Introduction Les Opérateurs logiques les lois de la logique Utilisation en informatique. La logique É.FAVIER. Master SIG

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1 La logique É.FAVIER Master SIG Année universitaire

2 Sommaire 1 Introduction Définition algèbres de Boole binaires 2 Les Opérateurs logiques 3 les lois de la logique 4 Utilisation en informatique

3 L Histoire Georges Boole( ) Ce n est qu en 1835 que Georges Boole commence à étudier les mathématiques, après une formation littéraire (où il excellait, notamment en latin). En 1840, il débute ses propres recherches, notamment dans le domaine de la logique, qui était à l époque considérée comme une branche de la philosophie, relativement proche de la métaphysique.

4 L Histoire Georges Boole( ) En 1849, Georges Boole publie un article intitulé «The mathematical analysis of logic» où il démontre que la logique peut être transcrite en équations algébriques. Avant lui, Leibniz avait vainement essayé d établir les fondements mathématiques de la logique.

5 L Histoire Georges Boole( ) En 1854, il publie «An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities», autre article fondamental où il introduit ce qui sera appelé ensuite l algèbre de Boole.

6 Définition La Théorie Définition On appelle algèbre de Boole toute structure algébrique composée : d un ensemble non vide E, ces opérations devant vérifier un certain nombre d axiomes.

7 Définition La Théorie Définition On appelle algèbre de Boole toute structure algébrique composée : d un ensemble non vide E, d une opération binaire appelée somme booléenne (notée +), ces opérations devant vérifier un certain nombre d axiomes.

8 Définition La Théorie Définition On appelle algèbre de Boole toute structure algébrique composée : d un ensemble non vide E, d une opération binaire appelée somme booléenne (notée +), d une opération binaire appelée produit booléen (noté ), ces opérations devant vérifier un certain nombre d axiomes.

9 Définition La Théorie Définition On appelle algèbre de Boole toute structure algébrique composée : d un ensemble non vide E, d une opération binaire appelée somme booléenne (notée +), d une opération binaire appelée produit booléen (noté ), d une opération unaire appelée négation (notée ), ces opérations devant vérifier un certain nombre d axiomes.

10 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations.

11 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations. Une proposition est une affirmation contenant un ou plusieurs objets de la théorie.

12 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations. Une proposition est une affirmation contenant un ou plusieurs objets de la théorie. Une proposition peut être VRAIE ou FAUSSE selon les objets auxquels elle s applique, et selon la théorie dans laquelle elle s insère.

13 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations. Une proposition est une affirmation contenant un ou plusieurs objets de la théorie. Une proposition peut être VRAIE ou FAUSSE selon les objets auxquels elle s applique, et selon la théorie dans laquelle elle s insère. Un axiome est une proposition vraie pour tous les objets d une théorie.

14 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations. Une proposition est une affirmation contenant un ou plusieurs objets de la théorie. Une proposition peut être VRAIE ou FAUSSE selon les objets auxquels elle s applique, et selon la théorie dans laquelle elle s insère. Un axiome est une proposition vraie pour tous les objets d une théorie. Un théorème est une proposition vraie.

15 Définition Définitions Les principales notions Une théorie réunit des objets. Entre les objets d une théorie peuvent exister des relations. Une proposition est une affirmation contenant un ou plusieurs objets de la théorie. Une proposition peut être VRAIE ou FAUSSE selon les objets auxquels elle s applique, et selon la théorie dans laquelle elle s insère. Un axiome est une proposition vraie pour tous les objets d une théorie. Un théorème est une proposition vraie.

16 algèbres de Boole binaires définition Algèbre de Boole binaire ({0, 1}, +,, ) est une algèbre de Boole binaire.

17 algèbres de Boole binaires Électronique : Définition On utilise une algèbre de Boole binaire ({0, 1}, ou, et, non) qui fonctionne exactement comme celle de la logique. Cette algèbre présente la particularité d être mise en œuvre physiquement dans les composants électroniques.

18 algèbres de Boole binaires les Principes de bases Les propositions Les propositions obéissent aux règles suivantes : principe de non-contradiction : une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse («Je mens» n est pas une proposition) ;

19 algèbres de Boole binaires les Principes de bases Les propositions Les propositions obéissent aux règles suivantes : principe de non-contradiction : une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse («Je mens» n est pas une proposition) ; principe du tiers-exclu : une proposition ne peut être que vraie ou fausse («Demain, il fera beau» n est pas une proposition).

20 algèbres de Boole binaires Les connecteurs logiques Définitions es opérateurs et, ou et non sont également appelés connecteurs logiques. On a d autres connecteurs logiques, élaborés à partir de ces trois connecteurs de base.

21 algèbres de Boole binaires Les connecteurs logiques Définitions es opérateurs et, ou et non sont également appelés connecteurs logiques. On a d autres connecteurs logiques, élaborés à partir de ces trois connecteurs de base. Les connecteurs logiques permettent de construire des propositions «complexes» à partir de propositions «simples» et sont définis par leur table de vérité.

22 Sommaire 1 Introduction 2 Les Opérateurs logiques La négation (non) La conjonction (et) La disjonction inclusive (ou) 3 les lois de la logique 4 Utilisation en informatique

23 La négation (non) Le Non Table de vérité du Non P vrai faux non P faux vrai

24 La conjonction (et) Le Et Table de vérité du Et P Q P et Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux faux

25 La disjonction inclusive (ou) Le Ou Table de vérité du Ou P Q P ou Q vrai vrai vrai vrai faux vrai faux vrai vrai faux faux faux

26 Sommaire 1 Introduction 2 Les Opérateurs logiques 3 les lois de la logique Lois de De Morgan Ou exclusif La disjonction exclusive (ou exclusif) L implication ( si P, alors Q ) L équivalence ( P si et seulement si Q ) 4 Utilisation en informatique

27 Lois de De Morgan Les lois de De Morgan Lois de De Morgan (non (P et Q)) = ((non P) ou (non Q)) (non (P ou Q)) = ((non P) et (non Q))

28 Ou exclusif Le Ou exclusif Table de vérité du Ou exclusif P Q P xor Q vrai vrai faux vrai faux vrai faux vrai vrai faux faux faux

29 Ou exclusif Le Ou exclusif Table de vérité du Ou exclusif P Q P xor Q vrai vrai faux vrai faux vrai faux vrai vrai faux faux faux Remarque : (P xor Q) = ((P ou Q) et (non (P et Q)))

30 L implication ( si P, alors Q ) L implication L implication P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai vrai faux faux vrai

31 L implication ( si P, alors Q ) L implication L implication P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai vrai faux faux vrai Remarque : (P Q) = (Q ou (non P))

32 L équivalence ( P si et seulement si Q ) L équivalence logique L équivalence logique P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux vrai

33 L équivalence ( P si et seulement si Q ) L équivalence logique L équivalence logique P Q P Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux vrai Remarque : (P Q) = ((P Q) et (Q P))

34 Sommaire 1 Introduction 2 Les Opérateurs logiques 3 les lois de la logique 4 Utilisation en informatique

35 La logique & l informatique L utilisation Nous aurons besoin de cette algèbre de Boole lorsque nous utiliserons des langages évolués, qui permettent d écrire des conditions où apparaissent les connecteurs logiques et, ou et non. Dans les langages structurés, on utilisera en particulier les règles de De Morgan. pour écrire la condition d une structure de contrôle à partir de l état final souhaité (voir deuxième partie du cours).