pour un entier positif, le code C2 se contente de reprendre le code binaire naturel (CBN). Mais attention, la dynamique de codage est divisée par deux pour un format constant (car on «perd» le bit de signe). Par contre, pour les entiers négatifs, le code C2 introduit un bit de signe et une technique de codage particulière, inspirée par le fait que (par définition), tout entier relatif x a un opposé noté -x (excepté 0 ) tel que : x + -x = 0 Enoncé des règles de codage en complément à 2 sur n bits : Soit A un entier positif. Le code C2 sur n bits de A est le code binaire naturel de A. L entier négatif A est codé en C2 sur n bits par le code binaire naturel de 2 n -A (qui est positif) : Code C2 de A = code binaire naturel de (2 n A) On remarque que dans ce mode de représentation des nombres relatifs, le bit de signe des nombres positifs vaut 0. Exemple : En format 8 bits, prenons x = ( ) 2 = 0x66. x est positif, puisque son bit de signe vaut 0. En décimal ce nombre s écrit : x = (102) 10 obtenu grâce à la somme en puissances de 16 : x = 6*16+6*1=102. Appliquons la règle du complément à deux en format 8 bits pour trouver le code C2 de -x. 2 8 = 256 donc : -x C2 = ( ) 10 = (154) 10 or (154) 10 s écrit en hexa : (9A) 16 donc le code C2 de x vaut : IUT Cachan - GEii1 8 JSR, rév.ap

9 (-x) C2 = (9A) 16 = ( ) 2 après conversion hexa binaire On vérifie par l addition que les deux nombres sont complémentaires à 2 8. En effet : Dans le format 8 bits, le résultat est nul, car la retenue au rang 2 8 est hors format, elle n appartient pas au résultat. Si on cherche le code C2 de x sur 16 bits (voir aussi le paragraphe «extension de signe» page suivante): x = 0x0066 = ( ) 2 = (102) 10 inchangé à part les 0 rajoutés à gauche (-x) C2 = ( ) 10 = (65434) 10 = (FF9A) 16 = ( ) 2 Quelques codes caractéristiques à connaître : L entier 0 s écrit ( ) C2 quel que soit le format L entier (-1) 10 s écrit ( ) C2 = 0xFF FF quel que soit le format Le plus grand entier positif sur n bits s écrit ( ) C2 = 0x7F F ; il vaut (+2 n-1-1) 10 Le plus grand entier négatif sur n bits s écrit ( ) C2 = 0x80 00 ; il vaut (-2 n-1 ) 10 b) Technique de calcul pour trouver le code C2 de l opposé d un nombre : Technique pour obtenir le code C2 de N à partir du code C2 de N : Pour former les chiffres du complément à la base B d un nombre exprimé dans cette base, on procède de droite à gauche. Tous les chiffres nuls situés à droite sont recopiés. Au premier chiffre non nul, on fait correspondre le complément à la base B ; pour les suivants, on fait correspondre le complément à (B-1). En électronique numérique, il faut bien sûr travailler en base 16. Le calcul du complément à 16 devient un raccourci de calcul du complément à 2, mais nous continuerons de parler du «complément à deux» (C2) même en travaillant en hexadécimal! Soit par exemple le nombre N=(60A7E904) : 16 son complément à 16, c est-à-dire le code C2 de N, s écrit directement (calcul de tête) : (9F5816FC). 16 Explication : pour le LSB non nul, on prend le complément à 16 :16-4=12=C en hexa. Pour les autres chiffres, on prend le complément à 15, soit 15-0=F, puis 15-9=6, etc Autre exemple : soit N = (5001BC ) 16 le code C2 de N, c est-à-dire son complément à 16, est (toujours de tête) : (AFFE4368FDBC00) 16. Dans ce dernier exemple, il y a quatorze chiffres hexadécimaux, cela correspond à 56 bits en base deux! Comme le montrent ces exemples, le passage au binaire n est absolument pas nécessaire. En pratique, il est rarement utile Malgré la méthode de calcul qui utilise le complément à seize, nous continuerons de parler du complément à deux. Par définition, l addition des nombres en binaire pur est la même opération que pour les nombres en complément à deux. C est vrai parce que le format des mots binaires est fixe. En conséquence, le même matériel est utilisé pour réaliser les calculs pour les deux modes de représentation des nombres binaires ; d où l utilité du code complément à 2. c) Dynamique de codage Pour un format donné, la dynamique de codage correspond aux intervalles de valeurs positives et négatives qu on peut exprimer. Comme le signe occupe le bit de poids fort, cela réduit d un bit le format utile pour le codage du reste de la valeur (soit d un facteur 2 le plus grand entier positif exprimable en C2). La dynamique de codage pour un format de M bits est : N [ - 2 M-1, +2 M-1-1] IUT Cachan - GEii1 9 JSR, rév.ap

10 0 étant considéré comme un entier positif, la dynamique inclut 2 M-1 nombres positifs et autant de négatifs. D une manière générale (dans une base B), les nombres négatifs sont reconnaissables par le fait que le chiffre de poids fort est supérieur ou égal à B/2. En binaire, cela correspond bien au bit de signe égal à 1, tandis qu en hexadécimal cela correspond à un chiffre de poids fort supérieur ou égal à 8. d) Extension de signe Les calculs précédents se font dans un format donné du nombre. Un nombre doit conserver sa valeur même s il est exprimé dans d autres formats. Cela veut dire, entre autres, que dans un changement de format, un nombre positif reste positif et un nombre négatif reste négatif. Nous n envisageons que l augmentation du format. En binaire, l augmentation de format entraîne le déplacement du bit de signe vers la gauche afin que le bit de signe soit toujours le bit de poids fort (MSB). Par exemple N = (0100) 2 = ( ) 2 est évident ; le nombre N est positif en format 4 bits, il reste positif et représente la même valeur en format 8 bits. En répétant les zéros à gauche, nous avons propagé le bit de signe sur toutes les nouvelles positions à gauche. Pour le nombre négatif, dont le bit de signe est à 1, on opère de la même façon, c est-à-dire qu on propage le 1 sur toutes les nouvelles positions à gauche. Par exemple : format 4 bits 8 bits -N = (1100) complément à 2 = ( )format complément à 2 En notation hexadécimale, si le nombre de départ est positif, alors le chiffre de poids fort est inférieur à 8 ; l extension du signe ajoute à gauche seulement des zéros. Si le nombre est négatif, alors le chiffre de poids fort est supérieur ou égal à 8 ; l extension du signe ajoute donc des F à gauche. Règle pour l extension de signe : on recopie le bit de signe (0 ou 1) dans les positions supplémentaires à gauche. Exemples : format 16 bits 32 bits (2E97) complément à 2 = (00002E97)format complément à 2 format 8 bits 32 bits (97) complément à 2 = (FFFFFF97)format complément à 2 format 16 bits 32 bits (A037) complément à 2 = (FFFA037)format complément à 2 format 8 bits 32 bits (4E) complément à 2 = ( E )format complément à 2 5. Arithmétique binaire en complément à 2 a) Addition L addition en binaire s effectue de la même façon qu en décimal. retenue somme = = = = 1 0 Il y a deux résultats, la somme et la retenue. La somme est le bit poids 0; la retenue est un bit de rang supérieur. L addition binaire est simple et ne nécessite pas de long discours. b) dépassement de capacité dans l addition : La représentation des nombres binaires dans les calculateurs étant dans un format fixe, il y a des limites d emploi de l addition <- retenues <-retenues correct incorrect Ces deux additions ont été faites dans le format 3 bits en binaire naturel. Dans le premier cas, la retenue au delà du troisième bit est nulle. Le résultat dans ce format est correct (5+1=6). Dans le deuxième cas, la retenue au delà du troisième bit est égale à un, donc le résultat est faux dans le format 3 bits (6+3 1). IUT Cachan - GEii1 10 JSR, rév.ap

11 Le dépassement de capacité survient quand une retenue est générée au delà du format des nombres. c) Débordement lors d une addition : La notion de débordement est associée au binaire signé (complément à deux ou binaire décalé). binaire décimal la somme de deux nombres positifs est positive, OK Ce premier calcul renvoie un résultat correct. Voici un autre exemple où les choses se passent moins bien (on utilise le complément à deux) : binaire décimal la somme de deux nombres positifs est négative, aïe! Cette fois, la somme de deux nombres positifs fournit un résultat négatif! C est bien sûr impossible. Le débordement doit son existence au fait que les nombres ont un format fixe et que le bit de poids fort (MSB) est le bit de signe. En cas de débordement, ce bit de signe est écrasé et le résultat est faux. Ces problèmes de dépassement de capacité et de débordement se retrouvent dans les unités de calcul des microprocesseurs. Afin de savoir quand peut se manifester un débordement, posons le problème de l addition de deux nombres binaires codés en complément à deux dans le format n bits. Commençons par le cas où les deux nombres x et y sont de signes opposés. Soit x [-2 n-1, -1] et y [0, 2 n-1-1]. Alors leur somme z = x + y appartient à l intervalle z [-2 n-1, 2 n-1-2] Cet intervalle de z est inclus dans l ensemble de définition, donc il ne peut pas y avoir de débordement quand les nombres sont de signes opposés. Si les deux nombres sont de même signe : il est évident que la somme de deux nombres positifs peut donner un résultat qui est supérieur à 2 n-1-1; c est l origine du phénomène du débordement. Supposons que x et y soient positifs, soit x [0, 2 n-1-1] et y [0, 2 n-1-1] alors leur somme z = x + y appartient à l intervalle z [0, 2 n-1-1] U [2 n-1, 2 n - 2] Dans le sous-intervalle [0, 2 n-1-1], le résultat appartient à l ensemble de définition, tandis que le sousintervalle [2 n-1, 2 n -2] n appartient plus à l ensemble de définition des nombres positifs. Le nombre z obtenu est bien dans le format n bits (car inférieur à 2 n ), mais sa valeur est interprétée comme négative, car le MSB vaut 1. Ainsi, alors que x et y sont positifs, leur somme est interprétée comme négative en C2. On en déduit la règle de détection du débordement (dans le cas de l addition) : Si les deux opérandes de l addition sont de même signe, il y a débordement quand le résultat n a pas le même signe que les opérandes. Le signe étant porté par les MSB des nombres, cette détection se fait en comparant uniquement ces bits. d) Soustraction La soustraction se ramène à une simple addition en C2 (donc à la règle précédente) : A-B équivaut à A+(-B). par exemple : format 8 bits est équivalente à IUT Cachan - GEii1 11 JSR, rév.ap

12 6. Le code Binaire décalé (utilisé parfois) Le binaire décalé est un codage dérivé du complément à deux. Il est utilisé dans certaines applications où on veut pouvoir comparer facilement des entiers signés. Sa principale application est le codage de l exposant des nombres réels. Avec le tableau suivant, il est facile de comparer les codages en complément à 2 et le binaire décalé (format 4 bits): Valeur relative exprimée en décimal valeur exprimée en C2 équivalent décimal du codage binaire Valeur relative exprimée en décimal Valeur exprimée en binaire décalé Equivalent décimal du codage binaire On observe que le codage en C2 est tel que les codes des nombres positifs sont plus petits que ceux des nombres négatifs. Par contre, les codes «binaire décalé» des nombres positifs sont supérieurs aux codes des nombres négatifs. Cette propriété du binaire décalé permet de comparer plus facilement les codes quand il faut comparer des nombres. code 15 binaire décalé complément à deux valeur Comme l équivalent décimal du codage des positifs a été augmenté de 8, on dit que le code binaire est décalé. IUT Cachan - GEii1 12 JSR, rév.ap

13 Le binaire décalé s obtient en ajoutant 2 format-1 au nombre binaire en complément à deux. Plus simplement encore, le binaire décalé est obtenu en inversant le bit de signe du complément à deux. On peut, comme toujours, travailler en hexadécimal. IUT Cachan - GEii1 13 JSR, rév.ap

14 III. Codage des nombres réels («flottants») Le codage des nombres réels est plus complexe que celui des entiers, même signés. Il est vite fastidieux à réaliser à la main! Seul le principe est vraiment à retenir : en particulier, la notion de signe / mantisse / exposant. 1. Codage «en virgule fixe» d un réel inférieur à 1 Pour les nombres entiers, la conversion d une base en une autre passe par la technique des divisions successives. Qu en est-il si l on veut exprimer un nombre réel inférieur à 1 dans une autre base? Tout nombre admet un développement polynomial. Si le nombre est inférieur à 1, ce développement fait intervenir les puissances inverses (négatives) de la base. Soit : base B = {0, 1,..., B-1} avec B IN, B>1 X = a 1 x B -1 + a 2 x B -2 + a 3 x B a n x B -n a vec a i B, n IN et n>0 Nous allons bien sûr nous intéresser à la représentation binaire, ou mieux hexadécimale, d un nombre réel X <1 : X = a 1 x a 2 x a 3 x a n x 16 -n pour X<1 On peut alors écrire X sous la forme dite «en virgule fixe» : X = (, a 1 a 2 a 3 a n ) 2 Calcul des coefficients a i : avec ce développement on peut facilement montrer comment s obtiennent les coefficients a i. En effet, en multipliant X par 16 : X x 16 = a 1 x a 2 x a 3 x a n x 16 -n+1 alors le réel X x 16 s écrit : a 1, a 2 a 3 a n écriture dans laquelle a 1 est la partie entière de X x 16. En multipliant 0, a 2 a 3 a n par 16, on pousse à son tour a 2 chez les entiers ; ainsi, par multiplications par 16 successives, on extrait les coefficients recherchés. Exemple : comment le nombre 0,63212 s écrit-il en base 16, puis en base 2? Attention : il ne faut pas oublier que a i {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. 0,63212 x 16 = 10,11392 a 1 = 10 = A 0,11392 x 16 = 1,82272 a 2 = 1 = 1 0,82272 x 16 = 13,16352 a 3 = 13 = D etc... Donc, sachant que chaque chiffre hexadécimal s écrit sur 4 bits : 0,63212 = (A 1 D) 16 = ( ) = ( ) 2 sur douze bits Ce codage d un réel inférieur à 1 en virgule fixe est utilisé pour coder la mantisse des nombres réels dans les ordinateurs. Le passage par l hexadécimal sera, là encore, très utile. 2. Nombres «à virgule flottante» On vient de voir que les nombres inférieurs à 1 peuvent être convertis en binaire en utilisant une somme des puissances inverses de 2 (format dit «à virgule fixe»). Mais cette méthode de conversion ne peut pas convenir pour représenter tous les nombres réels. Prenons par exemple le réel e =-1, En fait, 2-63 < e < 2-62, ce qui veut dire que dans le mot binaire issu de la conversion en virgule fixe, il faut compter 62 zéros à droite de la virgule, avant de trouver le premier 1 significatif Cela pose un problème de format! Cette petite remarque sur un cas concret introduit bien l idée du codage des réels. En effet, il suffit de coder l exposant de la première puissance de 2 significative (ici -63). Cela revient à déplacer la virgule à droite du premier bit significatif égal à 1. Ainsi la virgule «flotte» selon le nombre réel à coder ; c est pourquoi on parle de «virgule flottante» ou de nombres «flottants». IUT Cachan - GEii1 14 JSR, rév.ap

15 Une fois la virgule placée à droite du premier 1 significatif le nombre réel s écrit alors : 1,a 1 a 2 a n. C est l écriture d un nombre dont il est simple de calculer les coefficients par la méthode des multiplications successives (en hexadécimal, évidemment). B. Normalisation La virgule flottante permet une infinité d écritures du même nombre ; l exposant peut prendre n importe quelle valeur entière. Exemple : = = La représentation normalisée correspond à l exposant qui permet d avoir en partie entière un seul chiffre différent de zéro. En base 10, cela veut dire que la partie entière de l écriture normalisée est un chiffre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En binaire, cette partie entière vaut toujours 1. C est cette écriture binaire normalisée qui est utilisée dans les ordinateurs, et que nous allons voir maintenant en détail. C. Normalisation des réels en base 2 Pour coder en base 2 le nombre réel X (quelconque), X doit être écrit sous la forme imposée par le format «virgule flottante normalisée»: X = (-1) S. 2 E. (1+m) Le codage en binaire du nombre réel X se ramène ensuite aux codages du bit de signe (S), de l exposant (E) et de la partie fractionnaire de la mantisse (m). Il existe plusieurs normalisations de codage selon le nombre de bits utilisé pour coder l exposant et la mantisse. Les normes IEEE simple et double précision sont les plus connues (utilisées pour les types float et double du langage C). Codage du signe S : avec la notation (-1) S, il est évident que S=0 si X 0 et S=1 si X<0. codage de l exposant E : il se fait toujours en binaire décalé afin d en simplifier la comparaison. On peut trouver la valeur de E par comparaison avec les différentes puissances de 2. Mathématiquement, E est le plus petit entier le plus proche de ln 2 X (ln 2 (x) est le logarithme en base 2 de x, c est-à-dire ln(x)/ln(2)). Codage de la mantisse m : par construction, m est un nombre réel inférieur à 1 ; elle peut donc être codée en virgule fixe (c est-à-dire à l aide des coefficients de sa décomposition en puissances négatives de 2). 1. Codage IEEE simple précision sur 32 bits Voici le format du codage normalisé sur 32 bits (4 octets), qui correspond au type float du langage C : 1 bit 8 bits 23 bits S Cod.Bin.Nat. de (exposant + 127) mantisse exemples Code en Hexa x3F xBFB x3F21D2AE NaN NaN Les deux derniers codages sont des exceptions permettant de coder le 0 et NaN (Not a Number), c est-à-dire un code qui représente une erreur de codage. IUT Cachan - GEii1 15 JSR, rév.ap

16 La dynamique de codage des nombres réels va de ± à ± Mais plus encore que la dynamique (assez large pour la plupart des applications!), c est la précision relative des calculs qui découle de la taille de la mantisse et de l exposant : en simple précision, elle est seulement de l ordre de C est insuffisant pour beaucoup d applications, d où l intérêt du codage sur 64 bits. 2. Codage IEEE double précision sur 64 bits Voici le format du codage normalisé sur 64 bits (8 octets), qui correspond au type double du langage C : 1 bit 8 bits 23 bits S Cod.Bin.Nat. de (exposant ) mantisse exemples Code en Hexa x3FF xBFE La dynamique de codage des nombres réels va de ± à ± C est beaucoup! Mais l intérêt de la double précision est surtout dans la précision relative des calculs : elle est de l ordre de codage précision étendue 80 bits Codage sur 80 bits (10 octets) : 1 bit 13 bits 1 bit 65 bits S exposant mantisse Pour ce codage, le bit 1 qui est la partie entière du nombre fractionnaire est présent dans le code ; ceci simplifie le matériel des unités de calcul. La dynamique de codage des nombres réels va de ± à ± IUT Cachan - GEii1 16 JSR, rév.ap

17 IV. Autres codes binaires Dans ce qui suit, il n est plus question de nombres, car les codes binaires présentés ont des usages différents, utile en électronique plutôt qu en informatique. Bien sûr, l hexadécimal sera utilisé pour simplifier l écriture des mots binaires. Tous les codes binaires étudiés sont dans un format fixé. C est d ailleurs à partir de cette idée de format que nous allons introduire la notion de code binaire. Considérons un format deux bits. Cela veut dire que l on limite le nombre de mots binaires différents à 2 2 = 4. La séquence du binaire naturel pour ces quatre mots est la suivante : Pour produire cette suite de mots de deux bits, on peut utiliser la règle de composition du code binaire naturel, qui est l alternance des 0 et des 1 dans un nombre égal à 2 rang. En fait, les codes binaires, pour un format donné de n bits, se distinguent les uns des autres seulement par la séquence des mots binaires : ils utilisent les mêmes 2 n combinaisons de bits possibles, mais les mots binaires ne se succèdent pas dans le même ordre. En produisant un code binaire, donc en choisissant une succession de mots binaires (séquence) particulière, on veut obtenir de lui une ou des propriétés qui vont être exploitées dans les systèmes électroniques de traitement de l information. A. Code BCD BCD est issu de Binary Coded Decimal à traduire par Décimal Codé en Binaire et cela dit bien de quoi il s agit. On code directement chaque chiffre d un nombre écrit en base dix avec son équivalent en binaire naturel. On ne fait pas la conversion du nombre, on fait le codage des chiffres! C est beaucoup plus simple et rapide. Voici la table de correspondance décimal et BCD (assez évidente). Par exemple : = ( ) BCD 741 = ( ) BCD Ces deux exemples montent bien que chaque chiffre codé nécessite quatre bits. Un entier codé en BCD utilise donc plus de bits que le codage binaire naturel. Ce codage est très simple. Il est particulièrement utilisé lors de l affichage sur des afficheurs 7 segments. Un problème qui se pose souvent est de passer du code binaire naturel d un nombre à son codage BCD. Pour comprendre, il suffit de comparer les séquences du binaire naturel et du BCD. Que se passe-t-il au voisinage de 10 par exemple? décimal BCD binaire pur En fait la séquence BCD est identique à celle du binaire pur jusqu à 9. A dix, le BCD prend la valeur , qui vaut seize en décimal. Donc quand un chiffre hexa du binaire pur est supérieur à 9, on lui ajoute 6 pour obtenir le code BCD équivalent. Cette idée est exploitée dans les calculateurs binaires qui travaillent directement avec les nombres IUT Cachan - GEii1 17 JSR, rév.ap

18 codés BCD. B. Code de Gray Pour mieux mettre en évidence la propriété utile du code de Gray, reparlons du binaire naturel. Nous avons remarqué que dans la séquence du binaire naturel, le passage de 1 à 0 sur un bit de rang i fait que le bit de rang supérieur i+1 change d état. Il se trouve dans la séquence du binaire naturel de nombreux cas où plusieurs bits changent d état en même temps. Par exemple, lors d un comptage sur 3 bits : de cette ligne à la suivante, deux bits changent d état de cette ligne à la suivante, les trois bits changent d état Dans certains dispositifs 1, il est impossible de faire basculer deux bits simultanément. Dans d autres, il est important que tous les bits basculent «exactement» en même temps (alors que c est physiquement difficile). Cette propriété du binaire naturel est donc un défaut qui le rend inadapté à certaines applications. La solution est le code de Gray, pour lequel un seul bit change lors du passage d un mot binaire au suivant. Voici la séquence du code de Gray pour des mots de format 3 bits le trait horizontal sous le 1 représente une réflexion (au sens optique du terme), voir plus bas Une méthode de génération du code est de procéder par réflexion : on voit sous le 1 souligné que le bit de faible poids reprend les mêmes valeurs qu au dessus de ce 1 souligné, comme si le trait était la marque d une pliure ; en pliant selon ce trait, les 1 et 0 du LSB se superposent. On procède de même sur les deux bits de faible poids quand on a compté les 4 premières combinaisons, et ainsi de suite C est à cause de cette méthode qu on appelle aussi le code de Gray le "binaire réfléchi" On vérifie que d une ligne à la suivante dans la séquence du code de Gray, il n y a qu un seul bit qui change d état. D une manière générale, des mots binaires dont un seul bit diffère sont dits adjacents. Il faut remarquer que la première et la dernière ligne de la séquence sont aussi adjacentes. Cette notion de mots binaires adjacents est utilisée par des techniques de simplification des équations logiques. Nous avons limité notre propos au code BCD et au code de Gray, fréquemment rencontrés par l électronicien. Mais il existe un grand nombre de codes binaires, chacun ayant des propriétés particulières. 1 Un cas typique est celui des codeurs de position montés sur les arbres de machines tournantes. Par principe, le code binaire est parcouru périodiquement. Un dispositif mécanique ou optique produit un signal électrique sur plusieurs fils ; à chaque fil correspond un bit du code binaire. Il est physiquement impossible de réussir des changements d'état simultanés sur plusieurs bits; d'où l'intéret du code de Gray. IUT Cachan - GEii1 18 JSR, rév.ap

19 V. Conclusion Ce document, un peu théorique, a introduit beaucoup de vocabulaire et a permis l exposé de quelques méthodes de travail. Le binaire est la base de l électronique numérique, mais c est l écriture hexadécimale qui est l outil le mieux adapté pour toutes les opérations à réaliser. Heureusement, le passage binaire hexadécimal est simple et doit devenir évident à tout électronicien. IUT Cachan - GEii1 19 JSR, rév.ap

20 VI. Annexes 1. Multiplication binaire Voici la table de multiplication en binaire : produit 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Le principe de la multiplication de deux nombres entre eux est le même qu en décimal. Pour le calcul à la main la multiplication en binaire n est pas vraiment une bonne idée (c est si simple en décimal). Ce dont on peut discuter c est plutôt comment la machine peut s y prendre. Là il y a une grande variété de possibilités nous allons en présenter deux qui ont des applications pratiques importantes ce sont la méthode de Wallace et le recodage de Booth. a) Méthode de Wallace Soit les nombres au format 2 bits (b1 b0) et (a1 a0) dont on fait le produit : b1 b0 x a1 a0 a0.b1 a0.b0 a1.b1 a1.b0 a1.b1 a1.b0 + a0.b1 a0.b0 Ce premier résultat est à obtenu matériellement grâce à une cellule de base (multiplieur 2x2). On va montrer maintenant que pour une multiplication de deux mots de 4 bits il suffit de disposer de quatre multiplieurs 2 x 2 : Soit deux mots de 4 bits multipliés entre eux : b3 b2 b1 b0 x a3 a2 a1 a0 a0xb3 a0xb2 a0xb1 a0xb0 + a1xb3 a1xb2 a1xb1 a1xb0 + a2xb3 a2xb2 a2xb1 a2xb0 + a3xb3 a3xb2 a3xb1 a3xb0 a1xb3 a0xb3+a1xb2 a0xb2 + a3xb3 a2xb3+a3xb2 a2xb2 a1xb1 a0xb1+a1xb0 a0xb0 + a3xb1 a2xb1+a3xb0 a2xb0 Les trois dernières lignes sont organisées pour faire apparaître les résultats partiels des multiplications 2 x 2 bits. Il faut donc faire les 4 produits suivants : (b3 b2) x (a1 a0) (b3 b2) x (a3 a2) (b1 b0) x (a1 a0) (b1 b0) x(a3 a2) Puis il faut faire les additions des résultats partiels de chaque rang. IUT Cachan - GEii1 20 JSR, rév.ap

21 0 a0 a1 b0 b1 a0 a1 b2 b3 a2 a3 b0 b1 a2 a3 b2 b3 Π Π Π Π rin Σ rout rin Σ rin Σ rout rout La réalisation du multiplieur X nécessite donc quatre multiplieurs 2x2 et trois additionneurs 4+4. On peut continuer ce type de démonstration pour des multiplications de mots de format 8 bits et plus. Des circuits intégrés sont disponibles pour réaliser des multiplicateurs selon cette technique. La multiplication se fait en parallèle car tous les bits sont traités simultanément. b) Multiplication des nombres binaires signés Voici trois multiplications de nombres signés, la première entre deux positifs (+3 x +3) ne pose aucune difficultés; par contre, que donne le produit d un nombre négatif en complément à deux par un positif (-3 x +3) et le produit de deux nombres négatifs (-3 x -3) en complément à deux? x 011 x 011 x 101 équivalent à : x x x Les opérandes ont systématiquement été amenés au format du résultat avec l extension de signe. Tous les calculs intermédiaires sont exprimés dans le format fixé. Ainsi la multiplication donne un résultat correct. IUT Cachan - GEii1 21 JSR, rév.ap

22 Ces techniques de calculs en parallèle sont très coûteuses en matériel. On peut limité ce coût en utilisant des procédés séquentiels. C est le cas de la méthode de Booth. c) Méthode de Booth Voici les conditions matérielles de la réalisation d un multiplieur qui utilise le codage de Booth. Cette méthode, très utilisée dans les ordinateurs, permet de faire les multiplications des nombres en complément à deux. P décalage A LSB -1 ± booth B A et B sont les nombres à multiplier. La multiplication se fait en série; c est à dire, que pour chaque bit (LSB) de A, on évalue comment utiliser B dans le résultat que l on forme dans P; la valeur du précédent LSB est temporairement conservée LSB -1 car il participe à la prise de décision. On passe au bit suivant de A en pratiquant un décalage vers la droite de l ensemble (PA). Quand tous les bits de A ont été traités le résultat est dans la paire PA. Au cours du décalage, le bit MSB de P est conservé (extension du bit de signe). Les règles sont les suivantes : LSB LSB -1 opération 0 0 additionner additionner B 1 0 soustraire B 1 1 additionner 0 Afin de justifier ces règles, notons que la multiplication se faisant bit à bit (du multiplicateur), on peut procéder à l analyse pas à pas en progressant de même. Posons que dans B se trouve un nombre x. Dans A se trouve le multiplicateur A = a a a a n-1 n La multiplication se fait en binaire signé en complément à deux. Au premier pas, c est a x qui est calculé. 0 Détaillons : a 0 résultat x Attention, dans ce cas a 0 est l unique bit (connu) du multiplicateur mais il est aussi le bit de signe! Passons à a 1, cette fois nous devons reconsidérer les résultats de la multiplication afin de tenir compte des valeurs possible de a 1. Voici alors le tableau des solutions; cette fois on montre comment corriger les calculs faits précédemment : IUT Cachan - GEii1 22 JSR, rév.ap