Cours (0001) 2. On pourrait appeler ce cours : «Systèmes de numération et maths pour ordinateurs numériques»

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1 Cours (0001) 2 On pourrait appeler ce cours : «Systèmes de numération et maths pour ordinateurs numériques» Aujourd'hui on apprendra : un peu de analogique vs. numérique des systèmes de numération autres que le décimal (base 10) comment manipuler et convertir entre ces systèmes le complément à deux d'un nombre addition et soustraction de nombres binaires multiplication et soustraction de nombres binaires

2 Pourquoi on apprend ça a? Une question importante qu'on va se demander au début de chaque cours est : «Pourquoi est-ce-qu'on apprend ça?» Bon, la matière de ce cours est important parce-que : les ordinateurs numériques ne parlent pas le français ils ne parlent pas l'anglais non plus ils ne parlent même pas des langues de programmation de haute niveau comme C/C++ ou Java d'abord, il faut apprendre à parler «ordinateur numérique» les ordinateurs numériques comprennent des codes binaires

3 Codes binaires comme langue Vous savez probablement déjà qu'un code binaire consiste de mots qui ne comprennent eux-mêmes que des 1 et des 0. La phrase que je viens d'écrire consiste de 26x2 sortes de lettres, 10 chiffres, et de la ponctuation. Il paraît alors que la langue binaire manque de richesse! En vérité c'est assez riche. Regardez comment il-y-a plusieurs interpretations du code binaire suivant : = 161 (entier non-signé) = -95 (complément à deux) = P (ASCII avec parité impair) = í (extended ASCII) = Move to/from Accumulator (M68k) = irrdy, itmt, ipe (Nios UART control LSB)

4 Analogique vs. numérique Il-y-a combien de lait dans cette tasse graduée? Si on mésure à l'américain, on dirait qu'il-y-a 32oz de lait là dedans. Mais est-ce vraiment exactement 32oz ou plutôt 31.X ou 32.X oz? Pour en sortir une analogie, un ordinateur numérique quantifit la mésure à l'entier le plus proche par exemple 31, 32 ou 33 oz. Ceci sera assez précis pour préparer un gateau, alors ce n'est pas un désavantage de faire de la computation numérique (en fait, souvent c'est avantageux!).

5 Mais le monde est analogique! Toute dans le monde est analogique. Alors comment un ordinateur analogique saurait-il qu'il-y-a 32oz de lait dans la tasse? Il-y-a des convertisseurs analogique-numérique qui transforment des tensions analogiques en codes binaires. Évidemment il-y-a aussi des convertisseurs numérique-analogique qui font l'inverse. Tension analogique (exemple : V) Code binaire (exemple : ) Vous pouvez regarder des convertisseurs analogique-numérique en masse sur dans la section A/D Converters.

6 Comment penser en binaire Les humains ont normalement 10 doigts, alors c'est avantageux pour nous d'utiliser et manipuler des nombres décimaux. Les ordinateurs numériques n'ont que deux possibilités (On/Off, haute-tension/basse tension, etc...) alors c'est avantageux pour eux d'utiliser et manipuler des nombres binaires. Voici un numéro décimal : 69 = 0 6 x100 x10 9 x1 Maintenant en binaire (8 bits): = n 69 = 0 x128 1 x64 0 x32 0 x16 0 x8 1 x4 0 x2 1 x1 = n

7 Hexadécimal : un compromis Les numéros binaires de plus de 8-bits sont difficiles à manipuler (pour les humains). Puisqu'on est déjà habile à manipuler des nombres en base 10, ce n'est pas trop dur à apprendre à manipuler des nombres en base 16. Ceci s'appelle le code hexadécimal : Encore, 69 = = (45) 16 : 2 chiffres au lieu de 8 Apprenez par coeur la conversion binaire-hex et hex-binaire (il n'y a que 16 combinaisons). Notez : (1010) 2 = (A) (1111) 2 = (F) 16

8 Tout ensemble maintenant Binaire Octal Décimal Hex Base A B C D E F Remplissez vous-même ça pour le fun

9 Convertir vers décimald Voilà un système simple pour convertir vers décimal : 1 x 2 3 = 8 1 x 2 2 = 4 0 x 21 = 0 1 x 2 0 = (1101) 2 = (13) 10 Essayez-le vous-même x 4 3 = x 42 = x 4 1 = x 40 = + 2 x 7 3 = x 72 = x 7 1 = x 7 0 = (2460) 7 = (924) 10 (3012) 4 = ( ) 10

10 Convertir de décimald Voilà un système simple pour convertir de décimal vers une autre système (attention, le chiffre le plus significatif est en bas) : 13 / 2 = 6 R 1 6 / 2 = 3 R 0 3 / 2 = 1 R 1 1 / 2 = 0 R 1 Essayez-le vous-même 924 / 7 = 132 R / 7 = 18 R 6 18 / 7 = 2 R 4 2 / 7 = 0 R 2 (13) 10 = (1101) / 4 = R (924) 10 = (2460) 7 / 4 = R / 4 = R / 4 = R (198) 10 = ( ) 4

11 Fractions et négativesn C'est possible de représenter des fractions en binaire : (0.101) 2 = (0.625) 10 1 x 2-1 = x 2-2 = x 2-3 = Mais comment pourrait-on représenter des nombres négatives en binaire? Avez-vous des idées?

12 Complément ment à deux Regardez le format binaire complément à deux présenté à gauche : Décimal Binaire (CàD) Remarquez que les nombres binaires négatifs commencent avec un 1. Remarquez que les nombres se suivent en croissance/décroissance. Remarquez que 2 + (-3) = (-1) mais que = (-3), ce qui n'est pas correct. Aaaaah! C'est quoi ça Jeff???

13 3 + 2 = (-3) WTF!!! On vient de voir que pour le format complément à deux, avec des nombres de 3-bits, que = (-3), ce qui est faux. Avez-vous noté que le résultat attendu, 5, n'est pas dans la liste de valeurs possibles? Ce qu'on vient de voir est un exemple de dépassement, ce que j'expliquerai plus tard. Ce qu'il faut apprécier pour le moment c'est que : avec un nombre fixe de bits, on ne peut que représenter un nombre fixe de nombres ou codes si le code qu'on veut représenter n'est pas parmi ceux qu'on peut représenter, ça va mal

14 Faire le complément ment à deux D'où viennent les codes pour les nombres négatifs dans le format qu'on vient de voir? Pour trouver la représentation négative d'un nombre, il suffit de trouver son complément à deux. Pour faire le complément à deux, il faut suivre les deux étapes suivantes : inverser tous ses bits ajouter 1 Voilà un exemple avec +/- 2. Confirmez que c'est ça dans la table. (010) 2 = (+2) inversion de tous ses bits 110 ajout de 1 (110) 2 = (-2) 10

15 Addition signée L'addition binaire est très semblable à l'addition décimal. On commence par tester si 2 + (-2) = 0 comme esperé : Retenues +2-2 Le résultat est (1000) 2, mais il faut laisser tomber le '1' puisqu'on n'a que trois bits pour représenter les nombres. Alors le résultat est (000) 2 = (0) 10 comme esperé. Façile non? Mais on verra dans la prochaine acétate qu'il faut faire attention au dépassement qu'on a vu tantôt.

16 Dépassement Laissons-nous essayer encore : Retenues Le résultat est toujours (101) 2 = (-2) 10 ce qui n'est pas le résultat esperé. Il-y-avait de dépassement. Mais comment est-ce-qu'on le détecte? Détection de dépassement : si les deux retenues les plus significatives ne sont pas pareils (01 ou 10), il-y-a dépassement N.B. Les retenues les plus significatives sont ceux les plus à gauche

17 Soustraction Effectivement on a déjà fait de soustraction si on considère que : 2 + (-2) = 2 2 Faire le soustraction c'est faire le complément à deux sur le diminuteur, puis faire l'addition des deux nombres. Exemple : (69) 10 (13) 10 en 8-bits (69) 10 = ( ) 2 (13) 10 = ( ) 2 (-13) 10 = ( ) 2 Pas de dépassement ( ) 2 = (56) 10

18 Multiplication et division Pour l'instant, on ne présente que la multiplication et la division par des puissances de 2 (parce-que c'est façile). Imaginez la multiplication et la division par des puissances de 10 en décimal. Façile, non? La multiplication c'est un décalage à gauche, et la division c'est un décalage à droite : x / (25 x 4 = 100) (25 / 2 = 12!!!) Il-y-a dépassement si des '1' sont perdus en multiplication, et il-y-a troncation (comme c'est le cas ci-haut) si des '1' sont perdus en division.

19 Sommaire (par Monsieur T) Les systèmes de numération sont à la base de tout dans ce cours. Apprends-les comme il faut MAINTENANT. C'est important de pouvoir convertir vite. L'addition, le soustraction, la multiplication et la division sont façile. Le complément à deux est probablement un nouveau concept pour toi, alors assure-toi de bien le comprendre. Et fais tes devoirs ils sont conçus especiellement pour t'aider.

20 Lecture et devoirs Lecture recommandé : , Et, si vous n'avez rien d'autre à faire : 2.3 Problèmes pertinents : 2.10 bdfh, 2.13, 2.14 acd, 2.17 ad, 2.18 ad, 2.19 ad, 2.22 acef, 2.29, 2.31 I pity the fool who doesn't do his devoirs!