Correspondances entre les coefficients des modèles de fatigue dans les méthodes mécanistiques-empiriques de dimensionnement de chaussées souples

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1 1287 Correspondances entre les coefficients des modèles de fatigue dans les méthodes mécanistiques-empiriques de dimensionnement de chaussées souples Daniel Perraton, Hervé Di Benedetto et Alan Carter Résumé : Le phénomène de fatigue est considéré comme le phénomène d endommagement prépondérant à température «moyenne» dans les structures de chaussées souples. La mise en relief d un modèle d endommagement par fatigue représente donc le premier pas à franchir dans l application d une approche mécanistique-empirique de dimensionnement. Pour bien comprendre les différents outils de calcul disponibles pour une application mécanistique-empirique de dimensionnement, les principaux éléments se rapportant aux modèles de fatigue sont ici remis en contexte. La signification des différents coefficients se rapportant à ces modèles est décrite avant d en établir les correspondances entre eux. Une analyse visant à améliorer la représentativité de la loi de la durée de vie en fatigue du matériau est alors proposée. Globalement, l ensemble des outils de calcul pour un dimensionnement de type mécanistique-empirique utilise la droite de fatigue de Wöhler. Les deux coefficients de la droite de fatigue sont au cœur des modèles et permettent de décrire la performance spécifique aux familles de matériaux bitumineux considérées. Le traitement des résultats d un essai classique de fatigue visant à exclure les effets biaisants modifie substantiellement les valeurs des deux coefficients. On montre que les durées de vie établies à partir résultats bruts sont surestimées. Mots clés : matériaux bitumineux, fatigue, module complexe, endommagement, M-E PDG («mechanistic-empirical pavement design guide»). Abstract: Fatigue is considered the main damaging phenomenon at «average» temperature in flexible pavement structures. A fatigue damage model is thus the first step in applying a mechanistic-empirical approach to sizing. This paper highlights the main elements of fatigue models in order to thoroughly understand the various calculation tools available for a mechanistic-empirical sizing application. The signification of the various coefficients of the models is described and interrelations are established. An analysis is proposed to improve the representativeness of the fatigue life span law of the material. All calculation tools for mechanistic-empirical sizing use the Wöhler fatigue curve. Both fatigue curve coefficients are at the core of the models and describe the specific performance of the tested bituminous material families. Processing the results of a classic fatigue test to exclude biased effects will substantially modify the values of these two coefficients. It is demonstrated that the life spans determined from raw results are overestimated. Key words: bituminous materials, fatigue, complex module, damage, M-E PDG (mechanistic and empirical pavement design guide). [Journal translation] 1. Mise en contexte Au Québec seulement, les dépenses annuelles d entretien, de réhabilitation et de construction routière avoisinent le milliard de dollars. Le budget du ministère des Transports du Québec (MTQ) en investissements sur les infrastructures routières en s établit à près de 3,7 milliards. Les attentes des donneurs d ouvrage sont de plus en plus spécifiques et élevées aussi bien en ce qui a trait à la sécurité qu à la durabilité des ouvrages routiers. Dans ce contexte, mettre en place une méthode de dimensionnement des chaussées souples fondée sur une approche analytique, dite mécanistique, et prévisionnelle de performances, fondée en partie sur des modèles empiriques, devient une priorité. Un dimensionnement suivant une approche mécanistiqueempirique vise à fixer l épaisseur des couches d une structure de chaussée pour des performances cibles en considérant l évolution des contraintes et des déformations dans la structure liée à celle des sollicitations (climat et trafic). Le volet mécanistique met à profit des lois issues de la mécanique Reçu le 16 septembre Révision acceptée le 6 octobre Publié au le 7 novembre D. Perraton et A. Carter. Département du génie de la construction, École de technologie supérieure, Université du Québec à Montréal, Montréal, QC H3C 1K3, Canada. H. Di Benedetto. Département de génie civil et du bâtiment, École nationale des travaux publics de l État Lyon, Lyon, France. Auteur correspondant : Alan Carter (courriel : acarter_ets@yahoo.com). Les commentaires sur le contenu de cet article doivent être envoyés au directeur scientifique de la revue avant le 31 mars Rev. can. génie civ. 38 : (2011) doi: /l11-102

2 1288 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Fig. 1. Schéma illustrant pour la fatigue et l orniérage des matériaux bitumineux le principe de la méthode mécanistique-empirique de dimensionnement d une chaussée souple (schéma adapté de Di Benedetto 2009). des milieux continus (MMC). Notamment, le modèle multicouche de Burmister est souvent utilisé en considérant un comportement élastique linéaire isotrope (ELI) des matériaux pour calculer les contraintes et les déformations dans la structure. Actuellement, à l échelle internationale, on vise à intégrer dans les analyses le comportement viscoélastique des matériaux bitumineux pour un calcul plus réaliste des champs de contraintes-déformations. Également, toujours dans le cadre de la MMC, des lois de dommage des matériaux sont élaborées à partir d essais de laboratoire pour décrire l évolution de l endommagement en fonction de conditions de sollicitations déterminantes (s, 3, température, fréquence, autres). Ces dernières, couplées aux valeurs déterminantes de contraintes et de déformations dans la structure permettent un calcul prévisionnel de l évolution de l endommagement. Compte tenu que l évolution des sollicitations est difficile à prévoir avec exactitude pour une période donnée d une part et que les modèles rhéologiques utilisés ne représentent qu en partie l ensemble des causes en jeu en raison des simplifications d autre part, un calage s avère nécessaire pour corriger l écart entre le calcul prévisionnel de l endommagement et l observation de celui-ci sur chaussées. Le calage se fait à partir d un modèle de performance, aussi désigné fonction de transfert. Par l entremise de coefficients de calage, la fonction de transfert vise à relier les lois de dommage obtenues lors d essais en laboratoire à un dommage identifié à l échelle de la chaussée (fatigue, orniérage, autres). Cette dernière représente le volet empirique de la démarche. La figure 1 présente schématiquement le fondement d une méthode mécanistique-empirique de dimensionnement du point de vue de l endommagement par fatigue des matériaux bitumineux. 2. Introduction Cet article vise à préciser la signification des différents coefficients des modèles de fatigue utilisés dans certains logiciels de dimensionnement pour les chaussées souples mettant en application une approche mécanistique-empirique. Plus spécifiquement, nous traitons de ceux se rapportant au logiciel M-E PDG («mechanistic-empirical pavement design guide», National Cooperative Highway Research Program, NCHRP 2004) et à la méthode française de dimensionnement (Laboratoire central des ponts et chaussées et le Service d études techniques des routes et autoroutessetra-lcpc 1994) en vue d en établir les correspondances de sorte à permettre éventuellement leur transposition d une méthode à l autre.

3 Perraton et al Dans un premier temps, les lois de dommage pour la fatigue, dont celles de la durée de vie du matériau associées à la loi de cumul des dommages de Miner, et les aspects se rapportant aux fonctions de transfert sont introduites. Dans un deuxième temps, la correspondance entre la loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler et les différentes équations utilisées dans certains outils de calcul disponibles pour une application mécanistique-empirique de dimensionnement est établie. La signification de chacun des coefficients de ces équations sera décrite. Finalement, une méthode de traitement des résultats de fatigue permettant de s affranchir des effets biaisants en vue de proposer un modèle de fatigue plus conforme est présentée. 3. La loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler pour les matériaux bitumineux 3.1. Introduction La mesure du module complexe d un matériau bitumineux permet de connaître son comportement rhéologique en petites déformations. Le module complexe représente une propriété macroscopique du matériau et sa mesure sous chargement cyclique sinusoïdal permet de quantifier le comportement viscoélastique linéaire (VEL). En suivant l évolution du module complexe sous chargement cyclique sinusoïdal en condition isotherme, à une fréquence donnée, on détermine la durée de vie en fatigue du matériau (N f ). En tout état de cause, on cherche ainsi à définir la droite de Wöhler qui permet de relier l amplitude de la sollicitation cyclique à laquelle le matériau est soumis et sa durée de vie en fatigue. Le critère de rupture définissant la durée de vie varie selon les auteurs et les méthodes de dimensionnement. En cours d essai, le module complexe n évolue pas seulement à cause de la fatigue du matériau. Quatre (4) principaux phénomènes sont à l origine de sa décroissance en cours d essai (Di Benedetto et al. 2011) : (1) la non-linéarité du matériau, (2) l échauffement induit par la dissipation d énergie de nature visqueuse, (3) la thixotropie associée potentiellement à une atténuation réversible des forces de surface entre les groupes hydrocarbonés et (4) la fatigue liée à l endommagement irréversible de la microstructure. Pour statuer avec rigueur sur la résistance à la fatigue d un matériau bitumineux à partir de l évolution de son module complexe, il faut impérativement départager les différents phénomènes en jeu. L ensemble des concepts fondamentaux à l origine de la mesure de la résistance à la fatigue des matériaux bitumineux est largement documenté (Soltani et Anderson 2005; Di Benedetto et Corté 2005; Lundstrom et al. 2004; Di Benedetto et al. 2004; Perraton et al. 2003; Baaj 2002; Soltani 1998; De La Roche 1996). Nous traitons certains de ces concepts dans cet article Essai de fatigue L essai classique, permettant de caractériser le phénomène de fatigue consiste à soumettre une éprouvette de matériau à étudier à une sollicitation cyclique et à noter le nombre de cycles entraînant la rupture de l éprouvette (N f ). La figure 2 montre une évolution type de la norme du module complexe 1 Sur éprouvette cylindrique. Fig. 2. Évolution de la norme du module complexe sous sollicitation cyclique dans le cas d un essai de fatigue (Baaj 2002). lors d un essai de fatigue et ce, quelle que soit la sollicitation imposée (contrôle de force ou de déplacement). On distingue trois phases, dont la phase II présente une évolution quasi linéaire de la norme du module complexe avec le nombre de cycles. Au cours de cette phase, l endommagement par fatigue joue un rôle important. L endommagement par fatigue en cours des phases I et II se manifeste par un ensemble de microfissures qui se développe de façon relativement homogène dans l ensemble du volume de l éprouvette. Pour ces phases, une analyse fondée sur l hypothèse d un milieu continu est réaliste, et l évolution du module complexe traduit bien l endommagement, pour autant où l on puisse évaluer les effets biaisants. En phase III, la densité des microfissures donne lieu à l apparition d une macrofissure qui mène à la rupture. Dès lors, l analyse fondée sur la notion de milieu continu n est plus valable, la dégradation s explique par un phénomène de propagation de fissure. Globalement, la détermination de la valeur de la durée de vie en fatigue du matériau, N f, vise à cerner le point de transition entre les phases II et III, qui devrait être associé àl initiation d une macrofissure dans le matériau. Le nombre de cycles correspondant à une perte de 50 % de la norme du module complexe initial (50 % de je0 j) est très largement retenu comme critère classique pour fixer la «durée de vie» en fatigue du matériau (N f50 % ). Bien d autres critères peuvent être définis pour établir la «durée de vie» en fatigue. Notons que la valeur de N f50 % n apparaît qu indirectement liée à l apparition de la macrofissure. En outre, l évolution de la norme du module complexe est fortement tributaire de phénomènes biaisants non-linéarité, échauffement et thixotropie lesquels jouent un rôle prépondérant notamment dans les premiers cycles de sollicitation. À cet effet, Di Benedetto et al. (2011) ont récemment mis en évidence que, pour des enrobés sollicités en mode de déformation sous chargement cyclique sinusoïdal de traction compression 1 et suivant des amplitudes comprises entre 40 et 120 mm/m, l endommagement par fatigue (irréversible) est non significatif au cours des premier cycles (10 Hz) et ce, malgré des chutes de la norme du module complexe pouvant atteindre 20 %. Par ailleurs, il a été mis en relief que l effet de la thixotropie contribue à plus de 50 % de la réduction de la norme du module complexe au cours de cette période (Di Benedetto et al. 2011).

4 1290 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Fig. 3. Résultats types d un essai de fatigue réalisé en traction compression sur cylindre : (a) évolution de E* en cours d essai de fatigue, (b) droite de Wöhler dans le domaine log 3 0(mm/m) log N f et (c) droite de Wöhler dans le domaine log N f log 3 0(m/m) (c 1 = 8,7336 et c 2 = 6,928E 27). Fig. 4. Schéma illustrant l effet de la température sur la durée de vie en fatigue mesurée en condition isotherme et suivant une fréquence donnée en laboratoire, (a) l évolution de la droite de Wöhler pour trois températures (q 1, q 2 et q 3)et(b) relation entre le coefficient c 1, q i et la norme du module complexe à la température considéré (je q i j) Droite de Wöhler Suivant les durées de vie établies pour divers niveaux de sollicitation, soit à niveau de déformation constante (3 0 )ouà niveau de contrainte constante (s 0 ), la représentation classique des résultats de fatigue est donnée par la courbe de Wöhler. Dans une représentation log-log, la courbe de Wöhler est représentée par une droite : la droite de fatigue de Wöhler. La relation entre la durée de vie et l amplitude de la sollicitation est à la base du modèle permettant de décrire la performance en fatigue des matériaux bitumineux. La figure 3a montre l évolution de la norme du module complexe en cours d essais de fatigue, exprimée de manière relative à la valeur initiale de la norme du module complexe, suivant différents niveaux de sollicitation (3 0 de 200, 240 et 270 mm/m). Les valeurs de N f50 % correspondantes sont tracées à la figure 3b en relation aux amplitudes de la sollicita-

5 Perraton et al tion imposée. Cette droite permet de décrire la performance en fatigue du matériau pour laquelle le paramètre déterminant est l amplitude de la sollicitation que subit le matériau. La figure 3c montre schématiquement la représentation de la droite de fatigue dans le système d axes log(n f ) versus log (3 0 ) défini par les deux coefficients : c 1 et c 2 (éq. [1]). L équation [1] est reprise sous différentes formes pour introduire la fatigue dans les principales méthodes de dimensionnement. ½1Š N f ¼ c 1 ð3 0 Þ c 2 Avec : N f : nombre de cycles à la rupture 3 0 : amplitude de la déformation cyclique imposée (m/m) à une température donnée (q i ) et une fréquence donnée (f i ) c 2 : coefficient lié à la pente de la droite de fatigue pour un matériau donné (sans unité) c 1 : coefficient correspondant à la durée de vie du matériau pour une amplitude de déformation imposée de 1 m/m, à une température et une fréquence données. Deux coefficients permettent de fixer la droite de fatigue dans le système d axe : 1 point (x, y) et une pente. Ils sont tributaires du matériau et a priori de la température et de la fréquence. Pour la méthode française de dimensionnement, on définit la droite de fatigue dans le système d axe log(3 0 ) versus log(n f ) à partir du coefficient 3 6 (niveau de déformation qui conduit à une durée de vie 10 6 cycles : point (3 6, )) et du coefficient b se rapportant à la pente de la droite avec b = 1/c 2. Il y a une relation directe entre les coefficients utilisés dans ces deux domaines de représentation («log N f versus log 3 0»et«log3 0 versus log N f»). Pour prendre en compte l effet de la température et de la fréquence sur l évolution de la durée de vie en fatigue (c 1 et c 2 ) on introduit le module complexe, lequel dépend de la fréquence et de la température Évolution de la performance en fatigue avec la température La durée de vie en fatigue d un matériau bitumineux évolue avec la température (Di Benedetto et Corté 2005). Les deux coefficients de la droite de fatigue sont établis, pour un matériau donné, en condition isotherme et pour une fréquence donnée. Dans le calcul de l évolution du dommage en fatigue, on admet souvent en première approximation pour les matériaux bitumineux que l effet de la température translate simplement la droite de fatigue, sans en affecter la pente (fig. 4a). Les matériaux bitumineux sont thermosusceptibles, et l effet de la température modifie notamment la norme de son module complexe. Pour prendre en compte la variation de la durée de vie en fatigue du matériau (N f ) avec la température, on peut se référer à celle de la norme du module complexe. Un facteur de translation de la droite de Wöhler, fonction de la norme du module complexe et traduisant l effet de la température, est ainsi intégré dans la loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler. L équation [1] peut alors s écrire sous la forme : " # ½2Š N f;qi ¼ c 1;qref ð3 0 Þ c je k3 2 q i j jeq ref j Avec c 1;qref correspondant à la durée de vie en fatigue du matériau pour une déformation imposée de 1 m/m à une température et une fréquence de référence (q ref ), jeq i j et jeq ref j correspondant respectivement aux normes du module complexe à la température considérée (q i ) et à la température de référence (q ref ). Le coefficient k 3 représente la pente de la droite de la relation log c 1;qi versus log jeq i j. La détermination du coefficient k 3 est traitée à la section 6. L équation [2] représente la «forme générale de la loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler». Dans les méthodes de dimensionnement MnPave, M-E PDG, KENPAVE, utilisées aux États-Unis, et celle du SETRA- LCPC, utilisée en France, l équation [2] est implicitement considérée. L équation [3] s applique à ces méthodes. Seuls les coefficients a i diffèrent selon les écritures choisies. ½3Š N f;qi ¼ a 1 ð3 0 Þ a 2 jeq i j a 3 jeq ref j a 4 L équation [3] traduit donc l évolution de la durée de vie en fatigue du matériau déterminée en laboratoire suivant une approche mécanistique. Or, comme nous l avons souligné, une approche mécanistique simplifiée élaborée pour prévoir l évolution d un dommage d une chaussée en service n introduit pas toutes les causes en jeu en raison des simplifications, telles que, par exemple : (i) les conditions de sollicitation en service qui diffèrent de celles qui prévalent en laboratoire (temps de repos, fréquence de sollicitation 2 ), (ii) la variabilité géospatiale des matériaux, (iii) celle des conditions de support et (iv) autres. Afin de prendre en compte les simplifications considérées, des coefficients de pondération (b ai ) sont introduits dans le modèle issu des essais en laboratoire. L introduction de ces coefficients permet de définir la «fonction de transfert» qui assure le passage des équations du laboratoire à celles utilisées pour le dimensionnement. De fait, la «fonction de transfert» cale le calcul prévisionnel d un dommage d un modèle issu des essais de laboratoire au dommage réel observé sur la chaussée en service. Dans le processus de dimensionnement fondé sur une approche mécanistique-empirique, l application d une «fonction de transfert» représente le volet empirique. 4. Fonctions de transfert Dans sa plus simple expression, la «fonction de transfert» se résume à introduire un ou des coefficients de calage dans une ou les lois de dommage du matériau. Spécifiquement à la fatigue, les coefficients de calage sont intégrés dans l équation [3] qui devient l équation [4] utilisée pour le dimensionnement et pour laquelle la déformation tangentielle (3 t ), calculée au bas des couches liées, est considérée (3 0 = 3 t ). On a : ½4Š N f;qi ¼ a 1 b a1 ð3 t Þ a 2b a2 je q i j a 3b a3 je q ref j a 4 L intégration d un coefficient de calage au sein d un modèle demeure un élément extrêmement délicat si l on ne veut pas perdre toute la cohérence et la pertinence qui a conduit à sa mise en forme. Pour la fatigue, certains auteurs choisissent d intégrer un coefficient de calage à chacun des coefficients servant à définir la droite de fatigue de Wöhler. C est le cas 2 On fait référence ici aussi bien à ce qui a trait à la vitesse des véhicules qu au «Wandering effect».

6 1292 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Tableau 1. Notation associée aux modèles de fatigue utilisés pour différentes méthodes de dimensionnement mettant en application une approche mécanistique-empirique («bottom-up cracking»). N f;qi ¼ a 1 b a1 ð3 t Þ a2b a 2 je q 1 j a3b a3 je qref j a4 MnPave (Mn/DOT 2008) M-E PDG (NCHRP 2004) Forme laboratoire a 1 C K F1 0,00432 C k 1 du modèle de fatigue dans M-E PDG. Par ailleurs, plusieurs modèles de fatigue appliquent une translation simple de la droite de fatigue de Wöhler par l entremise d un seul coefficient de calage pour aligner la fonction de transfert aux observations sur route. C est le cas de la méthode française de dimensionnement. Le tableau 1 présente la notation utilisée par les modèles pour calculer la durée de vie en fatigue établis à partir des essais de laboratoire (forme laboratoire) et utilisés dans les méthodes de dimensionnement MnPave, M-E PDG, KEN- PAVE et SETRA-LCPC et celle retenue pour les coefficients de calages. Notons que dans la méthode française de dimensionnement, on se réfère à trois coefficients pour passer du laboratoire à la route en pondérant la valeur de 3 6 : k c, un coefficient de calage destiné à ajuster les résultats du modèle de calcul au comportement observé de chaussées de même type, k r, un coefficient qui prend en compte le risque de calcul retenu en fonction des facteurs de dispersion sur l épaisseur (Sh) et sur les résultats des essais de fatigue (SN) et, k s, un coefficient destiné à traduire les hétérogénéités locales de portance d une couche de faible rigidité supportant les couches liées (SETRA-LCPC 1994). 5. Loi de cumul des dommages de Miner La durée de vie en fatigue du matériau évolue suivant le niveau de sollicitation. Pour comptabiliser l évolution de l endommagement au sein d un matériau suivant différents niveaux de sollicitation, on se réfère à une loi de cumul des dommages permettant d additionner correctement la part de dégât engendré par chaque sollicitation. Pour ce faire, on se réfère couramment à la loi linéaire de Miner (Di Benedetto et Corté 2005) dans le domaine des chaussées souples. On définit ainsi le dommage cumulé, D, à partir de la relation suivante : SETRA-LCPC (SE- TRA-LCPC 1994) =b 6 ½5Š D ¼ Xn Asphalte Institute (MS-1) (Huang 2004) (k 1 = 0, ) a 2 K F2 k 2 (3,291) 1/b f 2 C 2 a 3 K F3 k 3 (0,854) 1/2b f 3 K 3 a /2b 0 k 3 Coefficient de calage (3 0 = 3 t) b a1 1 b k1 1 k rk ck s b a2 1 b k2 (1,2) 1 1 C c 1 h i 1=b FR (FR = 18,4 selon l Asphalte Institut) b a3 1 b k3 (1,5) 1 1 C ¼ 10 4;84 V b VaþV 0;69 b. Valeurs retenues aux États-Unis dans une perspective nationale pour déterminer b k1 («national calibration»). d ri ¼ Xn n i N i¼1 i¼1 fi Forme générale de la loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler (éq. [2]) c 1;qref Avec, d ri, le dommage par fatigue induit au cours de la période i. n i est le nombre de charges 3 appliquées au cours de la période i et, N fi, la durée de vie en fatigue correspondante au chargement de la période i. Lorsque la valeur de D est égale à 1, le matériau est totalement dégradé. Le trafic subséquent va conduire à la propagation de la fissure dans le matériau. C est à partir du calcul du cumul des dommages (D) que l on cherche à définir une fonction de transfert pour décrire une évolution potentielle, réaliste, de la fissuration polygonale dans les traces de roues («alligator cracking»). Cette évolution est donc associée à l endommagement par fatigue du revêtement bitumineux. 6. Détermination du coefficient a 3 La valeur du coefficient a 3 est établie en évaluant la performance en fatigue du matériau à diverses températures et en considérant une variation linéaire de la relation log ðjeq i jþ versus log (log ðc 1;qi Þ) (fig. 4b). La figure 5 montre l évolution du paramètre 3 6 pour différentes températures d essai établie en flexion 2 points sur prismes trapézoïdales (25 Hz) (Di Benedetto et Corté 2005). Les résultats montrent une évolution en forme de «cloche» inversée, avec une valeur minimale autour de 5 C. Ce type de variation se révèle inattendu. On aurait pu s attendre que la fragilisation du bitume aux basses températures donne lieu à une moindre résistance en fatigue, ce qui n est pas le cas. Pour cerner une valeur réaliste de a 3, nous avons utilisé les résultats de fatigue établis pour diverses températures d essai et présentés dans l annexe 6, Calcul de la température équivalente pour une chaussée bitumineuse, du guide technique de dimensionnement des chaussées du SETRA-LCPC (1994). En considérant la variation de la norme des modules com- 3 Très souvent on comptabilise la charge en nombre d ÉCAS (équivalence charge axiale simple).

7 Perraton et al Fig. 5. Relation entre 3 6 et la température, établie sur prismes trapézoïdales pour une grave bitume (tiré de Di Benedetto et Corté 2005). plexes et celle des valeurs d 3 6, la relation log jeq i j versus log c 1;qi a été tracée à la figure 6. La figure 6a montre que l approximation linéaire appliquée àl ensemble des valeurs conduit à une valeur de a 3 de l ordre de 0,49 (R 2 = 0,83). En limitant la corrélation linéaire aux données liées aux températures supérieures à 10 C (fig. 6b), on établit que la valeur de a 3 serait plutôt de l ordre de 0,75, pour un coefficient de détermination de R 2 = 0,99. Cette différence est tout à fait compréhensible, puisque les valeurs d 3 6 de la figure 5 indiquent que l évolution de la performance en fatigue change à partir d une certaine température, sous laquelle la durée de vie augmente au lieu de continuer à décroître. En définitive, l application de l argument «ðjeq i jþ a 3» visant à prendre en compte la température risque de donner lieu à une sous-estimation des durées de vie en fatigue du matériau aux basses températures. Par contre, dans le contexte du dimensionnement de chaussée, cette façon de faire est relativement simple d application et donne lieu à un dimensionnement conservateur. En effet, en supposant un trafic uniformément réparti sur l année, on montre que le dommage élémentaire de fatigue du matériau dans le contexte de la chaussée est particulièrement déterminant en période estivale et pratiquement inexistant en période hivernale 4. En conséquent, un raffinement visant à accroître la qualité de la modélisation aux basses températures ne saurait apporter une amélioration réellement conséquente Que vaut la valeur de a 3 pour la méthode française de dimensionnement? Selon la méthode de dimensionnement des chaussées souples en France et tel que consigné dans le guide technique du SETRA-LCPC (1994) : Pour les structures en climat tempéré et des températures positives, à défaut de données expérimentales, il sera souvent acceptable de retenir que l influence de la température sur le comportement en fatigue est représentée par la relation : ½6Š 3 6 ðqþeðqþ 1=2 ¼ cte ¼ A En considérant les équations [1] et [2], on obtient la valeur de a 3 égale à 2,50, pour une valeur de a 2 fixée à 5, valeur largement considérée en France pour des enrobés bitumineux conventionnels Valeurs de a 3 proposées par l Asphalte Institute et Shell Le tableau 2 présente des valeurs de a 3 proposées par l Asphalte Institute et par Shell déterminées à partir d essais en flexion en contrôle de force Détermination d une température de référence de dimensionnement : q éq Suivant les fluctuations de la température dans la chaussée en service, la durée de vie en fatigue change. L argument «ðje q i jþ a 3»del équation [3] traduit l effet de la température sur la durée de vie en fatigue du matériau. Le dimensionnement nécessite de comptabiliser l évolution du dommage en fatigue du matériau suivant l évolution de la température. On peut simplifier les calculs en cherchant à déterminer une température équivalente, q éq, en termes de cumul des dommages. Cette température permet de fixer la température de l essai pour déterminer les paramètres de la loi de fatigue. On détermine q éq en considérant la variation de la performance à la fatigue de l enrobé avec la température, définie essentiellement par la variation de la valeur d 3 6 (q i ) du matériau. Les dommages élémentaires sont alors calculés à partir d une structure de chaussée et un trafic uniformément réparti donnés. La température donnant lieu à une équivalence du dommage à celui du cumul des dommages élémentaires correspond à q éq. Cette approche conduit à une simplification des calculs pour le dimensionnement, puisque la température dans le matériau est alors considérée constante en service. Elle reste cependant limitative pour traduire l effet des comportements thermorhéologiquement distincts entre les différentes familles de matériaux bitumineux. En effet, bien que dans les calculs on ajuste la valeur d 3 6 pour les écarts de température 5, le cumul des dommages élémentaires n est pas pour autant révisé et corrigé en référence au module de l enrobé. Or, l écart entre les modules avec la température modifie non seulement la réponse en fatigue du matériau mais également les contraintes et déformations dans la structure, affectant ainsi le cumul des dommages. 7. Détermination des coefficients de calage La détermination des coefficients de calage se fait essentiellement en comparant la prévision de l endommagement calculé à partir de la fonction de transfert à l endommagement observé sur divers tronçons faisant l objet d un suivi de performance en service. Pellinen et al. (2004) comparent directement l évolution de la loi du cumul des dommages de Miner, en considérant les conditions de sollicitation effectives (climat, trafic), à celle de la fissuration polygonale observée dans les traces de roues («alligator cracking») de sections de chaussées testées au WesTrack. D autres approches visent à lier l évolution de la loi du cumul des dommages de Miner à celle de la fissuration apparente dans la couche de roulement de la chaussée (Ali et Tayabji 1998; Timm et al. 2004; NCHRP 2004). Pour ce faire, on admet généralement que la fissuration polygonale que l on observe dans les traces de roues est de faible intensité pour un cumul des dommages 4 On fait ici abstraction de la problématique liée aux périodes de dégel partiel en période hivernale et en période printanière, effectives dans les pays nordiques. 5 Calcul de 3 6 suivant la relation suivante : 36ðqÞEðqÞ1=2 ¼ cte ¼ A

8 1294 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Fig. 6. Relation entre le log jeq i j et le log c 1;qi en considérant les valeurs d 3 6(q i) et celles de jeq i j de l annexe 6 de la référence (SETRA- LCPC 1994). Tableau 2. Valeurs types du coefficient a 3. Organisme a 1 a 2 a 3 Remarques Référence Asphalte Couche épaisse 0,00432 C 3,291 0,854 Flexion 4 points : Huang 2004 Institute Asphalte (>102 mm) Couche mince 0,00346 C 3,291 0,854 contrôle de force Institute (<102 mm) Shell 0,00372 C 5,671 2,363 M-E PDG 0,00432 C k 1 3,291 0,854 Flexion 4 points : contrôle de force Logiciel M-E PDG (1-37A et 1-40D, NCHRP SETRA-LCPC (D) inférieure à 1 (Ali et Tayabji 1998, Timm et al. 2004). Au-delà de cette valeur, la rigidité du matériau est amoindrie, l amplitude des déformations est amplifiée et le processus de propagation de la fissuration dans les traces de roues est fortement accentué (Ali et Tayabji 1998). Plusieurs fonctions ont ainsi été proposées pour décrire la relation entre le cumul des dommages (D) et le taux de fissuration observé dans les traces de roues. Une fonction continue, avec une limite asymptotique suivant le taux de fissuration, est largement utilisée. À titre d exemple, l équation [7] présente la fonction de transfert, telle que définie dans M-E PDG (NCHRP 2004), reliant le cumul des dommages (D exprimé en %) au taux de fissuration observable en surface du revêtement, soit : ½7Š FCð%Þ ¼ Fonction du type d enrobé þ e C 1 C 0 1 þ C 2 C 0 2 logðdþ 1 60 Où : FC : taux surfacique de fissures polygonales par unité de surface référentielle 6 de chaussée (en %) C 1 et C 2 : constante sans unité (valeurs fixées à 1,0 dans M-E PDG) 2004) 5 3 6(q) E(q) 1/2 = cte Annexe 6 Flexion 2 points SETRA-LCPC (1994) 2,50 0,49 0,75 La valeur de c 1 a été calculée à partir des valeurs de f 1 en considérant : f 1 = c 1 CF (CF : «calibration factor») avec CF = 18,4 établie pour un niveau de fissuration de 20 % dans les traces de roues (NCHRP 2004). C 0 2 : variable dépendante de l épaisseur des couches liées (h ac ). Elle vise à traduire la vitesse à laquelle la propagation de la fissure se fait, suivant l épaisseur de couches liées. L analyse menée sur les résultats tirés de la base de données LTPP de 26 sections a permis d établir la relation suivante (voir l'appendice II-1 dans NCHRP 2004) ½8Š C 0 2 ¼ 2; ;748 ð1 þ h acþ 2;85609 C 0 1 : variable dépendante de h ac : C 0 1 ¼ 2 C0 2 h ac : épaisseur totale des couches liées (en po.; 1 po. = 25,4 mm) L équation [7] indique que pour un cumul de dommage de 100 %, le taux de fissuration correspondant serait de 50 % Les coefficients de calage appliqués au modèle de fatigue («bottom-up cracking») utilisé dans M-E PDG Dans le contexte d un endommagement prenant naissance au bas des couches liées de la structure de la chaussée («bottom-up cracking») et donnant lieu à une fissuration polygonale dans les traces de roues («alligator cracking»), le modèle de fatigue proposé dans le logiciel de dimensionnement M-E PDG est présenté au tableau 1. Le modèle 6 La surface référentielle retenue correspond à une largeur de voie de 12 pieds (1 pi. = 0,3048 m) pour une longueur de tronçon de 500 pieds linéaires, soit une surface de roulement de 6000 pi 2.

9 Perraton et al de fatigue utilisé dans M-E PDG est, à peu de choses près, de la forme générale de la loi de la durée de vie en fatigue de Wöhler. À partir des coefficients a 2 et a 3 présentés au tableau 1, les valeurs des coefficients de calage b k2 et b k3 ont été déterminées de manière à minimiser l erreur relative entre la prévision du taux de fissuration (éq. [7]) et celui observé sur divers tronçons (26) étudiés dans le cadre du programme LTPP (NCHRP 2004). Les valeurs de 1,2 et 1,5 ont alors été retenues dans M-E PDG pour les coefficients b k2 et b k3 respectivement. Par ailleurs, il est également proposé une valeur de k 1 (0, ) pour les dimensionnements de chaussées souples dans une perspective nationale sur le territoire des États-Unis («national calibration»). Dans le modèle de fatigue utilisé dans M-E PDG, seul le facteur C (voir tableau 1) permet en quelque sorte de rendre compte des différences de performance en fatigue entre les matériaux bitumineux. Ce facteur vise sur une base volumétrique à traduire l effet de la formulation du matériau bitumineux, principalement défini par la teneur en bitume et le volume d air, sur sa performance en fatigue. À conditions égales, il apparaît que le facteur C ne permet pas de traduire l effet de l ajout d un polymère dans le bitume vis-à-vis de la résistance en fatigue de l enrobé. 8. Détermination des coefficients de corrélation de la droite de fatigue en s affranchissant des effets biaisants Les coefficients de la droite de fatigue obtenus lors des essais de fatigue classique sont erronés en raison de l existence de phénomènes autres que la fatigue. Les valeurs de N f50 % ne sont pas essentiellement tributaires de l endommagement par fatigue du matériau. Une méthode a été proposée en vue de corriger les résultats de fatigue pour se soustraire aux effets biaisants : la méthode du DGCB (Di Benedetto et al. 1996, 1997a); Baaj et al. 2005). En traitant les résultats de matière à cerner l endommagement par fatigue et ainsi déterminer des valeurs N f50 % corrigées, la droite de Wöhler «corrigée» est représentative de l endommagement par fatigue du matériau bitumineux. Les coefficients qui ainsi la caractérisent (a 1, a 2 et a 3 ) traduisent plus correctement la réalité Méthode de correction des résultats de fatigue : détermination des pentes de fatigue suivant la méthode DGCB En considérant que l endommagement par fatigue (D) est isotrope et se manifeste au niveau de chaque élément de volume du matériau dans la zone centrale d une éprouvette cylindrique sollicitée en traction compression, on peut écrire : ½9Š D ¼ 1 je N j je 0 j Où : D : endommagement global de l éprouvette (matériau sain : D = 0 et matériau rupturé : D =1) j : norme du module complexe du matériau au cycle N jen je0 j : norme du module complexe du matériau non endommagé au premier cycle Sous sollicitations cycliques sinusoïdales, l énergie dissipée à chacun des cycles crée un échauffement du matériau. Pour les essais en contrôle de déplacement, l échauffement s atténue après un certain temps, soit à la fin de la phase I, alors qu il progresse tout au long de l essai pour les essais conduits en contrôle de force. La figure 7 montre l échauffement mesuré sur des éprouvettes d enrobés soumises à une sollicitation cyclique sinusoïdale de traction compression. La figure 7a présente le cas d un essai conduit en contrôle de déplacement, alors que la figure 7b se rapporte à un essai mené en contrôle de force. La correction des effets biaisants est établie en supposant, d une part, que l évolution du module en phase II est linéaire avec le nombre de cycles et, d autre part, que sa variation associée aux effets biaisants est proportionnelle à la variation d énergie dissipée à chaque cycle de sollicitation (DE a DW). En ramenant ces effets au premier cycle, il vient : ½10Š ½11Š Avec : DjE I j¼a W I DjE I j¼je 0 j je 0I j La figure 8 présente la signification des différents paramètres des équations [9] et [10]. Di Benedetto et al. (1997b) considèrent que le rapport entre la variation de la norme du module complexe à celle de l énergie dissipée par cycle de sollicitation dans l intervalle N i N i+1 est du même ordre de grandeur que celui qui se manifeste au 1 er cycle dans le cas où les effets biaisants sont inexistants (cas fictif, mis en relief par les valeurs projetées W I et je0i j : voir la figure 8). On peut alors écrire : ½12Š DjE ðn i ; N iþ1 Þj ¼ W N i W Ni þ1 DjEI W j I En considérant que l évolution de la norme du module complexe, normalisée en référence à je0i j, représente la juxtaposition des effets biaisants et de l endommagement par fatigue du matériau, Soltani (1998) écrit : ½13Š a F ¼ a T þ a W DjE I j je 0I j Où : a T est la pente de la partie linéaire de la courbe du module située entre les cycles N i et N i+1 dans les axes normalisés (N, E) en fonction de je0i j. Elle correspond à la droite aux moindres carrés ajustée aux points expérimentaux du module de rigidité bornés par N i et N i+1. a W est la pente de la partie linéaire de la courbe d énergie dissipée située entre les cycles N i et N i+1 dans les axes normalisés (N, W) en fonction de W I. Elle correspond à la droite qui s ajuste par la méthode des moindres carrés aux points expérimentaux d énergie dissipée bornés par N i et N i+1. a F présente le taux d endommagement par cycle de chargement, si aucun effet biaisant n est produit au cours de l essai de fatigue. DjEI L argument a j W je0i j corrige a T pour en exclure les effets biaisants sur les résultats de fatigue proprement dits (Soltani 1998). Le signe de cette correction dépend du signe de a W. Notons, par ailleurs, que le niveau de sollicitation à con-

10 1296 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Fig. 7. Échauffement moyen mesuré à la surface d une éprouvette et évolution de l énergie dissipée lors d un essai de fatigue sous sollicitation cyclique sinusoïdale 10 C, 10 Hz (tiré de Soltani 1998). Fig. 8. Évolution du module de rigidité et de l énergie dissipée en fonction du nombre de cycles de sollicitation dans le cadre d un essai de fatigue en contrôle de déplacement (10; 10 Hz). sidérer pour l intervalle I se détermine à partir de la valeur moyenne des déformations sur l intervalle Correction liée à la non-linéarité de l endommagement L équation [12] a été développée en considérant une évolution linéaire de la norme du module complexe avec le nombre de cycles dans la phase II d un essai de fatigue. Or, il a été montré expérimentalement que les pentes évoluent différemment pour différents intervalles considérés en phase II (Soltani 1998). En conséquent, l équation [12] doit être corrigée en vue de prendre en considération la non-linéarité de l endommagement par fatigue à déformation constante. En fait, la norme du module complexe initial de l éprouvette au 1 er cycle d un essai sans effet biaisant et où la température de l éprouvette resterait rigoureusement constante pendant toute la durée de l essai 7, module désigné jef j (voir fig. 8), serait supérieure aux normes du module complexe déduites des analyses par intervalle suivant l approche linéaire, je0i j, telle que décrite à la section précédente. En fait, la norme du module complexe initial de l éprouvette fatiguée à une température constante, jef j, est telle que : 7 Essai purement fictif, exempt d échauffement. ½14Š je 0 j > je F j > je 0IðiÞ j > je 0Iðiþ1Þ j Di Benedetto et al. (1997a) proposent d introduire dans l équation [12] un coefficient correcteur, C I, pour prendre en compte la non-linéarité de l endommagement. Le coefficient C I, dont la valeur est comprise entre 0 et 1, prend une valeur distincte pour chaque intervalle considéré. On peut écrire : ½15Š a F ¼ a T þ a W C I DjE I j je 0I j «I» correspond à un intervalle de cycles dans la phase II pendant lequel la variation de la courbe expérimentale de la norme du module complexe est quasi linéaire. L étendue des intervalles choisis, pour faire la correction des données, doit être comprise à l intérieur de la phase II. Le tableau 3 donne les intervalles proposés par Di Benedetto (Soltani 1998) avec les valeurs des facteurs C I correspondantes. Pour chacun de ces intervalles, la loi de fatigue est considérée linéaire Détermination de la droite de fatigue de Wöhler en corrigeant les résultats d essais de fatigue pour se soustraire des effets biaisants Comme déjà souligné, les coefficients de la droite de fatigue de Wöhler a 1 et a 2, déterminés à partir du critère de rupture classique (N f50 % ), sont erronés du fait qu ils intègrent des phénomènes autres que celui de la fatigue. Par ailleurs, pour un matériau donné, ces coefficients sont distincts pour des essais réalisés en contrôle de déplacement de ceux obtenus pour des essais conduits en contrôle de force. Cette différence a conduit les chercheurs à proposer des modèles prévisionnels différents pour la durée de vie en fatigue suivant que les essais soient réalisés en contrôle de déplacement ou en contrôle de force (voir l appendice II-1 dans NCHRP 2004). Baaj (2002) a proposé un modèle non linéaire pour décrire l évolution du dommage pour un essai de fatigue mené à déformation constante des matériaux bitumineux : ½16Š 1 D ¼ 1 þ N B ðdeformation constanteþ N 0

11 Perraton et al Tableau 3. Étendue des intervalles proposés pour corriger les résultats de fatigue avec les valeurs de facteur C I correspondantes. I Étendue (nombre de cycles) C I 0 Intervalle à /5 1 Intervalle à /4 2 Intervalle à /3 Fig. 9. Valeurs du dommage à la transition entre les phases II et III, marquant le début de la propagation des macrofissures, dans un essai de traction compression en contrôle de déplacement : DIII, pas de correction; DIIIc, correction due aux effets biaisants (tiré de Di Benedetto et al. 2004). N 0 et B dépendent de l amplitude de déformation. En sachant que N 0 est plus grand que 0 et que B est inférieur à 0, il est possible de les estimer avec la méthode des moindres carrés à partir des valeurs corrigées ðjecor jþ de la norme des modules complexes dans les intervalles «I» considérés (0, 1 et 2). On peut alors établir la durée de vie du matériau liée exclusivement à la fatigue. En procédant ainsi pour chacun des essais de fatigue, on peut établir les coefficients de la droite de Wöhler essentiellement représentatifs du phénomène de fatigue. L approche vise donc à corriger la norme des modules complexes mesurés de l'enrobé de manière à déterminer la norme des modules complexes corrigés suivant la méthode DGCB Modèle non linéaire de l évolution du dommage pour un essai de fatigue mené à déformation constante, corrigée des effets biaisants, telle que proposée par Baaj (2002) Le modèle non linéaire de l évolution du dommage pour un essai de fatigue mené à déformation constante, corrigée des effets biaisants, est spécifique à chacun des essais de fatigue réalisés. Pour déterminer les paramètres B et N 0 établis à partir des valeurs d jecor j, il faut dans un premier temps estimer la valeur de jef j à partir des valeurs calculées je 0I j pour les trois intervalles (0, 1 et 2). Dans un deuxième temps, il faut corriger la courbe d évolution de la norme du module complexe mesurée au cours d un essai classique de fatigue en considérant le modèle non linéaire qui prend en compte la correction des effets biaisants. En considérant que jeexp j représente la norme du module complexe enregistrée en cours d essai, le taux d endommagement non corrigé des effets biaisants s exprime alors : ½17Š a T ¼ dje exp j=dn je 0I j Également, en considérant que jecor j représente la norme du module complexe qui a subi un endommagement dû uniquement à la fatigue, le taux de l endommagement par fatigue s exprime alors : ½18Š a F ¼ dje cor j=dn je 0I j Dans des conditions idéales d essai où les effets biaisants seraient éliminés, la valeur du module initial, je0 j, serait différente de celle enregistrée dans les conditions d essai réelles et correspondrait à jef j. La valeur de je Fj dépend de l essai et non de l intervalle sur lequel l analyse est faite. Si la valeur de jef j est calculée à partir des trois intervalles, les valeurs doivent être égales ou du même ordre et correspondre à la relation suivante : ½19Š ½20Š je 0 j je F j¼c IðjE 0 j je 0I jþ je 0 j je F jc 0ðjE 0 j je 00 jþ C 1ðjE 0 j je 01 jþ C 2 ðje 0 j je 02 jþ En considérant que la valeur de jef j est la valeur moyenne des trois valeurs obtenues de chacun des intervalles (Baaj 2002) et en substituant les équations [16], [17] et [19] dans l équation [14], on a : ½21Š dje cor j dn ¼ dje exp j dn þ a w ðje 0 j je F jþ Par intégration on obtient : ½22Š jecor j¼je exp jþa w ðje0 j je F jþ N L équation [21] permet de corriger la norme des modules complexes mesurés en cours d essai classique de fatigue à l intérieur des intervalles traités. Pour obtenir les valeurs corrigées à l extérieur de ces intervalles, on se réfère au modèle non linéaire de l évolution du dommage pour un essai de fatigue mené à déformation constante des matériaux bitumineux corrigée des effets biaisants (éq. [15]) Durée de vie en fatigue pour les résultats corrigés En corrigeant la norme des modules complexes mesurés pour isoler le phénomène de fatigue, la détermination de la durée de vie fondée sur le critère classique (N f50 % )n est plus applicable. Di Benedetto et al. (2004) ont montré que sur la base d une analyse classique, le dommage associé au passage de la phase II à la phase III varie suivant les amplitudes de déformation (fig. 9). On constate que la valeur du dommage associée à la frontière entre les phases II et III semble être indépendante du niveau de déformation, contrairement à ce que l on observe pour les résultats non corrigés (fig. 9). Il apparaît qu une perte de l ordre de 20 % à 25 % représente un critère approprié pour déterminer la durée de vie en fatigue, laquelle marque le point de transition entre la phase II et la phase III. Cette constatation est de première importance dans le processus de détermination d un critère de fatigue que l on souhaite le plus cohérent possible. En effet, les durées de vie en fatigue devant servir à déterminer les coefficients de la droite

12 1298 Rev. can. génie civ. vol. 38, 2011 Fig. 10. Résultats d un essai classique de fatigue en traction compression, en contrôle de déformation (3 0 = 170 mm/m), sur une éprouvette cylindrique (f mm 2 )d un enrobé ESG-14 confectionné avec un bitume de PG (T essai =10 C;f r = 10 Hz ; éq. [15] : B = 0,069 et N 0 = 9022,2). Fig. 11. Résultats d une série d essais de fatigue en traction compression, en contrôle de déformation (3 0 : 120, 160, 200, 225, 240 et 270 mm/m), sur des éprouvettes cylindriques (f mm 2 )d un enrobé ESG-10 confectionné avec un bitume de PG (T essai =10 C;f r = 10 Hz). de Wöhler doivent correspondre au taux de dommage qui se situe le plus près possible de la fin de la phase II Exemple d application pour déterminer la durée de vie en fatigue corrigée et les coefficients de la droite de Wöhler À partir d un essai de fatigue réalisé en contrôle de déplacement, nous avons appliqué la méthode du DGCB pour déterminer les coefficients de la droite de fatigue de Wöhler corrigée des effets biaisants pour un enrobé semi-grenu (ESG-10). Les essais ont été réalisés en traction compression sur des éprouvettes cylindriques de 80 mm de diamètre et de 120 mm de longueur. L évolution de la norme des modules complexes, d un essai réalisé pour une amplitude de déformation de 170 mm/m, est présentée à la figure 10a. Pour cet essai, l application du critère classique à partir des résultats non corrigés (N f50 % ) montre que la durée de vie correspondante se présente dans la phase III. La figure 10b présente l évolution du dommage calculé à partir du modèle non linaire permettant de se soustraire aux effets biaisants. Pour cet essai, la valeur de la durée de vie établie pour une perte de 25 % de la norme du module complexe jef j demeure une valeur représentative. Nous avons corrigé les modules complexes mesurés suivant la méthode DGCB pour une série d essais de fatigue réalisée sur un enrobé ESG-10. La droite de fatigue de Wöhler a été tracée pour cette série d essais à partir des durées de vie établies suivant le critère classique de rupture appliquée sur les résultats non corrigés (fig. 11a). À partir de la norme des modules complexes corrigés, les courbes de fatigue de